Перевод (геометрия)

При перемещении каждая точка фигуры или пространства перемещается на одинаковую величину в заданном направлении. Отражение красной формы относительно оси с последующим отражением образовавшейся зеленой формы относительно второй оси, параллельной первой, приводит к общему движению, которое является переносом красной формы в положение синей формы.

В евклидовой геометрии, перевод - это геометрическое преобразование, которое перемещает каждую точку фигуры или пространства на одинаковое расстояние в заданном направлении. Смещение также можно интерпретировать как добавление константы вектора к каждой точке или как сдвиг начала системы координат . В евклидовом пространстве любой перенос является изометрией.

• 1 Как функция
  • 1.1 Горизонтальные и вертикальные переводы
    • 1.1.1 Пример
  • 1.2 Применение в классической физике
• 2 Как оператор
• 3 Как группа
  • 3.1 Группы решеток
• 4 Матричное представление
• 5 Смещение осей
• 6 Трансляционная симметрия
• 7 См. также
• 8 Внешние ссылки
• 9 Ссылки

Если $v\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\}$является фиксированным вектором, известным как перевод вектор, а $p\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\}$- начальная позиция некоторого объекта, затем функция перевода $T\; v\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{v\}\}\; \}$будет работать как $T\; v\; (p)\; =\; p\; +\; v\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{v\}\}\; (\backslash \; mathbf\; \{p\})\; =\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{\; v\}\}$.

Если $T\; \{\backslash \; displaystyle\; T\}$- это перевод, то изображение подмножества $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$в функции $T\; \{\backslash \; displaystyle\; T\}$- это перевод из $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$на $T\; \{\backslash \; displaystyle\; T\}$. Перевод $A\; \{\backslash \; displaystyle\; A\}$на $T\; v\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{v\}\}\}$часто записывается $A\; +\; v\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; +\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\}$.

Горизонтальное и вертикальное смещение

В геометрии, вертикальное смещение (также известное как вертикальное shift ) - это перенос геометрического объекта в направлении, параллельном вертикальной оси декартовой системы координат.

Графики различных первообразных функции f (x) = 3x - 2. Все они являются вертикальными перемещениями друг друга.

Часто вертикальные перемещения рассматриваются для графика функции. Если f является любой функцией от x, то график функции f (x) + c (значения которой задаются добавлением константы c к значениям f) может быть получен вертикальным перемещением график f (x) по расстоянию c. По этой причине функцию f (x) + c иногда называют вертикальным перемещением функции f (x). Например, первообразные функции все отличаются друг от друга на константу интегрирования и, следовательно, являются вертикальными сдвигами друг друга.

В функции графика, горизонтальный перевод - это преобразование, которое приводит к графику, который эквивалентен смещению базового графика влево или вправо в направлении ось абсцисс. График переводится на k единиц по горизонтали, перемещая каждую точку на графике на k единиц по горизонтали.

Для базовой функции f (x) и константы k, функцию, заданную формулой g (x) = f (x - k), можно набросать f (x) сдвинул k единиц по горизонтали.

Если о преобразовании функций говорили в терминах геометрических преобразований, было бы понятнее, почему функции перемещаются по горизонтали именно так. При адресации переводов на декартовой плоскости естественно вводить переводы в этом типе записи:

$(x,\; y)\; \to \; (x\; +\; a,\; y\; +\; b)\; \{\backslash \; displaystyle\; (x,\; y)\; \backslash \; rightarrow\; (x\; +\; a,\; y\; +\; b)\}$

или

$T\; (x,\; y)\; =\; (x\; +\; a,\; y\; +\; b)\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; (x,\; y)\; =\; (x\; +\; a,\; y\; +\; b)\}$

где $a\; \{\backslash \; displaystyle\; a\}$и $b\; \{\backslash \; displaystyle\; b\}$- горизонтальные и вертикальные изменения соответственно..

Пример

Взяв параболу y = x, горизонтальный сдвиг на 5 единиц вправо будет представлен как T ((x, y)) = (x + 5, у). Теперь мы должны связать это обозначение преобразования с алгебраическим обозначением. Рассмотрим точку (a.b) на исходной параболе, которая перемещается в точку (c, d) на перенесенной параболе. Согласно нашему переводу, c = a + 5 и d = b. Точка на исходной параболе была b = a. Нашу новую точку можно описать, связав d и c в одном уравнении. b = d и a = c - 5. Итак, d = b = a = (c - 5) Поскольку это верно для всех точек на нашей новой параболе, новое уравнение y = (x - 5).

Применение в классической физике

В классической физике поступательное движение - это движение, которое изменяет положение объекта, в отличие от вращение. Например, согласно Уиттекеру:

Если тело перемещается из одного положения в другое, и если линии, соединяющие начальную и конечную точки каждой из точек тела, представляют собой набор параллельных прямых линий длиной, так, чтобы ориентация тела в пространстве не изменилась, смещение называется переносом, параллельным направлению линий, на расстояние.

— Э. Т. Уиттакер : Трактат по аналитической динамике частиц и твердых тел, с. 1

Перемещение - это операция изменения положения всех точек $(x,\; y,\; z)\; \{\backslash \; displaystyle\; (x,\; y,\; z)\}$объекта по формуле

$(Икс,\; Y,\; Z)\; \to \; (Икс\; +\; \Delta \; Икс,\; Y\; +\; \Delta \; Y,\; Z\; +\; \Delta \; Z)\; \{\backslash \; Displaystyle\; (x,\; y,\; z)\; \backslash \; к\; (х\; +\; \backslash \; Delta\; x,\; y\; +\; \backslash \; Delta\; y,\; z\; +\; \backslash \; Delta\; z)\}$

где $(\Delta \; x,\; \Delta \; y,\; \Delta \; z)\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; Delta\; x,\; \backslash \; \backslash \; Delta\; y,\; \backslash \; \backslash \; Delta\; z)\}$то же самое вектор для каждой точки объекта. Вектор сдвига $(\Delta \; x,\; \Delta \; y,\; \Delta \; z)\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; Delta\; x,\; \backslash \; \backslash \; Delta\; y,\; \backslash \; \backslash \; Delta\; z)\}$, общий для всех точек объекта, описывает особый тип смещения объекта, обычно называемый линейным смещением, чтобы отличить его от смещений, связанных с вращением, называемых угловыми смещениями.

При рассмотрении пространства-времени изменение координаты время считается переносом.

Оператор перевода превращает функцию исходной позиции, $f\; (v)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (\backslash \; mathbf\; \{v\})\; \}$в функцию конечной позиции, $f\; (v\; +\; \delta )\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (\backslash \; mathbf\; \{v\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; delta\})\}$. Другими словами, $T\; \delta \; \{\backslash \; displaystyle\; T\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{\backslash \; delta\}\}\}$определяется так, что $T\; \delta \; f\; (v)\; =\; f\; (v\; +\; \delta ).\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{\backslash \; delta\}\}\; f\; (\backslash \; mathbf\; \{v\})\; =\; f\; (\backslash \; mathbf\; \{v\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; delta\}).\}$Этот оператор является более абстрактным, чем функция, поскольку $T\; \delta \; \{\backslash \; displaystyle\; T\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{\backslash \; delta\}\}\}$определяет отношения между двумя функциями, а не самими базовыми векторами. Оператор трансляции может воздействовать на многие виды функций, например, когда оператор трансляции действует на волновую функцию, которая изучается в области квантовой механики.

Набор всех переводов образует группу переводов $T\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{T\}\}$, которая изоморфна самому пространству, и нормальная подгруппа из евклидовой группы $E\; (n)\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; (n)\}$. Факторная группа из $E\; (n)\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; (n)\}$по $T\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{T\}\}$изоморфна ортогональной группе $O\; (n)\; \{\backslash \; displaystyle\; O\; (n)\}$:

$E\; (n)\; /\; T\; \cong \; O\; (n)\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; (n)\; /\; \backslash \; mathbb\; \{T\}\; \backslash \; cong\; O\; (n)\}$

Поскольку трансляция коммутативна, группа трансляций абелева. Существует бесконечное количество возможных переводов, поэтому группа трансляций - это бесконечная группа.

В теории относительности из-за того, что пространство и время рассматриваются как единое пространство-время, переводы также могут относиться к изменениям во временной координате . Например, группа Галилея и группа Пуанкаре включают переводы по времени.

Решетчатые группы

Одним из видов подгруппы трехмерной группы трансляции являются решетчатые группы, которые являются бесконечными группами, но, в отличие от групп перевода, конечно порождены. То есть конечный генератор генерирует всю группу.

Трансляция - это аффинное преобразование без фиксированных точек. Матричные умножения всегда имеют начало как фиксированную точку. Тем не менее, существует общий обходной путь , использующий однородные координаты для представления преобразования векторного пространства с умножением матриц : запишите 3- размерный вектор $v\; =\; (vx,\; vy,\; vz)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; =\; (v\_\; \{x\},\; v\_\; \{y\},\; v\_\; \{z\})\}$с использованием 4 однородных координат как $v\; =\; (vx,\; vy,\; vz,\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\; =\; (v\_\; \{x\},\; v\_\; \{y\},\; v\_\; \{z\},\; 1)\}$.

Чтобы перевести объект по вектору $v\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\}$, каждый однородный вектор $p\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\}$(записанный в однородных координатах) можно умножить на эту матрицу перевода :

$T\; v\; =\; [1\; 0\; 0\; vx\; 0\; 1\; 0\; vy\; 0\; 0\; 1\; vz\; 0\; 0\; 0\; 1]\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{v\; \}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 1\; 0\; 0\; v\_\; \{x\}\; \backslash \backslash \; 0\; 1\; 0\; v\_\; \{y\}\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 1\; v\_\; \{z\}\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; 1\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\}$

Как показано ниже, умножение даст ожидаемый результат:

$T\; vp\; =\; [1\; 0\; 0\; vx\; 0\; 1\; 0\; vy\; 0\; 0\; 1\; vz\; 0\; 0\; 0\; 1]\; [pxpypz\; 1]\; =\; [px\; +\; vxpy\; +\; vyp\; z\; +\; vz\; 1]\; =\; p\; +\; v\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{v\}\}\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 1\; 0\; 0\; v\_\; \{x\}\; \backslash \backslash \; 0\; 1\; 0\; v\_\; \{y\}\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 1\; v\_\; \{z\}\; \backslash \backslash \; 0\; 0\; 0\; 1\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; p\_\; \{x\}\; \backslash \backslash \; p\_\; \{y\}\; \backslash \backslash \; p\_\; \{z\}\; \backslash \backslash \; 1\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; p\_\; \{x\}\; +\; v\_\; \{x\}\; \backslash \backslash \; p\_\; \{y\}\; +\; v\_\; \{y\}\; \backslash \backslash \; p\_\; \{z\}\; +\; v\_\; \{z\}\; \backslash \backslash \; 1\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{p\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\}$

Матрица, обратная преобразованию, может быть получена путем изменения направления вектора:

$T\; v\; -\; 1\; =\; T\; -\; v.\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{v\}\}\; ^\; \{-\; 1\}\; =\; T\; \_\; \{-\; \backslash \; mathbf\; \{v\}\}.\; \backslash !\}$

Точно так же произведение матриц перевода задается сложением векторов:

$Т\; v\; Т\; ш\; =\; Т\; v\; +\; ш.\; \{\backslash \; displaystyle\; T\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{v\}\}\; T\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{w\}\}\; =\; T\; \_\; \{\backslash \; mathbf\; \{v\}\; +\; \backslash \; mathbf\; \{w\}\}.\; \backslash !\}$

Поскольку сложение векторов коммутативно, поэтому умножение матриц трансляции также коммутативно (в отличие от умножения произвольных матриц).

Хотя геометрическое смещение часто рассматривается как активный процесс, который изменяет положение геометрического объекта, аналогичный результат может быть достигнут путем пассивного преобразования который перемещает саму систему координат, но оставляет объект неподвижным. Пассивная версия активного геометрического переноса известна как перенос осей.

Объект, который выглядит одинаково до и после трансляции, имеет трансляционную симметрию. Типичный пример - периодические функции, которые являются собственными функциями оператора перевода.

• Адвекция
• Параллельный перенос
• Матрица вращения
• Масштабирование (геометрия)
• Матрица преобразования
• Трансляционная симметрия

Wikimedia Commons имеет мультимедиа, относящиеся к Перевод (геометрия).

• Преобразование перевода в по-узлу
• Геометрический перевод (интерактивная анимация) в Math Is Fun
• Понимание 2D-перевод и Понимание 3D-перевода Роджера Гермундссона, The Wolfram Demonstrations Project.

• Зазкис, Р., Лильедаль, П., и Гадовски, К. Концепции трансляция функций: препятствия, интуиция и изменение маршрута. Journal of Mathematical Behavior, 22, 437-450. Получено 29 апреля 2014 г. с сайта www.elsevier.com/locate/jmathb
• Transformations of Graphs: Horizontal Translations. (2006, 1 января). Биоматематика: преобразование графов. Получено 29 апреля 2014 г.