Пространство Минковского

Герман Минковский (1864–1909) обнаружил, что специальная теория относительности, введенная его бывшим учеником Альбертом Эйнштейна лучше всего можно было бы понять как четырехмерное пространство, известное как пространство-время Минковского.

В математической физике, пространство Минковского (или Минковского пространство-время ) (;) представляет собой комбинацию трехмерного евклидова пространства и времени в четырехмерном многообразие, где пространственно-временной интервал между любыми двумя событиями не зависит от инерциальной системы отсчета, в которой они записано. Хотя используется математическая структура пространства-времени Минковского была использована математика Германом Минковским для соотношений Максвелла электромагнетизм, было показано, что математическая структура пространства-времени Минковского подразумевается постулатами специальной теории относительности.

пространство Минковского. связана с ней теорией специальной теории относительности Эйнштейна и является наиболее распространенной математической структурой, на основе которой используется специальная теория относительности. Хотя отдельные компоненты в пространстве-времени сокращения и замедления, в пространстве-времени Минковского все отсчета будут согласовывать общее расстояние в пространстве-времени между событиями. Оно рассматривает время иначе, чем 3 пространственного измерения, пространство Минковского отличается от четырехмерного евклидова пространства.

в 3-мерном евклидовом пространстве (например, просто пространство в теории относительности Галилея ), группа изомет (карты, сохраняющие регулярное евклидово расстояние ) - это евклидова группа. Он генерируется поворотами, отражениями и перемещениями. Когда время изменяется как четвертое измерение, добавляются дальнейшие преобразования перемещений во времени и галилеевы бусты, и группа всех этих преобразований называется галилеевой группой. Все преобразования Галилея сохраняют 3-мерное евклидово расстояние. Это чисто пространственное. Разница во времени также сохраняется отдельно. Это меняет пространство-время специальной теории относительности, где пространство и время переплетаются.

Пространство-время оснащено неопределенной невырожденной билинейной формой, которую также называют метрикой Минковского, квадратом нормы Минковского или внутренним произведением Минковского в зависимости от контекста. Внутренний продукт Минковского определен так, чтобы дать пространственно-временной интервал между двумя событиями, если в качестве аргумента задан их вектор разности координат. Математическая модель пространства-времени, снабженная этим внутренним продуктом, называется пространством Минковского. Аналогом группы Галилея для пространства Минковского, сохраняющим интервал пространства-времени (в отличие от пространственного евклидова расстояния), является группа Пуанкаре.

пространство, пространство-время Галилея и пространство-время Минковского - одно и то же. Они различаются тем, какие дальнейшие разработки на них. Первый имеет функцию евклидова расстояния и временных интервалов (по отдельности) вместе с инерциальными системами отсчета, координаты которых связаны преобразования Галилея, в то время как последнее имеет метрику Минковского вместе с инерциальными системами отсчета, координаты которых связаны преобразования Пуанкаре.

• 1 История
  • 1.1 Комплексное пространство-время Минковского
  • 1.2 Реальное пространство-время Минковского
• 2 Причинная структура
• 3 Свойства времениподобных векторов
  • 3.1 Скалярное произведение
  • 3.2 Норма и обратное неравенство Коши
  • 3.3 Неравенство обратного треугольника
• 4 Математическая структура
  • 4.1 Касательные структуры
  • 4.2 Сигнатура метрики
  • 4.3 Терминология
  • 4.4 Псевдоевклидовы метрики
  • 4.5 Метрика Минковского
  • 4.6 Стандартный базис
    • 4.6.1 Повышение и понижение показателей
    • 4.6.2 Формализм метрики причин Минковского
  • 4.7 Хронологические и следственные связи
• 5 Обобщения
  • 5.1 Обобщенное пространство Минковского
  • 5.2 Кривизна
• 6 Геометрия
  • 6.1 Предварительные сведения
  • 6.2 Гиперболическая стереографическая проекция
  • 6.3 Вытягивание метрики
• 7 См.
• 8 Примечания
• 9 Примечания
• 10 Ссылки
• 11 Внешние ссылки

Комплексное пространство-время Минковского

В своей второй статье по теории относительности в 1905–06 Анри Пуанкаре показал, как, взяв время быть мнимой четвертой пространством-временем координатой ict, где c - скорость света, а i - мнимая единица, преобразование Лоренца можно визуализировать как обычные вращения четырехмерной евклидовой сферы

$x\; 2\; +\; y\; 2\; +\; z\; 2\; +\; (ict)\; 2\; =\; const.\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{2\}\; +\; y\; ^\; \{2\}\; +\; z\; ^\; \{2\}\; +\; (ict)\; ^\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; text\; \{const\}\}.\}$

Пуанкаре для удобства установил c = 1. Вращения в плоскостях, охватываемых двумя пространственными пространственными изображениями, также в физическом пространстве времени, как евклидовы вращения и интерпретируются в обычном смысле. «Вращение» в плоскости, охватываемой единичным вектором пространства и единичным вектором времени, хотя формально все вращение в координатном пространстве, является бустом Лоренца в физическом пространстве-времени с реальными инерциальными координатами. Аналогия с евклидовыми вращениями является лишь частичной, как радиус сферы на самом деле мнимый, что превращает вращение во вращении в гиперболическом вращении. (см. гиперболическое вращение )

Эта идея, используемая Пуанкаре очень кратко кратко представил, подробно бюллетень Минковским в обширной и влиятельной статье на немецком языке в 1908 году под названием «Основные уравнения электромагнитных процессов в движущихся телах». В частности, переформулировав уравнения Максвелла как симметричный набор уравнений с четырьмя переменными (x, y, z, ict) в сочетании с переопределенными векторными величинами для электромагнитных, он смог, используя эту формулировку, переформулировал недавнюю теорию относительности Эйнелла. В этом контексте инвариантность преобразования преобразования Лоренца. в едином четырехмерном пространственно-временном континууме.

Реальном простр анстве-времени Минковского

В мехе В ходе своей лекции 1908 года «Пространство и время» Минковский альтернативную формулировку этой идеи, в которой использовалась координата реального времени вместо мнимой, представляющая четыре переменные (x, y, z, t) пространства и времени в координатная форма в четырехмерном реальном векторном пространстве. Точки в этом соответствуют событиям в рекламном времени. В этом пространстве есть определенный световой конус, связанный с каждой точкой, и события вне светового конуса классифицируются по их отношению к вершине как пространственноподобные или времениподобные. В основном этот взгляд на пространство-время является актуальным в наших дни, хотя более старый взгляд, связанный с мнимым временем, также повлиял на специальную теорию относительности.

Английский перевод статьи Минковского метрика Минковского, как определено ниже, называется линейным разделом. Внутреннее произведение Минковского, приведенное ниже, проявляется безымянным при обращении к ортогональности (которую он называет нормальностью) определенных векторов, а квадрат нормы Минковского упоминается (несколько загадочно, возможно, это зависит от перевода) как «сумма».

Основным инструментом Минковского является диаграмма Минковского, и он использует ее для определения концепций и демонстрации свойств преобразований Лоренца (например, собственное время и сокращение длины ) и геометрическую интерпретацию обобщению ньютоновской механики на релятивистскую механику. По этому специальным темам см. Статьи, которые представляют собой данные ссылки, в основном ограничены математической структурой (метрика Минковского и производные от нее величины и группа Пуанкаре как группа симметрии пространства-времени), вытекающие из инвариантности пространственно-временного интервала на пространственно-временном интервала как следствие Постулатов специальной теории относительности, а не для конкретного применения или вывода инвариантности пространственно-временного интервала. Эта структура обеспечивает основу для всех релятивистских теорий, обеспечивающую общую теорию относительности, для которой используется плоское пространство-время Минковского все служит трамплином, поскольку искривленное пространство-время является локально лоренцевым.

Минковский, зная фундаментального переформулировании теории, который он сделал, сказал:

Взгляды на пространство и время, которые я хочу изложить, прежде чем вы возникли на почве экспериментальной физики, и в этом заключается ложь. их сила. Они радикальны. Отныне пространство само по себе и время само по себе обречены на то, чтобы исчезнуть в простых тенях, и только своего рода союз этих двух сохранитую реальность.

— Герман Минковский, 1908, 1909

Хотя Минковский принял важный важный для физики, Альберт Эйнштейн увидел его ограничение:

В то время, когда Минковский давал геометрическую интерпретацию теории относительности, шаг расширяя евклидово трёхмерное пространство до квази-евклидова четырехмерное пространство, включающее время, Эйнштейн уже знал, что это неверно, поскольку оно исключает явление гравитации. Он был все еще далек от изучения криволинейных координат и римановой геометрии, и связанного с этим тяжелого математического аппарата.

Для постоянной исторической информации см. Ссылки Галисон (1979), Корри (1997) и Уолтер (1999).

Подразделение пространства-времени Минковского по отношению к событию на четыре непересекающихся множества. световой конус, абсолютное будущее, абсолютное прошлое и в другом месте . Терминология взята из Sard (1970).

где v - скорость, а x, y и z - декартовы координаты в 3-мерном пространстве, а c - константа, представляющая универсальную скорость. предел, а t - время, четырехмерный вектор v = (ct, x, y, z) = (ct, r ) классифицируется в соответствии со знаком ct - r. Вектор подобен времени, если ct>r, подобен пространству, if ct

Набор всех нулевых векторов в периоде пространства Минковского составляет световой конус этого события. Учитывая времяподобный вектор v, с ним привяз мировая линия постоянная скорость, представленная прямая линией на диаграмме Минковского.

Как только направление времени выбрано, времениподобные и нулевые правила могут быть далее разложены на различные классы. Для времениподобных векторов имеется

1. ориентированных в будущее времениподобных векторов, первый компонент которых положителен (вершина установлена ​​в абсолютном будущем на рисунке), и
2. направленных в прошлое прошлое времениподобных векторов, первый компонент которых отрицателен (абсолютное

Нулевые базис делятся на три класса:

1. нулевой вектор, компоненты которого в любом базисе равны (0, 0, 0, 0) (начало координат),
2. направлен в будущее нулевые рекомендации, чьи первый компонент является положительной (верхний световой конус), и
3. направленными в прошлое нулевыми событиями, первый компонент отрицательна (нижний световой конус).

Вместе с пространственноподобными инструментами всего существует 6 классов.

ортонормированный базис для пространства Минковского обязательно из одного времениподобного и трех пространственноподобных единичных векторов. ожно использовать другие комбинации векторов. Например, можно легко построить (неортонормированный) базис, состоящий полностью из нулевых векторов, который называется нулевым базисом .

Векторные поля называются времениподобными, пространственноподобными или нулевыми, если связаны временноподобны, пространственноподобны. или ноль в каждой точке, где определено поле.

Времяподобные особенности имеют особое значение в теории относительности, поскольку они соответствуют событиям, которые доступны наблюдателю в (0, 0, 0, 0) со скоростью меньше скорости света. Что нужно сделать, чтобы сделать это либо в обратном направлении. Такие условия обладают рядом свойств, не общих для пространственно-подобных векторов. Они показывают, что и передний, и задний конусы выпуклые, тогда как пространственно-подобная область не выпуклая.

Скалярное произведение

Скалярное произведение двух времениподобных векторов u 1 = (t 1, x 1, y 1, z 1) и u 2 = (t 2, x 2, y 2, z 2) равно

$\eta \; (u\; 1,\; u\; 2)\; =\; u\; 1\; \cdot \; u\; 2\; =\; c\; 2\; t\; 1\; t\; 2\; -\; x\; 1\; x\; 2\; -\; y\; 1\; y\; 2\; -\; z\; 1\; z\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; eta\; (u\_\; \{1\},\; u\_\; \{2\})\; =\; u\_\; \{1\}\; \backslash \; cdot\; u\_\; \{2\}\; =\; c\; ^\; \{2\}\; t\_\; \{1\}\; t\_\; \{2\}\; -x\_\; \{1\}\; x\_\; \{2\}\; -y\_\; \{1\}\; y\_\; \{2\}\; -z\_\; \{1\}\; z\_\; \{2\}.\}$

Положительность скалярного произведения: важным свойством то, что скалярное произведение двух одинаково направленных времениподобных векторов всегда положительно. Это видно из обращенного ниже неравенства Коши. Отсюда следует, что если скалярное произведение двухов равно нулю, то по крайней мере один из них должен быть пространственным. Скалярное произведение двух пространственно-подобных векторов может быть положительным или отрицательным, что можно увидеть, рассматривая произведение двух пространственно-подобных векторов, имеющих ортогональные пространственные компоненты или разные, либо одинаковые знаки.

Используя свойства положительных показателей времениподобных векторов, легко проверить, что сумма остается в пределах светового конуса из-за выпуклости вектора.

Норма и обратное неравенство Коши

Норма времениподобного события u = (ct, x, y, z) означает как

$\Vert \; u\; \Vert \; =\; \eta \; (u,\; и)\; знак\; равно\; с\; 2\; Т\; 2\; -\; Икс\; 2\; -\; Y\; 2\; -\; Z\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; и\; \backslash \; право\; \backslash \; |\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; eta\; (u,\; u)\}\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{c\; ^\; \{2\}\; t\; ^\; \{2\}\; -x\; ^\; \{2\}\; -y\; ^\; \{2\}\; -z\; ^\; \{2\}\}\}\}$

Обратное неравенство Коши является еще одним следствием выпуклости любого светового конуса. Для двух различных одинаково действий времениподобных векторов u 1 и u 2 это неравенство имеет вид

$\eta \; (u\; 1,\; u\; 2)>\Vert \; u\; 1\; \Vert \; \Vert \; u\; 2\; \Vert \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; eta\; (u\_\; \{1\},\; u\_\; \{2\})>\backslash \; left\; \backslash \; |\; u\_\; \{1\}\; \backslash \; right\; \backslash \; |\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; u\_\; \{2\}\; \backslash \; right\; \backslash \; |\}$

или алгебраически,

$c\; 2\; t\; 1\; t\; 2\; -\; x\; 1\; x\; 2\; -\; y\; 1\; y\; 2\; -\; z\; 1\; z\; 2>(c\; 2\; t\; 1\; 2\; -\; x\; 1\; 2\; -\; y\; 1\; 2\; -\; z\; 1\; 2)\; (c\; 2\; t\; 2\; 2\; -\; x\; 2\; 2\; -\; y\; 2\; 2\; -\; z\; 2\; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; c\; ^\; \{2\}\; t\_\; \{1\}\; t\_\; \{2\}\; -x\_\; \{1\}\; x\_\; \{2\}\; -y\_\; \{1\}\; y\_\; \{2\}\; -z\_\; \{1\}\; z\_\; \{2\}>\{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; left\; (c\; ^\; \{2\}\; t\_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; -x\_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; -y\_\; \{1\}\; ^\; \{2\; \}\; -z\_\; \{1\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (c\; ^\; \{2\}\; t\_\; \{2\}\; ^\; \{2\}\; -x\_\; \{2\}\; ^\; \{2\}\; -y\_\; \{2\}\; ^\; \{2\}\; -z\_\; \{\; 2\}\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\}\}\}$

Отсюда видно свойство положительности скалярного произведения.

Неравенство перевернутого треугольника

Для двух одинаково времениподобных векторов u и w неравенство имеет вид

$\Vert \; u\; +\; w\; \Vert \; \ge \; \Vert \; u\; \Vert \; +\; \Vert \; w\; \Vert ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; и\; +\; ш\; \backslash \; право\; \backslash \; |\; \backslash \; geq\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; и\; \backslash \; право\; \backslash \; |\; +\; \backslash \; влево\; \backslash \; |\; w\; \backslash \; right\; \backslash \; |,\}$

где выполняется, когда выполняется линейно зависимы.

В доказательстве используется алгебраическое определение с обратным неравенством Коши:

$\Vert \; u\; +\; w\; \Vert \; 2\; =\; \Vert \; u\; \Vert \; 2\; +\; 2\; (u,\; w)\; +\; \Vert \; w\; \Vert \; 2\; \ge \; \Vert \; u\; \Vert \; 2\; +\; 2\; \Vert \; U\; \Vert \; \Vert \; вес\; \Vert \; +\; \Vert \; вес\; \Vert \; 2\; знак\; равно\; (\Vert \; U\; \Vert \; +\; \Vert \; вес\; \Vert )\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; и\; +\; ш\; \backslash \; право\; \backslash \; |\; ^\; \{2\}\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; и\; \backslash \; право\; \backslash \; |\; ^\; \{2\}\; +2\; \backslash \; left\; (u,\; w\; \backslash \; right)\; +\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; ш\; \backslash \; право\; \backslash \; |\; ^\; \{2\}\; \backslash \; geq\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; и\; \backslash \; право\; \backslash \; |\; ^\; \{2\}\; +2\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; и\; \backslash \; право\; \backslash \; |\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; ш\; \backslash \; право\; \backslash \; |\; +\; \backslash \; влево\; \backslash \; |\; ш\; \backslash \; право\; \backslash \; |\; ^\; \{2\}\; =\; \backslash \; left\; (\backslash \; left\; \backslash \; |\; u\; \backslash \; right\; \backslash \; |\; +\; \backslash \; left\; \backslash \; |\; w\; \backslash \; right\; \backslash \; |\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}$

Теперь результат получается извлечением квадратного корня с обеих сторон.

Основным принципом, что пространство-время наделено системы координат, форму инерциальной системы координат. Это обеспечивает начало координат, которое необходимо для того, чтобы иметь возможность рассматривать пространство-время как моделируемое как векторное пространство. Это не совсем физически мотивировано тем, что каноническое происхождение («центральное» событие в пространстве-времени) должно существовать. Можно обойтись меньшей структурой, такой как аффинное пространство, но это без нужды усложнит обсуждение и не отразит, как плоское пространство-время обычно трактуется математически в современной вводной литературе.

Для обзора: пространство Минковского - это 4-мерное действительное векторное пространство, снабженное невырожденной симметричной билинейной формой на касательное пространство в каждой точке пространства-времени, здесь просто называется внутренним произведением Минковского с метрической сигнатурой либо (+ - - -), либо (- + + +). Касательное пространство в каждом событии является векторным пространством той же размерности, что и пространство-время, 4.

Касательные векторы

Графическое представление касательного пространства в точке x на сфере. Это векторное пространство можно рассматривать как подпространство самого. Тогда векторы в нем будем называть геометрическими касательными векторами. По тому же принципу касательное пространство в точке плоского пространства-времени можно рассматривать как подпространство пространства-времени, которое оказывается всем пространством-временем.

На практике касательные пространства могут не беспокоить. Природа векторного пространства пространства Минковского позволяет канонически идентифицировать векторы в касательных пространствах в точках (событиях) с векторами (точками, событиями) в самом пространстве Минковского. См. Например Ли (2003, Предложение 3.8.) Эти отождествления обычно выполняются в математике. Их можно формально выразить в декартовых координатах как

$(x\; 0,\; x\; 1,\; x\; 2,\; x\; 3)\; \leftrightarrow \; x\; 0\; e\; 0\; |\; п\; +\; х\; 1\; е\; 1\; |\; р\; +\; х\; 2\; е\; 2\; |\; п\; +\; х\; 3\; е\; 3\; |\; p\; \leftrightarrow \; x\; 0\; e\; 0\; |\; q\; +\; x\; 1\; e\; 1\; |\; q\; +\; x\; 2\; e\; 2\; |\; q\; +\; x\; 3\; e\; 3\; |\; q,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; left\; (x\; ^\; \{0\},\; \backslash ,\; x\; ^\; \{1\},\; \backslash ,\; x\; ^\; \{2\},\; \backslash ,\; x\; ^\; \{3\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; \backslash \; leftrightarrow\; \backslash \; \backslash \; left.x\; ^\; \{0\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{0\}\; \backslash \; right\; |\; \_\; \{p\}\; +\; \backslash \; left.x\; ^\; \{1\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{1\}\; \backslash \; right\; |\; \_\; \{p\}\; +\; \backslash \; left.x\; ^\; \{2\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{2\}\; \backslash \; right\; |\; \_\; \{p\}\; +\; \backslash \; left.x\; ^\; \{3\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{3\}\; \backslash \; right\; |\; \_\; \{p\}\; \backslash \backslash \backslash \; \backslash \; leftrightarrow\; \backslash \; \backslash \; left.x\; ^\; \{0\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{0\}\; \backslash \; right\; |\; \_\; \{q\}\; +\; \backslash \; left.x\; ^\; \{1\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{1\}\; \backslash \; right\; |\; \_\; \{q\}\; +\; \backslash \; left.x\; ^\; \{2\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{2\}\; \backslash \; right\; |\; \_\; \{q\}\; +\; \backslash \; left.x\; ^\; \{3\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{3\}\; \backslash \; right\; |\; \_\; \{q\},\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

с базисными векторами в касательных пространствах, определенных как

$e\; \mu \; |\; p\; =\; \partial \; \partial \; x\; \mu \; |\; p\; или\; e\; 0\; |\; p\; =\; (1\; 0\; 0\; 0)\; и\; т.\; д.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left.\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; \backslash \; right\; |\; \_\; \{p\}\; =\; \backslash \; left.\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; x\; ^\; \{\backslash \; mu\}\}\}\; \backslash \; right\; |\; \_\; \{\; p\}\; \{\backslash \; text\; \{или\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{e\}\; \_\; \{0\}\; |\; \_\; \{p\}\; =\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; 1\; \backslash \backslash \; 0\; \backslash \backslash \; 0\; \backslash \backslash \; 0\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right)\; \{\backslash \; text\; \{,\; etc\}\}.\}$

Здесь p и q - любые два события, а последняя идентификация упоминается как параллельный транспорт. Первая идентификация - это каноническая идентификация векторов в касательном пространстве в любой точке с векторами в самом пространстве. Появление базисных векторов в касательных пространствах как дифференциальных операторов первого порядка связано с этим отождествлением. Это мотивировано наблюдением, что геометрический касательный вектор может быть связан взаимно-однозначным образом с оператором производной по направлению на множестве гладких функций. Это продвигается к определению касательных векторов в многообразиях, не обязательно вложенных в R . Это определение касательных векторов не единственно возможное, поскольку можно использовать и обычные n-кортежи.

Определения касательных векторов как обычных векторов

Касательный вектор в точке p может быть определен, здесь специализированный для декартовых координат в лоренцевых фреймах, как 4 × 1 вектор-столбец v, связанный с каждым фреймом Лоренца, связанным преобразованием Лоренца Λ такой, что вектор v в фрейме, связанном с некоторым фреймом посредством Λ, преобразуется согласно v → Λv. Таким же образом преобразуются координаты x. Явно

$x\; \prime \; \mu \; =\; \Lambda \; \mu \; \nu \; x\; \nu ,\; v\; \prime \; \mu \; =\; \Lambda \; \mu \; \nu \; v\; \nu .\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; x\; \text{'}^\; \{\backslash \; mu\}\; =\; \{\backslash \; Lambda\; ^\; \{\backslash \; mu\}\}\; \_\; \{\backslash \; nu\}\; x\; ^\; \{\backslash \; nu\},\; \backslash \backslash \; v\text{'}\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; =\; \{\backslash \; Lambda\; ^\; \{\backslash \; mu\}\}\; \_\; \{\backslash \; nu\}\; v\; ^\; \{\backslash \; nu\}.\; \backslash \; End\; \{align\}\}\}$

Это определение эквивалентно определению, данному выше для канонического изоморфизма.

Для некоторых целей желательно отождествлять касательные векторы в точке p с векторами смещения в точке p, что, конечно, допустимо по существу с помощью той же канонической идентификации. Идентификация векторов, упомянутых выше в математической установке, соответственно может быть найдена в более физической и явно геометрической установке в Misner, Thorne Wheeler (1973). Они предлагают различную степень сложности (и строгости) в зависимости от того, какую часть материала вы хотите прочитать.

Сигнатура метрики

Сигнатура метрики указывает на то, какой знак дает внутренний продукт Минковского, когда ему задано пространство (пространственноподобное, чтобы быть конкретным, определенное ниже) и базисные векторы времени (времениподобные) в качестве аргументов. Дальнейшее обсуждение этого теоретически несущественного, но практически необходимого выбора с точки зрения внутренней согласованности и удобства отложено до скрытого поля ниже.

Выбор метрической сигнатуры

В целом, за некоторыми исключениями, математики и общие релятивисты предпочитают пространственноподобные векторы для получения положительного знака (- + + +), в то время как физики частиц предпочитают времяподобные векторы, чтобы получить положительный знак, (+ - - -). Авторы из нескольких областей физики, например Стивен Вайнберг и Ландау и Лифшиц ((- + + +) и (+ - - -) соответственно) придерживаются одного выбора независимо от темы. Аргументы в пользу первого соглашения включают «непрерывность» из евклидова случая, соответствующего нерелятивистскому пределу c → ∞. Аргументы в пользу последнего включают исчезновение знаков минус, которые в остальном широко распространены в физике элементарных частиц. Тем не менее, другие авторы, особенно вводные тексты, например Kleppner Kolenkow (1978), вообще не выбирают сигнатуру, а вместо этого предпочитают координировать пространство-время так, чтобы координата времени (но не само время!) Была мнимой. Это устраняет необходимость явного введения метрического тензора (что может показаться дополнительным бременем во вводном курсе), и вам не нужно беспокоиться о ковариантных векторах и контравариантные векторы (или повышающие и понижающие индексы), которые будут описаны ниже. Вместо этого на внутреннее произведение выполняется прямое расширение скалярного произведения в ℝ до ℝ × ℂ. Это работает в плоском пространстве-времени специальной теории относительности, но не в искривленном пространстве-времени общей теории относительности, см. Misner, Thorne Wheeler (1973, Box 2.1, Farewell to ict) (которые, кстати, используют ( - + + +)). MTW также утверждает, что он скрывает истинную неопределенную природу метрики и истинную природу повышения Лоренца, которые не являются вращениями. Это также без нужды усложняет использование инструментов дифференциальной геометрии, которые в противном случае немедленно доступны и полезны для геометрического описания и вычислений - даже в плоском пространстве-времени специальной теории относительности, например электромагнитного поля.

Терминология

Математически ассоциированный с билинейной формой тензор типа (0,2) в каждой точке пространства-времени, называемый метрикой Минковского. Метрика Минковского, билинейная форма и внутреннее произведение Минковского - это один и тот же объект; это билинейная функция, которая принимает два (контравариантных) вектора и возвращает действительное число. В координатах это матрица 4 × 4, представляющая билинейную форму.

Для сравнения, в общей теории относительности, лоренцево многообразие L аналогично снабжено метрическим тензором g, который является невырожденным симметричным билинейным форма на касательном пространстве T p L в каждой точке p из L. В координатах она может быть представлена ​​матрицей 4 × 4 в зависимости от положения в пространстве-времени. Таким образом, пространство Минковского является сравнительно простым частным случаем лоренцевого многообразия. Его метрический тензор находится в координатах той же симметричной матрицы в каждой точке M, и его аргументы, как указано выше, могут быть взяты как векторы в самом пространстве-времени.

Если ввести дополнительную терминологию (но не дополнительную структуру), пространство Минковского, таким образом, является псевдоевклидовым пространством с общей размерностью n = 4 и сигнатурой (3, 1) или (1, 3). Элементы пространства Минковского называются событиями. Пространство Минковского часто обозначается ℝ или ℝ, чтобы подчеркнуть выбранную сигнатуру, или просто M. Это, пожалуй, самый простой пример псевдориманова многообразия.

Интересный пример неинерциальных координат для (части) Минковского пространство-время - это координаты Борна. Другой полезный набор координат - это координаты светового конуса.

Псевдоевклидовы метрики

За исключением времениподобных векторов, внутреннее произведение Минковского не является внутренним продуктом, поскольку оно не является положительно-определенным, то есть квадратичная форма η (v, v) не обязательно должна быть положительной при ненулевом v. Положительно определенное условие было заменено более слабым условием невырожденности. Билинейная форма называется неопределенной. Метрика Минковского η - это метрический тензор пространства Минковского. Это псевдоевклидова метрика или, в более общем смысле, постоянная псевдориманова метрика в декартовых координатах. Как таковая, это невырожденная симметричная билинейная форма, тензор типа (0, 2). Он принимает два аргумента u p, v p, векторы в T p M, p ∈ M, касательное пространство в точке p в M. Из-за вышеизложенного - упомянутая каноническая идентификация T p M с самим M, он принимает аргументы u, v с u и v в M.

В качестве условного обозначения векторы v в M, называемые 4-вектора выделены курсивом, а не жирным шрифтом v, как это принято в евклидовой среде. Последний обычно зарезервирован для 3-векторной части (которая будет представлена ​​ниже) 4-вектора.

Определение

$u\; \cdot \; v\; =\; \eta \; (u,\; v)\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; \backslash \; cdot\; v\; =\; \backslash \; eta\; (u,\; \backslash ,\; v)\}$

дает внутреннюю структуру, подобную продукту, на M, ранее и далее называемый внутренним произведением Минковского, аналогично евклидову внутреннему произведению, но описывает другую геометрию. Его также называют релятивистским скалярным произведением. Если два аргумента совпадают,

$u\; \cdot \; u\; =\; \eta \; (u,\; u)\; \equiv \; \Vert \; u\; \Vert \; 2\; \equiv \; u\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; \backslash \; cdot\; u\; =\; \backslash \; eta\; (u,\; u)\; \backslash \; Equiv\; \backslash \; |\; и\; \backslash \; |\; ^\; \{2\}\; \backslash \; Equiv\; u\; ^\; \{2\},\}$

получившаяся величина будет называться квадратом нормы Минковского. Внутреннее произведение Минковского удовлетворяет следующим свойствам.

Линейность по первому аргументу

$\eta \; (au\; +\; v,\; w)\; =\; a\; \eta \; (u,\; w)\; +\; \eta \; (v,\; w),\; \forall \; u,\; v\; \in \; M,\; \forall \; a\; \in \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; eta\; (au\; +\; v,\; \backslash ,\; w)\; =\; a\; \backslash \; eta\; (u,\; \backslash ,\; w)\; +\; \backslash \; eta\; (v,\; \backslash ,\; w),\; \backslash \; quad\; \backslash \; forall\; u,\; \backslash ,\; v\; \backslash \; in\; M,\; \backslash ;\; \backslash \; forall\; a\; \backslash \; в\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}$

Симметрия

$\eta \; (u,\; v)\; =\; \eta \; (v,\; u)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; eta\; (u,\; \backslash ,\; v)\; =\; \backslash \; eta\; (v,\; \backslash ,\; u)\}$

Невырожденность

$\eta \; (u,\; v)\; =\; 0,\; \forall \; v\; \in \; M\; \Rightarrow \; u\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; eta\; (u,\; \backslash ,\; v)\; =\; 0,\; \backslash ;\; \backslash \; forall\; v\; \backslash \; in\; M\; \backslash \; \backslash \; Rightarrow\; \backslash \; u\; =\; 0\}$

Первые два условия подразумевают билинейность. Определяющее различие между псевдо-внутренним произведением и собственно внутренним продуктом заключается в том, что первое не обязательно должно быть положительно определенным, то есть η (u, u) < 0 is allowed.

Самая важная особенность внутренний продукт и квадрат нормы состоит в том, что на эти величины не влияют преобразования Лоренца. Фактически, это можно рассматривать как определяющее свойство преобразования Лоренца, что оно сохраняет внутренний продукт (то есть значение соответствующей билинейной формы на двух векторах). Этот подход применяется в более общем плане для всех классических групп, определяемых таким образом в классической группе. Там матрица Φ идентична в случае O (3, 1) (группа Лоренца) матрице η, отображаемой ниже.

Два вектора v и w называются ортогональными, если η (v, w) = 0. Для геометрической интерпретации ортогональности в частном случае, когда η (v, v) ≤ 0 и η (w, w) ≥ 0 (или наоборот), см. гиперболическая ортогональность.

Вектор e называется единичным вектором, если η (e, e) = ± 1. базис для M, состоящий из взаимно ортогональных единичных векторов, называется ортонормированным базисом.

. Для данной инерциальной системы отсчета ортонормированный базис в пространстве в сочетании с единичным временем вектор, образует ортонормированный базис в пространстве Минковского. Количество положительных и отрицательных единичных векторов в любом таком базисе - это фиксированная пара чисел, равная сигнатуре билинейной формы, связанной со внутренним продуктом. Это закон инерции Сильвестра..

Больше терминологии (но не больше структуры): метрика Минковского - это псевдориманова метрика, точнее, лоренцевская метрика, даже более конкретно, метрика Лоренца, зарезервированная для 4-мерного плоского пространства-времени, а оставшаяся двусмысленность - это только соглашение о подписи.

Метрика Минковского

Из второго постулата специальной теории относительности вместе с однородностью пространства-времени и изотропией пространства следует, что интервал пространства-времени между двумя произвольными событиями, называемыми 1 и 2:

$c\; 2\; (t\; 1\; -\; t\; 2)\; 2\; -\; (x\; 1\; -\; x\; 2)\; 2\; -\; (y\; 1\; -\; y\; 2)\; 2\; -\; (z\; 1\; -\; z\; 2)\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; sqrt\; \{c\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (t\_\; \{1\}\; -t\_\; \{2\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; -\; \backslash \; left\; (x\_\; \{1\}\; -x\_\; \{2\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\; \}\; -\; \backslash \; left\; (y\_\; \{1\}\; -y\_\; \{2\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; -\; \backslash \; left\; (z\_\; \{1\}\; -z\_\; \{2\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}\}.\}$

Это количество не всегда упоминается в литературе. Интервал иногда называют квадратом интервала, как определено здесь. Невозможно дать исчерпывающий список несоответствий в обозначениях. Сначала нужно проверить определения, обращаясь к литературе по теории относительности.

Инвариантность интервала относительно преобразований координат между инерциальными системами отсчета следует из инвариантности

$\pm \; [c\; 2\; t\; 2\; -\; x\; 2\; -\; y\; 2\; -\; z\; 2]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pm\; \backslash \; left\; [c\; ^\; \{2\}\; t\; ^\; \{2\}\; -x\; ^\; \{2\}\; -y\; ^\; \{2\}\; -z\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right]\}$

(с сохранением любого знака ±), при условии, что преобразования линейны. Эта квадратичная форма может использоваться для определения билинейной формы

$u\; \cdot \; v\; =\; \pm \; [c\; 2\; t\; 1\; t\; 2\; -\; x\; 1\; x\; 2\; -\; y\; 1\; y\; 2\; -\; z\; 1\; z\; 2].\; \{\backslash \; Displaystyle\; и\; \backslash \; cdot\; v\; =\; \backslash \; pm\; \backslash \; left\; [c\; ^\; \{2\}\; t\_\; \{1\}\; t\_\; \{2\}\; -x\_\; \{1\}\; x\_\; \{2\}\; -y\_\; \{1\}\; y\_\; \{2\}\; -z\_\; \{1\}\; z\_\; \{2\}\; \backslash \; right].\}$

через поляризационный идентификатор. Эта билинейная форма, в свою очередь, может быть записана как

$u\; \cdot \; v\; =\; u\; T\; [\eta ]\; v,\; \{\backslash \; displaystyle\; u\; \backslash \; cdot\; v\; =\; u\; ^\; \{\backslash textf\; \{T\}\}\; [\backslash \; eta]\; v,\}$

где [η] - матрица 4 × 4, ассоциированная с η. Возможно, что сбивает с толку, обозначайте [η] просто η, как это принято. The matrix is read off from the explicit bilinear form as

$\eta \; =\; \pm \; (\; -\; 1\; 0\; 0\; 0\; 0\; 1\; 0\; 0\; 0\; 0\; 1\; 0\; 0\; 0\; 0\; 1),\; \{\backslash displaystyle\; \backslash eta\; =\backslash pm\; \{\backslash begin\{pmatrix\}-1000\backslash \backslash 0100\backslash \backslash 0010\backslash \backslash 0001\backslash end\{pmatrix\}\},\}$

and the bilinear form

$u\; \cdot \; v\; =\; \eta \; (\; u,\; v),\; \{\backslash displaystyle\; u\backslash cdot\; v=\backslash eta\; (u,v),\}$

with which this section started by assuming its existence, is now identified.

For definiteness and shorter presentation, the signature (− + + +) is adopted below. This choice (or the other possible choice) has no (known) physical implications. The symmetry group preserving the bilinear form with one choice of signature is isomorphic (under the map given here ) with the symmetry group preserving the other choice of signature. This means that both choices are in accord with the two postulates of relativity. Switching between the two conventions is straightforward. If the metric tensor η has been used in a derivation, go назад к самой ранней точке, где она использовалась, замените η на −η и вернитесь к желаемой формуле с желаемой метрической сигнатурой.

Стандартный базис

Стандартный базис для пространства Минковского - это набор из четырех взаимно ортогональных векторов {e 0, e 1, e 2, e 3 } такие, что

$-\; \eta \; (e\; 0,\; e\; 0)\; =\; \eta \; (e\; 1,\; e\; 1)\; =\; \eta \; (e\; 2,\; e\; 2)\; =\; \eta \; (\; е\; 3,\; е\; 3)\; =\; 1.\; \{\backslash \; displaystyle\; -\; \backslash \; eta\; (e\_\; \{0\},\; e\_\; \{0\})\; =\; \backslash \; eta\; (e\_\; \{1\},\; e\_\; \{1\})\; =\; \backslash \; eta\; (e\_\; \{2\},\; e\_\; \{2\})\; =\; \backslash \; eta\; (e\_\; \{3\},\; e\_\; \{3\})\; =\; 1.\}$

Эти условия можно компактно записать в виде

$\eta \; (e\; \mu ,\; e\; \nu )\; =\; \eta \; \mu \; \nu .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; eta\; (e\; \_\; \{\backslash \; mu\},\; e\; \_\; \{\backslash \; nu\})\; =\; \backslash \; eta\; \_\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\}.\}$

Относительно стандартного базиса компоненты вектора v записываются (v, v, v, v), где нотация Эйнштейна используется для записи v = ve μ. Компонент v называется времениподобным компонентом v, тогда как другие три компонента называются пространственными компонентами . Пространственные компоненты 4-вектора v могут быть идентифицированы с 3-вектором v = (v 1, v 2, v 3).

С точки зрения компонентов, внутреннее произведение Минковского между двумя векторами v и w задается как

$\eta \; (v,\; w)\; =\; \eta \; \mu \; \nu \; v\; \mu \; w\; \nu \; =\; v\; 0\; w\; 0\; +\; v\; 1\; w\; 1\; +\; v\; 2\; вес\; 2\; +\; v\; 3\; вес\; 3\; знак\; равно\; v\; \mu \; вес\; \mu \; знак\; равно\; v\; \mu \; вес\; \mu ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; eta\; (v,\; w)\; =\; \backslash \; eta\; \_\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\}\; v\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; w\; ^\; \{\backslash \; nu\}\; =\; v\; ^\; \{0\}\; w\_\; \{0\}\; +\; v\; ^\; \{1\}\; w\_\; \{1\}\; +\; v\; ^\; \{2\}\; w\_\; \{2\}\; +\; v\; ^\; \{3\}\; w\_\; \{3\}\; =\; v\; ^\; \{\backslash \; mu\; \}\; w\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; =\; v\; \_\; \{\backslash \; mu\}\; w\; ^\; \{\backslash \; mu\},\}$

и

$\eta \; (v,\; v)\; =\; \eta \; \mu \; \nu \; v\; \mu \; v\; \nu \; =\; v\; 0\; v\; 0\; +\; v\; 1\; v\; 1\; +\; v\; 2\; v\; 2\; +\; v\; 3\; v\; 3\; =\; v\; \mu \; v\; \mu .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; eta\; (v,\; v)\; =\; \backslash \; eta\; \_\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\}\; v\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; v\; ^\; \{\backslash \; nu\}\; =\; v\; ^\; \{0\}\; v\_\; \{0\}\; +\; v\; ^\; \{1\}\; v\_\; \{\; 1\}\; +\; v\; ^\; \{2\}\; v\_\; \{2\}\; +\; v\; ^\; \{3\}\; v\_\; \{3\}\; =\; v\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; v\; \_\; \{\backslash \; mu\}.\}$

Здесь понижение индекса с метрикой.

Повышение и понижение показателей

Линейные функционалы (1-формы) α, βи их сумма σ и векторы u, v, wв 3d евклидовом пространстве. Количество (1-форма) гиперплоскостей, пересекаемых вектором, равно внутреннему произведению.

Технически невырожденная билинейная форма обеспечивает отображение между векторным пространством и двойственным ему, в этом В контексте, карта находится между касательными пространствами M и кокасательными пространствами M. В точке в M касательные и котангенсные пространства являются двойными векторными пространствами (поэтому размерность котангенс на мероприятии также 4). Точно так же, как подлинный внутренний продукт в векторном пространстве с одним фиксированным аргументом, по теореме представления Рисса можно выразить как действие линейного функционала на векторное пространство, то же самое верно для скалярного произведения Минковского пространства Минковского.

Таким образом, если v - компоненты вектора в касательном пространстве, то η μν v = v ν - компоненты вектора в котангенсном пространстве (линейный функционал). Из-за идентификации векторов в касательных пространствах с векторами в самом M это в основном игнорируется, а векторы с более низкими индексами называются ковариантными векторами . В этой последней интерпретации ковариантные векторы (почти всегда неявно) отождествляются с векторами (линейными функционалами) в двойственном пространстве Минковского. Те, у которых верхние индексы, - это контравариантные векторы . Таким же образом, обратное отображение от касательного к котангенсному пространству, явно заданное обратным к η в матричном представлении, может использоваться для определения повышения индекса . Компоненты этого обратного обозначаются η. Бывает, что η = η μν. Эти точки между векторным пространством и его двойником могут быть обозначены η (эта-бемоль) и η (эта-диез) по музыкальной аналогии.

Контравариантные и ковариантные геометрически очень разные объекты. Первые можно и нужно рассматривать как стрелки. Линейный функционал может быть охарактеризован двумя объектами: его ядром, который является гиперплоск, проходящей через начало координат, и его нормой. Таким образом, геометрически ковариантные следует рассматривать как набор гиперплоскостей с интервалом, зависящим от нормы (больший = меньший интервал), при этом одна из них (ядро) проходит через начало координат. Математический термин для ковариантного вектора - 1-ковектор или 1-форма (хотя последнее обычно зарезервировано для ковекторных полей).

Misner, Thorne Wheeler (1973) используют яркую аналогию с волновыми фронтами волны де Бройля (масштабированной коэффициентом применяемой Планка), квантово-механические функции с четырехмерный векторса для иллюстрации, как можно представить ковариантную версию контравариантного события. Внутренний продукт двух контравариантных векторов можно также рассматривать как действие ковариантной версии одного из них на контравариантную версию другого. Тогда внутренний продукт - это сколько раз стрела проникает в плоскости. Математический справочник Lee (2003) предлагает тот же геометрический вид этих объектов (но не упоминает пронзание).

Тензор электромагнитного поля представляет собой дифференциальную 2-форму, геометрическое описание которой также можно найти в MTW.

Можно, конечно, полностью игнорировать геометрические виды (как стиль, например, Weinberg (2002) и Landau Lifshitz 2002) и действовать алгебраически в чисто формальной моде. Проверенная временем надежность самого формализма, называемого иногда индексной гимнастикой, гарантирует, что перемещение векторов и изменение контравариантных ковариантных и наоборот (а также тензоры более высокого порядка) математически корректны. Неправильные выражения часто проявляются быстро.

Формализм метрики Минковского

Настоящая цель состоит в том, чтобы показать полусложно, как формально можно применить метрику Минковского к двум годам и получить действительное число, то есть показать роль дифференциалы, и как они исчезают в расчетах. Настройка соответствует теории гладких разнообразий, и здесь вводятся такие понятия, как конвекторные поля и внешние производные.

Формальный подход к метрике Минковского

Полноценная версия метрики Минковского в координатах как тензорное поле в косми-времени имеет вид

$\eta \; \mu \; \nu \; dx\; \mu \; \otimes \; dx\; \nu \; =\; \eta \; \mu \; \nu \; dx\; \mu \; \odot \; dx\; \nu \; =\; \eta \; \mu \; \nu \; dx\; \mu \; dx\; \nu .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; eta\; \_\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\}\; dx\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; \backslash \; otimes\; dx\; ^\; \{\backslash \; nu\}\; =\; \backslash \; eta\; \_\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\}\; dx\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; \backslash \; odot\; dx\; ^\; \{\backslash \; nu\}\; =\; \backslash \; eta\; \_\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\}\; dx\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; dx\; ^\; \{\backslash \; nu\}.\}$

Объяснение: Координатные дифференциалы - это поля с одной формой. Они как внешняя производная координатных функций x. Эти величины, вычисленные в точке p, местонахождение для котангенсного пространства в точке p. Тензорное произведение (обозначается символом ⊗) дает тензорное поле типа (0, 2), то есть типа, который ожидает два контравариантных вектора в качестве аргументов. С правой стороны было взято симметричное произведение (обозначенное символом ⊙ или сопоставлением). Равенство выполняется, поскольку по определению метрика Минковского симметрична. Обозначение справа также иногда используется для связанного, но другого, элемента . Это не тензор. Подробнее о различиях и сходствах см. Misner, Thorne Wheeler (1973, вставка 3.2 и раздел 13.2.)

Касательные в этом формализме даны в терминах основы дифференциальных операторов первого порядка,

$\partial \; \partial \; x\; \mu \; |\; п,\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; влево.\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; x\; ^\; \{\backslash \; mu\}\}\}\; \backslash \; right\; |\; \_\; \{p\},\}$

, где p - событие. Этот оператор, примененный к функциям f, дает производную по направлению функции f в точке p в направлении увеличения x при фиксированном x, ν ≠ μ. Они составляют касательного пространства на стр.

Внешняя производная функция df является ковекторным полем, т. Е. Присвоением котангенса каждой точки p, по определению так, что

$df\; (X)\; =\; X\; f,\; \{\backslash \; displaystyle\; df\; (X)\; =\; Xf,\}$

для каждого внутреннего поля X. Векторное поле - это привязка касательного вектора к каждой точке p. В координатах X может быть расширен в каждой точке p в базисе, ∂ / ∂x | п. Применяя это с f = x, самой координатной функцией и X = ∂ / ∂x, называемым координатным векторным полем, получаем

$dx\; \mu \; (\partial \; \partial \; x\; \nu )\; =\; \partial \; x\; \mu \; \partial \; x\; \nu \; =\; \delta \; \nu \; \mu .\; \{\backslash \; displaystyle\; dx\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; x\; ^\; \{\backslash \; nu\}\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; x\; ^\; \{\backslash \; mu\}\}\; \{\backslash \; partial\; x\; ^\; \{\backslash \; nu\}\}\}\; =\; \backslash \; delta\; \_\; \{\backslash \; nu\}\; ^\; \{\backslash \; mu\}.\}$

Временное решение выполняется в каждой точке p, dx | p обеспечивает основу для котангенсное пространство в каждом p и основания dx | p и ∂ / ∂x | p двойственны друг другу,

$dx\; \mu \; |\; p\; (\partial \; \partial \; x\; \nu \; |\; p)\; =\; \delta \; \nu \; \mu .\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; left.dx\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; \backslash \; right\; |\; \_\; \{p\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; left.\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; x\; ^\; \{\backslash \; nu\}\}\}\; \backslash \; right\; |\; \_\; \{p\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; delta\; \_\; \{\backslash \; nu\}\; ^\; \{\backslash \; mu\; \}.\}$

на каждом п. Кроме того, имеется

$\alpha \; \otimes \; \beta \; (a,\; b)\; =\; \alpha \; (a)\; \beta \; (b)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; \backslash \; otimes\; \backslash \; beta\; (a,\; b)\; =\; \backslash \; alpha\; (a)\; \backslash \; beta\; (b)\}$

для общего одноформного касательного изображения α, β и общих касательных векторов a, b. (Это можно принять как определение, но также можно представить в более общих условиях.)

Таким образом, когда метрический тензор вводится в два поля a, b, оба расширенных вектора в терминах базисного координатного поля, результат будет

$\eta \; \mu \; \nu \; dx\; \mu \; \otimes \; dx\; \nu \; (a,\; b)\; =\; \eta \; \mu \; \nu \; a\; \mu \; b\; \nu ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; eta\; \_\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\}\; dx\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; \backslash \; otimes\; dx\; ^\; \{\backslash \; nu\}\; (a,\; b)\; =\; \backslash \; eta\; \_\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\}\; a\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; b\; ^\; \{\backslash \; nu\},\}$

где a, b - функции-компоненты векторных полей. Вышеупомянутое уравнение выполняется в каждой точке p, и это отношение также можно интерпретировать как метрику Минковского в точке p, применяемую к двум касательным моментом в точке p.

Как упоминается, в векторном пространстве, такое как моделирующее пространство-время в специальной теории относительности, касательные формы быть канонически отождествлены с векторным пространством, и наоборот. Это означает, что касательные пространства в каждой точке канонически отождествляются друг с другом и с самим векторным пространством. Это объясняет, как правая часть приведенного выше приведенного выше приведенного сообщения, без учета пространства-времени, метрика должна оцениваться и откуда (из какого касательного пространства) берутся положения.

Эта ситуация меняется в общей теории относительности. Там

$g\; (p)\; \mu \; \nu \; d\; x\; \mu \; |\; p\; d\; x\; \nu \; |\; п\; (а,\; б)\; знак\; равно\; г\; (п)\; \mu \; \nu \; a\; \mu \; б\; \nu ,\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; (p)\; \_\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\}\; \backslash \; left.dx\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; \backslash \; right\; |\; \_\; \{p\}\; \backslash \; left.dx\; ^\; \{\backslash \; nu\}\; \backslash \; right\; |\; \_\; \{p\}\; (a,\; b)\; =\; g\; (p)\; \_\; \{\backslash \; mu\; \backslash \; nu\}\; a\; ^\; \{\backslash \; mu\}\; b\; ^\; \{\backslash \; nu\},\}$

где теперь η → g (p), т.е. g по-прежнему является метрическим тензором, но теперь зависит от пространства-времени и является решением уравнений поля Эйнштейна. Более того, a, b должны быть касательными инструментами в точке пространства-времени p и больше не могут свободно перемещаться.

Хронологические отношения и отношения причинности

Пусть x, y ∈ M. Мы говорим, что

1. x хронологически предшествует y, если y - x направлено в будущее подобно времени. Это отношение имеет транзитивное свойство, и поэтому может быть записано, что x < y.
2. x причинно предшествует y, если y - x направлен в будущее нуль или ориентирован в будущее подобно времени. Это дает частичное упорядочение пространства-времени, поэтому можно записать x ≤ y.

Предположим, x ∈ M времениподобен. Тогда равная гиперплоскость для x равна $\{y:\; \eta \; (x,\; y)\; =\; 0\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{y:\; \backslash \; eta\; (x,\; y)\; =\; 0\; \backslash \}.\}$существует эта гиперплоскость изменяется при изменении x, относительность одновременности в пространство Минковского.

Лоренцево многообразие - это двоякое обобщение пространства Минковского. Общее количество измерений-времени не ограничивается 4 (2 или более).

Обобщенное пространство Минковского

Пространство Минковского относится к математической формуле в четырех измерениях. Однако математику можно легко расширить или упростить, чтобы создать аналогичное пространство Минковского в любом количестве. Если n ≥ 2, n-мерное пространство Минковского - это пространство вещественной размерности n, на котором есть постоянная метрика Минковского сигнатуры (n - 1, 1) или (1, n - 1). Эти обобщения используются в теории, где пространство-время больше или меньше четырех измерений. Теория струн и М-теория - два примера, где n>4. В теории струнного поля теории конформного поля с размером пространства-времени 1 + 1.

пространство де Ситтера может быть сформулировано как подмногообразие обобщенного пространства Минковского, как и модельные пространства гиперболической геометрии (см. Ниже).

Кривизна

Как плоское пространство-время, три пространственных компонента пространства-времени Минковского всегда подчиняются теореме Пифагора. Пространство Минковского является подходящей для использования для соответствующей теории относительности, хорошего описания физических систем на конечных расстояниях в системе без помощи гравитации. Однако, чтобы принять во внимание гравитацию, физики используют теорию общей теории относительности, которая сформулирована в математике неевклидовой геометрии. Когда эта геометрия используется в качестве модели физического пространства, она известна как искривленное пространство.

Даже в искривленном пространстве Минковского все еще является хорошим описанием в бесконечно малой области, окружающей любую точку (за исключением гравитационных гравитационных областей) сингулярностей). Говоря более абстрактно, мы говорим, что в присутствии гравитации пространство-время описывается изогнутым 4-мерным многообразием, для которого касательное пространство к любой точке является 4-мерным пространством Минковского. Таким образом, структура пространства Минковского по-прежнему важна для описания общей теории относительности.

Значение термина «геометрия» для пространства Минковского сильно зависит от контекста. Пространство Минковского не наделено евклидовой геометрии и не наделено каким-либо образом из обобщенных римановых с внутренней кривизной, которые раскрываются модельными пространствами в гиперболической геометрии (отрицательная кривизна) и геометрией, моделируемой сфера (положительная положительная кривизна). Причина - неопределенность метрики Минковского. Пространство Минковского, в частности, не является метрическим пространством и не является римановым многообразием с римановой метрикой. Однако пространство Минковского содержит подмногообразий, наделенных римановой метрикой, дающую гиперболическую геометрию.

Модельные пространства гиперболической геометрии низкой размерности, скажем 2 или 3, не могут быть изометрически встроены в евклидово пространство с еще одним измерением, т.е. или ℝ соответственно, с евклидовой метрикой g, что не позволяет легко визуализировать. Для сравнения, модельные пространства с положительной кривизной - это просто пространство в евклидовом пространстве высшего измерения. Однако оказывается, что эти гиперболические пространства могут быть изометрическими вложениями в пространстве еще одного измерения, если пространство вложения наделено метрикой Минковского η.

Определите H. R⊂ Mкак верхний лист (ct>0) гиперболоида

$HR\; 1\; (n)\; =\; \{(ct,\; x\; 1,\dots ,\; xn)\; \in \; M\; n:\; с\; 2\; T\; 2\; -\; (Икс\; 1)\; 2\; \cdots \; (Xn)\; 2\; =\; R\; 2,\; ct>0\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{H\}\; \_\; \{R\}\; ^\; \{1\; (n)\}\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\backslash \; left\; (ct,\; x\; ^\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; x\; ^\; \{n\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbf\; \{M\}\; ^\; \{n\}:\; c\; ^\; \{2\}\; t\; ^\; \{2\}\; -\; \backslash \; left\; (x\; ^\; \{1\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; \backslash \; cdots\; \backslash \; left\; (x\; ^\; \{n\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; =\; R\; ^\; \{2\},\; ct>0\; \backslash \; right\; \backslash \}\}$

в <82 M 189>M>размерности пространства-времени n + 1. Это одна из поверхностей транзитивности обобщенной группы Лоренца. индуцированная метрика на этом подмномномии,

$h\; R\; 1\; (n)\; =\; \iota \; \ast \; \eta ,\; \{\backslash \; displaystyle\; h\_\; \{R\}\; ^\; \{1\; (n)\}\; =\; \backslash \; iota\; ^\; \{*\}\; \backslash \; eta,\}$

откат метрики Минковского η при включении римановой метрикой. С этой метрикой H. Rявляется риман овым многообразием. Это одна из модельных Основы римановой геометрии, модель гиперболоида гиперболического пространства. Это пространство постоянной отрицательной кривизны −1 / R. 1 в верхнем индексе относится к перечислению различных модельных пространств гиперболической геометрии, а n - к их размерности. 2 (2) соответствует модели диска Пуанкаре, а 3 (n) соответствует модели полупространства Пуанкаре размерности n.

Предварительные сведения

В приведенном выше определении ι: H. R→ M- это карта включения, а звездочка над индексом обозначает откат. Настоящая цель - описать эту и операцию как подготовку к реальной демонстрации того, что H. Rна самом деле является гиперболическим пространством.

Поведение тензоров при включении, возврат ковариантных тензоров при совместном использовании и переносе векторов при общих отображениях

Поведение тензоров при включении: . Для включения из подмногообразия S в M и ковариантных тензоров α порядка k на M выполнено $\iota \; \ast \; \alpha \; (X\; 1,\; X\; 2,\dots ,\; X\; k)\; =\; \alpha \; (\iota \; \ast \; X\; 1,\; \iota \; \ast \; X\; 2,\dots ,\; \iota \; \ast \; X\; k)\; =\; \alpha \; (Икс\; 1,\; Икс\; 2,\dots ,\; Икс\; К),\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; iota\; ^\; \{*\}\; \backslash \; альфа\; \backslash \; влево\; (X\_\; \{1\},\; \backslash ,\; X\_\; \{2\},\; \backslash ,\; \backslash \; ldots,\; \backslash ,\; X\_\; \{k\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; alpha\; \backslash \; left\; (\backslash \; iota\; \_\; \{*\}\; X\_\; \{1\},\; \backslash ,\; \backslash \; iota\; \_\; \{*\}\; X\_\; \{2\},\; \backslash ,\; \backslash \; ldots,\; \backslash ,\; \backslash \; iota\; \_\; \{*\}\; X\_\; \{k\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; alpha\; \backslash \; left\; (X\_\; \{1\},\; \backslash ,\; X\_\; \{2\},\; \backslash ,\; \backslash \; ldots,\; \backslash ,\; X\_\; \{k\}\; \backslash \; right),\}$ где X 1, X 1,…, X k - состояние поля на S. Звездочка в нижнем индексе обозначает продвижение вперед (будет введено позже), и в этом частном случае это просто карта идентичности (как и карта). Последнее равенство имеет место, потому что касательное пространство к подмным образом в точке каноническим образом является подпространством касательного самого пространства в рассматриваемой точке. Можно просто написать $\iota \; \ast \; \alpha \; =\; \alpha \; |\; S,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; iota\; ^\; \{*\}\; \backslash \; alpha\; =\; \backslash \; alpha\; |\; \_\; \{S\},\}$ означает (с небольшим использованием нотацией ) ограничение α на принятие в качестве входных векторов касательных только для некоторого s ∈ S. Откат тензоров при общих отображениях: . Возврат ковариантного k-тензора α (принимающего в качестве аргументов только контравариантные элементы) при отображении F: M → N является линейным отображением $F\; \ast :\; TF\; (p)\; К\; N\; \to \; T\; pk\; M,\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; ^\; \{*\}\; \backslash \; двоеточие\; T\_\; \{F\; (p)\}\; ^\; \{k\}\; N\; \backslash \; rightarrow\; T\_\; \{p\}\; ^\; \{k\}\; M,\}$ где для любого пространства V $T\; k\; V\; =\; V\; \ast \; \otimes \; V\; \ast \; \otimes \; \cdots \; \otimes \; V\; \ast \; ⏟\; k\; раз.\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; ^\; \{k\}\; V\; =\; \backslash \; underbrace\; \{V\; ^\; \{*\}\; \backslash \; otimes\; V\; ^\; \{*\}\; \backslash \; otimes\; \backslash \; cdots\; \backslash \; otimes\; V\; ^\; \{*\}\}\; \_\; \{k\; \{\backslash \; text\; \{times\}\}\}.\}$ Он определяется формулой $F\; \ast \; (\alpha )\; (X\; 1,\; X\; 2,\dots ,\; X\; k)\; =\; \alpha \; (F\; \ast \; X\; 1,\; F\; \ast \; X\; 2,\dots ,\; F\; \ast \; X\; k),\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; ^\; \{*\}\; (\backslash \; alpha)\; \backslash \; left\; (X\_\; \{1\},\; \backslash ,\; X\_\; \{2\},\; \backslash ,\; \backslash \; ldots,\; \backslash ,\; X\_\; \{k\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; alpha\; \backslash \; left\; (F\; \_\; \{*\}\; X\_\; \{1\},\; \backslash ,\; F\; \_\; \{*\}\; X\_\; \{2\},\; \backslash ,\; \backslash \; ldots,\; \backslash ,\; F\; \_\; \{*\}\; X\_\; \{k\}\; \backslash \; right),\}$ где нижняя звездочка обозначает переход вперед карты F, а X, X,…, X - структура в T p M. (Это соответствует тому, что было описано об откате карты включения. В общем случае здесь нельзя действовать так же просто, потому что F ∗X1≠ X 1 в целом.) продвижение векторов в соответствии с общими отображениями: . Эвристически подтягивание тензора к p ∈ M из F (p) ∈ N, кормление его векторов, находящихся в p ∈ M, по определению аналогично продвижению векторов вперед из p ∈ M в F (p) ∈ N, передавая их тензору, находящемуся в F (p) ∈ N. Дальнейшее разворачивание определений, переход вперед F ∗ : TM p → TN F (p) векторного поля при отображении F: M → N между многообразиями определяется как $F\; \ast \; (X)\; f\; =\; X\; (f\; \circ \; F),\; \{\; \backslash \; displaystyle\; F\; \_\; \{*\}\; (X)\; f\; =\; X\; (f\; \backslash \; circ\; F),\}$ где f - функция на N. Когда M = ℝ, N = ℝ, продвижение F сводится к DF: ℝ → ℝ, обычный дифференциал, который задается матрицей Якоби частных производных компонентных функций. Дифференциал - это наилучшее линейное приближение функции F от до. Прогресс - это гладкая версия этого многообразия. Он действует между касательными пространствами и находится в координатах, представленных матрицей Якоби координатного представления функции. Соответствующий откат - это двойное отображение из двойного касательного пространства диапазона к двойному касательному пространству домена, то есть это линейное отображение, $F\; \ast :\; TF\; (p)\; \ast \; N\; \to \; T\; p\; \ast \; M.\; \{\backslash \; displaystyle\; F\; ^\; \{*\}\; \backslash \; двоеточие\; T\_\; \{F\; (p)\}\; ^\; \{*\}\; N\; \backslash \; rightarrow\; T\_\; \{p\}\; ^\; \{*\}\; M.\}$

Гиперболическая стереографическая проекция

Красная дуга окружности является геодезической в Модель диска Пуанкаре ; он проецируется на коричневую геодезическую на зеленый гиперболоид.

Чтобы отобразить метрику, необходимо вернуть ее с помощью подходящей параметризации. Параметризация подмногообразия S в M - это отображение U ⊂ ℝ → M, образ которого является открытым подмножеством S. Если S имеет ту же размерность, что и M, параметризация - это просто обратное для координатного отображения φ: M → U ⊂ ℝ. Используемая параметризация - обратная гиперболической стереографической проекции. Это показано на рисунке слева для n = 2. Поучительно сравнить с стереографической проекцией для сфер.

Стереографическая проекция σ: H. R→ ℝ и ее обратная σ: ℝ → H. Rзадаются как

$\sigma \; (\tau ,\; x)\; =\; u\; =\; R\; x\; R\; +\; \tau ,\; \sigma \; -\; 1\; (\; и)\; знак\; равно\; (\tau ,\; Икс)\; знак\; равно\; (RR\; 2\; +\; |\; u\; |\; 2\; R\; 2\; -\; |\; u\; |\; 2,\; 2\; R\; 2\; u\; R\; 2\; -\; |\; u\; |\; 2),\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; sigma\; (\; \backslash \; tau,\; \backslash \; mathbf\; \{x\})\; =\; \backslash \; mathbf\; \{u\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{R\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\}\; \{R\; +\; \backslash \; tau\}\},\; \backslash \backslash \backslash \; sigma\; ^\; \{-\; 1\}\; (\backslash \; mathbf\; \{u\})\; =\; (\backslash \; tau,\; \backslash \; mathbf\; \{x\})\; =\; \backslash \; left\; (R\; \{\backslash \; frac\; \{R\; ^\; \{2\}\; +\; |\; u\; |\; ^\; \{2\}\}\; \{R\; ^\; \{2\}\; -\; |\; u\; |\; ^\; \{2\}\; \}\},\; \{\backslash \; frac\; \{2R\; ^\; \{2\}\; \backslash \; mathbf\; \{u\}\}\; \{R\; ^\; \{2\}\; -\; |\; u\; |\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right),\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

где, для простоты τ ≡ ct. (Τ, x ) - координаты на M, а u - координаты на ℝ.

Детальный вывод

Пусть $HR\; n\; =\; \{(\tau ,\; x\; 1,\dots ,\; xn)\; \subset \; M:\; -\; \tau \; 2\; +\; (x\; 1)\; 2\; +\; \cdots \; +\; (xn)\; 2\; =\; -\; R\; 2,\; \tau >0\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{H\}\; \_\; \{R\}\; ^\; \{n\}\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\backslash \; left\; (\backslash \; tau,\; x\; ^\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; x\; ^\; \{n\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; subset\; \backslash \; mathbf\; \{M\}:\; -\; \backslash \; tau\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; left\; (x\; ^\; \{1\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; \backslash \; left\; (x\; ^\; \{n\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; =\; -\; R\; ^\; \{2\},\; \backslash \; tau>0\; \backslash \; right\; \backslash \}\}$ и пусть $S\; =\; (-\; 1,\; 0,\dots ,\; 0)\; \{\backslash \; displaystyle\; S\; =\; (-\; 1,0,\; \backslash \; ldots,\; 0)\}$ Если $P\; =\; (\tau ,\; x\; 1,\dots ,\; xn)\; \in \; HR\; n,\; \{\backslash \; displaystyle\; P\; =\; \backslash \; left\; (\backslash \; tau,\; x\; ^\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; x\; ^\; \{n\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbf\; \{H\}\; \_\; \{R\}\; ^\; \{n\},\}$ , то геометрически ясно, что вектор $PS\; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overrightarrow\; \{PS\}\}\}$ пересекает гиперплоскость $\{(\tau ,\; x\; 1,\dots ,\; xn)\; \in \; M:\; \tau \; =\; 0\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\backslash \; left\; (\backslash \; tau,\; x\; ^\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; x\; ^\; \{n\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; in\; M:\; \backslash \; tau\; =\; 0\; \backslash \; right\; \backslash \}\}$ один раз в точке, обозначенной $U\; =\; (0,\; u\; 1\; (P),\dots ,\; U\; n\; (P))\; \equiv \; (0,\; u).\; \{\backslash \; Displaystyle\; U\; =\; \backslash \; left\; (0,\; u\; ^\; \{1\}\; (P),\; \backslash \; ldots,\; u\; ^\; \{n\}\; (P)\; \backslash \; right)\; \backslash \; Equiv\; (0,\; \backslash \; mathbf\; \{u\}).\}$ Один имеет $S\; +\; SU\; \to \; =\; U\; \Rightarrow \; SU\; \to \; =\; U\; -\; S,\; S\; +\; SP\; \to \; =\; P\; \Rightarrow \; SP\; \to \; =\; U\; -\; P.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; S\; +\; \{\backslash \; overrightarrow\; \{SU\}\}\; =\; U\; \backslash \; Rightarrow\; \{\backslash \; overrightarrow\; \{SU\}\}\; =\; US,\; \backslash \backslash \; S\; +\; \{\backslash \; overrightarrow\; \{SP\}\}\; =\; P\; \backslash \; Rightarrow\; \{\backslash \; overrightarrow\; \{SP\}\}\; =\; UP\; \backslash \; end\; \{align\}\}.\}$ или $SU\; \to \; =\; (0,\; u)\; -\; (-\; R,\; 0)\; =\; (R,\; u),\; SP\; \to \; =\; (\tau ,\; x)\; -\; (-\; R,\; 0)\; =\; (\tau \; +\; R,\; x).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; overrightarrow\; \{SU\}\}\; =\; (0,\; \backslash \; mathbf\; \{u\})\; -\; (-\; R,\; 0)\; =\; (R,\; \backslash \; mathbf\; \{u\}),\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; overrightarrow\; \{SP\}\}\; =\; (\backslash \; tau,\; \backslash \; mathbf\; \{x\})\; -\; (-\; R,\; 0)\; =\; (\backslash \; tau\; +\; R,\; \backslash \; mathbf\; \{x\}).\; \backslash \; End\; \{align\}\}\}$ По построению стереографическая проекция $SU\; \to \; =\; \lambda \; (\tau )\; SP\; \to .\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; overrightarrow\; \{SU\}\}\; =\; \backslash \; lambda\; (\backslash \; tau)\; \{\backslash \; overrightarrow\; \{SP\}\}.\}$ Это приводит к системе уравнений $R\; =\; \lambda \; (\tau \; +\; R),\; u\; =\; \lambda \; х.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; R\; =\; \backslash \; lambda\; (\backslash \; tau\; +\; R),\; \backslash \backslash \backslash \; mathbf\; \{u\}\; =\; \backslash \; lambda\; \backslash \; mathbf\; \{x\}.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$ Первый из они решаются для $\lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\}$, и для стереографической проекции получается $\sigma \; (\tau ,\; x)\; =\; u\; =\; R\; x\; R\; +\; \tau .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; (\backslash \; tau,\; \backslash \; mathbf\; \{x\})\; =\; \backslash \; mathbf\; \{u\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{R\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\}\; \{R\; +\; \backslash \; tau\}\}.\}$ Затем обратное $\sigma \; -\; 1\; (u)\; =\; (\tau ,\; x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; ^\; \{-\; 1\}\; (u)\; =\; (\backslash \; tau,\; \backslash \; mathbf\; \{x\})\}$должно быть вычислено. Используйте те же соображения, что и раньше, но теперь с $U\; =\; (0,\; u)\; P\; =\; (\tau \; (u),\; \xi \; (u)).\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; U\; =\; (0,\; \backslash \; mathbf\; \{u\})\; \backslash \backslash \; P\; =\; (\backslash \; tau\; (\backslash \; mathbf\; \{u\}),\; \backslash \; xi\; (\backslash \; mathbf\; \{u\})).\; \backslash \; end\; \{выровнено\; \}\}\}$ Получается $\tau \; =\; R\; (1\; -\; \lambda )\; \lambda ,\; x\; =\; u\; \lambda ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; tau\; =\; \{\backslash \; frac\; \{R\; (1-\; \backslash \; lambda)\; \}\; \{\backslash \; lambda\}\},\; \backslash \backslash \backslash \; mathbf\; \{x\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathbf\; \{u\}\}\; \{\backslash \; lambda\}\},\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$ , но теперь с $\lambda \; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\}$в зависимости от $u.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{u\}.\}$Условие для P, лежащего в гиперболоиде: $-\; \tau \; 2\; +\; u\; \cdot \; u\; =\; -\; \tau \; 2\; +\; |\; u\; |\; 2\; =\; -\; R\; 2,\; \{\backslash \; Displaystyle\; -\; \backslash \; tau\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{u\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{u\}\; =\; -\; \backslash \; tau\; ^\; \{2\}\; +\; |\; u\; |\; ^\; \{2\}\; =\; -\; R\; ^\; \{\; 2\},\}$ или $-\; R\; 2\; (1\; -\; \lambda )\; 2\; \lambda \; 2\; =\; |\; u\; |\; 2\; \lambda \; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; -\; \{\backslash \; frac\; \{R\; ^\; \{2\}\; (1-\; \backslash \; lambda)\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; lambda\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{|\; u\; |\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; lambda\; ^\; \{2\}\}\},\}$ , что приводит к $\lambda \; =\; R\; 2\; -\; |\; u\; |\; 2\; 2\; К\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\; =\; \{\backslash \; frac\; \{R\; ^\; \{2\}\; -\; |\; u\; |\; ^\; \{2\}\}\; \{2R\; ^\; \{2\}\}\}.\}$ С этим $\lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lambda\}$, получаем $\sigma \; -\; 1\; (u)\; =\; (\tau ,\; x)\; =\; (RR\; 2\; +\; |\; u\; |\; 2\; R\; 2\; -\; |\; u\; |\; 2,\; 2\; R\; 2\; u\; R\; 2\; -\; |\; u\; |\; 2.)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; sigma\; ^\; \{-\; 1\}\; (\backslash \; mathbf\; \{u\})\; =\; (\backslash \; tau,\; \backslash \; mathbf\; \{x\})\; =\; \backslash \; left\; (R\; \{\backslash \; frac\; \{R\; ^\; \{2\}\; +\; |\; u\; |\; ^\; \{2\}\}\; \{R\; ^\; \{2\}\; -\; |\; u\; |\; ^\; \{2\}\}\},\; \{\backslash \; frac\; \{2R\; ^\; \{2\}\; \backslash \; mathbf\; \{u\}\}\; \{R\; ^\; \{2\}\; -\; |\; u\; |\; ^\; \{2\}\; \}\}.\; \backslash \; right)\}$

Возврат метрики

Имеется

$h\; R\; 1\; (n)\; =\; \eta \; |\; HR\; 1\; (n)\; =\; (dx\; 1)\; 2\; +\dots \; +\; (dxn)\; 2\; -\; d\; \tau \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; h\_\; \{R\}\; ^\; \{1\; (n)\}\; =\; \backslash \; eta\; |\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{H\}\; \_\; \{R\; \}\; ^\; \{1\; (n)\}\}\; =\; \backslash \; left\; (dx\; ^\; \{1\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; ldots\; +\; \backslash \; left\; (dx\; ^\; \{n\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; -d\; \backslash \; tau\; ^\; \{\; 2\}\}$

и отображение

$\sigma \; -\; 1:\; R\; n\; \to \; HR\; 1\; (n);\; \sigma \; -\; 1\; (u)\; =\; (\tau \; (u),\; x\; (u))\; =\; (R\; R\; 2\; +\; |\; u\; |\; 2\; R\; 2\; -\; |\; u\; |\; 2,\; 2\; R\; 2\; u\; R\; 2\; -\; |\; u\; |\; 2).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; ^\; \{-\; 1\}:\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; mathbf\; \{H\}\; \_\; \{R\}\; ^\; \{1\; (n)\};\; \backslash \; quad\; \backslash \; sigma\; ^\; \{-\; 1\}\; (\backslash \; mathbf\; \{u\})\; =\; (\backslash \; tau\; (\backslash \; mathbf\; \{u\}),\; \backslash ,\; \backslash \; mathbf\; \{x\}\; (\backslash \; mathbf\; \{u\}))\; =\; \backslash \; left\; (R\; \{\backslash \; frac\; \{R\; ^\; \{2\}\; +\; |\; u\; |\; ^\; \{2\}\}\; \{R\; ^\; \{2\}\; -\; |\; u\; |\; ^\; \{2\}\}\},\; \backslash ,\; \{\backslash \; frac\; \{2R\; ^\; \{2\}\; \backslash \; mathbf\; \{u\}\}\; \{R\; ^\; \{2\}\; -\; |\; u\; |\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right).\}$

Возвращенная метрика может быть получена простыми методами исчисления;

$(\sigma \; -\; 1)\; \ast \; \eta \; |\; H\; R\; 1\; (n)\; =\; (d\; x\; 1\; (u))\; 2\; +\dots \; +\; (d\; x\; n\; (u))\; 2\; -\; (d\; \tau \; (u))\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left.\; \backslash \; left\; (\backslash \; sigma\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{*\}\; \backslash \; eta\; \backslash \; right\; |\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{H\}\; \_\; \{R\}\; ^\; \{1\; (n)\}\}\; =\; \backslash \; left\; (dx\; ^\; \{1\}\; (\backslash \; mathbf\; \{u\})\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; ldots\; +\; \backslash \; left\; (dx\; ^\; \{n\}\; (\backslash \; mathbf\; \{u\})\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; -\; \backslash \; left\; (\; d\; \backslash \; tau\; (\backslash \; mathbf\; \{u\})\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}.\}$

Выполняется вычисление в соответствии со стандартными правилами вычисления дифференциалов (хотя на самом деле вычисляются строго определенные внешние производные),

$dx\; 1\; (u)\; =\; d\; (2\; R\; 2\; u\; 1\; R\; 2\; -\; |\; u\; |\; 2)\; =\; \partial \; \partial \; u\; 1\; 2\; R\; 2\; u\; 1\; R\; 2\; -\; |\; u\; |\; 2\; d\; u\; 1\; +\dots \; +\; \partial \; \partial \; u\; n\; 2\; R\; 2\; u\; 1\; R\; 2\; -\; |\; u\; |\; 2\; d\; u\; n\; +\; \partial \; \partial \; \tau \; 2\; R\; 2\; u\; 1\; R\; 2\; -\; |\; u\; |\; 2\; d\; \tau ,\; ⋮\; dxn\; (u)\; =\; d\; (2\; R\; 2\; un\; R\; 2\; -\; |\; u\; |\; 2)\; =\; \cdots ,\; d\; \tau \; (u)\; =\; d\; (RR\; 2\; +\; |\; u\; |\; 2\; R\; 2\; -\; |\; u\; |\; 2)\; Знак\; равно\; \cdots ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; dx\; ^\; \{1\}\; (\backslash \; mathbf\; \{u\})\; =\; d\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{2R\; ^\; \{2\}\; u\; ^\; \{1\}\}\; \{R\; ^\; \{2\; \}\; -\; |\; u\; |\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; u\; ^\; \{1\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{2R\; ^\; \{2\}\; u\; ^\; \{1\}\}\; \{R\; ^\; \{2\}\; -\; |\; u\; |\; ^\; \{2\}\}\}\; du\; ^\; \{1\}\; +\; \backslash \; ldots\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; u\; ^\; \{n\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{2R\; ^\; \{2\}\; u\; ^\; \{1\}\}\; \{R\; ^\; \{2\}\; -\; |\; u\; |\; ^\; \{2\}\}\}\; du\; ^\; \{n\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; tau\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{2R\; ^\; \{2\}\; u\; ^\; \{1\}\}\; \{R\; ^\; \{2\}\; -\; |\; u\; |\; ^\; \{2\}\}\}\; d\; \backslash \; tau,\; \backslash \backslash \; \backslash \; \backslash \; \backslash \; vdots\; \backslash \backslash \; dx\; ^\; \{n\}\; (\backslash \; mathbf\; \{u\})\; =\; d\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{2R\; ^\; \{2\}\; u\; ^\; \{n\}\}\; \{R\; ^\; \{2\}\; -\; |\; u\; |\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; cdots,\; \backslash \backslash \; d\; \backslash \; tau\; (\backslash \; mathbf\; \{u\; \})\; =\; d\; \backslash \; left\; (R\; \{\backslash \; frac\; \{R\; ^\; \{2\}\; +\; |\; u\; |\; ^\; \{2\}\}\; \{R\; ^\; \{2\}\; -\; |\; u\; |\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; cdots,\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

и подставляет результаты в правую часть. Отсюда получаем

$(\sigma \; -\; 1)\; \ast \; h\; R\; 1\; (n)\; =\; 4\; R\; 2\; [(du\; 1)\; 2\; +\dots \; +\; (dun)\; 2]\; (R\; 2\; -\; |\; u\; |\; 2)\; 2\; \equiv \; h\; R\; 2\; (\; п).\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; left\; (\backslash \; sigma\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{*\}\; h\_\; \{R\}\; ^\; \{1\; (n)\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{4R\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; [\backslash \; left\; (du\; ^\; \{\; 1\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; ldots\; +\; \backslash \; left\; (du\; ^\; \{n\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right]\}\; \{\backslash \; left\; (R\; ^\; \{2\}\; -\; |\; u\; |\; ^\; \{2\}\; \backslash \; справа)\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; Equiv\; h\_\; \{R\}\; ^\; \{2\; (n)\}.\}$

Подробный план вычислений

Имеется $\partial \; \partial \; u\; 1\; 2\; R\; 2\; u\; 1\; R\; 2\; -\; |\; u\; |\; 2\; d\; u\; 1\; =\; 2\; (R\; 2\; -\; |\; u\; |\; 2)\; +\; 4\; R\; 2\; (u\; 1)\; 2\; (R\; 2\; -\; |\; u\; |\; 2)\; 2\; d\; u\; 1,\; \partial \; \partial \; u\; 2\; 2\; R\; 2\; u\; 1\; R\; 2\; -\; |\; u\; |\; 2\; du\; 2\; знак\; равно\; 4\; р\; 2\; u\; 1\; u\; 2\; du\; 2\; (R\; 2\; -\; |\; u\; |\; 2)\; 2\; du\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; u\; ^\; \{1\}\; \}\}\; \{\backslash \; frac\; \{2R\; ^\; \{2\}\; u\; ^\; \{1\}\}\; \{R\; ^\; \{2\}\; -\; |\; u\; |\; ^\; \{2\}\}\}\; du\; ^\; \{1\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2\; \backslash \; left\; (R\; ^\; \{2\}\; -\; |\; u\; |\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; +\; 4R\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (u\; ^\; \{1\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; left\; (R\; ^\; \{2\}\; -\; |\; u\; |\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}\}\; du\; ^\; \{1\},\; \backslash \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; u\; ^\; \{2\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{2R\; ^\; \{2\}\; u\; ^\; \{1\; \}\}\; \{R\; ^\; \{2\}\; -\; |\; u\; |\; ^\; \{2\}\}\}\; du\; ^\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{4R\; ^\; \{2\}\; u\; ^\; \{1\}\; u\; ^\; \{2\}\; du\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; left\; (R\; ^\; \{2\}\; -\; |\; u\; |\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}\}\; du\; ^\; \{2\},\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$ и $\partial \; \partial \; \tau \; 2\; R\; 2\; u\; 1\; R\; 2\; -\; |\; u\; |\; 2\; d\; \tau \; 2\; знак\; равно\; 0.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; tau\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{2R\; ^\; \{2\}\; u\; ^\; \{1\}\}\; \{R\; ^\; \{2\}\; -\; |\; u\; |\; ^\; \{2\}\}\}\; d\; \backslash \; tau\; ^\; \{2\}\; =\; 0.\}$ Здесь можно записать $dx\; 1\; (u)\; =\; 2\; R\; 2\; (R\; 2\; -\; |\; u\; |\; 2)\; du\; 1\; +\; 4\; R\; 2\; U\; 1\; (U\; \cdot \; du)\; (R\; 2\; -\; |\; u\; |\; 2)\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; dx\; ^\; \{1\}\; (\backslash \; mathbf\; \{u\})\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2R\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (R\; ^\; \{\; 2\}\; -\; |\; u\; |\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; du\; ^\; \{1\}\; +\; 4R\; ^\; \{2\}\; u\; ^\; \{1\}\; (\backslash \; mathbf\; \{u\}\; \backslash \; cdot\; d\; \backslash \; mathbf\; \{u\})\}\; \{\backslash \; left\; (R\; ^\; \{2\}\; -\; |\; u\; |\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}\},\}$ откуда $(dx\; 1\; (u))\; 2\; =\; 4\; R\; 2\; (r\; 2\; -\; |\; u\; |\; 2)\; 2\; (du\; 1)\; 2\; +\; 16\; R\; 4\; (R\; 2\; -\; |\; u\; |\; 2)\; (u\; \cdot \; du)\; u\; 1\; du\; 1\; +\; 14\; R\; r\; (u\; 1)\; 2\; (u\; \cdot \; du)\; 2\; (R\; 2\; -\; |\; u\; |\; 2)\; 4.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (dx\; ^\; \{1\}\; (\backslash \; mathbf\; \{u\})\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{4R\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (r\; ^\; \{2\}\; -\; |\; u\; |\; ^\; \{2\; \}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (du\; ^\; \{1\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; +\; 16R\; ^\; \{4\}\; \backslash \; left\; (R\; ^\; \{2\}\; -\; |\; u\; |\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{u\}\; \backslash \; cdot\; d\; \backslash \; mathbf\; \{u\}\; \backslash \; right)\; u\; ^\; \{1\}\; du\; ^\; \{1\}\; +\; 14R\; ^\; \{r\}\; \backslash \; left\; (u\; ^\; \{1\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{u\}\; \backslash \; cdot\; d\; \backslash \; mathbf\; \{u\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; left\; (R\; ^\; \{2\}\; -\; |\; u\; |\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{4\}\}\}.\}$ Суммируя эту формулу, получаем $(dx 1 (u)) 2 +… + (dxn (u)) 2 = 4 R 2 (R 2 - | u | 2) 2 [(du 1) 2 + … + (Dun) 2] + 16 R 4 (R 2 - | u | 2) (u ⋅ du) (u ⋅ du) + 16 R 4 | u | 2 (u ⋅ du) 2 (R 2 - | u | 2) 4 = 4 R 2 (R 2 - | u | 2) 2 [(du 1) 2 +… + (dun) 2] (R 2 - | u | 2) 4 + R 2 16 R 4 (u ⋅ du) (R 2 - | u | 2) 4. {\ Displaystyle {\ begin {align} \ left (dx ^ {1} (\ mathbf {u}) \ right) ^ {2} + \ ldots + \ left (dx ^ {n} (\ mathbf {u})) \ right) ^ {2} \\ = {} {\ frac {4R ^ {2} \ left (R ^ {2} - | u | ^ {2} \ right) ^ {2} \ left [\ left (du ^ {1} \ right) ^ {2} + \ ldots + \ left (du ^ {n} \ right) ^ {2} \ right] + 16R ^ {4} \ left (R ^ {2} - | u | ^ {2} \ right) (\ mathbf {u} \ cdot d \ mathbf {u}) (\ mathbf {u} \ cdot d \ mathbf {u}) + 16R ^ {4} | u | ^ {2} (\ mathbf {u} \ cdot d \ mathbf {u}) ^ {2}} {\ left (R ^ {2} - | u | ^ {2} \ right) ^ {4}}} \\ = {} {\ frac {4R ^ {2} \ left (R ^ {2} - | u | ^ {2} \ right) ^ {2} \ left [\ left (du ^ {1} \ справа) ^ {2} + \ ldots + \ left (du ^ {n} \ right) ^ {2} \ right]} {\ left (R ^ {2} - | u | ^ {2} \ right) ^ {4}}} + R ^ {2} {\ frac {16R ^ {4} (\ mathbf {u} \ cdot d \ mathbf {u})} {\ left (R ^ {2} - | u | ^ {2} \ right) ^ {4}}}. \ End {align}}}$ Аналогично, для τ получаем $d\; \tau \; =\; \sum \; i\; =\; 1\; n\; \partial \; \partial \; ui\; RR\; 2\; +\; |\; u\; |\; 2\; R\; 2\; +\; |\; u\; |\; 2\; d\; u\; i\; +\; \partial \; \partial \; \tau \; R\; R\; 2\; +\; |\; u\; |\; 2\; R\; 2\; +\; |\; u\; |\; 2\; d\; \tau \; знак\; равно\; \sum \; я\; знак\; равно\; 1\; N\; R\; 4\; 4\; R\; 2\; uidui\; (R\; 2\; -\; |\; u\; |\; 2),\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; \backslash \; tau\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \}\; \{\backslash \; partial\; u\; ^\; \{i\}\}\}\; R\; \{\backslash \; frac\; \{R\; ^\; \{2\}\; +\; |\; u\; |\; ^\; \{2\}\}\; \{R\; ^\; \{2\}\; +\; |\; u\; |\; ^\; \{2\}\}\}\; du\; ^\; \{i\; \}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; tau\}\}\; R\; \{\backslash \; frac\; \{R\; ^\; \{2\}\; +\; |\; u\; |\; ^\; \{2\}\}\; \{R\; ^\; \{2\}\; +\; |\; u\; |\; ^\; \{2\}\}\; \}\; d\; \backslash \; tau\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; R\; ^\; \{4\}\; \{\backslash \; frac\; \{4R\; ^\; \{2\}\; u\; ^\; \{i\}\; du\; ^\; \{i\}\}\; \{\backslash \; left\; (R\; ^\; \{2\; \}\; -\; |\; u\; |\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\}\},\}$ , что дает $-\; dt\; 2\; =\; -\; (R\; 4\; R\; 4\; (u\; \cdot \; du)\; (R\; 2\; -\; |\; u\; |\; 2)\; 2)\; 2\; =\; -\; R\; 2\; 14\; R\; 4\; (u\; \cdot \; du)\; 2\; (R\; 2\; -\; |\; u\; |\; 2)\; 4.\; \{\backslash \; displaystyle\; -dt\; ^\; \{2\}\; =\; -\; \backslash \; left\; (R\; \{\backslash \; frac\; \{4R\; ^\; \{4\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; mathbf\; \{u\}\; \backslash \; cdot\; d\; \backslash \; mathbf\; \{u\}\; \backslash \; right)\}\; \{\backslash \; left\; (R\; ^\; \{2\}\; -\; |\; u\; |\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; =\; -\; R\; ^\; \{2\}\; \{\backslash \; frac\; \{14R\; ^\; \{4\}\; (\backslash \; mathbf\; \{u\}\; \backslash \; cdot\; d\; \backslash \; mathbf\; \{u\})\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; left\; (R\; ^\; \{2\}\; -\; |\; u\; |\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{4\}\}\}.\}$ Теперь добавьте этот вклад в файл finally получить $(\sigma \; -\; 1)\; \ast \; h\; R\; 1\; (n)\; =\; 4\; R\; 2\; [(du\; 1)\; 2\; +\dots \; +\; (dun)\; 2]\; (R\; 2\; -\; |\; u\; |\; 2)\; 2\; \equiv \; h\; R\; 2\; (n).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\backslash \; sigma\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{*\}\; h\_\; \{R\}\; ^\; \{1\; (n)\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{4R\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; [\backslash \; left\; (du\; ^\; \{\; 1\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; ldots\; +\; \backslash \; left\; (du\; ^\; \{n\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right]\}\; \{\backslash \; left\; (R\; ^\; \{2\}\; -\; |\; u\; |\; ^\; \{2\}\; \backslash \; справа)\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; Equiv\; h\_\; \{R\}\; ^\; \{2\; (n)\}.\}$

Это последнее уравнение показывает, что метрика на шаре идентична римановой метрике h. Rв Модель Пуанкаре шара, еще одна стандартная модель гиперболической геометрии.

Альтернативный расчет с использованием прямого продвижения

Откат может быть вычислен другим способом. По определению $(\sigma \; -\; 1)\; \ast \; h\; R\; 1\; (n)\; (V,\; V)\; =\; h\; R\; 1\; (n)\; ((\sigma \; -\; 1)\; \ast \; V,\; (\sigma \; -\; 1)\; \ast \; V)\; =\; \eta \; |\; H\; R\; 1\; (n)\; ((\sigma \; -\; 1)\; \ast \; V,\; (\sigma \; -\; 1)\; \ast \; V).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\backslash \; sigma\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{*\}\; h\_\; \{R\}\; ^\; \{1\; (n)\}\; (V,\; \backslash ,\; V)\; =\; h\_\; \{R\}\; ^\; \{1\; (n)\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; left\; (\backslash \; sigma\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{*\}\; V,\; \backslash ,\; \backslash \; left\; (\backslash \; sigma\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{*\}\; V\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; eta\; |\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{H\}\; \_\; \{R\}\; ^\; \{1\; (n)\}\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; left\; (\backslash \; sigma\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{*\}\; V,\; \backslash ,\; \backslash \; left\; (\backslash \; sigma\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{*\}\; V\; \backslash \; right).\}$ В координатах $(\sigma \; -\; 1)\; \ast \; V\; =\; (\sigma \; -\; 1)\; \ast \; V\; i\; \partial \; \partial \; ui\; =\; V\; i\; \partial \; xj\; \partial \; ui\; \partial \; \partial \; xj\; +\; V\; i\; \partial \; \tau \; \partial \; ui\; \partial \; \partial \; \tau \; =\; V\; i\; \partial \; xj\; \partial \; ui\; \partial \; \partial \; xj\; +\; V\; i\; \partial \; \tau \; \partial \; ui\; \partial \; \partial \; \tau \; =\; V\; xj\; \partial \; \partial \; xj\; +\; V\; \tau \; \partial \; \partial \; \tau .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; (\backslash \; sigma\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{*\}\; V\; =\; \backslash \; left\; (\backslash \; sigma\; ^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; right)\; \_\; \{*\}\; V\; ^\; \{i\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \}\; \{\backslash \; partial\; u\; ^\; \{i\}\}\}\; =\; V\; ^\; \{i\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; x\; ^\; \{j\}\}\; \{\backslash \; part\; ial\; u\; ^\; \{i\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; x\; ^\; \{j\}\}\}\; +\; V\; ^\; \{i\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; tau\}\; \{\backslash \; partial\; u\; ^\; \{i\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; tau\}\}\; =\; V\; ^\; \{i\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{x\}\}\; ^\; \{j\}\; \{\backslash \; partial\; u\; ^\; \{i\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \}\; \{\backslash \; partial\; x\; ^\; \{j\}\}\}\; +\; V\; ^\; \{i\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; tau\}\}\; \{\backslash \; partial\; u\; ^\; \{i\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; tau\; \}\}\; =\; Vx\; ^\; \{j\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; x\; ^\; \{j\}\}\}\; +\; V\; \backslash \; tau\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; tau\}\}.\}$ Из формулы для σ $имеем\; V\; xj\; =\; V\; i\; \partial \; \partial \; ui\; (2\; R\; 2\; uj\; R\; 2\; -\; |\; u\; |\; 2)\; =\; 2\; R\; 2\; V\; j\; R\; 2\; -\; |\; u\; |\; 2\; -\; 4\; R\; 2\; uj\; ⟨V,\; u⟩\; (R\; 2\; -\; |\; u\; |\; 2)\; 2,\; (здесь\; V\; |\; u\; |\; 2\; =\; 2\; \sum \; k\; =\; 1\; n\; V\; kuk\; \equiv \; 2\; ⟨V,\; u⟩)\; V\; \tau \; =\; V\; (RR\; 2\; +\; |\; u\; |\; 2\; R\; 2\; -\; |\; u\; |\; 2)\; =\; 4\; R\; 3\; ⟨V,\; u⟩\; (R\; 2\; -\; |\; u\; |\; 2)\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; Vx\; ^\; \{j\}\; =\; V\; ^\; \{i\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; u\; ^\; \{i\}\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{2R\; ^\; \{2\}\; u\; ^\; \{j\}\}\; \{R\; ^\; \{2\}\; -\; |\; u\; |\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{2R\; ^\; \{2\}\; V\; ^\; \{j\}\}\; \{R\; ^\; \{2\}\; -\; |\; u\; |\; ^\; \{2\}\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{4R\; ^\; \{2\}\; u\; ^\; \{j\}\; \backslash \; langle\; \backslash \; mathbf\; \{V\},\; \backslash ,\; \backslash \; mathbf\; \{u\}\; \backslash \; rangle\}\; \{\backslash \; left\; (R\; ^\; \{2\}\; -\; |\; u\; |\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}\},\; \backslash \; quad\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; text\; \{здесь\}\}\; V\; |\; u\; |\; ^\; \{2\}\; =\; 2\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; V\; ^\; \{k\}\; u\; ^\; \{k\}\; \backslash \; Equiv\; 2\; \backslash \; langle\; \backslash \; mathbf\; \{V\},\; \backslash ,\; \backslash \; mathbf\; \{u\}\; \backslash \; rangle\; \backslash \; right)\; \backslash \backslash \; V\; \backslash \; tau\; =\; V\; \backslash \; left\; (R\; \{\backslash \; frac\; \{R\; ^\; \{2\}\; +\; |\; u\; |\; ^\; \{2\}\}\; \{R\; ^\; \{2\}\; -\; |\; u\; |\; ^\; \{2\}\}\}\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{4R\; ^\; \{3\}\; \backslash \; langle\; \backslash \; mathbf\; \{V\},\; \backslash ,\; \backslash \; mathbf\; \{u\}\; \backslash \; rangle\}\; \{\backslash \; left\; (R\; ^\; \{2\}\; -\; |\; u\; |\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}\}.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$ Наконец, $\eta \; (\sigma \; \ast \; -\; 1\; V,\; \sigma \; \ast \; -\; 1\; V)\; =\; \sum \; j\; =\; 1\; n\; (V\; xj)\; 2\; -\; (V\; \tau )\; 2\; =\; 4\; R\; 4\; |\; V\; |\; 2\; (R\; 2\; -\; |\; U\; |\; 2)\; 2\; знак\; равно\; час\; R\; 2\; (N)\; (V,\; z,\; V),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; eta\; \backslash \; left\; (\backslash \; sigma\; \_\; \{*\}\; ^\; \{-\; 1\}\; V,\; \backslash ,\; \backslash \; sigma\; \_\; \{*\}\; ^\; \{-\; 1\}\; V\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; left\; (Vx\; ^\; \{j\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; -\; (V\; \backslash \; tau)\; ^\; \{2\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{4R\; ^\; \{4\}\; |\; V\; |\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; left\; (R\; ^\; \{2\}\; -\; |\; u\; |\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; h\_\; \{\; R\}\; ^\; \{2\; (n)\}\; (V,\; z,\; V),\}$ и такой же вывод сделан.

• Введение в математику общей теории относительности
• Плоскость Минковского

• Corry, L. (1997). «Герман Минковский и постулат относительности». Arch. Hist. Exact Sci. 51 (4): 273–314. doi : 10.1007 / BF00518231. ISSN 0003-9519. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• Катони, Ф.; и др. (2008). Математика пространства Минковского. Границы в математике. Базель: Birkhäuser Verlag. doi : 10.1007 / 978-3-7643-8614-6. ISBN 978-3-7643-8613-9. ISSN 1660-8046. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• Галисон, PL (1979). Р. Маккормах и др. (Ред.). Пространство-время Минковского: от визуального мышления к абсолютному миру. Исторические исследования в физических науках. 10. Johns Hopkins University Press. 85–121. doi : 10.2307 / 27757388. JSTOR 27757388. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• Джулини Д. Богатая структура пространства Минковского, https://arxiv.org/abs/0802.4345v1
• Клеппнер, Д. ; Коленков, Р.Дж. (1978) [1973]. Введение в механику. Лондон: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-035048-9. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• Landau, L.D. ; Лифшиц, Э.М. (2002) [1939]. Классическая теория поля. Курс теоретической физики. 2 (4-е изд.). Баттерворт-Хайнеманн. ISBN 0-7506-2768-9. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• Ли, Дж. М. (2003). Введение в гладкие коллекторы. Тексты для выпускников Springer по математике. 218 . ISBN 978-0-387-95448-6. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• Ли, Дж. М. (1997). Римановы многообразия - Введение в кривизну. Тексты для выпускников Springer по математике. 176 . Нью-Йорк · Берлин · Гейдельберг: Springer Verlag. ISBN 978-0-387-98322-6. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• Минковский, Герман (1907–1908), «Die Grundgleichungen für die elektromagnetischen Vorgänge in bewegten Körpern " [Основные уравнения электромагнитных процессов в движущихся телах], Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physource2391–53 : Основные уравнения электромагнитных процессов в движущихся телах
• Минковский, Герман (1908–1909), "Raum und Zei t " [Пространство и время], Physikalische Zeitschrift, 10 : 75–88 Различные английские переводы в Wikisource: Пространство и время
• Миснер, Чарльз В.. ; Торн, Кип. S. ; Уиллер, Джон А. (1973), Gravitation, WH Freeman, ISBN 978-0-7167-0344-0 CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• Naber, GL (1992). Геометрия пространства-времени Минковского. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97848-2. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• Нэш, Дж. (1956). «Проблема вложения для римановых многообразий». Annals of Mathematics. 63(1): 20–63. doi : 10.2307 / 1969989. JSTOR 1969989. MR 0075639. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• Пенроуз, Роджер (2005). «Геометрия Минковского 18». Дорога к реальности: Полное руководство по Законы Вселенной. Альфред А. Кнопф. ISBN 9780679454434. CS1 maint: ref = harv (link )
• Пуанкаре, Анри (1905–1906), «Sur la Dynamique de l'électron» [О динамике электрона] (PDF), Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 21 : 129–176, doi : 10.1007 / BF03013466, hdl : 2027 / uiug.30112063899089 Перевод Wikisource: On the Dynamics of the Electron
• Робб AA: Оптическая геометрия движения; Новый взгляд на теорию относительности Кембридж, 1911 г. (Хефферс). http://www.archive.org/details/opticalgeometryoOOrobbrich
• Робб А.А.: Геометрия времени и пространства, 1936 г., Cambridge Univ Press, http://www.archive.org/details/geometryoftimean032218mbp
• Сард, RD (1970). Релятивистская механика - Специальная теория относительности и классическая динамика частиц. Нью-Йорк: В. А. Бенджамин. ISBN 978-0805384918. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• Шоу, Р. (1982). "§ 6.6 Пространство Минковского, § 6.7, 8 Canonical Form pp 221–242 ". Линейная алгебра и представления групп. Academic Press. ISBN 978-0-12-639201-2. CS1 maint: ref = harv (l ink )
• Вальтер, Скотт А. (1999). «Минковский, математики и математическая теория относительности». In Goenner, Hubert; et al. (Eds.). Расширяющиеся миры общей теории относительности. Boston: Birkhäuser. Pp. 45–86. ISBN 978-0-8176-4060-6. CS1 maint: ref = harv (ссылка )
• Вайнберг, С. (2002), Квантовая теория полей, 1, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55001-7

СМИ, относящиеся к диаграмм Минковского на Wikimedia Commons

• Анимационный ролик на YouTube визуализация пространства Минковского в контексте специальной теории относительности.
• Геометрия специальной теории относительности: Минкоу лыжное пространство-время световой конус
• пространство Минковского в PhilPapers