Оператор (математика)

редактировать

В математике оператор обычно представляет собой отображение или функция, которая воздействует на элементы пространства для создания элементов другого пространства (возможно, того же самого пространства, иногда требуется, чтобы это было такое же пространство). Нет общего определения оператора, но этот термин часто используется вместо функции, когда домен представляет собой набор функций или других структурированных объектов. Кроме того, область действия оператора часто трудно описать явно (например, в случае интегрального оператора ), и ее можно расширить на связанные объекты (оператор, который действует на функции, может также действовать на дифференциальные уравнения, функции которых являются решениями). См. Оператор (физика) для других примеров.

Самыми основными операторами (в некотором смысле) являются линейные карты, которые действуют на векторные пространства. Однако, используя «линейный оператор» вместо «линейного отображения», математики часто имеют в виду действия на векторных пространствах функций, которые также сохраняют другие свойства, такие как непрерывность. Например, дифференцирование и неопределенное интегрирование являются линейными операторами; операторы, построенные на их основе, называются дифференциальными операторами, интегральными операторами или.

Оператор также используется для обозначения символа математической операции. Это связано со значением «оператор» в компьютерном программировании, см. оператор (компьютерное программирование).

Содержание

1 Линейные операторы
2 Ограниченные операторы
3 Примеры
- 3.1 Геометрия
- 3.2 Теория вероятностей
- 3.3 Исчисление
  - 3.3.1 Ряд Фурье и преобразование Фурье
  - 3.3.2 Преобразование Лапласа
- 3.4 Основные операторы в скалярных и векторных полях
4 См. Также
5 Ссылки

Линейные операторы

Чаще всего встречаются линейные операторы. Пусть U и V - векторные пространства над полем K. A отображение A: U → V линейно, если

A (α x + β y) = α A x + β A y {\ displaystyle A (\ alpha \ mathbf {x} + \ beta \ mathbf {y}) = \ alpha A \ mathbf {x} + \ beta A \ mathbf {y}}

A (\ alpha \ mathbf {x} + \ beta \ mathbf {y}) = \ alpha A \ mathbf {x} + \ beta A \ mathbf {y}

для всех x, yв U и для всех α, β в K. Это означает, что линейный оператор сохраняет операции с векторным пространством в том смысле, что не имеет значения, применяете ли вы линейный оператор до или после операций сложения и скалярного умножения. Говоря более техническими словами, линейные операторы - это морфизмы между векторными пространствами.

В конечномерном случае линейные операторы могут быть представлены матрицами следующим образом. Пусть $K {\ displaystyle K}$ $K$ будет полем, а $U {\ displaystyle U}$ $U$ и $V {\ displaystyle V}$ $V$ быть конечномерными векторными пространствами над $K {\ displaystyle K}$ $K$ . Выберем основу $u 1,…, un {\ displaystyle \ mathbf {u} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {u} _ {n}}$ $\ mathbf {u} _1, \ ldots, \ mathbf {u} _n$ в $U {\ displaystyle U}$ $U$ и $v 1,…, vm {\ displaystyle \ mathbf {v} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {v} _ {m}}$ $\ mathbf {v} _1, \ ldots, \ mathbf {v} _m$ в $V {\ displaystyle V}$ $V$ . Тогда пусть $x = xiui {\ displaystyle \ mathbf {x} = x ^ {i} \ mathbf {u} _ {i}}$ $\ mathbf {x} = x ^ i \ mathbf {u } _i$ будет произвольным вектором в $U {\ displaystyle U}$ $U$ (при условии конвенции Эйнштейна ) и $A: U → V {\ displaystyle A: U \ to V}$ $A: U \ to V$ является линейным оператором. Тогда

A x = xi A ui = xi (A ui) jvj {\ displaystyle A \ mathbf {x} = x ^ {i} A \ mathbf {u} _ {i} = x ^ {i} (A \ mathbf {u} _ {i}) ^ {j} \ mathbf {v} _ {j}}

A \ mathbf {x} = x ^ i A \ mathbf {u} _i = x ^ i (A \ mathbf {u} _i) ^ j \ mathbf {v} _j

Тогда $aij: = (A ui) j ∈ K {\ displaystyle a_ {i} ^ { j}: = (A \ mathbf {u} _ {i}) ^ {j} \ in K}$ $a_i ^ j: = (A \ mathbf {u} _i) ^ j \ in K$ - матрица оператора $A {\ displaystyle A}$ $A$ в фиксированных базах. $aij {\ displaystyle a_ {i} ^ {j}}$ $a_i ^ j$ не зависит от выбора $x {\ displaystyle x}$ $x$ и $A x = y {\ displaystyle A \ mathbf {x} = \ mathbf {y}}$ $A \ mathbf {x} = \ mathbf {y}$ , если $aijxi = yj {\ displaystyle a_ {i} ^ {j} x ^ {i} = y ^ {j}}$ $a_i ^ jx ^ i = y ^ j$ . Таким образом, в фиксированных базах матрицы размером n на m находятся в биективном соответствии с линейными операторами от $U {\ displaystyle U}$ $U$ до $V {\ displaystyle V}$ $V$ .

Непосредственно важные концепции связаны с операторами между конечномерными векторными пространствами: rank, определитель, обратный оператор и eigenspace.

. Линейные операторы также играют большую роль в бесконечномерном случае. Понятия ранга и детерминанта нельзя распространить на бесконечномерные матрицы. Вот почему при изучении линейных операторов (и операторов в целом) в бесконечномерном случае используются очень разные методы. Изучение линейных операторов в бесконечномерном случае известно как функциональный анализ (так называемый, потому что различные классы функций образуют интересные примеры бесконечномерных векторных пространств).

Пространство последовательностей действительных чисел или, в более общем смысле, последовательностей векторов в любом векторном пространстве, сами по себе образуют бесконечномерное векторное пространство. Наиболее важными случаями являются последовательности действительных или комплексных чисел, и эти пространства вместе с линейными подпространствами известны как пространства последовательностей. Операторы в этих пространствах известны как преобразования последовательностей.

Ограниченные линейные операторы в банаховом пространстве образуют банаховую алгебру относительно стандартной операторной нормы. Теория банаховых алгебр развивает очень общую концепцию спектров, которая элегантно обобщает теорию собственных подпространств.

Ограниченные операторы

Пусть U и V - два векторных пространства над одним и тем же упорядоченным полем (например, $R {\ displaystyle \ mathbf {R}}$ $\ mathbf {R}$ ), и они соответствуют нормам. Тогда линейный оператор из U в V называется ограниченным, если существует C>0 такое, что

| | A x | | V ≤ C | | х | | U {\ displaystyle || A \ mathbf {x} || _ {V} \ leq C || \ mathbf {x} || _ {U}}

|| A \ mathbf {x} || _V \ leq C || \ mathbf {x} || _U

для всех x в U.

Ограниченные операторы образуют векторное пространство. В этом векторном пространстве мы можем ввести норму, совместимую с нормами U и V:

| | А | | = inf {C: | | A x | | V ≤ C | | х | | U} {\ displaystyle || A || = \ inf \ {C: || A \ mathbf {x} || _ {V} \ leq C || \ mathbf {x} || _ {U} \}}

|| A || = \ inf \ {C: || A \ mathbf {x} || _V \ leq C || \ mathbf {x} || _U \}

В случае операторов от U к самому себе можно показать, что

| | A B | | ≤ | | А | | ⋅ | | B | | {\ displaystyle || AB || \ leq || A || \ cdot || B ||}

|| AB || \ leq || A || \ cdot || B ||

Любая унитальная нормированная алгебра с этим свойством называется банаховой алгеброй. На такие алгебры можно обобщить спектральную теорию. C * -алгебры, которые являются банаховыми алгебрами с некоторой дополнительной структурой, играют важную роль в квантовой механике.

Примеры

Геометрия

В геометрии иногда изучаются дополнительные структуры на векторных пространствах. Операторы, которые отображают такие векторные пространства на себя биективно, очень полезны в этих исследованиях, они естественным образом образуют группы по композиции.

Например, биективные операторы, сохраняющие структуру векторного пространства, - это в точности обратимые линейные операторы. По композиции они образуют общую линейную группу. Они не образуют векторное пространство при добавлении операторов, например оба id и -id обратимы (биективны), но их сумма 0 - нет.

Операторы, сохраняющие евклидову метрику в таком пространстве, образуют группу изометрий, а операторы, фиксирующие начало координат, образуют подгруппу, известную как ортогональная группа. Операторы в ортогональной группе, которые также сохраняют ориентацию векторных кортежей, образуют специальную ортогональную группу или группу вращений.

Теория вероятностей

Операторы также участвуют в теории вероятностей, например, математическое ожидание, дисперсия и ковариация. В самом деле, каждая ковариация - это, по сути, скалярный продукт; каждая дисперсия является скалярным произведением вектора на самого себя и, таким образом, является квадратичной нормой; каждое стандартное отклонение - это норма (квадратный корень из квадратичной нормы); соответствующий косинус этому скалярному произведению представляет собой коэффициент корреляции Пирсона ; Ожидаемое значение - это в основном интегральный оператор (используемый для измерения взвешенных фигур в пространстве).

Исчисление

С точки зрения функционального анализа, исчисление - это исследование двух линейных операторов: дифференциального оператора $ddt {\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}}}$ $\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}$ и оператор Вольтерра $∫ 0 t {\ displaystyle \ int _ {0} ^ {t}}$ $\ int_0 ^ t$ .

Ряд Фурье и преобразование Фурье

Преобразование Фурье полезно в прикладной математике, особенно в физике и обработке сигналов. Это еще один интегральный оператор; это полезно в основном потому, что оно преобразует функцию в одной (временной) области в функцию в другой (частотной) области, эффективно обратимая. Никакая информация не теряется, так как есть оператор обратного преобразования. В простом случае периодических функций этот результат основан на теореме о том, что любая непрерывная периодическая функция может быть представлена как сумма серии синусоид и косинусоидальных волн:

е (T) знак равно a 0 2 + ∑ N = 1 ∞ an соз ⁡ (ω nt) + bn sin ⁡ (ω nt) {\ displaystyle f (t) = {a_ {0} \ over 2} + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {a_ {n} \ cos (\ omega nt) + b_ {n} \ sin (\ omega nt)}}

f (t) = {a_0 \ over 2} + \ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} {a_n \ cos (\ omega nt) + b_n \ sin (\ omega nt)}

Кортеж (a 0, a 1, b 1, a 2, b 2,...) фактически является элементом бесконечного -мерное векторное пространство ℓ, поэтому ряд Фурье является линейным оператором.

При работе с общей функцией R→ Cпреобразование принимает интегральный вид:

f (t) = 1 2 π ∫ - ∞ + ∞ g (ω) ei ω td ω. {\ displaystyle f (t) = {1 \ over {\ sqrt {2 \ pi}}} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {g (\ omega) e ^ {i \ omega t} \, d \ omega}.}

f (t) = {1 \ over \ sqrt {2 \ pi}} \ int _ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {g (\ omega) e ^ {i \ omega t} \, d \ omega}.

Преобразование Лапласа

Преобразование Лапласа является еще одним интегральным оператором и используется для упрощения процесса решения дифференциальных уравнений.

Если f = f (s), он определяется следующим образом:

F (s) = L {f} (s) = ∫ 0 ∞ e - s t f (t) d t. {\ Displaystyle F (s) = {\ mathcal {L}} \ {f \} (s) = \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- st} f (t) \, dt.}

F (s) = {\ mathcal {L}} \ {f \} (s) = \ int _ {0 } ^ {\ infty} e ^ {{- st}} f (t) \, dt.

Основные операторы в скалярных и векторных полях

Три оператора являются ключевыми для векторного исчисления :

Grad (gradient ), (с символом оператора $∇ {\ displaystyle \ nabla}$ $\ nabla$ ) назначает вектор в каждой точке скалярного поля, который указывает в направлении наибольшей скорости изменения этого поля и чья норма измеряет абсолютное значение этой наибольшей скорости изменения.
Div (дивергенция ), (с символом оператора $∇ ⋅ {\ displaystyle \ nabla \ cdot}$ $\ nabla \ cdot$ ) - векторный оператор, который измеряет отклонение векторного поля от или схождение к заданной точке.
Curl, (с символом оператора $∇ × {\ displaystyle \ nabla \ times}$ $\ nabla \ times$ ) - векторный оператор, измеряющий скручивание векторного поля ( наматывание, вращение вокруг) тенденции относительно данной точки.

Как расширение операторов векторного исчисления в физическом, инженерном и тензорном пространствах, Операторы Grad, Div и Curl также часто связаны с тензорным исчислением, а также с векторным исчислением.