Повышение и понижение индексов

В математике и математической физике, повышении и понижении индексов - это операции с тензорами , которые меняют свой тип. Повышение и понижение индексов - это форма манипуляции индексами в тензорных выражениях.

• 1 Тип тензора
• 2 Векторы (тензоры первого порядка)
  • 2.1 Пример из пространства-времени Минковского
• 3 Тензоры (более высокий порядок)
  • 3.1 Порядок 2
    • 3.1. 1 Пример из классического электромагнетизма и специальной теории относительности
  • 3.2 Порядок n
• 4 См. Также
• 5 Ссылки

Учитывая тензорное поле на многообразие M, при наличии невырожденной формы на M (такой как риманова метрика или метрика Минковского ), можно поднять или нижние индексы для изменения тензора типа (a, b) на тензор (a + 1, b - 1) (индекс повышения) или на тензор (a - 1, b + 1) (нижний индекс), где обозначение ( a, b) использовался для обозначения тензорного порядка a + b с верхним индексом и нижним индексом b.

Это делается путем умножения на ковариантный или контравариантный метрический тензор, а затем сужение индексов, то есть два индекса устанавливаются равными, а затем суммируются по повторяющимся индексам (с применением нотации Эйнштейна ). См. Примеры ниже.

Умножение на контравариантный метрический тензор g и сжатие дает другой тензор с верхним индексом:

$gij\; A\; j\; =\; B\; i,\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; ^\; \{ij\}\; A\_\; \{j\}\; =\; B\; ^\; \{i\}\; \backslash ,,\}$

Тот же самый базовый символ обычно используется для обозначения этого нового тензора, и изменение положения индекса обычно понимается в этом контексте как указание на этот новый тензор., и называется повышением индекса, что записывалось бы как

$gij\; A\; j\; =\; A\; i.\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; ^\; \{ij\}\; A\_\; \{j\}\; =\; A\; ^\; \{i\}\; \backslash ,.\}$

Аналогичным образом, умножение на ковариантный метрический тензор и сжатие понижают индекс (с тем же пониманием повторного использования базового символа):

$gij\; A\; j\; =\; A\; i.\; \{\backslash \; displaystyle\; g\_\; \{ij\}\; A\; ^\; \{j\}\; =\; A\_\; \{i\}\; \backslash ,.\}$

Форма g ij не обязательно должна быть невырожденной для понижения индекса, но для получения обратного (и таким образом поднимите индекс) он должен быть невырожденным.

Повышение и последующее понижение одного и того же индекса (или наоборот) являются обратными операциями, что отражается в том, что ковариантный и контравариантный метрические тензоры обратны друг другу:

$gijgjk\; =\; gkjgji\; =\; \delta \; ik\; =\; \delta \; ki\; \{\; \backslash \; displaystyle\; g\; ^\; \{ij\}\; g\_\; \{jk\}\; =\; g\_\; \{kj\}\; g\; ^\; \{ji\}\; =\; \{\backslash \; delta\; ^\; \{i\}\}\; \_\; \{k\}\; =\; \{\backslash \; delta\; \_\; \{k\}\}\; ^\; \{i\}\}$

где δ k - это дельта Кронекера или единичная матрица. Поскольку есть разные варианты выбора метрики с разными сигнатурами метрики (знаки вдоль диагональных элементов, т. Е. Компоненты тензора с одинаковыми индексами), имя и подпись обычно указываются во избежание путаницы. Разные авторы используют разные метрики и подписи по разным причинам.

Мнемонически (хотя и неверно) можно представить себе, что индексы «отменяют» между метрикой и другим тензором, а метрика шагает вверх или вниз по индексу. В приведенных выше примерах такие «отмены» и «шаги» выглядят как

$gij\; A\; j\; =\; gij\; A\; j\; =\; A\; i,\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; ^\; \{ij\}\; A\_\; \{j\}\; =\; \{\backslash \; cancel\; \{g\}\}\; ^\; \{i\; \{\backslash \; cancel\; \{j\}\}\}\; A\; \_\; \{\backslash \; cancel\; \{j\}\}\; =\; A\; ^\; \{i\}\; \backslash ,,\}$

Опять же, хотя это и полезно, это всего лишь мнемоника, а не свойство тензоров, поскольку индексы не сокращаются, как в уравнениях, это всего лишь концепция записи. Результаты продолжаются ниже для тензоров более высокого порядка (т.е. для большего числа индексов).

При повышении индексов величин в пространстве-времени это помогает разложить суммы на «времениподобные компоненты» (где индексы равны нулю) и «пространственноподобные компоненты» (где индексы равны 1, 2, 3, условно представленные латинскими буквами.).

Пример из пространство-время Минковского

Ковариант 4-позиция задается как

$X\; \mu \; =\; (-\; ct,\; x,\; y,\; z)\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; =\; (-\; ct,\; x,\; y,\; z)\}$

с компонентами:

$X\; 0\; =\; -\; ct,\; X\; 1\; =\; x,\; X\; 2\; =\; y,\; X\; 3\; =\; z\; \{\; \backslash \; displaystyle\; X\_\; \{0\}\; =\; -\; ct,\; \backslash \; quad\; X\_\; \{1\}\; =\; x,\; \backslash \; quad\; X\_\; \{2\}\; =\; y,\; \backslash \; quad\; X\_\; \{3\}\; =\; z\}$

(где x, y, z - обычные Декартовы координаты ) и метрический тензор Минковского с сигнатурой (- + + +) определяется как

$\eta \; \mu \; \nu \; =\; \eta \; \mu \; \nu \; =\; (-\; 1\; 0\; 0\; 0\; 0\; 1\; 0\; 0\; 0\; 0\; 1\; 0\; 0\; 0\; 0\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; eta\; \_\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\}\; =\; \backslash \; eta\; ^\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; -1\; 0\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 1\; 0\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 1\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; 1\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\}$

в компонентах:

$\eta \; 00\; =\; -\; 1,\; \eta \; i\; 0\; =\; \eta \; 0\; i\; =\; 0,\; \eta \; ij\; =\; \delta \; ij\; (i,\; j\; \ne \; 0).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; eta\; \_\; \{00\}\; =\; -\; 1,\; \backslash \; quad\; \backslash \; eta\; \_\; \{i0\}\; =\; \backslash \; eta\; \_\; \{0i\}\; =\; 0,\; \backslash \; quad\; \backslash \; eta\; \_\; \{ij\}\; =\; \backslash \; delta\; \_\; \{ij\}\; \backslash ,\; (i,\; j\; \backslash \; neq\; 0).\}$

Чтобы поднять индекс, умножьте на тензор и сократите:

$X\; \lambda \; =\; \eta \; \lambda \; \mu \; X\; \mu \; =\; \eta \; \lambda \; 0\; X\; 0\; +\; \eta \; \lambda \; i\; X\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; ^\; \{\backslash \; lambda\}\; =\; \backslash \; eta\; ^\; \{\backslash \; lambda\; \backslash \; mu\}\; X\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; =\; \backslash \; eta\; ^\; \{\backslash \; lambda\; 0\}\; X\_\; \{0\}\; +\; \backslash \; eta\; ^\; \{\backslash \; lambda\; i\}\; X\_\; \{i\}\}$

тогда для λ = 0:

$Икс\; 0\; знак\; равно\; \eta \; 00\; Икс\; 0\; +\; \eta \; 0\; я\; Икс\; я\; =\; -\; Икс\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; ^\; \{0\}\; =\; \backslash \; eta\; ^\; \{00\}\; X\_\; \{0\}\; +\; \backslash \; eta\; ^\; \{\; 0i\}\; X\_\; \{i\}\; =\; -\; X\_\; \{0\}\}$

и для λ = j = 1, 2, 3:

$X\; j\; =\; \eta \; j\; 0\; X\; 0\; +\; \eta \; ji\; X\; i\; =\; \delta \; ji\; X\; i\; =\; X\; j.\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; ^\; \{j\}\; =\; \backslash \; eta\; ^\; \{j0\}\; X\_\; \{0\}\; +\; \backslash \; eta\; ^\; \{ji\}\; X\_\; \{i\}\; =\; \backslash \; delta\; ^\; \{ji\}\; X\_\; \{i\}\; =\; X\_\; \{j\}\; \backslash ,.\}$

Итак, контрвариантная 4-позиция с повышенным индексом:

$X\; \mu \; =\; (ct,\; x,\; y,\; z).\; \{\backslash \; displaystyle\; X\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; =\; (ct,\; x,\; y,\; z)\; \backslash ,.\}$

Тензоры (более высокий порядок)

Порядок 2

Для порядка-2 тензор, дважды умноженный на контравариантный метрический тензор и сжатый по различным индексам, увеличивает каждый индекс:

$A\; \alpha \; \beta \; =\; g\; \alpha \; \gamma \; g\; \beta \; \delta \; A\; \gamma \; \delta \; \{\backslash \; displaystyle\; A\; ^\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\}\; =\; g\; ^\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; gamma\}\; g\; ^\; \{\backslash \; beta\; \backslash \; delta\}\; A\; \_\; \{\backslash \; gamma\; \backslash \; delta\}\}$

и двойное умножение на ковариантный метрический тензор и сжатие по разным индексам понижает каждый индекс:

$A\; \alpha \; \beta \; =\; g\; \alpha \; \gamma \; g\; \beta \; \delta \; A\; \gamma \; \delta \; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \_\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\}\; =\; g\; \_\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; gamma\}\; g\; \_\; \{\backslash \; beta\; \backslash \; delta\}\; A\; ^\; \{\backslash \; gamma\; \backslash \; delta\}\}$

Пример из классической электромагнетизм и специальная теория относительности

Контравариантный электромагнитный тензор в (+ - - -) сигнатуре задается как

$F\; \alpha \; \beta \; =\; (0\; -\; E\; xc\; -\; E\; yc\; -\; E\; zc\; E\; xc\; 0\; -\; B\; z\; B\; y\; E\; yc\; B\; z\; 0\; -\; B\; x\; E\; zc\; -\; B\; y\; B\; x\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; ^\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 0\; -\; \{\backslash \; frac\; \{E\_\; \{x\}\}\; \{c\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{E\_\; \{y\}\}\; \{c\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{E\_\; \{z\}\}\; \{c\}\}\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{\; E\_\; \{x\}\}\; \{c\}\}\; 0\; -B\_\; \{z\}\; B\_\; \{y\}\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; f\; rac\; \{E\_\; \{y\}\}\; \{c\}\}\; B\_\; \{z\}\; 0\; -B\_\; \{x\}\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{E\_\; \{z\}\}\; \{c\}\}\; -\; B\_\; \{y\}\; B\_\; \{x\}\; 0\; \backslash \; end\; \{\; pmatrix\}\}\}$

в компонентах:

$F\; 0\; i\; =\; -\; F\; i\; 0\; =\; -\; E\; ic,\; F\; ij\; =\; -\; \epsilon \; ijk\; B\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; ^\; \{0i\}\; =\; -\; F\; ^\; \{i0\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{E\; ^\; \{i\}\}\; \{c\}\},\; \backslash \; quad\; F\; ^\; \{ij\}\; =\; -\; \backslash \; varepsilon\; ^\; \{ijk\}\; B\_\; \{k\}\}$

Чтобы получить ковариантный тензор F αβ, умножить на метрический тензор и сжать:

$F\; \alpha \; \beta \; =\; \eta \; \alpha \; \gamma \; \eta \; \beta \; \delta \; F\; \gamma \; \delta \; =\; \eta \; \alpha \; 0\; \eta \; \beta \; 0\; F\; 00\; +\; \eta \; \alpha \; i\; \eta \; \beta \; 0\; F\; я\; 0\; +\; \eta \; \alpha \; 0\; \eta \; \beta \; я\; F\; 0\; я\; +\; \eta \; \alpha \; я\; \eta \; \beta \; J\; F\; ij\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; F\; \_\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\}\; =\; \backslash \; eta\; \_\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; gamma\}\; \backslash \; eta\; \_\; \{\backslash \; beta\; \backslash \; delta\}\; F\; ^\; \{\backslash \; gamma\; \backslash \; delta\}\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; eta\; \_\; \{\backslash \; alpha\; 0\}\; \backslash \; eta\; \_\; \{\backslash \; beta\; 0\}\; F\; ^\; \{00\}\; +\; \backslash \; eta\; \_\; \{\backslash \; alpha\; i\}\; \backslash \; eta\; \_\; \{\backslash \; beta\; 0\}\; F\; ^\; \{i0\}\; +\; \backslash \; eta\; \_\; \{\backslash \; alpha\; 0\}\; \backslash \; eta\; \_\; \{\backslash \; beta\; i\}\; F\; ^\; \{0i\}\; +\; \backslash \; eta\; \_\; \{\backslash \; alpha\; i\}\; \backslash \; eta\; \_\; \{\backslash \; beta\; j\; \}\; F\; ^\; \{ij\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

и поскольку F = 0 и F = - F, это сводится к

$F\; \alpha \; \beta \; =\; (\eta \; \alpha \; i\; \eta \; \beta \; 0\; -\; \eta \; \alpha \; 0\; \eta \; \beta \; я)\; F\; я\; 0\; +\; \eta \; \alpha \; я\; \eta \; \beta \; J\; F\; ij\; \{\backslash \; Displaystyle\; F\; \_\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\}\; =\; \backslash \; left\; (\backslash \; eta\; \_\; \{\backslash \; alpha\; i\}\; \backslash \; eta\; \_\; \{\backslash \; beta\; 0\}\; -\; \backslash \; eta\; \_\; \{\backslash \; alpha\; 0\}\; \backslash \; eta\; \_\; \{\backslash \; beta\; i\}\; \backslash \; right)\; F\; ^\; \{i0\}\; +\; \backslash \; eta\; \_\; \{\backslash \; alpha\; i\}\; \backslash \; eta\; \_\; \{\backslash \; bet\; aj\}\; F\; ^\; \{ij\}\}$

Теперь для α = 0, β = k = 1, 2, 3:

$F\; 0\; k\; =\; (\eta \; 0\; i\; \eta \; k\; 0\; -\; \eta \; 00\; \eta \; ki)\; F\; i\; 0\; +\; \eta \; 0\; я\; \eta \; kj\; F\; ij\; знак\; равно\; (0\; -\; (-\; \delta \; ки))\; F\; я\; 0\; +\; 0\; =\; F\; k\; 0\; =\; -\; F\; 0\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; F\_\; \{0k\}\; =\; \backslash \; left\; (\; \backslash \; eta\; \_\; \{0i\}\; \backslash \; eta\; \_\; \{k0\}\; -\; \backslash \; eta\; \_\; \{00\}\; \backslash \; eta\; \_\; \{ki\}\; \backslash \; right)\; F\; ^\; \{i0\}\; +\; \backslash \; eta\; \_\; \{0i\}\; \backslash \; eta\; \_\; \{kj\}\; F\; ^\; \{ij\; \}\; \backslash \backslash \; =\; \{\backslash \; bigl\; (\}\; 0\; -\; (-\; \backslash \; delta\; \_\; \{ki\})\; \{\backslash \; bigr)\}\; F\; ^\; \{i0\}\; +0\; \backslash \backslash \; =\; F\; ^\; \{k0\}\; =\; -\; F\; ^\; \{0k\}\; \backslash \; \backslash \backslash \; конец\; \{выровнен\}\}\}$

и по антисимметрии, для α = k = 1, 2, 3, β = 0:

$F\; k\; 0\; =\; -\; F\; k\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; F\_\; \{k0\}\; =\; -\; F\; ^\; \{k0\}\}$

затем, наконец, для α = k = 1, 2, 3, β = l = 1, 2, 3;

$F\; kl\; знак\; равно\; (\eta \; ки\; \eta \; l\; 0\; -\; \eta \; К\; 0\; \eta \; li)\; F\; i\; 0\; +\; \eta \; ки\; \eta \; lj\; F\; ij\; =\; 0\; +\; \delta \; ки\; \delta \; lj\; F\; ij\; =\; F\; kl\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; F\_\; \{kl\}\; =\; \backslash \; left\; (\backslash \; eta\; \_\; \{ki\}\; \backslash \; eta\; \_\; \{l0\}\; -\; \backslash \; eta\; \_\; \{k0\}\; \backslash \; eta\; \_\; \{li\}\; \backslash \; right)\; F\; ^\; \{i0\}\; +\; \backslash \; eta\; \_\; \{ki\}\; \backslash \; eta\; \_\; \{lj\}\; F\; ^\; \{ij\}\; \backslash \backslash \; =\; 0+\; \backslash \; delta\; \_\; \{ki\}\; \backslash \; delta\; \_\; \{lj\}\; F\; ^\; \{ij\}\; \backslash \backslash \; =\; F\; ^\; \{kl\}\; \backslash \backslash \backslash \; конец\; \{выровнено\}\}\; \}$

Тогда (ковариантный) нижний индексированный тензор имеет вид:

$F\; \alpha \; \beta \; =\; (0\; E\; xc\; E\; yc\; E\; zc\; -\; E\; xc\; 0\; -\; B\; z\; B\; y\; -\; E\; yc\; B\; z\; 0\; -\; B\; x\; -\; E\; zc\; -\; В\; Y\; В\; Икс\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; \_\; \{\backslash \; alpha\; \backslash \; beta\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; 0\; \{\backslash \; frac\; \{E\_\; \{x\}\}\; \{c\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{E\_\; \{y\}\}\; \{c\; \}\}\; \{\backslash \; frac\; \{E\_\; \{z\}\}\; \{c\}\}\; \backslash \backslash \; -\; \{\backslash \; frac\; \{E\_\; \{x\}\}\; \{c\}\}\; 0\; -B\_\; \{z\}\; B\_\; \{y\}\; \backslash \backslash \; -\; \{\backslash \; frac\; \{E\_\; \{y\}\}\; \{c\}\}\; B\_\; \{z\}\; 0\; -B\_\; \{x\}\; \backslash \backslash \; -\; \{\backslash \; frac\; \{E\_\; \{z\}\}\; \{c\}\}\; -\; B\_\; \{y\}\; B\_\; \{x\}\; 0\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\; \}\}$

Порядок n

Когда векторное пространство оснащено внутренним продуктом (или метрикой, как ее часто называют в этом контексте), существуют операции, которые преобразуют контравариантный (верхний) индекс в ковариантный. (нижний) индекс и наоборот. Сама метрика является (симметричным) (0,2) -тензором, поэтому можно свести верхний индекс тензора к одному из нижних индексов метрики. Это создает новый тензор с той же структурой индекса, что и предыдущий, но с нижним индексом в позиции суженного верхнего индекса. Эта операция графически известна как понижение индекса. Наоборот, у метрики есть обратный, который является (2,0) -тензором. Этот обратный показатель можно свести к нижнему индексу, чтобы получить верхний индекс. Эта операция называется поднятием индекса.

Для тензора порядка n индексы увеличиваются на (в соответствии с приведенным выше):

$gj\; 1\; i\; 1\; gj\; 2\; i\; 2\; \cdots \; gjnin\; A\; i\; 1\; i\; 2\; \cdots \; in\; =\; A\; j\; 1\; j\; 2\; \cdots \; jn\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; ^\; \{j\_\; \{1\}\; i\_\; \{1\}\}\; g\; ^\; \{j\_\; \{2\}\; i\_\; \{2\}\}\; \backslash \; cdots\; g\; ^\; \{j\_\; \{n\}\; i\_\; \{n\}\}\; A\_\; \{i\_\; \{1\}\; i\_\; \{\; 2\}\; \backslash \; cdots\; i\_\; \{n\}\}\; =\; A\; ^\; \{j\_\; \{1\}\; j\_\; \{2\}\; \backslash \; cdots\; j\_\; \{n\}\}\}$

и уменьшено на:

$gj\; 1\; i\; 1\; gj\; 2\; i\; 2\; \cdots \; gjnin\; A\; я\; 1\; я\; 2\; \cdots \; в\; знак\; равно\; A\; J\; 1\; J\; 2\; \cdots \; jn\; \{\backslash \; displaystyle\; g\_\; \{j\_\; \{1\}\; i\_\; \{1\}\}\; g\_\; \{j\_\; \{2\}\; i\_\; \{2\}\}\; \backslash \; cdots\; g\_\; \{j\_\; \{n\}\; i\_\; \{n\; \}\}\; A\; ^\; \{i\_\; \{1\}\; i\_\; \{2\}\; \backslash \; cdots\; i\_\; \{n\}\}\; =\; A\_\; \{j\_\; \{1\}\; j\_\; \{2\}\; \backslash \; cdots\; j\_\; \{n\}\}\}$

и для смешанного тензора:

$gp\; 1\; я\; 1\; gp\; 2\; я\; 2\; p\; gpningq\; 1\; j\; 1\; gq\; 2\; j\; 2\; \cdots \; gqmjm\; A\; i\; 1\; i\; 2\; \cdots \; inj\; 1\; j\; 2\; \cdots \; jm\; =\; A\; p\; 1\; p\; 2\; \cdots \; pnq\; 1\; q\; 2\; \cdots \; qm\; \{\backslash \; displaystyle\; g\_\; \{\; p\_\; \{1\}\; i\_\; \{1\}\}\; g\_\; \{p\_\; \{2\}\; i\_\; \{2\}\}\; \backslash \; cdots\; g\_\; \{p\_\; \{n\}\; i\_\; \{n\}\}\; g\; ^\; \{q\_\; \{1\}\; j\_\; \{1\}\}\; g\; ^\; \{q\_\; \{\; 2\}\; j\_\; \{2\}\}\; \backslash \; cdots\; g\; ^\; \{q\_\; \{m\}\; j\_\; \{m\}\}\; \{A\; ^\; \{i\_\; \{1\}\; i\_\; \{2\}\; \backslash \; cdots\; i\_\; \{n\}\}\}\; \_\; \{j\_\; \{1\}\; j\_\; \{2\; \}\; \backslash \; cdots\; j\_\; \{m\}\}\; =\; \{A\_\; \{p\_\; \{1\}\; p\_\; \{2\}\; \backslash \; cdots\; p\_\; \{n\}\}\}\; ^\; \{q\_\; \{1\}\; q\_\; \{2\}\; \backslash \; cdots\; q\_\; \{m\}\}\}$

• Исчисление Риччи
• Нотация Эйнштейна
• Метрический тензор
• Музыкальный изоморфизм
• Двойное пространство § Билинейные произведения и двойные пробелы