Магнитный векторный потенциал

Статьи о
Электромагнетизм
Электричество Магнетизм История Учебники
Электростатика Электрический заряд Закон Кулона Дирижер Плотность заряда Разрешающая способность Электрический дипольный момент Электрическое поле Электрический потенциал Электрический поток  / потенциальная энергия Электростатический разряд Закон Гаусса Индукция Изолятор Плотность поляризации Статическое электричество Трибоэлектричество
Магнитостатика Закон Ампера Закон Био-Савара Закон Гаусса для магнетизма Магнитное поле Магнитный поток Магнитный дипольный момент Магнитная проницаемость Магнитный скалярный потенциал Намагничивание Магнитодвижущая сила Магнитный векторный потенциал Правило правой руки
Электродинамика Закон силы Лоренца Электромагнитная индукция Закон Фарадея Закон Ленца Ток смещения Уравнения Максвелла Электромагнитное поле Электромагнитный импульс Электромагнитное излучение Тензор Максвелла Вектор Пойнтинга Потенциал Льенара – Вихерта Уравнения Ефименко Вихревой ток Уравнения Лондона Математические описания электромагнитного поля.
Электрическая сеть Переменный ток Емкость Постоянный ток Электрический ток Электролиз Плотность тока Джоулевое нагревание Электродвижущая сила Импеданс Индуктивность Закон Ома Параллельная схема Сопротивление Резонансные полости Последовательная схема Напряжение Волноводы
Ковариантная формулировка Электромагнитный тензор ( тензор энергии-импульса ) Четырехтоковый Электромагнитный четырехпотенциальный
Ученые Ампер Биот Кулон Дэви Эйнштейн Фарадей Физо Гаусс Хевисайд Генри Герц Джоуль Ленц Лоренц Максвелл Ørsted Ом Ричи Savart Певица Тесла Вольта Вебер Пуассон
v т е

Магнитный векторный потенциал,, является величиной вектора в классическом электромагнетизме, определенной таким образом, что его ротор равен магнитное поле:. Вместе с электрическим потенциалом ф, магнитный векторный потенциал может быть использован для определения электрического поля Е, а также. Поэтому многие уравнения электромагнетизма можно записать либо в терминах полей Е и В, или что то же самое в терминах потенциалов ф и. В более продвинутых теориях, таких как квантовая механика, в большинстве уравнений используются потенциалы, а не поля. ${\ textstyle \ набла \ раз \ mathbf {A} = \ mathbf {B} \,}$

Векторный магнитный потенциал был впервые введен Францем Эрнстом Нойманом и Вильгельмом Эдуардом Вебером в 1845 и 1846 годах соответственно. Лорд Кельвин также ввел векторный потенциал в 1847 году вместе с формулой, связывающей его с магнитным полем.

• 1 Магнитный векторный потенциал
  • 1.1 Выбор калибра
  • 1.2 Уравнения Максвелла в терминах векторного потенциала
  • 1.3 Расчет потенциалов из распределений источников
  • 1.4 Изображение A-поля
  • 1.5 Электромагнитный четырехпотенциальный
• 2 См. Также
• 3 Примечания
• 4 ссылки
• 5 Внешние ссылки

Магнитный векторный потенциал A представляет собой векторное поле, определяемое вместе с электрическим потенциалом ϕ ( скалярным полем ) уравнениями:

${\ Displaystyle \ mathbf {B} = \ nabla \ times \ mathbf {A} \,, \ quad \ mathbf {E} = - \ nabla \ phi - {\ frac {\ partial \ mathbf {A}} {\ partial t}} \,,}$

где В представляет собой магнитное поле и Е представляет собой электрическое поле. В магнитостатике, где нет изменяющегося во времени распределения заряда, необходимо только первое уравнение. (В контексте электродинамики термины векторный потенциал и скалярный потенциал используются для обозначения векторного магнитного потенциала и электрического потенциала соответственно. В математике векторный потенциал и скалярный потенциал могут быть обобщены на более высокие измерения.)

Если электрическое и магнитное поля определяются, как указано выше, из потенциалов, они автоматически удовлетворяют двум уравнениям Максвелла : закону Гаусса для магнетизма и закону Фарадея. Например, если A непрерывен и хорошо определен везде, то гарантированно не будет магнитных монополей. (В математической теории магнитных монополей A может быть либо неопределенным, либо многозначным в некоторых местах; подробности см. В разделе «Магнитный монополь»).

Начиная с приведенных выше определений и помня, что завиток градиента равен нулю:

${\ Displaystyle {\ begin {align} \ nabla \ cdot \ mathbf {B} amp; = \ nabla \ cdot \ left (\ nabla \ times \ mathbf {A} \ right) = 0 \\\ nabla \ times \ mathbf { E} amp; = \ nabla \ times \ left (- \ nabla \ phi - {\ frac {\ partial \ mathbf {A}} {\ partial t}} \ right) = - {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ left (\ nabla \ times \ mathbf {A} \ right) = - {\ frac {\ partial \ mathbf {B}} {\ partial t}}. \ end {align}}}$

В качестве альтернативы существование A и ϕ гарантируется этими двумя законами с использованием теоремы Гельмгольца. Например, поскольку магнитное поле бездивергентное (закон Гаусса для магнетизма; т. Е. ∇ ⋅ B = 0), всегда существует A, удовлетворяющее приведенному выше определению.

Векторный потенциал A используется при изучении лагранжиана в классической механике и квантовой механике (см. Уравнение Шредингера для заряженных частиц, уравнение Дирака, эффект Ааронова – Бома ).

В системе СИ единицами измерения A являются В с м ^-1 и они такие же, как импульс на единицу заряда или сила на единицу тока. При минимальном взаимодействии q A называется потенциальным импульсом и является частью канонического импульса.

Линейный интеграл от А по замкнутой петле, Г, равно магнитного потока, Ф B, через поверхность, S, что он охватывает:

${\ Displaystyle \ oint _ {\ Gamma} \ mathbf {A} \, \ cdot \, d {\ mathbf {\ Gamma}} = \ iint _ {S} \ nabla \ times \ mathbf {A} \, \ cdot \, d \ mathbf {S} = \ Phi _ {\ mathbf {B}}.}$

Следовательно, единицы измерения A также эквивалентны Веберу на метр. Приведенный выше уравнение является полезным в потоке квантования из сверхпроводящих петель.

Хотя магнитное поле B является псевдовектором (также называемым аксиальным вектором ), векторный потенциал A является полярным вектором. Это означает, что если бы правило правой руки для перекрестных произведений было заменено правилом левой руки, но без изменения каких-либо других уравнений или определений, тогда B поменял бы знаки, но A не изменился бы. Это пример общей теоремы: ротор полярного вектора является псевдовектором, и наоборот.

Выбор калибра

Основная статья: Крепление манометра

Вышеупомянутое определение не определяет однозначно векторный магнитный потенциал, потому что, по определению, мы можем произвольно добавлять компоненты, не содержащие завихрений, к магнитному потенциалу без изменения наблюдаемого магнитного поля. Таким образом, при выборе A имеется определенная степень свободы. Это условие известно как калибровочная инвариантность.

Уравнения Максвелла в терминах векторного потенциала

Смотрите также: Возможная формулировка электромагнитного поля

Использование приведенного выше определения потенциалов и его применение к двум другим уравнениям Максвелла (те, которые не удовлетворяются автоматически) приводит к сложному дифференциальному уравнению, которое можно упростить с помощью калибровки Лоренца, где A выбирается так, чтобы удовлетворять:

${\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {A} + {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial t}} = 0}$

Используя калибровку Лоренца, уравнения Максвелла можно компактно записать в терминах магнитного векторного потенциала A и электрического скалярного потенциала ϕ:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ nabla ^ {2} \ phi - {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial ^ {2} \ phi} {\ partial t ^ {2}}} amp; = - {\ frac {\ rho} {\ epsilon _ {0}}} \\\ nabla ^ {2} \ mathbf {A} - {\ frac {1} {c ^ {2} }} {\ frac {\ partial ^ {2} \ mathbf {A}} {\ partial t ^ {2}}} amp; = - \ mu _ {0} \ mathbf {J} \ end {align}}}$

В других калибровках уравнения другие. Ниже показаны другие обозначения для записи тех же уравнений (с использованием четырех векторов ).

Расчет потенциалов из исходных распределений

Основная статья: Запаздывающий потенциал

Решения уравнений Максвелла в калибровке Лоренца (см. Фейнмана и Джексона) с граничным условием, что оба потенциала стремятся к нулю достаточно быстро по мере приближения к бесконечности, называются запаздывающими потенциалами, которые представляют собой магнитный векторный потенциал A ( r, t) и электрический скалярный потенциал ϕ ( r, t), обусловленный текущим распределением плотности тока J ( r ′, t ′), плотности заряда ρ ( r ′, t ′) и объема Ω, в котором ρ и J не являются ноль хоть иногда и местами):

${\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {A} \ left (\ mathbf {r}, t \ right) amp; = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ int _ { \ Omega} {\ frac {\ mathbf {J} \ left (\ mathbf {r} ', t' \ right)} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '\ right |}} \, \ mathrm {d} ^ {3} \ mathbf {r} '\\\ phi \ left (\ mathbf {r}, t \ right) amp; = {\ frac {1} {4 \ pi \ epsilon _ {0 }}} \ int _ {\ Omega} {\ frac {\ rho \ left (\ mathbf {r} ', t' \ right)} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '\ right |}} \, \ mathrm {d} ^ {3} \ mathbf {r} '\ конец {выровнено}}}$

где поля в векторе положения r и времени t вычисляются из источников в удаленной позиции r 'в более ранний момент времени t '. Местоположение r 'является точкой источника в распределении заряда или тока (также переменной интегрирования в объеме Ω). Более раннее время t 'называется запаздывающим и рассчитывается как

${\ displaystyle t '= t - {\ frac {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' \ right |} {c}}}$.

Есть несколько примечательных особенностей вычисленных таким образом A и ϕ:

• Lorenz Манометр условие : выполнено.${\ textstyle \ nabla \ cdot \ mathbf {A} + {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial t}} = 0}$
• Положение r, точки, в которой находятся значения ϕ и A, входит в уравнение только как часть скалярного расстояния от r 'до r. Направление от r 'к r не входит в уравнение. Единственное, что имеет значение в исходной точке, - это то, как далеко она находится.
• Подынтегральная использует замедленное время, т '. Это просто отражает тот факт, что изменения в источниках распространяются со скоростью света. Следовательно, плотность заряд и ток, влияющая на электрический и магнитный потенциал на г и т, из удаленного местоположения г 'также должен быть в каком - то предшествующее время T '.
• Уравнение для A является векторным уравнением. В декартовых координатах уравнение разделяется на три скалярных уравнения:

  ${\ displaystyle {\ begin {align} A_ {x} \ left (\ mathbf {r}, t \ right) amp; = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi}} \ int _ {\ Омега} {\ frac {J_ {x} \ left (\ mathbf {r} ', t' \ right)} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '\ right |}} \, \ mathrm {d} ^ {3} \ mathbf {r} '\\ A_ {y} \ left (\ mathbf {r}, t \ right) amp; = {\ frac {\ mu _ {0}} {4 \ pi }} \ int _ {\ Omega} {\ frac {J_ {y} \ left (\ mathbf {r} ', t' \ right)} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '\ right |}} \, \ mathrm {d} ^ {3} \ mathbf {r} '\\ A_ {z} \ left (\ mathbf {r}, t \ right) amp; = {\ frac {\ mu _ { 0}} {4 \ pi}} \ int _ {\ Omega} {\ frac {J_ {z} \ left (\ mathbf {r} ', t' \ right)} {\ left | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '\ right |}} \, \ mathrm {d} ^ {3} \ mathbf {r}' \ end {выравнивается}}}$

В этой форме легко видеть, что составляющая A в данном направлении зависит только от составляющих J, которые находятся в том же направлении. Если ток передается по длинному прямому проводу, А указывает в том же направлении, что и провод.

В других калибровках формула для A и ϕ другая; например, см. другую возможность в кулоновской калибровке.

Изображение А-поля

Представление полей магнитного векторного потенциала A кулоновского калибра, плотности магнитного потока B и плотности тока J вокруг тороидального индуктора круглого сечения. Более толстые линии обозначают силовые линии с более высокой средней интенсивностью. Кружки в поперечном сечении ядра представляют собой B- поле, выходящее из изображения, знаки плюс представляют B- поле, входящее в изображение. ∇ ⋅ = 0 предполагалось.

См. Изображение А- поля вокруг длинного тонкого соленоида у Фейнмана.

С

${\ Displaystyle \ набла \ раз \ mathbf {B} = \ mu _ {0} \ mathbf {J}}$

предполагая квазистатические условия, т. е.

${\ displaystyle {\ frac {\ partial E} {\ partial t}} \ rightarrow 0 \, \ quad \ nabla \ times \ mathbf {A} = \ mathbf {B} \,,}$

линии и контуры A относятся к B, как линии и контуры B относятся к j. Таким образом, изображение поля A вокруг контура потока B (как в тороидальном индукторе ) качественно такое же, как поле B вокруг контура тока.

На рисунке справа изображение художника из A поля. Более толстые линии обозначают пути с более высокой средней интенсивностью (более короткие пути имеют более высокую интенсивность, поэтому интеграл по путям остается таким же). Линии нарисованы (эстетически) для придания общего вида A- поля.

На чертеже неявно предполагается, что ∇ ⋅ A = 0, что верно при одном из следующих предположений:

• кулоновское датчик предполагается
• датчик Лоренца предполагается, и нет никакого распределения заряда, ρ = 0
• датчик Лоренц предполагается, и предполагается, что нулевой частоте
• датчик Лоренца предполагаются и ненулевой, но достаточно низкая частота пренебречь предполагаются${\ textstyle {\ frac {1} {c}} {\ frac {\ partial \ phi} {\ partial t}}}$

Электромагнитный четырехпотенциальный

Основная статья: Электромагнитный четырехпотенциальный

В контексте специальной теории относительности естественно объединить магнитный векторный потенциал вместе со (скалярным) электрическим потенциалом в электромагнитный потенциал, также называемый четырехпотенциалом.

Одним из мотивов для этого является то, что четырехвекторный потенциал является математическим четырехвектором. Таким образом, используя стандартные правила преобразования четырех векторов, если электрический и магнитный потенциалы известны в одной инерциальной системе отсчета, их можно просто вычислить в любой другой инерциальной системе отсчета.

Другая, связанная с этим мотивация заключается в том, что содержание классического электромагнетизма может быть записано в краткой и удобной форме с использованием электромагнитного четырехпотенциала, особенно когда используется датчик Лоренца. В частности, в абстрактных индексных обозначениях система уравнений Максвелла (в калибровке Лоренца) может быть записана (в гауссовых единицах ) следующим образом:

${\ displaystyle {\ begin {align} \ partial ^ {\ mu} A _ {\ mu} amp; = 0 \\\ Box A _ {\ mu} amp; = {\ frac {4 \ pi} {c}} J _ {\ му} \ конец {выровнено}}}$

где □ является даламбертиан и J представляет собой четыре тока. Первое уравнение является калибровочным условием Лоренца, а второе содержит уравнения Максвелла. Четырехпотенциал также играет очень важную роль в квантовой электродинамике.

• Магнитный скалярный потенциал
• Эффект Ааронова – Бома.
• Глюонное поле

• Даффин, WJ (1990). Электричество и магнетизм, четвертое издание. Макгроу-Хилл.

• Фейнман, Ричард П.; Лейтон, Роберт Б; Пески, Мэтью (1964). Лекции Фейнмана по физике Том 2. Эддисон-Уэсли. ISBN   0-201-02117-X.

• Джексон, Джон Дэвид (1999), Классическая электродинамика (3-е изд.), John Wiley amp; Sons, ISBN   0-471-30932-X

• Краус, Джон Д. (1984), Electromagnetics (3-е изд.), McGraw-Hill, ISBN   0-07-035423-5

• СМИ, связанные с векторным магнитным потенциалом на Викискладе?