Первообразная

редактировать
Концепция в исчислении Поле наклона из F (x) = x 3 3 - x 2 2 - x + c {\ displaystyle F (x) = {\ frac {x ^ {3}} {3}} - {\ frac {x ^ {2}} {2}} - x + c}{\ displaystyle F (x) = {\ frac {x ^ {3}} {3}} - {\ frac {x ^ {2}} {2}} - x + c} , показывающий три из бесконечного множества решений, которые могут быть получены путем изменения произвольной константы c.

В исчислении, первообразная, обратная производная, примитивная функция, примитивный интеграл или неопределенный интеграл функции f является дифференцируемой функцией F, производная которой равна исходной функции f. Это можно обозначить символически как F '= f. Процесс определения первообразных называется антидифференцированием (или неопределенным интегрированием ), а его противоположная операция называется дифференцированием, то есть процессом поиска производной. Первообразные часто обозначаются заглавными латинскими буквами, такими как F и G.

Первообразные связаны с определенными интегралами посредством фундаментальной теоремы исчисления : определенный интеграл функции на интервале равен разнице между значениями первообразной, вычисленной в конечных точках интервала.

В физике первообразные возникают в контексте прямолинейного движения (например, при объяснении отношений между положением, скоростью и ускорение ). Дискретный эквивалент понятия первообразного - антиразличие.

Содержание

  • 1 Примеры
  • 2 Использование и свойства
  • 3 Методы интеграции
  • 4 Непрерывного функции
    • 4.1 Некоторые примеры
  • 5 См. также
  • 6 Примечания
  • 7 Ссылки
  • 8 Дополнительная литература
  • 9 Внешние ссылки

Примеры

Функция F (x) = x 3 3 {\ displaystyle F (x) = {\ tfrac {x ^ {3}} {3}}}{\displaystyle F(x)={\tfrac {x^{3}}{3}}}является первообразной от f (x) = x 2 {\ displaystyle f (x) = x ^ {2}}f (x) = x ^ {2} , поскольку производная от x 3 3 {\ displaystyle {\ tfrac {x ^ {3}} {3}}}{\displaystyle {\tfrac {x^{3}}{3}}}равно x 2 {\ displaystyle x ^ {2}}x^{2}, и поскольку производная константы равна нулю, x 2 {\ displaystyle x ^ {2}}x^{2}будет иметь бесконечное количество первообразных, например x 3 3, x 3 3 + 1, x 3 3 - 2 {\ displaystyle {\ tfrac {x ^ {3}} {3}}, {\ tfrac {x ^ {3}} {3}} + 1, {\ tfrac {x ^ {3}} { 3}} - 2}{\ displaystyle {\ tfrac {x ^ {3}} {3}}, {\ tfrac {x ^ {3}} {3}} + 1, {\ tfrac {x ^ {3}} {3}} - 2} и т. Д. Таким образом, все первообразные x 2 {\ displaystyle x ^ {2}}x^{2}можно получить, изменив значение c в F (x) = x 3 3 + c {\ displaystyle F (x) = {\ tfrac {x ^ {3}} {3}} + c}{\ displaystyle F (x) = {\ tfrac {x ^ {3}} {3}} + c} , где c - произвольная константа, известная как константа интегрирования. По существу, графики первообразных данной функции являются вертикальными перемещениями друг друга, причем вертикальное положение каждого графика зависит от значения c.

В более общем смысле, степенная функция f (x) = xn {\ displaystyle f (x) = x ^ {n}}f(x)=x^{n}имеет первообразную F (x) = xn + 1 n + 1 + c {\ displaystyle F (x) = {\ tfrac {x ^ {n + 1}} {n + 1}} + c}{\ displaystyle F (x) = {\ tfrac {x^{n+1}}{n+1}}+c}если n ≠ −1 и F (x) = ln ⁡ | х | + c {\ displaystyle F (x) = \ ln | x | + c}{\displaystyle F(x)=\ln |x|+c}, если n = −1.

В физике интегрирование ускорения дает скорость плюс константу. Константа - это начальный член скорости, который будет потерян при взятии производной скорости, потому что производная постоянного члена равна нулю. Этот же шаблон применяется к дальнейшим интеграциям и производным движения (положение, скорость, ускорение и т. Д.).

Использование и свойства

Первообразные могут использоваться для вычисления определенных интегралов, используя фундаментальную теорему исчисления : если F является первообразной интегрируемой функции f на интервале [a, b] {\ displaystyle [a, b ]}[a,b], тогда:

∫ abf (x) dx = F (b) - F (a). {\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx = F (b) -F (a).}\int _{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).

Из-за этого каждая из бесконечного числа первообразных данной функции f иногда называется «общим интегралом» или «неопределенным интегралом» от f и записывается с использованием символа интеграла без границ:

∫ f (x) dx. {\ displaystyle \ int f (x) \, dx.}\int f(x)\, dx.

Если F является первообразной от f, а функция f определена на некотором интервале, то любая другая первообразная G от f отличается от F на константу: там существует такое число c, что G (x) = F (x) + c {\ displaystyle G (x) = F (x) + c}{\displaystyle G(x)=F(x)+c}для всех x. c называется константой интегрирования . Если область определения F представляет собой непересекающееся объединение двух или более (открытых) интервалов, то для каждого из интервалов может быть выбрана другая константа интегрирования. Например,

F (x) = {- 1 x + c 1 x < 0 − 1 x + c 2 x>0 {\ displaystyle F (x) = {\ begin {cases} - {\ frac {1} {x}} + c_ { 1} \ quad x <0\\-{\frac {1}{x}}+c_{2}\quad x>0 \ end {cases}}}{\displaystyle F(x)={\begin{cases}-{\frac {1}{x}}+c_{1}\quad x<0\\-{\frac {1}{x}}+c_{2}\quad x>0 \ end {ases}}}

является наиболее общим первообразным от f (x) = 1 / x 2 {\ displaystyle f (x) = 1 / x ^ {2}}е (х) = 1 / х ^ {2} в своей естественной области (- ∞, 0) ∪ (0, ∞). {\ Displaystyle (- \ infty, 0) \ cup (0, \ infty). }(-\infty,0)\cup (0,\infty).

Каждая непрерывная функция f имеет первообразную, и одна первообразная F задается определенным интегралом от f с переменной верхней границей:

F (x) = ∫ 0 xf (t) dt. {\ displaystyle F (x) = \ int _ {0} ^ {x} f (t) \, dt.}{\displaystyle F(x)=\int _{0}^{x}f(t)\,dt.}

Изменение нижней границы приводит к другим первообразным (но не обязательно всем возможным первообразным). Это еще одно формулировка основной теоремы исчисления.

Есть много функций, первообразные которых, даже если они существуют, не могут быть выражены в терминах элементарных функций (например, полиномов, экспоненциальных функций, логарифмов, тригонометрических функций, обратные тригонометрические функции и их комбинации). Примеры:

∫ e - x 2 d x, ∫ sin ⁡ x 2 d x, ∫ sin ⁡ x x d x, ∫ 1 ln ⁡ x d x, ∫ x x d x. {\ displaystyle \ int e ^ {- x ^ {2}} \, dx, \ qquad \ int \ sin x ^ {2} \, dx, \ qquad \ int {\ frac {\ sin x} {x}} \, dx, \ qquad \ int {\ frac {1} {\ ln x}} \, dx, \ qquad \ int x ^ {x} \, dx.}{\displaystyle \int e^{-x^{2}}\,dx,\qquad \int \sin x^{2}\,dx,\qquad \int {\frac {\sin x}{x}}\,dx,\qquad \int {\frac {1}{\ln x}}\,dx,\qquad \int x^{x}\,dx.}

Слева направо первые четыре функция ошибки , функция Френеля, тригонометрический интеграл и функция логарифмического интеграла. Для более подробного обсуждения см. Также Дифференциальная теория Галуа.

Методы интегрирования

Нахождение первообразных элементарных функций часто бывает значительно сложнее, чем их производные (действительно, заранее определенного метода для вычисление неопределенных интегралов). Для некоторых элементарных функций невозможно найти первообразную в терминах других элементарных функций. Чтобы узнать больше, см. элементарные функции и неэлементарный интеграл.

Существует множество свойств и методов для поиска первообразных, в том числе, среди прочего:

∫ x 0 x ∫ x 0 x 1… ∫ x 0 xn - 1 f (xn) dxn… dx 2 dx 1 = ∫ x 0 xf (t) (x - t) n - 1 (n - 1)! д т. {\ displaystyle \ int _ {x_ {0}} ^ {x} \ int _ {x_ {0}} ^ {x_ {1}} \ dots \ int _ {x_ {0}} ^ {x_ {n-1) }} f (x_ {n}) \, dx_ {n} \ dots \, dx_ {2} \, dx_ {1} = \ int _ {x_ {0}} ^ {x} f (t) {\ frac {(xt) ^ {n-1}} {(n-1)!}} \, dt.}{\displaystyle \int _{x_{0}}^{x}\int _{x_{0}}^{x_{1}}\dots \int _{x_{0}}^{x_{n-1}}f(x_{n})\,dx_{n}\dots \,dx_{2}\,dx_{1}=\int _{x_{0}}^{x}f(t){\frac {(x-t)^{n-1}}{(n-1)!}}\,dt.}

Системы компьютерной алгебры могут использоваться для автоматизации некоторых или всей работы, связанной с символическими методами. выше, что особенно полезно, когда задействованные алгебраические манипуляции очень сложны или длительны. Интегралы, которые уже были получены, можно найти в таблице интегралов.

Непрерывных функций

Непрерывные функции могут иметь первообразные. Хотя в этой области все еще есть открытые вопросы, известно, что:

  • Некоторые сильно патологические функции с большим набором разрывов могут, тем не менее, иметь первообразные.
  • В некоторых случаях первообразные таких патологических функций можно найти с помощью интегрирования Римана, в то время как в других случаях эти функции не интегрируемы по Риману.

Предполагая, что области функций являются открытыми интервалами:

  • Необходимо, но не достаточным условием для того, чтобы функция f имела первообразную, является наличие у f свойства промежуточного значения. То есть, если [a, b] является подинтервалом области определения f, а y - любое действительное число между f (a) и f (b), тогда существует ac между a и b, такое что f (c) = y. Это следствие теоремы Дарбу.
  • Множество разрывов f должно быть скудным множеством. Этот набор также должен быть набором F-sigma (поскольку набор разрывов любой функции должен быть этого типа). Более того, для любого скудного набора F-сигм можно построить некоторую функцию f, имеющую первообразную, которая имеет данное множество в качестве множества разрывов.
  • Если f имеет первообразную, ограничена на замкнутом конечных подынтервалов области и имеет множество разрывов меры Лебега 0, то первообразная может быть найдена интегрированием по Лебегу. Фактически, при использовании более мощных интегралов, таких как интеграл Хенстока – Курцвейла, каждая функция, для которой существует первообразная, является интегрируемой, а ее общий интеграл совпадает со своей первообразной.
  • Если f имеет первообразную F на закрытый интервал [a, b] {\ displaystyle [a, b]}[a,b], то для любого выбора раздела a = x 0 < x 1 < x 2 < ⋯ < x n = b, {\displaystyle a=x_{0}{\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\dots <x_{n}=b,}, если выбираются точки выборки xi ∗ ∈ [xi - 1, xi] {\ displaystyle x_ {i} ^ {*} \ in [x_ {i-1}, x_ {i}]}x_{i}^{*}\in [x_{i-1},x_{i}], как указано в Теорема о среднем значении, тогда соответствующая сумма Римана телескопирует до значения F (b) - F (a) {\ displaystyle F (b) -F (a)}{\ displaystyle F (b) -F (a)} .
∑ i = 1 nf (xi ∗) (xi - xi - 1) = ∑ i = 1 n [F (xi) - F (xi - 1)] = F (xn) - F (x 0) = F (b) - F (а) {\ displaystyle {\ begin {align} \ sum _ {i = 1} ^ {n} f (x_ {i} ^ {*}) (x_ {i} -x_ {i-1}) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} [F (x_ {i}) - F (x_ {i-1})] \\ = F (x_ {n}) - F (x_ { 0}) = F (b) -F (a) \ end {align}}}{\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{i=1}^{n}f(x_{i}^{*})(x_{i}-x_{i-1})=\sum _{i=1}^{n}[F(x_{i})-F(x_{i-1})]\\=F(x_{n})-F(x_{0})=F(b)-F(a)\end{aligned}}}
Однако, если f неограничен, или если f ограничен, но множество dis непрерывность f имеет положительную меру Лебега, другой выбор точек выборки xi ∗ {\ displaystyle x_ {i} ^ {*}}x_{i}^{*}может дать существенно другое значение для суммы Римана, независимо от того, насколько хорош раздел. См. Пример 4.

Некоторые примеры

  1. Функция
    f (x) = 2 x sin ⁡ (1 x) - cos ⁡ (1 x) {\ displaystyle f (x) = 2x \ sin \ left ({\ frac {1} {x}} \ right) - \ cos \ left ({\ frac {1} {x}} \ right)}f(x)=2x\sin \left({\frac {1}{x}}\right)-\cos \left({\frac {1}{x}}\right)

    с f (0) = 0 {\ displaystyle f (0) = 0}f(0)=0не является непрерывным в x = 0 {\ displaystyle x = 0}x=0, но имеет первообразную

    F (x) = x 2 грех ⁡ (1 x) {\ displaystyle F (x) = x ^ {2} \ sin \ left ({\ frac {1} {x}} \ right)}{\displaystyle F(x)=x^{2}\sin \left({\frac {1}{x}}\right)}
    с F (0) Знак равно 0 {\ Displaystyle F (0) = 0}F (0) = 0 . Поскольку f ограничено на замкнутых конечных интервалах и прерывно только в 0, первообразная F может быть получена интегрированием: F (x) = ∫ 0 xf (t) dt {\ displaystyle F (x) = \ int _ {0} ^ {x} f (t) \, dt}{\displaystyle F(x)=\int _{0}^{x}f(t)\,dt}.
  2. Функция
    f (x) = 2 x sin ⁡ (1 x 2) - 2 x cos ⁡ (1 x 2) {\ displaystyle f (x) = 2x \ sin \ left ({\ frac {1} {x ^ {2}}} \ right) - {\ frac {2} {x}} \ cos \ left ({\ frac {1} {x ^ {2}}} \ right)}f(x)=2x\sin \left({\frac {1}{x^{2}}}\right)-{\frac {2}{x}}\cos \left({\frac {1}{x^{2}}}\right)
    с f (0) = 0 {\ displaystyle f (0) = 0}f(0)=0не является непрерывным в x = 0 {\ displaystyle x = 0}x=0, но имеет первообразную
    F (x) = x 2 sin ⁡ (1 x 2) {\ displaystyle F (x) = x ^ {2} \ sin \ left ({\ frac {1} {x ^ {2}}} \ right)}F(x)=x^{2}\sin \left({\frac {1}{x^{2}}}\right)
    с F (0) = 0 {\ displaystyle F (0) = 0}F (0) = 0 . В отличие от примера 1, f (x) не ограничена в любом интервале, содержащем 0, поэтому интеграл Римана не определен.
  3. Если f (x) - функция из примера 1, а F - ее первообразная, и {xn} n ≥ 1 {\ displaystyle \ {x_ {n} \} _ {n \ geq 1}}\ {x_ {n} \} _ {n \ geq 1} является плотным счетным подмножество открытого интервала (- 1, 1), {\ displaystyle (-1,1),}{\displaystyle (-1,1),}, тогда функция
    g (x) = ∑ n = 1 ∞ е (Икс - Хn) 2 N {\ Displaystyle г (х) = \ сумма _ {п = 1} ^ {\ infty} {\ гидроразрыва {е (х-х_ {п})} {2 ^ {п} }}}g(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(x-x_{n})}{2^{n}}}
    имеет первообразную
    G (x) = ∑ n = 1 ∞ F (x - xn) 2 n. {\ displaystyle G (x) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {F (x-x_ {n})} {2 ^ {n}}}.}G (x) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {F (x-x_ {n})} {2 ^ {n}}}.
    Набор разрывов g - это в точности набор {xn} n ≥ 1 {\ displaystyle \ {x_ {n} \} _ {n \ geq 1}}\ {x_ {n} \} _ {n \ geq 1} . Поскольку g ограничена на конечных замкнутых интервалах, а множество разрывов имеет меру 0, первообразную G можно найти интегрированием.
  4. Пусть {xn} n ≥ 1 {\ displaystyle \ {x_ {n } \} _ {n \ geq 1}}\ {x_ {n} \} _ {n \ geq 1} быть плотным счетным подмножеством открытого интервала (- 1, 1). {\ displaystyle (-1,1).}{\ displaystyle (-1,1).} Рассмотрим всюду непрерывную строго возрастающую функцию
    F (x) = ∑ n = 1 ∞ 1 2 n (x - x n) 1/3. {\ Displaystyle F (x) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {2 ^ {n}}} (x-x_ {n}) ^ {1/3}. }F (x) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {2 ^ {n}}} (x-x_ {n}) ^ {1/3}.
    Можно показать, что
    F ′ (x) = ∑ n = 1 ∞ 1 3 ⋅ 2 n (x - xn) - 2/3 {\ displaystyle F '(x) = \ sum _ { n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {3 \ cdot 2 ^ {n}}} (x-x_ {n}) ^ {- 2/3}}F'(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{3\cdot 2^{n}}}(x-x_{n})^{-2/3}
    Рис. 1. Рис. 2.

    для всех значений x, где сходится ряд, и что график F (x) имеет вертикальные касательные линии при всех других значениях x. В частности, на графике есть вертикальные касательные во всех точках набора {xn} n ≥ 1 {\ displaystyle \ {x_ {n} \} _ {n \ geq 1}}\ {x_ {n} \} _ {n \ geq 1} .

    Более того F (x) ≥ 0 {\ displaystyle F (x) \ geq 0}{\displaystyle F(x)\geq 0}для всех x, для которых определена производная. Отсюда следует, что обратная функция G = F - 1 {\ displaystyle G = F ^ {- 1}}G = F ^ {- 1} дифференцируема всюду и

    g (x) = G ′ (x) Знак равно 0 {\ displaystyle g (x) = G '(x) = 0}{\displaystyle g(x)=G'(x)=0}

    для всех x в наборе {F (xn)} n ≥ 1 {\ displaystyle \ {F (x_ {n})) \} _ {n \ geq 1}}\{F(x_{n})\}_{n\geq 1}, который плотен в интервале [F (- 1), F (1)]. {\ displaystyle [F (-1), F (1)].}{\displaystyle [F(-1),F(1)].}Таким образом, g имеет первообразную G. С другой стороны, не может быть правдой, что

    ∫ F (- 1) F (1) г (Икс) dx знак равно GF (1) - GF (- 1) = 2, {\ Displaystyle \ int _ {F (-1)} ^ {F (1)} г (х) \, dx = GF (1) -GF (-1) = 2,}{\displaystyle \int _{F(-1)}^{F(1)}g(x)\,dx=GF(1)-GF(-1)=2,}
    , поскольку для любого раздела [F (- 1), F (1)] {\ displaystyle [F (-1), F ( 1)]}{\ displaystyle [F (-1), F (1)]} , можно выбрать точки выборки для суммы Римана из набора {F (xn)} n ≥ 1 {\ displaystyle \ {F (x_ {n}) \} _ {n \ geq 1}}\{F(x_{n})\}_{n\geq 1}, что дает значение 0 для суммы. Следовательно, g имеет множество разрывов положительной меры Лебега. На рисунке 1 справа показано приближение к графику g (x), где {xn = cos ⁡ (n)} n ≥ 1 {\ displaystyle \ {x_ {n} = \ cos (n) \} _ {n \ geq 1}}\{x_{n}=\cos(n)\}_{n\geq 1}и серия усекается до 8 членов. На рисунке 2 показан график аппроксимации первообразной G (x), также усеченный до 8 членов. С другой стороны, если интеграл Римана заменить на интеграл Лебега, то лемма Фату или теорема о доминирующей сходимости показывает, что g действительно удовлетворяет основной теореме исчисления в этом контексте.
  5. В примерах 3 и 4 множества разрывов функций g плотны только в конечном открытом интервале (a, b). {\ displaystyle (a, b).}{\ displaystyle (a, b).} Однако эти примеры можно легко изменить так, чтобы получить наборы разрывов, плотных по всей вещественной прямой (- ∞, ∞) {\ displaystyle (- \ infty, \ infty)}(-\infty,\infty). Пусть
    λ (x) = a + b 2 + b - a π tan - 1 ⁡ x. {\ displaystyle \ lambda (x) = {\ frac {a + b} {2}} + {\ frac {ba} {\ pi}} \ tan ^ {- 1} x.}\lambda (x)={\frac {a+b}{2}}+{\frac {b-a}{\pi }}\tan ^{-1}x.
    Тогда g (λ (x)) λ ′ (x) {\ displaystyle g (\ lambda (x)) \ lambda '(x)}{\displaystyle g(\lambda (x))\lambda '(x)}имеет плотный набор разрывов на (- ∞, ∞) {\ displaystyle (- \ infty, \ infty)}(-\infty,\infty)и имеет первообразную G ⋅ λ. {\ displaystyle G \ cdot \ lambda.}G\cdot \lambda.
  6. Используя тот же метод, что и в примере 5, можно изменить g в примере 4 так, чтобы оно исчезло для всех рациональных чисел. Если использовать наивную версию интеграла Римана, определенного как предел левых или правых сумм Римана по регулярным разбиениям, можно получить, что интеграл такой функции g по интервалу [a, b] {\ displaystyle [a, b]}[a,b]равно 0, если a и b оба рациональны, вместо G (b) - G (a) {\ displaystyle G ( б) -G (а)}{\ displaystyle G (Ь) -G (a)} . Таким образом, фундаментальная теорема исчисления потерпит поражение.
  7. Функция, имеющая первообразную, может все же не быть интегрируемой по Риману. Производная от функции Вольтерра является примером.

См. Также

Примечания

Ссылки

  1. ^Стюарт, Джеймс (2008). Исчисление: Ранние трансцендентальные знания (6-е изд.). Брукс / Коул. ISBN 0-495-01166-5.
  2. ^Ларсон, Рон ; Эдвардс, Брюс Х. (2009). Исчисление (9-е изд.). Брукс / Коул. ISBN 0-547-16702-4.
  3. ^ «Сборник математических символов». Математическое хранилище. 2020-03-01. Проверено 18 августа 2020 г.
  4. ^ «4.9: Антипроизводные». Математика LibreTexts. 2017-04-27. Проверено 18 августа 2020 г.
  5. ^«Первообразная и неопределенная интеграция | Блестящая вики по математике и науке». brilliant.org. Проверено 18 августа 2020 г.

Дополнительная литература

Внешние ссылки

Последняя правка сделана 2021-06-11 18:41:18
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте