Уравнения Максвелла

редактировать
Относительно термодинамических соотношений см. Соотношения Максвелла. Для истории уравнений см. Историю уравнений Максвелла. Для общего описания электромагнетизма см. Электромагнетизм.

Уравнения Максвелла представляют собой набор связанных дифференциальных уравнений в частных производных, которые вместе с законом силы Лоренца составляют основу классического электромагнетизма, классической оптики и электрических цепей. Уравнения представляют собой математическую модель для электрических, оптических и радиотехнологий, таких как выработка электроэнергии, электродвигатели, беспроводная связь, линзы, радары и т. Д. Они описывают, как электрические и магнитные поля генерируются зарядами, токами и изменениями полей.. Уравнения названы в честь физика и математика Джеймса Клерка Максвелла, который в 1861 и 1862 годах опубликовал раннюю форму уравнений, включающую закон силы Лоренца. Максвелл первым использовал уравнения, чтобы предположить, что свет - это электромагнитное явление.

Важным следствием уравнений Максвелла является то, что они демонстрируют, как флуктуирующие электрические и магнитные поля распространяются с постоянной скоростью ( c ) в вакууме. Эти волны, известные как электромагнитное излучение, могут возникать на различных длинах волн, создавая спектр излучения от радиоволн до гамма-лучей.

У уравнений есть два основных варианта. В Микроскопические уравнения имеют универсальную применимость, но громоздки для общих вычислений. Они связывают электрические и магнитные поля с общим зарядом и полным током, включая сложные заряды и токи в материалах на атомном уровне. В макроскопических уравнениях определяют два новых вспомогательные полей, которые описывают крупномасштабное поведение вещества без необходимости рассматривать атомные заряды масштаба и квантовые явления, как спины. Однако их использование требует экспериментально определенных параметров для феноменологического описания электромагнитного отклика материалов.

Термин «уравнения Максвелла» часто также используется для эквивалентных альтернативных формулировок. Версии уравнений Максвелла, основанные на электрическом и магнитном скалярных потенциалах, предпочтительны для явного решения уравнений в качестве краевой задачи, аналитической механики или для использования в квантовой механике. Ковариантная формулировка (на пространстве - времени, а не в пространстве и времени отдельно) делает совместимость уравнений Максвелла с особой относительности манифеста. Уравнения Максвелла в искривленном пространстве-времени, обычно используемые в физике высоких энергий и гравитации, совместимы с общей теорией относительности. Фактически, Альберт Эйнштейн разработал специальную и общую теорию относительности, чтобы приспособить инвариантную скорость света, следствие уравнений Максвелла, с принципом, что только относительное движение имеет физические последствия.

Публикация уравнений ознаменовала объединение теории для ранее описанных явлений: магнетизма, электричества, света и связанного с ним излучения. С середины 20 века стало понятно, что уравнения Максвелла не дают точного описания электромагнитных явлений, а представляют собой классический предел более точной теории квантовой электродинамики.

СОДЕРЖАНИЕ

  • 1 Концептуальные описания
    • 1.1 Закон Гаусса
    • 1.2 Закон Гаусса для магнетизма
    • 1.3 Закон Фарадея
    • 1.4 Закон Ампера с добавлением Максвелла
  • 2 Формулировка в терминах электрического и магнитного полей (микроскопическая или вакуумная версия)
    • 2.1 Пояснения к обозначениям
      • 2.1.1 Дифференциальные уравнения
      • 2.1.2 Интегральные уравнения
    • 2.2 Формулировка в условных обозначениях единиц СИ
    • 2.3 Формулировка в условных обозначениях гауссовых единиц
  • 3 Связь между дифференциальной и интегральной формулировками
    • 3.1 Поток и дивергенция
    • 3.2 Циркуляция и завивка
  • 4 Сохранение заряда
  • 5 Уравнения вакуума, электромагнитные волны и скорость света
  • 6 Макроскопическая формулировка
    • 6.1 Связанный заряд и ток
    • 6.2 Вспомогательные поля, поляризация и намагниченность
    • 6.3 Учредительные отношения
  • 7 Альтернативные составы
  • 8 релятивистских формулировок
  • 9 Решения
  • 10 Переопределение уравнений Максвелла
  • 11 Уравнения Максвелла как классический предел КЭД
  • 12 вариаций
    • 12.1 Магнитные монополи
  • 13 См. Также
  • 14 Примечания
  • 15 Ссылки
  • 16 исторических публикаций
  • 17 Дополнительная литература
  • 18 Внешние ссылки
    • 18.1 Современные методы лечения
    • 18.2 Другое

Концептуальные описания

Закон Гаусса

Основная статья: закон Гаусса

Закон Гаусса описывает взаимосвязь между статическим электрическим полем и электрическими зарядами : статическое электрическое поле направлено от положительных зарядов в сторону отрицательных зарядов, а чистый отток электрического поля через замкнутую поверхность пропорционален заключенному заряду, включая связанный заряд. из-за поляризации материала. Коэффициент пропорции - это диэлектрическая проницаемость свободного пространства.

Закон Гаусса для магнетизма : силовые линии магнитного поля никогда не начинаются и не заканчиваются, а образуют петли или простираются до бесконечности, как показано здесь, с магнитным полем из-за кольца тока.

Закон Гаусса для магнетизма

Основная статья: закон Гаусса для магнетизма

Закон Гаусса для магнетизма гласит, что электрические заряды не имеют магнитных аналогов, называемых магнитными монополями. Вместо этого магнитное поле материала приписывается диполю, и чистый отток магнитного поля через замкнутую поверхность равен нулю. Магнитные диполи можно представить в виде контуров тока или неразделимых пар равных и противоположных «магнитных зарядов». А именно, полный магнитный поток через гауссову поверхность равен нулю, а магнитное поле является соленоидальным векторным полем.

Закон Фарадея

Основная статья: закон индукции Фарадея Во время геомагнитной бури всплеск потока заряженных частиц временно изменяет магнитное поле Земли, которое индуцирует электрические поля в атмосфере Земли, вызывая скачки напряжения в электрических сетях. (Не в масштабе.)

Максвелл-Фарадей версия закона индукции Фарадея описывает, как изменяется во время магнитного поля создает ( «индуцирует») электрическое поле. В интегральной форме он утверждает, что работа на единицу заряда, необходимая для перемещения заряда по замкнутому контуру, равна скорости изменения магнитного потока через замкнутую поверхность.

Электромагнитной индукции является принцип действия позади многих электрических генераторов : например, вращающийся стержневой магнит создает переменное магнитное поле, которое в свою очередь, генерирует электрическое поле в соседнем проводе.

Закон Ампера с добавлением Максвелла

Основная статья: круговой закон Ампера Память на магнитном сердечнике (1954 г.) - это приложение закона Ампера. Каждое ядро хранит один бит данных.

Закон Ампера с добавлением Максвелла гласит, что магнитные поля могут быть созданы двумя способами: электрическим током (это был первоначальный «закон Ампера») и изменением электрических полей (это было «добавлением Максвелла», которое он назвал током смещения ). В интегральной форме магнитное поле, индуцированное вокруг любого замкнутого контура, пропорционально электрическому току плюс ток смещения (пропорциональному скорости изменения электрического потока) через замкнутую поверхность.

Дополнение Максвелла к закону Ампера особенно важно: оно делает систему уравнений математически согласованной для нестатических полей без изменения законов Ампера и Гаусса для статических полей. Однако, как следствие, он предсказывает, что изменяющееся магнитное поле индуцирует электрическое поле и наоборот. Следовательно, эти уравнения позволяют самоподдерживающимся « электромагнитным волнам » перемещаться через пустое пространство (см. Уравнение электромагнитной волны ).

Скорость, рассчитанная для электромагнитных волн, которую можно было предсказать из экспериментов с зарядами и токами, совпадает со скоростью света ; действительно, свет - это одна из форм электромагнитного излучения (как и рентгеновские лучи, радиоволны и другие). Максвелл понял связь между электромагнитными волнами и светом в 1861 году, объединив таким образом теории электромагнетизма и оптики.

Формулировка с точки зрения электрического и магнитного полей (микроскопическая или вакуумная версия)

В формулировке электрического и магнитного полей есть четыре уравнения, которые определяют поля для данного распределения заряда и тока. Отдельный закон природы, закон силы Лоренца, описывает, как, наоборот, электрическое и магнитное поля действуют на заряженные частицы и токи. Версия этого закона была включена Максвеллом в исходные уравнения, но по соглашению больше не включается. Приведенный ниже формализм векторного исчисления, работа Оливера Хевисайда, стал стандартом. Он явно инвариантен к вращению и поэтому математически намного более прозрачен, чем оригинальные 20 уравнений Максвелла для компонентов x, y, z. В релятивистские формулировки еще более симметричны и явно лоренц - инвариантной. Для тех же уравнений, выраженных с помощью тензорного исчисления или дифференциальных форм, см. Альтернативные формулировки.

Дифференциальная и интегральная формулировки математически эквивалентны и полезны. Интегральная формулировка связывает поля в области пространства с полями на границе и часто может использоваться для упрощения и прямого вычисления полей из симметричных распределений зарядов и токов. С другой стороны, дифференциальные уравнения являются чисто локальными и являются более естественной отправной точкой для расчета полей в более сложных (менее симметричных) ситуациях, например, с использованием анализа методом конечных элементов.

Ключ к обозначениям

Символы, выделенные жирным шрифтом, представляют векторные величины, а символы, выделенные курсивом, представляют скалярные величины, если не указано иное. Уравнения ввести электрическое поле, Е, в векторном поле, и магнитное поле, B, A псевдовекторного поля, каждый, как правило, имеющее время и место зависимости. Источники

Эти универсальные константы, входящие в уравнении (Первые две явно только в единицах состава СИ) являются:

Дифференциальные уравнения

В дифференциальных уравнениях

  • наб, ∇, обозначает трехмерный градиент оператор, дель,
  • ∇⋅ символ (произносится «дель точка») обозначает дивергенцию оператор,
  • ∇ × символ (произносится «дель крест») обозначает завиток оператора.

Интегральные уравнения

В интегральных уравнениях

  • Ω - любой фиксированный объем с замкнутой граничной поверхностью ∂Ω, а
  • Σ - любая неподвижная поверхность с замкнутой граничной кривой ∂Σ,

Здесь фиксированный объем или поверхность означает, что они не меняются с течением времени. Уравнения правильные, полные и немного более простые для интерпретации с помощью поверхностей, не зависящих от времени. Например, поскольку поверхность не зависит от времени, мы можем перенести дифференцирование под знаком интеграла в законе Фарадея:

d d т Σ B d S знак равно Σ B т d S , {\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ iint _ {\ Sigma} \ mathbf {B} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S} = \ iint _ {\ Sigma} {\ frac {\ частичный \ mathbf {B}} {\ partial t}} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S} \,,}

Уравнения Максвелла можно сформулировать с возможно зависящими от времени поверхностями и объемами, используя дифференциальную версию и соответствующим образом используя формулу Гаусса и Стокса.

Q знак равно Ω ρ   d V , {\ Displaystyle Q = \ iiint _ {\ Omega} \ rho \ \ mathrm {d} V,}
где dV - элемент объема.
я знак равно Σ J d S , {\ Displaystyle I = \ iint _ {\ Sigma} \ mathbf {J} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S},}
где d S обозначает элемент дифференциального вектора площади поверхности S, нормальный к поверхности Σ. (Векторная площадь иногда обозначается буквой A, а не буквой S, но это противоречит обозначению магнитного векторного потенциала ).

Формулировка в условных обозначениях единиц СИ

Имя Интегральные уравнения Дифференциальные уравнения
Закон Гаусса \ oiint Ω {\ Displaystyle {\ scriptstyle \ partial \ Omega}} E d S знак равно 1 ε 0 Ω ρ d V {\ displaystyle \ mathbf {E} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S} = {\ frac {1} {\ varepsilon _ {0}}} \ iiint _ {\ Omega} \ rho \, \ mathrm { d} V} E знак равно ρ ε 0 {\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {E} = {\ frac {\ rho} {\ varepsilon _ {0}}}}
Закон Гаусса для магнетизма \ oiint Ω {\ Displaystyle {\ scriptstyle \ partial \ Omega}} B d S знак равно 0 {\ Displaystyle \ mathbf {B} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S} = 0} B знак равно 0 {\ Displaystyle \ набла \ cdot \ mathbf {B} = 0}
Уравнение Максвелла – Фарадея

( Закон индукции Фарадея )

Σ E d знак равно - d d т Σ B d S {\ displaystyle \ oint _ {\ partial \ Sigma} \ mathbf {E} \ cdot \ mathrm {d} {\ boldsymbol {\ ell}} = - {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ iint _ {\ Sigma} \ mathbf {B} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S}} × E знак равно - B т {\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {E} = - {\ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t}}}
Закон Ампера (с добавлением Максвелла) Σ B d знак равно μ 0 ( Σ J d S + ε 0 d d т Σ E d S ) {\ displaystyle {\ begin {align} \ oint _ {\ partial \ Sigma} amp; \ mathbf {B} \ cdot \ mathrm {d} {\ boldsymbol {\ ell}} = \ mu _ {0} \ left (\ iint _ {\ Sigma} \ mathbf {J} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S} + \ varepsilon _ {0} {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ iint _ {\ Sigma} \ mathbf {E} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S} \ right) \\\ конец {выровнено}}} × B знак равно μ 0 ( J + ε 0 E т ) {\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {B} = \ mu _ {0} \ left (\ mathbf {J} + \ varepsilon _ {0} {\ frac {\ partial \ mathbf {E}} {\ partial t }}\Правильно)}

Формулировка в условных обозначениях гауссовских единиц

Основная статья: гауссовские единицы

Определения заряда, электрического поля и магнитного поля могут быть изменены для упрощения теоретических расчетов путем поглощения размерных коэффициентов ε 0 и μ 0 в единицах расчета по соглашению. С соответствующим изменением соглашения для закона силы Лоренца это дает ту же физику, то есть траектории заряженных частиц или работу, совершаемую электродвигателем. Этим определениям часто отдают предпочтение в теоретической физике и физике высоких энергий, где естественно рассматривать электрическое и магнитное поле в одних и тех же единицах, чтобы упростить вид электромагнитного тензора : ковариантный объект Лоренца, объединяющий электрическое и магнитное поле, тогда будет содержать компоненты с единая единица измерения и размер. Такие модифицированные определения обычно используются с гауссовыми ( CGS ) единицами. Используя эти определения и соглашения, в просторечии «в гауссовых единицах», уравнения Максвелла становятся:

Имя Интегральные уравнения Дифференциальные уравнения
Закон Гаусса \ oiint Ω {\ Displaystyle {\ scriptstyle \ partial \ Omega}} E d S знак равно 4 π Ω ρ d V {\ Displaystyle \ mathbf {E} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S} = 4 \ pi \ iiint _ {\ Omega} \ rho \, \ mathrm {d} V} E знак равно 4 π ρ {\ Displaystyle \ набла \ cdot \ mathbf {E} = 4 \ пи \ ро}
Закон Гаусса для магнетизма \ oiint Ω {\ Displaystyle {\ scriptstyle \ partial \ Omega}} B d S знак равно 0 {\ Displaystyle \ mathbf {B} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S} = 0} B знак равно 0 {\ Displaystyle \ набла \ cdot \ mathbf {B} = 0}
Уравнение Максвелла – Фарадея

( Закон индукции Фарадея )

Σ E d знак равно - 1 c d d т Σ B d S {\ displaystyle \ oint _ {\ partial \ Sigma} \ mathbf {E} \ cdot \ mathrm {d} {\ boldsymbol {\ ell}} = - {\ frac {1} {c}} {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ iint _ {\ Sigma} \ mathbf {B} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S}} × E знак равно - 1 c B т {\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {E} = - {\ frac {1} {c}} {\ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t}}}
Закон Ампера (с добавлением Максвелла) Σ B d знак равно 1 c ( 4 π Σ J d S + d d т Σ E d S ) {\ displaystyle {\ begin {align} \ oint _ {\ partial \ Sigma} amp; \ mathbf {B} \ cdot \ mathrm {d} {\ boldsymbol {\ ell}} = {\ frac {1} {c}} \ left (4 \ pi \ iint _ {\ Sigma} \ mathbf {J} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S} + {\ frac {\ mathrel {\ mathrm {d}}} {\ mathrm {d } t}} \ iint _ {\ Sigma} \ mathbf {E} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S} \ right) \ end {выравнивается}}} × B знак равно 1 c ( 4 π J + E т ) {\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {B} = {\ frac {1} {c}} \ left (4 \ pi \ mathbf {J} + {\ frac {\ partial \ mathbf {E}} {\ partial t}} \ right)}

Уравнения особенно удобны для чтения, когда длина и время измеряются в совместимых единицах, таких как секунды и световые секунды, то есть в таких единицах, что c = 1 единица длины / единица времени. Начиная с 1983 года (см. Международную систему единиц ), метры и секунды совместимы, за исключением исторического наследия, поскольку по определению c = 299 792 458 м / с (≈ 1,0 фут / наносекунда).

Дальнейшие косметические изменения, называемые рационализациями, возможны путем поглощения коэффициентов 4 π в зависимости от того, хотим ли мы, чтобы закон Кулона или закон Гаусса проявился правильно, см. Единицы Лоренца – Хевисайда (используемые в основном в физике элементарных частиц ).

Связь дифференциальной и интегральной формулировок

Эквивалентность дифференциальной и интегральной формулировок является следствием теоремы о расходимости Гаусса и теоремы Кельвина – Стокса.

Поток и расхождение

Объем Ω и его замкнутой границей ∂Ω, содержащий (соответственно ограждающих) источника (+) и раковина (-) поля вектора F. Здесь Р может быть Е поле с источника электрических зарядов, но не В поле, которое не имеет магнитных зарядов, как показано на рисунке. Внешняя нормальная единица - n.

Согласно (чисто математическим) теоремам Гаусса дивергенции, то электрический поток через граничную поверхность дП можно переписать в виде

\ oiint Ω {\ Displaystyle {\ scriptstyle \ partial \ Omega}} E d S знак равно Ω E d V {\ displaystyle \ mathbf {E} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S} = \ iiint _ {\ Omega} \ nabla \ cdot \ mathbf {E} \, \ mathrm {d} V}

Таким образом, интегральный вариант уравнения Гаусса можно переписать в виде

Ω ( E - ρ ε 0 ) d V знак равно 0 {\ displaystyle \ iiint _ {\ Omega} \ left (\ nabla \ cdot \ mathbf {E} - {\ frac {\ rho} {\ varepsilon _ {0}}} \ right) \, \ mathrm {d} V = 0}

Поскольку Ω произвольно (например, произвольный маленький шар с произвольным центром), это выполняется тогда и только тогда, когда подынтегральная функция равна нулю всюду. Это формулировка дифференциального уравнения уравнения Гаусса с точностью до тривиальной перестановки.

Аналогичным образом переписывая магнитный поток в законе Гаусса для магнетизма в интегральной форме, получаем

\ oiint Ω {\ Displaystyle {\ scriptstyle \ partial \ Omega}} B d S знак равно Ω B d V знак равно 0 {\ Displaystyle \ mathbf {B} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S} = \ iiint _ {\ Omega} \ nabla \ cdot \ mathbf {B} \, \ mathrm {d} V = 0}.

которое выполняется для всех Ω тогда и только тогда, когда всюду. B знак равно 0 {\ Displaystyle \ набла \ cdot \ mathbf {B} = 0}

Кровообращение и завиток

Поверхность Σ с замкнутой границей ∂Σ. F может быть полем E или B. Опять же, n - нормальная единица измерения. (Завиток векторного поля буквально не похож на «тиражи», это эвристическое изображение.)

По теореме Кельвина – Стокса мы можем переписать линейные интегралы полей вокруг замкнутой граничной кривой ∂Σ в интеграл «циркуляции полей» (т. Е. Их завитков ) по поверхности, которую они ограничивают, т. Е.

Σ B d знак равно Σ ( × B ) d S {\ displaystyle \ oint _ {\ partial \ Sigma} \ mathbf {B} \ cdot \ mathrm {d} {\ boldsymbol {\ ell}} = \ iint _ {\ Sigma} (\ nabla \ times \ mathbf {B}) \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S}},

Следовательно, модифицированный закон Ампера в интегральной форме можно переписать как

Σ ( × B - μ 0 ( J + ε 0 E т ) ) d S знак равно 0 {\ displaystyle \ iint _ {\ Sigma} \ left (\ nabla \ times \ mathbf {B} - \ mu _ {0} \ left (\ mathbf {J} + \ varepsilon _ {0} {\ frac {\ partial) \ mathbf {E}} {\ partial t}} \ right) \ right) \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S} = 0}.

Поскольку Σ можно выбрать произвольно, например, как произвольный маленький, произвольно ориентированный и произвольный центрированный диск, мы заключаем, что подынтегральная функция равна нулю, если удовлетворяется модифицированный закон Ампера в форме дифференциальных уравнений. Аналогично следует эквивалентность закона Фарадея в дифференциальной и интегральной формах.

Линейные интегралы и завитки аналогичны величинам в классической гидродинамике : циркуляция жидкости - это линейный интеграл поля скорости потока жидкости вокруг замкнутого контура, а завихренность жидкости - это завихрение поля скоростей.

Сохранение заряда

Инвариантность заряда может быть получена как следствие уравнений Максвелла. Левая часть модифицированного закона Ампера имеет нулевую дивергенцию в силу тождества div – rot. Расширяя дивергенцию правой части, меняя производные местами и применяя закон Гаусса, получаем:

0 знак равно ( × B ) знак равно ( μ 0 ( J + ε 0 E т ) ) знак равно μ 0 ( J + ε 0 т E ) знак равно μ 0 ( J + ρ т ) {\ displaystyle 0 = \ nabla \ cdot (\ nabla \ times \ mathbf {B}) = \ nabla \ cdot \ left (\ mu _ {0} \ left (\ mathbf {J} + \ varepsilon _ {0} { \ frac {\ partial \ mathbf {E}} {\ partial t}} \ right) \ right) = \ mu _ {0} \ left (\ nabla \ cdot \ mathbf {J} + \ varepsilon _ {0} { \ frac {\ partial} {\ partial t}} \ nabla \ cdot \ mathbf {E} \ right) = \ mu _ {0} \ left (\ nabla \ cdot \ mathbf {J} + {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} \ right)}

т.е.

ρ т + J знак равно 0 {\ displaystyle {\ frac {\ partial \ rho} {\ partial t}} + \ набла \ cdot \ mathbf {J} = 0}.

По теореме о расходимости Гаусса это означает, что скорость изменения заряда в фиксированном объеме равна чистому току, протекающему через границу:

d d т Q Ω знак равно d d т Ω ρ d V знак равно - {\ displaystyle {\ frac {d} {dt}} Q _ {\ Omega} = {\ frac {d} {dt}} \ iiint _ {\ Omega} \ rho \ mathrm {d} V = -} \ oiint Ω {\ Displaystyle {\ scriptstyle \ partial \ Omega}} J d S знак равно - я Ω . {\ displaystyle \ mathbf {J} \ cdot {\ rm {d}} \ mathbf {S} = -I _ {\ partial \ Omega}.}

В частности, в изолированной системе сохраняется полный заряд.

Уравнения вакуума, электромагнитные волны и скорость света

Дополнительная информация: Электромагнитный волновое уравнение, неоднородное уравнение электромагнитной волны, синусоидальные плоских волн решения уравнения электромагнитной волны, а уравнение Гельмгольца На этой трехмерной диаграмме показана плоская линейно поляризованная волна, распространяющаяся слева направо, определяемая формулами E = E 0 sin (−ω t + k ⋅ r) и B = B 0 sin (−ω t + k ⋅ r). Осциллирующие поля равны обнаружен в момент мигания. Горизонтальная длина волны λ. Е 0 ⋅ B 0 = 0 = Е 0 ⋅ K = B 0 ⋅ K

В области без зарядов ( ρ = 0) и без токов ( J = 0), например в вакууме, уравнения Максвелла сводятся к:

E знак равно 0 × E знак равно - B т , B знак равно 0 × B знак равно μ 0 ε 0 E т . {\ displaystyle {\ begin {align} \ nabla \ cdot \ mathbf {E} amp; = 0 \ quad amp; \ nabla \ times \ mathbf {E} amp; = - {\ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ частичный t}}, \\\ nabla \ cdot \ mathbf {B} amp; = 0 \ quad amp; \ nabla \ times \ mathbf {B} amp; = \ mu _ {0} \ varepsilon _ {0} {\ frac {\ частичный \ mathbf {E}} {\ partial t}}. \ end {выравнивается}}}

Взяв ротор (∇ ×) уравнений ротора и используя ротор тождества ротора, получим

μ 0 ε 0 2 E т 2 - 2 E знак равно 0 μ 0 ε 0 2 B т 2 - 2 B знак равно 0 {\ displaystyle {\ begin {align} \ mu _ {0} \ varepsilon _ {0} {\ frac {\ partial ^ {2} \ mathbf {E}} {\ partial t ^ {2}}} - \ nabla ^ {2} \ mathbf {E} = 0 \\\ mu _ {0} \ varepsilon _ {0} {\ frac {\ partial ^ {2} \ mathbf {B}} {\ partial t ^ {2}} } - \ nabla ^ {2} \ mathbf {B} = 0 \ end {выровнено}}}

Величина имеет размерность (время / длина) 2. Определяя, приведенные выше уравнения имеют вид стандартных волновых уравнений μ 0 ε 0 {\ displaystyle \ mu _ {0} \ varepsilon _ {0}} c знак равно ( μ 0 ε 0 ) - 1 / 2 {\ Displaystyle с = (\ му _ {0} \ varepsilon _ {0}) ^ {- 1/2}}

1 c 2 2 E т 2 - 2 E знак равно 0 1 c 2 2 B т 2 - 2 B знак равно 0 {\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} \ mathbf {E}} {\ partial t ^ {2}}} - \ nabla ^ {2} \ mathbf {E} = 0 \\ {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} \ mathbf {B}} {\ partial t ^ {2}}} - \ nabla ^ {2} \ mathbf {B} = 0 \ end {выровнено}}}

Уже при жизни Максвелла было обнаружено, что известные значения для и дают, тогда уже известную как скорость света в свободном пространстве. Это привело его к предположению, что свет и радиоволны распространяют электромагнитные волны, что было вполне подтверждено. В старой системе единиц СИ, значения и определены константами (что означает это по определению), которые определяют ампер и метр. В новой системе СИ только c сохраняет свое определенное значение, а заряд электрона получает определенное значение. ε 0 {\ displaystyle \ varepsilon _ {0}} μ 0 {\ displaystyle \ mu _ {0}} c 2,998 × 10 8 РС {\ Displaystyle с \ примерно 2,998 \ раз 10 ^ {8} \, {\ текст {м / с}}} μ 0 знак равно 4 π × 10 - 7 {\ displaystyle \ mu _ {0} = 4 \ pi \ times 10 ^ {- 7}} c знак равно 299792458 РС {\ displaystyle c = 299792458 \, {\ text {m / s}}} ε 0 знак равно 8,854... × 10 - 12 Ф / м {\ displaystyle \ varepsilon _ {0} = 8,854... \ times 10 ^ {- 12} \, {\ text {F / m}}}

В материалах с относительной диэлектрической проницаемостью, е г и относительной проницаемостью, ц г, то фазовая скорость света становится

v п знак равно 1 μ 0 μ р ε 0 ε р {\ displaystyle v _ {\ text {p}} = {\ frac {1} {\ sqrt {\ mu _ {0} \ mu _ {\ text {r}} \ varepsilon _ {0} \ varepsilon _ {\ text {р}}}}}}

что обычно меньше c.

Кроме того, E и B перпендикулярны друг другу и направлению распространения волны и находятся в фазе друг с другом. Синусоидальная плоская волна один специальное решение этих уравнений. Уравнения Максвелла объясняют, как эти волны могут физически распространяться в пространстве. Изменяющееся магнитное поле создает изменяющееся электрическое поле в соответствии с законом Фарадея. В свою очередь, это электрическое поле создает изменяющееся магнитное поле через дополнение Максвелла к закону Ампера. Этот вечный цикл позволяет этим волнам, теперь известным как электромагнитное излучение, перемещаться в пространстве со скоростью c.

Макроскопическая формулировка

Вышеупомянутые уравнения являются микроскопической версией уравнений Максвелла, выражающих электрическое и магнитное поля в терминах имеющихся зарядов и токов (возможно, на атомном уровне). Иногда это называют «общей» формой, но макроскопическая версия, приведенная ниже, является столь же общей, разница лишь в бухгалтерском учете.

Микроскопическую версию иногда называют «уравнениями Максвелла в вакууме»: это относится к тому факту, что материальная среда не встроена в структуру уравнений, а проявляется только в терминах заряда и тока. Микроскопическая версия была введена Лоренцем, который попытался использовать ее, чтобы вывести макроскопические свойства объемного вещества из его микроскопических составляющих.

«Макроскопические уравнения Максвелла», также известные как уравнения Максвелла в материи, больше похожи на те, которые Максвелл представил сам.

Имя Интегральные уравнения (соглашение СИ) Дифференциальные уравнения (соглашение СИ) Дифференциальные уравнения (соглашение Гаусса)
Закон Гаусса \ oiint Ω {\ Displaystyle {\ scriptstyle \ partial \ Omega}} D d S знак равно Ω ρ ж d V {\ Displaystyle \ mathbf {D} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S} = \ iiint _ {\ Omega} \ rho _ {\ text {f}} \, \ mathrm {d} V} D знак равно ρ ж {\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {D} = \ rho _ {\ text {f}}} D знак равно 4 π ρ ж {\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {D} = 4 \ pi \ rho _ {\ text {f}}}
Закон Гаусса для магнетизма \ oiint Ω {\ Displaystyle {\ scriptstyle \ partial \ Omega}} B d S знак равно 0 {\ Displaystyle \ mathbf {B} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S} = 0} B знак равно 0 {\ Displaystyle \ набла \ cdot \ mathbf {B} = 0} B знак равно 0 {\ Displaystyle \ набла \ cdot \ mathbf {B} = 0}
Уравнение Максвелла – Фарадея (закон индукции Фарадея) Σ E d знак равно - d d т Σ B d S {\ displaystyle \ oint _ {\ partial \ Sigma} \ mathbf {E} \ cdot \ mathrm {d} {\ boldsymbol {\ ell}} = - {\ frac {d} {dt}} \ iint _ {\ Sigma } \ mathbf {B} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S}} × E знак равно - B т {\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {E} = - {\ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t}}} × E знак равно - 1 c B т {\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {E} = - {\ frac {1} {c}} {\ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t}}}
Закон Ампера (с добавлением Максвелла) Σ ЧАС d знак равно Σ J ж d S + d d т Σ D d S {\ displaystyle {\ begin {align} \ oint _ {\ partial \ Sigma} amp; \ mathbf {H} \ cdot \ mathrm {d} {\ boldsymbol {\ ell}} = \\ amp; \ iint _ {\ Sigma} \ mathbf {J} _ {\ text {f}} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S} + {\ frac {d} {dt}} \ iint _ {\ Sigma} \ mathbf {D} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S} \\\ конец {выровненный}}} × ЧАС знак равно J ж + D т {\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {H} = \ mathbf {J} _ {\ text {f}} + {\ frac {\ partial \ mathbf {D}} {\ partial t}}} × ЧАС знак равно 1 c ( 4 π J ж + D т ) {\ displaystyle \ nabla \ times \ mathbf {H} = {\ frac {1} {c}} \ left (4 \ pi \ mathbf {J} _ {\ text {f}} + {\ frac {\ partial \ mathbf {D}} {\ partial t}} \ right)}

В макроскопических уравнениях влияние связанного заряда Q b и связанного тока I b включается в поле смещения D и намагничивающее поле H, в то время как уравнения зависят только от свободных зарядов Q f и свободных токов I f. Это отражает разделение полного электрического заряда Q и тока I (и их плотностей ρ и J) на свободную и связанную части:

Q знак равно Q ж + Q б знак равно Ω ( ρ ж + ρ б ) d V знак равно Ω ρ d V я знак равно я ж + я б знак равно Σ ( J ж + J б ) d S знак равно Σ J d S {\ displaystyle {\ begin {align} Q amp; = Q _ {\ text {f}} + Q _ {\ text {b}} = \ iiint _ {\ Omega} \ left (\ rho _ {\ text {f}} + \ rho _ {\ text {b}} \ right) \, \ mathrm {d} V = \ iiint _ {\ Omega} \ rho \, \ mathrm {d} V \\ I amp; = I _ {\ text {f} } + I _ {\ text {b}} = \ iint _ {\ Sigma} \ left (\ mathbf {J} _ {\ text {f}} + \ mathbf {J} _ {\ text {b}} \ right) \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S} = \ iint _ {\ Sigma} \ mathbf {J} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S} \ end {align}}}

Цена этого расщепления состоит в том, что дополнительные поля D и H должны быть определены с помощью феноменологических составляющих уравнений, связывающих эти поля с электрическим полем E и магнитным полем B вместе со связанным зарядом и током.

См. Ниже подробное описание различий между микроскопическими уравнениями, относящимися к общему заряду и току, включая материальные вклады, полезные в воздухе / вакууме; и макроскопические уравнения, относящиеся к свободному заряду и току, которые можно использовать в материалах.

Связанный заряд и ток

Основные статьи: плотность тока, связанный заряд и связанный ток Слева: схематический вид того, как сборка микроскопических диполей производит противоположные поверхностные заряды, как показано вверху и внизу. Справа: как совокупность микроскопических токовых петель складывается, чтобы создать макроскопически циркулирующую токовую петлю. Внутри границ отдельные взносы имеют тенденцию отменяться, но на границах отмены не происходит.

Когда к диэлектрическому материалу прикладывается электрическое поле, его молекулы реагируют, образуя микроскопические электрические диполи - их атомные ядра перемещаются на небольшое расстояние в направлении поля, а их электроны перемещаются на небольшое расстояние в противоположном направлении. Это создает макроскопический связанный заряд в материале, даже если все задействованные заряды связаны с отдельными молекулами. Например, если каждая молекула реагирует одинаково, как показано на рисунке, эти крошечные движения заряда объединяются, образуя слой положительного связанного заряда на одной стороне материала и слой отрицательного заряда на другой стороне. Связанный заряд удобнее всего описывать в терминах поляризации P материала, его дипольного момента на единицу объема. Если P однороден, макроскопическое разделение заряда производится только на поверхностях, где P входит и выходит из материала. Для неоднородного P заряд также производится в объеме.

Примерно так же во всех материалах составляющие атомы обладают магнитными моментами, которые неразрывно связаны с угловым моментом компонентов атомов, в первую очередь их электронов. Соединение с угловым моментом предлагает картину сборки микроскопических токовых петель. Вне материала совокупность таких микроскопических токовых петель не отличается от макроскопического тока, циркулирующего вокруг поверхности материала, несмотря на то, что ни один отдельный заряд не перемещается на большое расстояние. Эти связанные токи могут быть описаны с использованием намагниченности М.

Поэтому очень сложные и гранулированные связанные заряды и связанные токи могут быть представлены в макроскопическом масштабе в терминах P и M, которые усредняют эти заряды и токи в достаточно большом масштабе, чтобы не видеть гранулярность отдельных атомов, а также достаточно малы, чтобы варьироваться в зависимости от местоположения в материале. Таким образом, макроскопические уравнения Максвелла игнорируют многие детали в мелком масштабе, которые могут быть не важны для понимания вопросов в крупном масштабе, путем вычисления полей, усредненных по некоторому подходящему объему.

Вспомогательные поля, поляризация и намагниченность

В определении вспомогательных полей являются:

D ( р , т ) знак равно ε 0 E ( р , т ) + п ( р , т ) ЧАС ( р , т ) знак равно 1 μ 0 B ( р , т ) - M ( р , т ) {\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {D} (\ mathbf {r}, t) amp; = \ varepsilon _ {0} \ mathbf {E} (\ mathbf {r}, t) + \ mathbf {P } (\ mathbf {r}, t) \\\ mathbf {H} (\ mathbf {r}, t) amp; = {\ frac {1} {\ mu _ {0}}} \ mathbf {B} (\ mathbf {r}, t) - \ mathbf {M} (\ mathbf {r}, t) \ end {выровнено}}}

где P - поле поляризации, а M - поле намагниченности, которые определяются в терминах микроскопических связанных зарядов и связанных токов соответственно. Макроскопическая плотность связанного заряда ρ b и плотность связанного тока J b в терминах поляризации P и намагниченности M определяются как

ρ б знак равно - п J б знак равно × M + п т {\ displaystyle {\ begin {align} \ rho _ {\ text {b}} amp; = - \ nabla \ cdot \ mathbf {P} \\\ mathbf {J} _ {\ text {b}} amp; = \ nabla \ times \ mathbf {M} + {\ frac {\ partial \ mathbf {P}} {\ partial t}} \ end {выровнено}}}

Если мы определим полный, связанный и свободный заряд и плотность тока как

ρ знак равно ρ б + ρ ж , J знак равно J б + J ж , {\ displaystyle {\ begin {align} \ rho amp; = \ rho _ {\ text {b}} + \ rho _ {\ text {f}}, \\\ mathbf {J} amp; = \ mathbf {J} _ {\ text {b}} + \ mathbf {J} _ {\ text {f}}, \ end {align}}}

и используя указанные выше определяющие соотношения, чтобы исключить D и H, «макроскопические» уравнения Максвелла воспроизводят «микроскопические» уравнения.

Учредительные отношения

Основная статья: Материальное уравнение § Электромагнетизм

Для того, чтобы применить «макроскопические уравнения Максвелла», необходимо указать отношения смещения поля D и электрического поля Е, а также намагничивающего поля H и магнитного поля B. Эквивалентно, мы должны указать зависимость поляризации P (следовательно, связанного заряда) и намагниченности M (следовательно, связанного тока) от приложенного электрического и магнитного поля. Уравнения, определяющие этот отклик, называются определяющими соотношениями. Для реальных материалов определяющие соотношения редко бывают простыми, за исключением приблизительно, и обычно определяются экспериментально. См. Основную статью о материальных отношениях для более полного описания.

Для материалов без поляризации и намагниченности определяющие соотношения (по определению)

D знак равно ε 0 E , ЧАС знак равно 1 μ 0 B {\ displaystyle \ mathbf {D} = \ varepsilon _ {0} \ mathbf {E}, \ quad \ mathbf {H} = {\ frac {1} {\ mu _ {0}}} \ mathbf {B}}

где ε 0 - диэлектрическая проницаемость свободного пространства, а μ 0 - проницаемость свободного пространства. Поскольку связанного заряда нет, общая сумма, а также бесплатный заряд и ток равны.

Альтернативная точка зрения на микроскопические уравнения состоит в том, что они являются макроскопическими уравнениями вместе с утверждением, что вакуум ведет себя как идеальный линейный «материал» без дополнительной поляризации и намагничивания. В более общем смысле, для линейных материалов определяющие соотношения следующие:

D знак равно ε E , ЧАС знак равно 1 μ B {\ Displaystyle \ mathbf {D} = \ varepsilon \ mathbf {E} \,, \ quad \ mathbf {H} = {\ frac {1} {\ mu}} \ mathbf {B}}

где ε - диэлектрическая проницаемость, а μ - проницаемость материала. Для поля смещения D линейное приближение обычно превосходно, потому что для всех, кроме самых экстремальных электрических полей или температур, доступных в лаборатории (мощные импульсные лазеры), межатомные электрические поля материалов порядка 10 11 В / м намного выше. чем внешнее поле. Однако для намагничивающего поля линейное приближение может нарушиться в обычных материалах, таких как железо, что приведет к таким явлениям, как гистерезис. Однако даже линейный случай может иметь различные сложности. ЧАС {\ displaystyle \ mathbf {H}}

  • Для однородных материалов ε и μ постоянны по всему материалу, в то время как для неоднородных материалов они зависят от местоположения в материале (и, возможно, времени).
  • Для изотропных материалов ε и μ являются скалярами, а для анизотропных материалов (например, из-за кристаллической структуры) они являются тензорами.
  • Материалы обычно диспергирующие, поэтому ε и μ зависят от частоты любых падающих электромагнитных волн.

Даже в более общем случае, в случае нелинейных материалов (смотрите, например, нелинейную оптику ), Д и Р не обязательно пропорциональны Е, аналогично Н или М, не обязательно пропорциональна B. В общем, D и H зависят как от E, так и от B, от места и времени и, возможно, от других физических величин.

В приложениях также необходимо описать, как свободные токи и плотность заряда ведут себя в терминах E и B, возможно, связанных с другими физическими величинами, такими как давление, а также масса, числовая плотность и скорость частиц, несущих заряд. Например, исходные уравнения, данные Максвеллом (см. Историю уравнений Максвелла ), включали закон Ома в форме

J ж знак равно σ E . {\ displaystyle \ mathbf {J} _ {\ text {f}} = \ sigma \ mathbf {E} \,.}

Альтернативные составы

Для обзора см. Математические описания электромагнитного поля. Об уравнениях в квантовой теории поля см. Квантовая электродинамика.

Ниже приводится краткое изложение некоторых из множества других математических формализмов для написания микроскопических уравнений Максвелла со столбцами, отделяющими два однородных уравнения Максвелла от двух неоднородных, включающих заряд и ток. Каждый препарат имеет версии непосредственно с точки зрения электрических и магнитных полей, а также косвенным образом с точки зрения электрических потенциалов ф и векторного потенциала А. Потенциалы были введены как удобный способ решения однородных уравнений, но считалось, что вся наблюдаемая физика содержится в электрическом и магнитном полях (или релятивистски тензоре Фарадея). Однако потенциалы играют центральную роль в квантовой механике и действуют квантово-механически с наблюдаемыми последствиями, даже когда электрическое и магнитное поля исчезают ( эффект Ааронова – Бома ).

Каждая таблица описывает один формализм. См. Основную статью для получения подробной информации о каждой формулировке. Повсюду используются единицы СИ.

Векторное исчисление
Формулировка Однородные уравнения Неоднородные уравнения
Поля

3D евклидово пространство + время

B знак равно 0 {\ Displaystyle {\ begin {выровнено} \ набла \ cdot \ mathbf {B} = 0 \ end {выровнено}}}

× E + B т знак равно 0 {\ Displaystyle {\ begin {выровнено} \ набла \ раз \ mathbf {E} + {\ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t}} = 0 \ end {выровнено}}}

E знак равно ρ ε 0 {\ displaystyle {\ begin {align} \ nabla \ cdot \ mathbf {E} amp; = {\ frac {\ rho} {\ varepsilon _ {0}}} \ end {align}}}

× B - 1 c 2 E т знак равно μ 0 J {\ displaystyle {\ begin {align} \ nabla \ times \ mathbf {B} - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial \ mathbf {E}} {\ partial t} } amp; = \ mu _ {0} \ mathbf {J} \ end {align}}}

Потенциалы (любого калибра )

3D евклидово пространство + время

B знак равно × А {\ Displaystyle {\ begin {выровнено} \ mathbf {B} amp; = \ mathbf {\ nabla} \ times \ mathbf {A} \ end {выровнено}}}

E знак равно - φ - А т {\ displaystyle {\ begin {выровнено} \ mathbf {E} amp; = - \ mathbf {\ nabla} \ varphi - {\ frac {\ partial \ mathbf {A}} {\ partial t}} \ end {выровнено}} }

- 2 φ - т ( А ) знак равно ρ ε 0 {\ displaystyle {\ begin {align} - \ nabla ^ {2} \ varphi - {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ left (\ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {A} \ right) amp; = {\ frac {\ rho} {\ varepsilon _ {0}}} \ end {align}}}

( - 2 + 1 c 2 2 т 2 ) А + ( А + 1 c 2 φ т ) знак равно μ 0 J {\ displaystyle {\ begin {align} \ left (- \ nabla ^ {2} + {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial t ^ {2}}} \ right) \ mathbf {A} + \ mathbf {\ nabla} \ left (\ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {A} + {\ frac {1} {c ^ {2}} } {\ frac {\ partial \ varphi} {\ partial t}} \ right) amp; = \ mu _ {0} \ mathbf {J} \ end {align}}}

Потенциалы ( калибровка Лоренца )

3D евклидово пространство + время

B знак равно × А {\ Displaystyle {\ begin {выровнено} \ mathbf {B} amp; = \ mathbf {\ nabla} \ times \ mathbf {A} \\\ конец {выровнено}}}

E знак равно - φ - А т {\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {E} amp; = - \ mathbf {\ nabla} \ varphi - {\ frac {\ partial \ mathbf {A}} {\ partial t}} \\\ конец {выровнен }}}

А знак равно - 1 c 2 φ т {\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {\ nabla} \ cdot \ mathbf {A} amp; = - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial \ varphi} {\ частичный t}} \\\ конец {выровненный}}}

( - 2 + 1 c 2 2 т 2 ) φ знак равно ρ ε 0 {\ displaystyle {\ begin {align} \ left (- \ nabla ^ {2} + {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial t ^ {2}}} \ right) \ varphi amp; = {\ frac {\ rho} {\ varepsilon _ {0}}} \ end {align}}}

( - 2 + 1 c 2 2 т 2 ) А знак равно μ 0 J {\ displaystyle {\ begin {align} \ left (- \ nabla ^ {2} + {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial t ^ {2}}} \ right) \ mathbf {A} amp; = \ mu _ {0} \ mathbf {J} \ end {align}}}

Тензорное исчисление
Формулировка Однородные уравнения Неоднородные уравнения
Поля

пространство + время

пространственная метрика, не зависящая от времени

[ я B j k ] знак равно [ я B j k ] знак равно 0 [ я E j ] + B я j т знак равно [ я E j ] + B я j т знак равно 0 {\ displaystyle {\ begin {align} \ partial _ {[i} B_ {jk]} amp; = \\\ nabla _ {[i} B_ {jk]} amp; = 0 \\\ partial _ {[i} E_ {j]} + {\ frac {\ partial B_ {ij}} {\ partial t}} amp; = \\\ nabla _ {[i} E_ {j]} + {\ frac {\ partial B_ {ij}} {\ partial t}} amp; = 0 \ end {выровнено}}} 1 час я час E я знак равно я E я знак равно ρ ε 0 - 1 час я час B я j - 1 c 2 т E j знак равно - я B я j - 1 c 2 E j т знак равно μ 0 J j {\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {1} {\ sqrt {h}}} \ partial _ {i} {\ sqrt {h}} E ^ {i} amp; = \\\ nabla _ {i } E ^ {i} amp; = {\ frac {\ rho} {\ varepsilon _ {0}}} \\ - {\ frac {1} {\ sqrt {h}}} \ partial _ {i} {\ sqrt {h}} B ^ {ij} - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial} {\ partial t}} E ^ {j} amp; = amp; \\ - \ nabla _ {i} B ^ {ij} - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial E ^ {j}} {\ partial t}} amp; = \ mu _ {0} J ^ {j} \\\ конец {выровнено}}}
Возможности

пространство (с топологическими ограничениями) + время

пространственная метрика, не зависящая от времени

B я j знак равно [ я А j ] знак равно [ я А j ] {\ displaystyle {\ begin {align} B_ {ij} amp; = \ partial _ {[i} A_ {j]} \\ amp; = \ nabla _ {[i} A_ {j]} \ end {align}}}

E я знак равно - А я т - я φ знак равно - А я т - я φ {\ displaystyle {\ begin {align} E_ {i} amp; = - {\ frac {\ partial A_ {i}} {\ partial t}} - \ partial _ {i} \ varphi \\ amp; = - {\ frac {\ partial A_ {i}} {\ partial t}} - \ nabla _ {i} \ varphi \\\ конец {выровнено}}}

- 1 час я час ( я φ + А я т ) знак равно - я я φ - т я А я знак равно ρ ε 0 - 1 час я ( час час я м час j п [ м А п ] ) + 1 c 2 т ( А j т + j φ ) знак равно - я я А j + 1 c 2 2 А j т 2 + р я j А я + j ( я А я + 1 c 2 φ т ) знак равно μ 0 J j {\ displaystyle {\ begin {align} - {\ frac {1} {\ sqrt {h}}} \ partial _ {i} {\ sqrt {h}} \ left (\ partial ^ {i} \ varphi + { \ frac {\ partial A ^ {i}} {\ partial t}} \ right) amp; = \\ - \ nabla _ {i} \ nabla ^ {i} \ varphi - {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ nabla _ {i} A ^ {i} amp; = {\ frac {\ rho} {\ varepsilon _ {0}}} \\ - {\ frac {1} {\ sqrt {h}}} \ частичный _ {i} \ left ({\ sqrt {h}} h ^ {im} h ^ {jn} \ partial _ {[m} A_ {n]} \ right) + {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ left ({\ frac {\ partial A ^ {j}} {\ partial t}} + \ partial ^ {j} \ varphi \ right) amp; = \\ - \ nabla _ {i} \ nabla ^ {i} A ^ {j} + {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} A ^ {j}} {\ partial t ^ {2}}} + R_ {i} ^ {j} A ^ {i} + \ nabla ^ {j} \ left (\ nabla _ {i} A ^ {i} + {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial \ varphi} {\ partial t}} \ right) amp; = \ mu _ {0} J ^ {j} \\\ end { выровнено}}}
Потенциалы (калибровка Лоренца)

пространство (с топологическими ограничениями) + время

пространственная метрика, не зависящая от времени

B я j знак равно [ я А j ] знак равно [ я А j ] E я знак равно - А я т - я φ знак равно - А я т - я φ я А я знак равно - 1 c 2 φ т {\ displaystyle {\ begin {align} B_ {ij} amp; = \ partial _ {[i} A_ {j]} \\ amp; = \ nabla _ {[i} A_ {j]} \\ E_ {i} amp; = - {\ frac {\ partial A_ {i}} {\ partial t}} - \ partial _ {i} \ varphi \\ amp; = - {\ frac {\ partial A_ {i}} {\ partial t}} - \ nabla _ {i} \ varphi \\\ nabla _ {i} A ^ {i} amp; = - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial \ varphi} {\ частичный t}} \\\ конец {выровненный}}} - я я φ + 1 c 2 2 φ т 2 знак равно ρ ε 0 - я я А j + 1 c 2 2 А j т 2 + р я j А я знак равно μ 0 J j {\ displaystyle {\ begin {align} - \ nabla _ {i} \ nabla ^ {i} \ varphi + {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} \ varphi} {\ partial t ^ {2}}} amp; = {\ frac {\ rho} {\ varepsilon _ {0}}} \\ - \ nabla _ {i} \ nabla ^ {i} A ^ {j} + {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} A ^ {j}} {\ partial t ^ {2}}} + R_ {i} ^ {j} A ^ {i} amp; = \ mu _ {0} J ^ {j} \\\ конец {выровнено}}}
Дифференциальные формы
Формулировка Однородные уравнения Неоднородные уравнения
Поля

Любое пространство + время

d B знак равно 0 d E + B т знак равно 0 {\ displaystyle {\ begin {align} dB amp; = 0 \\ dE + {\ frac {\ partial B} {\ partial t}} amp; = 0 \\\ end {align}}} d E знак равно ρ ε 0 d B - 1 c 2 E т знак равно μ 0 J {\ displaystyle {\ begin {align} d {\ star} E = {\ frac {\ rho} {\ varepsilon _ {0}}} \\ d {\ star} B - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial {\ star} E} {\ partial t}} = {\ mu _ {0}} J \\\ конец {выровнено}}}
Потенциалы (любого калибра)

Любое пространство (с топологическими ограничениями) + время

B знак равно d А E знак равно - d φ - А т {\ displaystyle {\ begin {align} B amp; = dA \\ E amp; = - d \ varphi - {\ frac {\ partial A} {\ partial t}} \\\ конец {выровнено}}} - d ( d φ + А т ) знак равно ρ ε 0 d d А + 1 c 2 т ( d φ + А т ) знак равно μ 0 J {\ displaystyle {\ begin {align} -d {\ star} \! \ left (d \ varphi + {\ frac {\ partial A} {\ partial t}} \ right) amp; = {\ frac {\ rho} {\ varepsilon _ {0}}} \\ d {\ star} dA + {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial} {\ partial t}} {\ star} \! \ left (d \ varphi + {\ frac {\ partial A} {\ partial t}} \ right) amp; = \ mu _ {0} J \\\ конец {выровнено}}}
Потенциал (датчик Лоренца)

Любое пространство (с топологическими ограничениями) + время

пространственная метрика, не зависящая от времени

B знак равно d А E знак равно - d φ - А т d А знак равно - 1 c 2 φ т {\ displaystyle {\ begin {align} B amp; = dA \\ E amp; = - d \ varphi - {\ frac {\ partial A} {\ partial t}} \\ d {\ star} A amp; = - {\ star} { \ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial \ varphi} {\ partial t}} \\\ конец {выровнено}}} ( - Δ φ + 1 c 2 2 т 2 φ ) знак равно ρ ε 0 ( - Δ А + 1 c 2 2 А 2 т ) знак равно μ 0 J {\ displaystyle {\ begin {align} {\ star} \! \ left (- \ Delta \ varphi + {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2}} { \ partial t ^ {2}}} \ varphi \ right) amp; = {\ frac {\ rho} {\ varepsilon _ {0}}} \\ {\ star} \! \ left (- \ Delta A + {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} A} {\ partial ^ {2} t}} \ right) amp; = \ mu _ {0} J \\\ end { выровнено}}}

Релятивистские формулировки

Для уравнений в специальной теории относительности см. Классический электромагнетизм и специальную теорию относительности и Ковариантную формулировку классического электромагнетизма. Для уравнений в общей теории относительности см. Уравнения Максвелла в искривленном пространстве-времени.

Уравнения Максвелла также могут быть сформулированы в пространстве-времени Минковского, где пространство и время рассматриваются на равных основаниях. Прямые формулировки пространства-времени показывают, что уравнения Максвелла релятивистски инвариантны. Из-за этой симметрии электрическое и магнитное поля рассматриваются на равных и считаются компонентами тензора Фарадея. Это сокращает четыре уравнения Максвелла до двух, что упрощает уравнения, хотя мы больше не можем использовать знакомую векторную формулировку. Фактически, уравнения Максвелла в формулировке пространства + времени не являются инвариантными по Галилею и обладают лоренц-инвариантностью как скрытой симметрией. Это было основным источником вдохновения для развития теории относительности. В самом деле, даже формулировка, которая рассматривает пространство и время по отдельности, не является нерелятивистским приближением и описывает ту же физику, просто переименовывая переменные. По этой причине релятивистские инвариантные уравнения также обычно называют уравнениями Максвелла.

Каждая таблица описывает один формализм.

Тензорное исчисление
Формулировка Однородные уравнения Неоднородные уравнения
Поля

Пространство Минковского

[ α F β γ ] знак равно 0 {\ displaystyle \ partial _ {[\ alpha} F _ {\ beta \ gamma]} = 0} α F α β знак равно μ 0 J β {\ displaystyle \ partial _ {\ alpha} F ^ {\ alpha \ beta} = \ mu _ {0} J ^ {\ beta}}
Потенциалы (любого калибра)

Пространство Минковского

F α β знак равно 2 [ α А β ] {\ displaystyle F _ {\ alpha \ beta} = 2 \ partial _ {[\ alpha} A _ {\ beta]}} 2 α [ α А β ] знак равно μ 0 J β {\ Displaystyle 2 \ partial _ {\ alpha} \ partial ^ {[\ alpha} A ^ {\ beta]} = \ mu _ {0} J ^ {\ beta}}
Потенциалы (калибровка Лоренца)

Пространство Минковского

F α β знак равно 2 [ α А β ] α А α знак равно 0 {\ displaystyle {\ begin {align} F _ {\ alpha \ beta} amp; = 2 \ partial _ {[\ alpha} A _ {\ beta]} \\\ partial _ {\ alpha} A ^ {\ alpha} amp; = 0 \ конец {выровнено}}} α α А β знак равно μ 0 J β {\ Displaystyle \ partial _ {\ alpha} \ partial ^ {\ alpha} A ^ {\ beta} = \ mu _ {0} J ^ {\ beta}}
Поля

Любое пространство-время

[ α F β γ ] знак равно [ α F β γ ] знак равно 0 {\ Displaystyle {\ begin {выровнено} \ partial _ {[\ alpha} F _ {\ beta \ gamma]} amp; = \\\ nabla _ {[\ alpha} F _ {\ beta \ gamma]} amp; = 0 \ end {выровнено}}} 1 - грамм α ( - грамм F α β ) знак равно α F α β знак равно μ 0 J β {\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {1} {\ sqrt {-g}}} \ partial _ {\ alpha} ({\ sqrt {-g}} F ^ {\ alpha \ beta}) amp; = \\\ nabla _ {\ alpha} F ^ {\ alpha \ beta} amp; = \ mu _ {0} J ^ {\ beta} \ end {align}}}
Потенциалы (любого калибра)

Любое пространство-время (с топологическими ограничениями)

F α β знак равно 2 [ α А β ] знак равно 2 [ α А β ] {\ Displaystyle {\ begin {align} F _ {\ alpha \ beta} amp; = 2 \ partial _ {[\ alpha} A _ {\ beta]} \\ amp; = 2 \ nabla _ {[\ alpha} A _ {\ beta ]} \ end {выровнен}}} 2 - грамм α ( - грамм грамм α μ грамм β ν [ μ А ν ] ) знак равно 2 α ( [ α А β ] ) знак равно μ 0 J β {\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {2} {\ sqrt {-g}}} \ partial _ {\ alpha} ({\ sqrt {-g}} g ^ {\ alpha \ mu} g ^ {\ beta \ nu} \ partial _ {[\ mu} A _ {\ nu]}) amp; = \\ 2 \ nabla _ {\ alpha} (\ nabla ^ {[\ alpha} A ^ {\ beta]}) amp; = \ mu _ {0} J ^ {\ beta} \ end {align}}}
Потенциалы (калибровка Лоренца)

Любое пространство-время (с топологическими ограничениями)

F α β знак равно 2 [ α А β ] знак равно 2 [ α А β ] α А α знак равно 0 {\ Displaystyle {\ begin {align} F _ {\ alpha \ beta} amp; = 2 \ partial _ {[\ alpha} A _ {\ beta]} \\ amp; = 2 \ nabla _ {[\ alpha} A _ {\ beta ]} \\\ nabla _ {\ alpha} A ^ {\ alpha} amp; = 0 \ end {выровнено}}} α α А β - р β α А α знак равно μ 0 J β {\ displaystyle \ nabla _ {\ alpha} \ nabla ^ {\ alpha} A ^ {\ beta} -R ^ {\ beta} {} _ {\ alpha} A ^ {\ alpha} = \ mu _ {0} J ^ {\ beta}}
Дифференциальные формы
Формулировка Однородные уравнения Неоднородные уравнения
Поля

Любое пространство-время

d F знак равно 0 {\ Displaystyle \ mathrm {d} F = 0} d F знак равно μ 0 J {\ displaystyle \ mathrm {d} {\ star} F = \ mu _ {0} J}
Потенциалы (любого калибра)

Любое пространство-время (с топологическими ограничениями)

F знак равно d А {\ Displaystyle F = \ mathrm {d} A} d d А знак равно μ 0 J {\ displaystyle \ mathrm {d} {\ star} \ mathrm {d} A = \ mu _ {0} J}
Потенциалы (калибровка Лоренца)

Любое пространство-время (с топологическими ограничениями)

F знак равно d А d А знак равно 0 {\ displaystyle {\ begin {align} F amp; = \ mathrm {d} A \\\ mathrm {d} {\ star} A amp; = 0 \ end {align}}} А знак равно μ 0 J {\ displaystyle {\ star} \ Box A = \ mu _ {0} J}
  • В формулировке тензорного исчисления электромагнитный тензор F αβ представляет собой антисимметричный ковариантный тензор 2-го порядка; четыре-потенциал, α, является ковариантным вектором; ток J α - вектор; квадратные скобки [] обозначают антисимметризацию индексов ; ∂ α - производная по координате x α. В пространстве Минковского координаты выбираются относительно инерциальной системы отсчета ; ( x α) = ( ct, x, y, z), так что метрический тензор, используемый для повышения и понижения индексов, равен η αβ = diag (1, −1, −1, −1). Оператор Даламбера в пространстве Минковского равен ◻ = ∂ α ∂ α, как в векторной формулировке. В общем пространстве-времени система координат x α произвольна, ковариантная производная ∇ α, тензор Риччи, R αβ, а также повышение и понижение индексов определяются лоренцевой метрикой g αβ, а оператор Даламбера определяется как ◻ = ∇ α ∇ α. Топологическое ограничение состоит в том, что вторая вещественная группа когомологий пространства обращается в нуль (см. Пояснение в формулировке дифференциальной формы). Это нарушается для пространства Минковского с удаленной линией, которая может моделировать (плоское) пространство-время с точечным монополем на дополнении линии.
  • В формулировке дифференциальной формы на произвольном пространстве-времени F = 1/2F αβ д х amp; alpha ; ∧ д х β является электромагнитный тензор рассматривается как 2-формы, = amp; alpha ; d х amp; alpha ; потенциал 1-форма,является текущим 3-форма, д есть внешняя производная, иявляется Звезда Ходжа на формах, определяемых (с точностью до ее ориентации, т. Е. Ее знака) лоренцевой метрикой пространства-времени. В частном случае 2-форм, таких как F, звезда Ходжазависит от метрического тензора только для своего локального масштаба. Это означает, что в соответствии с формулировкой уравнения поля дифференциальной формы конформно инвариантны, но калибровочное условие Лоренца нарушает конформную инвариантность. Операторявляетсяоператором Даламбера – Лапласа – Бельтрами на 1-формах в произвольном лоренцевом пространстве-времени. Топологическое условие снова состоит в том, что вторая вещественная группа когомологий «тривиальна» (что означает, что ее форма следует из определения). В силу изоморфизма со вторыми когомологиями де Рама это условие означает, что каждая замкнутая 2-форма точна. J знак равно - J α d Икс α {\ Displaystyle J = -J _ {\ alpha} {\ star} \ mathrm {d} x ^ {\ alpha}} {\ displaystyle {\ star}} {\ displaystyle {\ star}} знак равно ( - d d - d d ) {\ displaystyle \ Box = (- {\ звезда} \ mathrm {d} {\ star} \ mathrm {d} - \ mathrm {d} {\ star} \ mathrm {d} {\ star})}

Другие формализмы включают формулировку геометрической алгебры и матричное представление уравнений Максвелла. Исторически использовалась кватернионная формула.

Решения

Уравнения Максвелла - это уравнения в частных производных, которые связывают электрическое и магнитное поля друг с другом, а также с электрическими зарядами и токами. Часто заряды и токи сами зависят от электрического и магнитного полей через уравнение силы Лоренца и определяющие соотношения. Все они образуют набор связанных дифференциальных уравнений в частных производных, которые часто очень трудно решить: решения охватывают все разнообразные явления классического электромагнетизма. Далее следуют некоторые общие замечания.

Как и для любого дифференциального уравнения, для единственного решения необходимы граничные и начальные условия. Например, даже при отсутствии зарядов и токов где-либо в пространстве-времени есть очевидные решения, для которых E и B равны нулю или постоянны, но есть также нетривиальные решения, соответствующие электромагнитным волнам. В некоторых случаях уравнения Максвелла решаются во всем пространстве, а граничные условия задаются как асимптотические пределы на бесконечности. В других случаях уравнения Максвелла решаются в конечной области пространства с соответствующими условиями на границе этой области, например, искусственная поглощающая граница, представляющая остальную вселенную, или периодические граничные условия, или стены, изолирующие небольшую область. из внешнего мира (как с волноводом или объемным резонатором ).

Уравнения Ефименко (или тесно связанные потенциалы Льенара – Вихерта ) являются явным решением уравнений Максвелла для электрического и магнитного полей, создаваемых любым заданным распределением зарядов и токов. Он предполагает определенные начальные условия для получения так называемого «запаздывающего решения», в котором присутствуют только поля, создаваемые зарядами. Однако уравнения Ефименко бесполезны в ситуациях, когда сами заряды и токи зависят от полей, которые они создают.

Численные методы для дифференциальных уравнений могут использоваться для вычисления приближенных решений уравнений Максвелла, когда точные решения невозможны. Они включают в себя метод конечных элементов и метод конечных разностей во временной области. Для получения дополнительной информации см. Вычислительный электромагнетизм.

Переопределение уравнений Максвелла

Уравнения Максвелла кажутся переопределенными, поскольку они включают шесть неизвестных (три компонента E и B), но восемь уравнений (по одному для каждого из двух законов Гаусса, по три компоненты вектора для законов Фарадея и Ампера). (Токи и заряды не являются неизвестными, их можно свободно указать при условии сохранения заряда. ) Это связано с определенным ограниченным видом избыточности в уравнениях Максвелла: можно доказать, что любая система, удовлетворяющая закону Фарадея и закону Ампера, автоматически также удовлетворяет двум условиям. Законы Гаусса, пока это условие выполняется в исходном состоянии системы, и предполагающие сохранение заряда и отсутствие магнитных монополей. Это объяснение было впервые представлено Джулиусом Адамсом Страттоном в 1941 году.

Хотя можно просто игнорировать два закона Гаусса в численном алгоритме (помимо начальных условий), несовершенная точность вычислений может привести к постоянно растущим нарушениям этих законов. Если ввести фиктивные переменные, характеризующие эти нарушения, четыре уравнения в конце концов не станут переопределенными. Полученная формулировка может привести к более точным алгоритмам, учитывающим все четыре закона.

Оба тождества, сводящие восемь уравнений к шести независимым, являются истинной причиной сверхдетерминированности. Или можно сослаться на определения линейной зависимости для PDE. × B 0 , × E 0 {\ Displaystyle \ набла \ cdot \ набла \ раз \ mathbf {B} \ эквив 0, \ набла \ CDOT \ набла \ раз \ mathbf {E} \ эквив 0}

Точно так же переопределение можно рассматривать как подразумевающее сохранение электрического и магнитного заряда, поскольку они требуются в описанном выше выводе, но подразумеваются двумя законами Гаусса.

Для линейных алгебраических уравнений можно создать «хорошие» правила для переписывания уравнений и неизвестных. Уравнения могут быть линейно зависимыми. Но в дифференциальных уравнениях, и особенно в УЧП, нужны соответствующие граничные условия, которые не столь очевидным образом зависят от уравнений. Более того, если их переписать в терминах векторного и скалярного потенциала, то уравнения будут недоопределенными из-за фиксации калибровки.

Уравнения Максвелла как классический предел КЭД

Уравнения Максвелла и закон силы Лоренца (наряду с остальным классическим электромагнетизмом) чрезвычайно успешны в объяснении и предсказании множества явлений. Однако они не учитывают квантовые эффекты, поэтому область их применения ограничена. Уравнения Максвелла считаются классическим пределом квантовой электродинамики (КЭД).

Некоторые наблюдаемые электромагнитные явления несовместимы с уравнениями Максвелла. К ним относятся фотон-фотонное рассеяние и многие другие явления, связанные с фотонами или виртуальными фотонами, « неклассический свет » и квантовая запутанность электромагнитных полей (см. Квантовую оптику ). Например, квантовая криптография не может быть описана теорией Максвелла даже приблизительно. Приближенный характер уравнений Максвелла становится все более очевидным при переходе в режим чрезвычайно сильного поля (см. Лагранжиан Эйлера – Гейзенберга ) или на чрезвычайно малых расстояниях.

Наконец, уравнение Максвелла не может объяснить любое явление с участием отдельных фотонов, взаимодействующие с квантовой материей, такие как фотоэлектрический эффект, закон Планка, в закон Duane-Хант, и однофотон фотоприемники. Однако многие такие явления можно аппроксимировать, используя половинчатую теорию квантовой материи, связанную с классическим электромагнитным полем, либо в виде внешнего поля, либо с ожидаемым значением зарядового тока и плотности в правой части уравнений Максвелла.

Вариации

Популярные вариации уравнений Максвелла как классической теории электромагнитных полей относительно немногочисленны, поскольку стандартные уравнения замечательно выдержали испытание временем.

Магнитные монополи

Основная статья: Магнитный монополь

Уравнения Максвелла утверждают, что во Вселенной есть электрический заряд, но нет магнитного заряда (также называемого магнитными монополями ). Действительно, несмотря на обширные поиски, магнитный заряд никогда не наблюдался и может не существовать. Если бы они действительно существовали, необходимо было бы изменить и закон Гаусса для магнетизма, и закон Фарадея, и полученные в результате четыре уравнения были бы полностью симметричными по отношению к обмену электрическими и магнитными полями.

Смотрите также

Примечания

использованная литература

Дополнительную информацию можно найти в списке учебников по электромагнетизму.

Исторические публикации

Развитие до теории относительности:

дальнейшее чтение

  • Имаеда, К. (1995), «Бикватернионная формулировка уравнений Максвелла и их решений», в Ablamowicz, Rafał; Лунесто, Пертти (ред.), Алгебры Клиффорда и спинорные структуры, Springer, стр. 265–280, DOI : 10.1007 / 978-94-015-8422-7_16, ISBN   978-90-481-4525-6

внешние ссылки

  • СМИ, связанные с уравнениями Максвелла на Викискладе?

Современные методы лечения

Другой

Последняя правка сделана 2023-04-13 06:24:55
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте