Электромагнитный четырехпотенциальный

редактировать

Релятивистское векторное поле

Электромагнитное четырехпотенциальное является релятивистской векторной функцией, из которой может быть получено электромагнитное поле. Он объединяет как электрический скалярный потенциал, так и векторный магнитный потенциал в один четырехвекторный.

, измеренный в данной системе отсчета, и для данного датчика датчика первая составляющая электромагнитного четырехпотенциала обычно принимается как электрический скалярный потенциал, а другие три составляющие составляют магнитный векторный потенциал. Хотя как скалярный, так и векторный потенциал зависят от кадра, электромагнитный четырехпотенциал ковариант Лоренца.

. Как и другие потенциалы, множество различных электромагнитных четырехпотенциалов соответствуют одному и тому же электромагнитному полю в зависимости от выбора калибра.

В этой статье используется нотация тензорного индекса и метрика Минковского знаковое соглашение (+ - - -). См. Также ковариацию и контравариантность векторов и повышения и понижения индексов для получения более подробной информации об обозначениях. Формулы приведены в единицах СИ и единицах Гаусса-сг..

Содержание

1 Определение
2 В шкале Лоренца
3 Обсуждение
4 См. Также
5 Ссылки

Определение

четырехпотенциальный электромагнитный можно определить как:

единицы СИ	гауссовы единицы
$A α = (ϕ / с, A) {\ displaystyle A ^ {\ alpha} = \ left (\ phi / c, \ mathbf {A} \ right) \, \!}$ $A ^ {\ alpha} = \ left (\ phi / c, \ mathbf {A} \ right) \, \!$	$A α = (ϕ, A) {\ displaystyle A ^ {\ alpha} = (\ phi, \ mathbf {A})}$ $A ^ {\ alpha} = (\ phi, \ mathbf {A})$

, в котором ϕ - электрический потенциал, а A - магнитный потенциал. (векторный потенциал ). Единицы измерения A: V ·s ·m в СИ и Mx ·cm в гауссовых сгс.

. Электрические и магнитные поля, связанные с этими четырьмя потенциалами:

единицы СИ	гауссианы единицы
$E = - ∇ ϕ - ∂ A ∂ T {\ displaystyle \ mathbf {E} = - \ mathbf {\ nabla} \ phi - {\ frac {\ partial \ mathbf {A}} {\ partial t} }}$ $\ mathbf {E} = - \ mathbf {\ nabla} \ phi - {\ frac {\ partial \ mathbf {A}} {\ partial t}}$	$E = - ∇ ϕ - 1 c ∂ A ∂ t {\ displaystyle \ mathbf {E} = - \ mathbf {\ nabla} \ phi - {\ frac {1} {c}} {\ frac { \ partial \ mathbf {A}} {\ partial t}}}$ $\ mathbf {E} = - \ mathbf {\ nabla} \ phi - {\ frac {1} {c}} {\ frac {\ partial \ mathbf {A}} {\ partial t}}$
$B = ∇ × A {\ displaystyle \ mathbf {B} = \ mathbf {\ nabla} \ times \ mathbf {A}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {B} = \ mathbf {\ nabla} \ times \ mathbf {A}}$	$B = ∇ × A {\ displaystyle \ mathbf {B} = \ mathbf {\ nabla} \ times \ mathbf {A}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {B} = \ mathbf {\ nabla} \ times \ mathbf {A}}$

В специальной теории относительности электрические и магнитные поля преобразуются согласно Преобразования Лоренца. Это можно записать в виде тензора - тензора электромагнитного поля . Это записывается в терминах электромагнитного четырехпотенциала и четырех градиентов как:

F μ ν = ∂ μ A ν - ∂ ν A μ = [0 - E x / c - E y / c - E z / c E x / c 0 - B z B y E y / c B z 0 - B x E z / c - B y B x 0] {\ displaystyle F ^ {\ mu \ nu} = \ partial ^ {\ mu} A ^ {\ nu} - \ partial ^ {\ nu} A ^ {\ mu} = {\ begin {bmatrix} 0 -E_ {x} / c -E_ {y} / c -E_ {z} / c \\ E_ {x} / c 0 -B_ {z} B_ {y} \\ E_ {y} / c B_ {z} 0 -B_ {x} \\ E_ {z} / c - B_ {y} B_ {x} 0 \ end {bmatrix}}}

{\ displaystyle F ^ {\ mu \ nu} = \ partial ^ {\ mu} A ^ {\ nu} - \ partial ^ {\ nu} A ^ {\ mu} = {\ begin {bmatrix} 0 -E_ {x} / c -E_ {y} / c -E_ {z} / c \\ E_ {x} / c 0 -B_ {z} B_ {y} \\ E_ {y} / c B_ {z} 0 -B_ {x} \\ E_ {z} / c -B_ {y} B_ {x} 0 \ end {bmatrix}}}

Это по существу определяет четырехпотенциал в терминах физически наблюдаемых величин, а также сводится к приведенному выше определению.

В шкале Лоренца

Часто условие калибровки Лоренца $∂ α A α = 0 {\ displaystyle \ partial _ {\ alpha} A ^ { \ alpha} = 0}$ $\ partial _ {\ alpha} A ^ {\ alpha} = 0$ в инерциальной системе отсчета используется для упрощения уравнений Максвелла как:

единиц СИ	гауссовский единицы
$◻ A α = μ 0 J α {\ displaystyle \ Box A ^ {\ alpha} = \ mu _ {0} J ^ {\ alpha}}$ $\ Box A ^ {\ alpha} = \ mu _ {0} J ^ {\ alpha}$	$◻ A α = 4 π c J α { \ displaystyle \ Box A ^ {\ alpha} = {\ frac {4 \ pi} {c}} J ^ {\ alpha}}$ $\ Box A ^ {\ alpha} = {\ frac {4 \ pi} {c}} J ^ {\ alpha}$

, где J - компоненты четырехтокового, и

◻ знак равно 1 с 2 ∂ 2 ∂ T 2 - ∇ 2 {\ displaystyle \ Box = {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ частичный t ^ {2}}} - \ nabla ^ {2}}

\ Box = {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2 }} {\ partial t ^ {2}}} - \ nabla ^ {2}

- оператор Даламбертиана. В терминах скалярного и векторного потенциалов это последнее уравнение принимает следующий вид:

единиц СИ	единиц Гаусса
$◻ ϕ = ρ ϵ 0 {\ displaystyle \ Box \ phi = {\ frac {\ rho } {\ epsilon _ {0}}}}$ $\ Box \ phi = {\ frac {\ rho} {\ epsilon _ {0}}}$	$◻ ϕ = 4 π ρ {\ displaystyle \ Box \ phi = 4 \ pi \ rho}$ $\ Box \ phi = 4 \ pi \ rho$
$◻ A = μ 0 j {\ displaystyle \ Box \ mathbf {A} = \ mu _ {0} \ mathbf {j}}$ $\ Box {\ mathbf {A}} = \ mu _ {0} {\ mathbf {j}}$	$◻ A = 4 π cj {\ displaystyle \ Box \ mathbf {A} = {\ frac {4 \ pi} {c}} \ mathbf {j}}$ $\ Box \ mathbf {A} = {\ frac {4 \ pi} {c}} \ mathbf {j}$

Для данного распределения заряда и тока, ρ (r, t) и j(r, t), решения этих уравнений в единицах СИ следующие:

ϕ ( r, t) = 1 4 π ϵ 0 ∫ d 3 x ′ ρ (r ′, tr) | г - г '| {\ displaystyle \ phi (\ mathbf {r}, t) = {\ frac {1} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} \ int \ mathrm {d} ^ {3} x ^ {\ prime} {\ frac {\ rho (\ mathbf {r} ^ {\ prime}, t_ {r})} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} ^ {\ prime} \ right |}}}

\ phi (\ mathbf {r}, t) = {\ frac {1} {4 \ pi \ epsilon _ {0} }} \ int \ mathrm {d} ^ {3} x ^ {\ prime} {\ frac {\ rho (\ mathbf {r} ^ {\ prime}, t_ {r})} {\ left | \ mathbf { r} - \ mathbf {r} ^ {\ prime} \ right |}}

A (r, t) = μ 0 4 π ∫ d 3 x ′ j (r ′, tr) | г - г '|, {\ displaystyle \ mathbf {A} (\ mathbf {r}, t) = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ int \ mathrm {d} ^ {3} x ^ { \ prime} {\ frac {\ mathbf {j} (\ mathbf {r} ^ {\ prime}, t_ {r})} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} ^ {\ prime} \ right |}},}

\ mathbf {A} (\ mathbf {r}, t) = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ int \ mathrm {d} ^ {3} x ^ {\ prime} {\ frac {\ mathbf {j} (\ mathbf {r} ^ {\ prime}, t_ {r})} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} ^ {\ prime} \ right |}},

где

tr = t - | г - г '| c {\ displaystyle t_ {r} = t - {\ frac {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '\ right |} {c}}}

t_{r}=t-{\frac {\left|\mathbf {r} -\mathbf {r} '\right|}{c}}

- это запаздывающее время. Иногда это также выражается с помощью

ρ (r ', tr) = [ρ (r', t)], {\ displaystyle \ rho (\ mathbf {r} ', t_ {r}) = [\ rho ( \ mathbf {r} ', t)],}

\rho (\mathbf {r} ',t_{r})=[\rho (\mathbf {r} ',t)],

где квадратные скобки означают, что время следует оценивать в запаздывающем времени. Конечно, поскольку приведенные выше уравнения являются просто решением неоднородного дифференциального уравнения, любое решение однородного уравнения может быть добавлено к ним, чтобы удовлетворить граничным условиям. Эти однородные решения в общем случае представляют собой волны, распространяющиеся от источников за пределами границы.

Когда указанные выше интегралы вычисляются для типичных случаев, например колеблющегося тока (или заряда), они, как обнаружено, дают как составляющую магнитного поля, изменяющуюся согласно r (the), так и составляющую, уменьшающуюся как r (the).

Обсуждение

Когда уплощенный до одноразовой, A может быть разложен с помощью теоремы о разложении Ходжа как сумма точного, совпадающего, и гармоническая форма,

$A = d α + δ β + γ {\ displaystyle A = d \ alpha + \ delta \ beta + \ gamma}$ ${\ displaystyle A = d \ alpha + \ delta \ beta + \ gamma }$ .

В сочетании с определением электромагнитного тензора F = dA, это разложение показывает, что калибровочная свобода в A целиком содержится внутри dα и γ.

См. Также

Ссылки

Риндлер, Вольфганг (1991). Введение в специальную теорию относительности (2-е). Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN 0-19-853952-5.
Джексон, Дж. Д. (1999). Классическая электродинамика (3-е). Нью-Йорк: Вили. ISBN 0-471-30932-X.