Полная производная

В математике полная производная функции f в точке является наилучшее линейное приближение вблизи этой точки функции по отношению к ее аргументам. В отличие от частных производных, полная производная аппроксимирует функцию по всем ее аргументам, а не только по одному. Во многих ситуациях это то же самое, что рассматривать все частные производные одновременно. Термин «полная производная» в основном используется, когда f является функцией нескольких переменных, поскольку, когда f является функцией одной переменной, полная производная совпадает с производной функции.

«Полная производная» иногда также используется как синоним производной материала в механике жидкости.

Содержание

• 1 Полная производная в виде линейной карты
• 2 Полная производная как дифференциальная форма
• 3 Цепное правило для общих производных
  • 3.1 Пример: дифференциация с прямыми зависимостями
  • 3.2 Пример: дифференциация с косвенными зависимостями
• 4 Полное дифференциальное уравнение
• 5 Применение к системы уравнений
• 6 См. также
• 7 Ссылки
• 8 Внешние ссылки

Полная производная в виде линейной карты

Пусть $U\; \subseteq \; R\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; U\; \backslash \; substeq\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}$быть открытым подмножеством. Тогда функция $f:\; U\; \to \; R\; m\; \{\backslash \; displaystyle\; f:\; U\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; ^\; \{m\}\}$называется (полностью ) дифференцируемый в точке $a\; \in \; U\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; \backslash \; in\; U\}$, если существует линейное преобразование $dfa:\; R\; n\; \to \; R\; m\; \{\backslash \; displaystyle\; df\_\; \{a\}:\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; ^\; \{m\}\}$такой, что

$lim\; x\; \to \; a\; \Vert \; f\; (x)\; -\; е\; (а)\; -\; dfa\; (Икс\; -\; а)\; \Vert \; \Vert \; Икс\; -\; а\; \Vert \; =\; 0.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{x\; \backslash \; rightarrow\; a\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; |\; f\; (x)\; -f\; (a)\; -df\_\; \{a\}\; (xa)\; \backslash \; |\}\; \{\backslash \; |\; xa\; \backslash \; |\}\}\; =\; 0.\}$

линейная карта $dfa\; \{\backslash \; displaystyle\; df\_\; \{a\}\}$называется (итого ) производной или (итого ) дифференциалом от $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$в $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$. Другие обозначения для полной производной включают $D\; af\; \{\backslash \; displaystyle\; D\_\; \{a\}\; f\}$и $D\; f\; (a)\; \{\backslash \; displaystyle\; Df\; (a)\}$. Функция является (полностью ) дифференцируемой, если ее полная производная существует в каждой точке ее области определения.

Концептуально определение полной производной выражает идею, что $dfa\; \{\backslash \; displaystyle\; df\_\; \{a\}\}$является наилучшим линейным приближением к $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \}$в точке $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$. Это можно сделать точным путем количественной оценки ошибки линейного приближения, определенной как $d\; f\; a\; \{\backslash \; displaystyle\; df\_\; \{a\}\}$. Для этого напишите

$f\; (a\; +\; h)\; =\; f\; (a)\; +\; dfa\; (h)\; +\; \epsilon \; (h),\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (a\; +\; h)\; =\; f\; (a)\; +\; df\_\; \{a\}\; (\; h)\; +\; \backslash \; varepsilon\; (h),\}$

где $\epsilon \; (h)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\; (h)\}$равняется ошибке аппроксимации. Сказать, что производная от $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$в $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$равна $dfa\; \{\backslash \; displaystyle\; df\_\; \{a\}\}$эквивалентно утверждению

$\epsilon \; (h)\; =\; o\; (\Vert \; h\; \Vert ),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\; (h)\; =\; o\; (\backslash \; lVert\; h\; \backslash \; rVert),\}$

где $о\; \{\backslash \; displaystyle\; o\}$- это краткое обозначение и указывает, что $\epsilon \; (h)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\; (h)\}$намного меньше, чем $\Vert \; час\; \Vert \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lVert\; h\; \backslash \; rVert\}$как $h\; \to \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; h\; \backslash \; to\; 0\}$. Полная производная $dfa\; \{\backslash \; displaystyle\; df\_\; \{a\}\}$- это уникальное линейное преобразование, для которого член ошибки настолько мал, и в этом смысле это наилучшее линейное приближение к $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$.

Функция $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$дифференцируема тогда и только тогда, когда каждый из ее компонентов $fi:\; U\; \to \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{i\}\; \backslash \; columns\; U\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\}$является дифференцируемым, поэтому при изучении полных производных часто можно работать с одной координатой в кодомене за раз. Однако то же самое нельзя сказать о координатах в области. Верно, что если $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$дифференцируем в $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$, то каждая частная производная $\partial \; f\; /\; \partial \; xi\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; f\; /\; \backslash \; partial\; x\_\; \{i\}\}$существует в $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$. Обратное неверно: может случиться так, что все частные производные от $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$в $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$существуют, но $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$не дифференцируется в $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$. Это означает, что функция очень "грубая" в $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$, до такой степени, что ее поведение не может быть адекватно описано ее поведением в координатных направлениях. Когда $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$не такой грубый, этого не может произойти. Точнее, если все частные производные $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$в $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$существуют и непрерывны в окрестности $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$, тогда $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$дифференцируем в $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$. В этом случае полная производная от $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$представляет собой линейное преобразование, соответствующее матрице Якоби частных производных в этой точке.

Полная производная как дифференциальная форма

Когда рассматриваемая функция является действительной, полная производная может быть преобразована с использованием дифференциальных форм. Например, предположим, что $f:\; R\; n\; \to \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; двоеточие\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\}$- дифференцируемая функция переменных $x\; 1,\dots ,\; xn\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; x\_\; \{n\}\}$. Полная производная от $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$в $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$может быть записана в терминах его матрицы Якоби, которая в данном случае матрица-строка (транспонирует из градиента ):

$dfa\; =\; (\partial \; f\; \partial \; x\; 1,\; \cdots ,\; \partial \; f\; \partial \; xn).\; \{\backslash \; displaystyle\; df\_\; \{a\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{1\}\}\},\; \backslash \; cdots,\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{n\}\}\}\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}.\}$

Свойство линейной аппроксимации полной производной означает, что если

$\Delta \; x\; =\; (\Delta \; x\; 1,\; \cdots ,\; \Delta \; xn)\; T\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; x\; =\; \{\backslash \; begin\; \{pmatrix\}\; \backslash \; Delta\; x\_\; \{1\},\; \backslash \; cdots,\; \backslash \; Delta\; x\_\; \{n\}\; \backslash \; end\; \{pmatrix\}\}\; ^\; \{T\}\}$

- небольшой вектор (где $T\; \{\backslash \; displaystyle\; T\}$обозначает транспонирование, так что этот вектор является вектором-столбцом), тогда

$f\; (a\; +\; \Delta \; x)\; -\; f\; (a)\; \approx \; dfa\; \cdot \; \Delta \; x\; =\; \sum \; i\; =\; 1\; н\; \partial \; f\; \partial \; xi\; \Delta \; xi.\; \{\backslash \; Displaystyle\; f\; (a\; +\; \backslash \; Delta\; x)\; -f\; (a)\; \backslash \; приблизительно\; df\_\; \{a\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; Delta\; x\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{i\}\}\}\; \backslash \; Delta\; x\_\; \{i\}.\}$

Эвристически это предполагает, что если $dx\; 1,\dots ,\; dxn\; \{\backslash \; displaystyle\; dx\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; dx\_\; \{n\}\}$- бесконечно малые приращения в направлениях координат, тогда

$dfa\; =\; \sum \; i\; =\; 1\; n\; \partial \; f\; \partial \; xi\; (a)\; dxi.\; \{\backslash \; displaystyle\; df\_\; \{a\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{i\}\}\}\; (a)\; dx\_\; \{i\}.\}$

В Фактически, понятие бесконечно малого, которое здесь является просто символическим, может быть дополнено обширной математической структурой. Такие методы, как теория дифференциальных форм, эффективно дают аналитическое и алгебраическое описание объектов, таких как бесконечно малые приращения, $d\; x\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; dx\_\; \{i\}\}$. Например, $dxi\; \{\backslash \; displaystyle\; dx\_\; \{i\}\}$может быть вписан как линейный функционал в векторное пространство $R\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{R\; \}\; ^\; \{n\}\}$. Вычисление $dxi\; \{\backslash \; displaystyle\; dx\_\; \{i\}\}$в векторе $h\; \{\backslash \; displaystyle\; h\}$в $R\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{R\; \}\; ^\; \{n\}\}$измеряет, сколько $h\; \{\backslash \; displaystyle\; h\}$указывает в $i\; \{\backslash \; displaystyle\; i\}$th координате направление. Полная производная $d\; f\; a\; \{\backslash \; displaystyle\; df\_\; \{a\}\}$является линейной комбинацией линейных функционалов и, следовательно, сама является линейным функционалом. Оценка $dfa\; (h)\; \{\backslash \; displaystyle\; df\_\; \{a\}\; (h)\}$измеряет, сколько $h\; \{\backslash \; displaystyle\; h\}$указывает в направлении, определяемом $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$в $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$, и это направление является градиентом. Эта точка зрения делает полную производную экземпляром внешней производной.

. Предположим теперь, что $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$является векторной функцией, то есть $е:\; р\; n\; \to \; р\; м\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; двоеточие\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; ^\; \{m\}\}$. В этом случае компоненты $fi\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{i\}\}$из $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$являются функциями с действительным знаком, поэтому они связаны дифференциальные формы $dfi\; \{\backslash \; displaystyle\; df\_\; \{i\}\}$. Полная производная $df\; \{\backslash \; displaystyle\; df\}$объединяет эти формы в один объект и, следовательно, является экземпляром векторнозначной дифференциальной формы.

Цепное правило для полных производных

Цепное правило имеет особенно элегантное утверждение в терминах полных производных. В нем говорится, что для двух функций $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$и $g\; \{\backslash \; displaystyle\; g\}$полная производная от составного $g\; \circ \; f\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; \backslash \; circ\; f\}$at $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$удовлетворяет

$d\; (g\; \circ \; f)\; a\; =\; dgf\; (a)\; \circ \; dfa.\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; (g\; \backslash \; circ\; f)\; \_\; \{a\}\; =\; dg\_\; \{f\; (a)\}\; \backslash \; circ\; df\_\; \{a\}.\}$

Если полные производные от $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$и $g\; \{\backslash \; displaystyle\; g\}$отождествляются со своими матрицами Якоби, тогда композиция в правой части представляет собой простое матричное умножение. Это чрезвычайно полезно в приложениях, поскольку позволяет учитывать по существу произвольные зависимости между аргументами составной функции.

Пример: дифференциация с прямыми зависимостями

Предположим, что f является функцией двух переменных, x и y. Если эти две переменные независимы, так что область определения f равна $R\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; ^\; \{2\}\}$, то поведение f можно понять с точки зрения его частные производные по направлениям x и y. Однако в некоторых ситуациях x и y могут зависеть. Например, может случиться так, что f ограничено кривой $y\; =\; y\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; y\; (x)\}$. В этом случае нас действительно интересует поведение составной функции $f\; (x,\; y\; (x))\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x,\; y\; (x))\}$. Частная производная f по x не дает истинной скорости изменения f относительно изменения x, потому что изменение x обязательно изменяет y. Однако цепное правило для полной производной учитывает такие зависимости. Запишите $\gamma \; (x)\; =\; (x,\; y\; (x))\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; (x)\; =\; (x,\; y\; (x))\}$. Тогда цепное правило гласит:

$d\; (f\; \circ \; \gamma )\; x\; 0\; =\; d\; f\; (x\; 0,\; y\; (x\; 0))\; \circ \; d\; \gamma \; x\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; (f\; \backslash \; circ\; \backslash \; gamma)\; \_\; \{x\_\; \{0\}\}\; =\; df\; \_\; \{(x\_\; \{0\},\; y\; (x\_\; \{0\}))\}\; \backslash \; circ\; d\; \backslash \; gamma\; \_\; \{x\_\; \{0\}\}.\}$

Выражая полную производную с помощью матриц Якоби, получаем:

$df\; (x,\; y\; (x))\; dx\; (x\; 0)\; =\; \partial \; f\; \partial \; x\; (x\; 0,\; y\; (x\; 0))\; \cdot \; \partial \; x\; \partial \; x\; (x\; 0)\; +\; \partial \; f\; \partial \; y\; (x\; 0,\; y\; (x\; 0))\; \cdot \; \partial \; y\; \partial \; x\; (x\; 0).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{df\; (x,\; y\; (x))\}\; \{dx\}\}\; (x\_\; \{0\})\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; (x\_\; \{0\},\; y\; (\; x\_\; \{0\}))\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; x\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; (x\_\; \{0\})\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; (x\_\; \{0\},\; y\; (x\_\; \{0\}))\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; y\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; (x\_\; \{0\}).\}$

Подавление оценки при $x\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{0\}\; \}$для удобочитаемости, мы также можем записать это как

$df\; (x,\; y\; (x))\; dx\; =\; \partial \; f\; \partial \; x\; \partial \; x\; \partial \; x\; +\; \partial \; f\; \partial \; y\; \partial \; y\; \partial \; x.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{df\; (x,\; y\; (x))\}\; \{dx\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; x\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; y\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}.\}$

Это дает простую формулу для производной от $f\; (x,\; y\; (x))\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x,\; y\; (x))\}$в терминах частных производных от $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$и производных от $y\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; (x)\}$.

Например, предположим, что

$f\; (x,\; y)\; =\; xy.\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x,\; y)\; =\; xy.\}$

Скорость изменения f по отношению к x обычно является частной производной f по x; в этом случае

$\partial \; f\; \partial \; x\; =\; y.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; =\; y.\}$

Однако, если y зависит от x, частная производная не дает истинной скорости изменения f при изменении x, поскольку частная производная предполагает, что y фиксировано. Предположим, мы ограничены линией

$y\; =\; x.\; \{\backslash \; displaystyle\; y\; =\; x.\}$

Тогда

$f\; (x,\; y)\; =\; f\; (x,\; x)\; =\; x\; 2,\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x,\; y)\; =\; f\; (x,\; x)\; =\; x\; ^\; \{2\},\}$

и полная производная f по x равна

$dfdx\; =\; 2\; x,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{df\}\; \{dx\}\}\; =\; 2x,\}$

что мы см. не равно частной производной $\partial \; f\; /\; \partial \; x\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; f\; /\; \backslash \; partial\; x\}$. Однако вместо немедленной замены y через x мы также можем использовать цепное правило, как указано выше:

$dfdx\; =\; \partial \; f\; \partial \; x\; +\; \partial \; f\; \partial \; ydydx\; =\; y\; +\; x\; \cdot \; 1\; =\; x\; +\; y\; =\; 2\; x.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{df\}\; \{dx\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; x\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; f\}\; \{\backslash \; partial\; y\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{dy\}\; \{\; dx\}\}\; =\; y\; +\; x\; \backslash \; cdot\; 1\; =\; x\; +\; y\; =\; 2x.\}$

Пример: дифференциация с косвенными зависимостями

Хотя часто можно выполнять замены для устранения косвенных зависимостей, правило цепочки обеспечивает более эффективную и общую технику. Предположим, что $L\; (t,\; x\; 1,\dots ,\; xn)\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; (t,\; x\_\; \{1\},\; \backslash \; dots,\; x\_\; \{n\})\}$является функцией времени $t\; \{\backslash \; displaystyle\; t\}$и $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$переменные $xi\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{i\}\}$, которые сами зависят вовремя. Тогда производная по времени от $L\; \{\backslash \; displaystyle\; L\}$равна

$d\; L\; d\; t\; =\; d\; d\; t\; L\; (t,\; x\; 1\; (t),\dots ,\; x\; n\; (t)).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{dL\}\; \{dt\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dt\}\}\; L\; \{\backslash \; bigl\; (\}\; t,\; x\_\; \{1\}\; (t),\; \backslash \; ldots,\; x\_\; \{n\}\; (t)\; \{\backslash \; bigr)\}.\}$

Цепное правило выражает эту производную через частные производные от $L\; \{\backslash \; displaystyle\; L\}$и производные по времени от функций $xi\; \{\; \backslash \; Displaystyle\; x\_\; \{я\}\}$:

$d\; L\; dt\; =\; \partial \; L\; \partial \; T\; +\; \sum \; я\; =\; 1\; N\; \partial \; L\; \partial \; xidxidt\; =\; (\partial \; \partial \; T\; +\; \sum \; i\; =\; 1\; ndxidt\; \partial \; \partial \; xi)\; (L).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{dL\}\; \{dt\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; L\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; L\}\; \{\; \backslash \; partial\; x\_\; \{i\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{dx\_\; \{i\}\}\; \{dt\}\}\; =\; \{\backslash \; biggl\; (\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; t\}\}\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \{\backslash \; frac\; \{dx\_\; \{i\}\}\; \{dt\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; x\_\; \{i\}\}\}\; \{\backslash \; biggr)\}\; (L).\}$

Это выражение часто используется в физике для калибровочного преобразования лагранжиана, как два лагранжиана, которые отличаются только полной производной по времени функции времени и $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$обобщенные координаты приводят к тем же уравнениям движения. Интересный пример касается разрешения причинности в теории симметрии времени Уиллера – Фейнмана. Оператор в скобках (в последнем выражении выше) также называется оператором полной производной (относительно $t\; \{\backslash \; displaystyle\; t\}$).

Например, полная производная от $f\; (x\; (t),\; y\; (t))\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x\; (t),\; y\; (t))\}$равно

$dfdt\; =\; \partial \; f\; \partial \; xdxdt\; +\; \partial \; f\; \partial \; ydydt.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{df\}\; \{dt\}\}\; =\; \{\backslash \; partial\; f\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; x\}\; \{dx\; \backslash \; over\; dt\}\; +\; \{\backslash \; partial\; f\; \backslash \; over\; \backslash \; partial\; y\}\; \{dy\; \backslash \; over\; dt\}.\}$

Здесь нет термина $\partial \; f\; /\; \partial \; t\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; f\; /\; \backslash \; partial\; t\}$, поскольку $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$сам по себе не зависят напрямую от независимой переменной $t\; \{\backslash \; displaystyle\; t\}$.

Полное дифференциальное уравнение

Полное дифференциальное уравнение - это дифференциальное уравнение, выраженное в терминах полных производных. Поскольку внешняя производная не содержит координат, в том смысле, что это может иметь технический смысл, такие уравнения являются внутренними и геометрическими.

Применение к системам уравнений

В экономике общая производная обычно возникает в контексте системы уравнений. Например, простая система спроса и предложения может определять количество q продукта, требуемого как функцию D от его цены p и дохода потребителей I, причем последний является экзогенной переменной, и может определять количество, поставляемое производителями, как функцию S его цены и двух внешних переменных затрат ресурсов r и w. Полученная система уравнений

$q\; =\; D\; (p,\; I),\; \{\backslash \; displaystyle\; q\; =\; D\; (p,\; I),\}$

$q\; =\; S\; (p,\; r,\; w),\; \{\backslash \; displaystyle\; q\; =\; S\; (p,\; r,\; w),\}$

определяет рыночные равновесные значения переменных p и q. Полная производная $d\; p\; /\; d\; r\; \{\backslash \; displaystyle\; dp\; /\; dr\}$от p относительно r, например, дает знак и величину реакции рыночной цены на экзогенную переменную r. В указанной системе существует всего шесть возможных полных производных, также известных в этом контексте как сравнительные статические производные : dp / dr, dp / dw, dp / dI, dq / dr, dq / dw, и dq / dI. Полные производные находятся путем полного дифференцирования системы уравнений, деления, скажем, на dr, обработки dq / dr и dp / dr как неизвестных, установления dI = dw = 0 и одновременного решения двух полностью дифференцированных уравнений, обычно следующим образом: с использованием правила Крамера.

См. также

• производная Фреше - обобщение полной производной

Ссылки

• A. Д. Полянин и В.Ф. Зайцев, Справочник по точным решениям для обыкновенных дифференциальных уравнений (2-е издание), Chapman Hall / CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297 -2
• Из thesaurus.maths.org общая производная

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик У. «Общая производная». MathWorld.
• Рональд Д. Криз (2007) Представление полных производных скалярных функций двух измерений с использованием приподнятых поверхностей и касательных плоскостей из Virginia Tech