Адвекция

редактировать

Перенос вещества объемным движением

В области физики, инженерия и науки о Земле, адвекция - это перенос вещества или количества за счет массового движения. Свойства этого вещества передаются ему. Обычно большая часть адвегированного вещества представляет собой жидкость. Свойства, которые переносятся с перенесенным веществом, являются сохраняемыми свойствами, такими как энергия. Примером адвекции является перенос загрязнителей или ила в реке потоком воды вниз по течению. Другой обычно переносимой величиной является энергия или энтальпия. Здесь текучая среда может быть любым материалом, содержащим тепловую энергию, например водой или воздухом. В общем, любое вещество или консервированное, обширное количество может быть перенесено с помощью жидкости, которая может удерживать или содержать количество или вещество.

Во время адвекции жидкость переносит некоторое сохраненное количество или материал посредством объемного движения. Движение жидкости описывается математически как векторное поле, а транспортируемый материал описывается скалярным полем, показывающим его распределение в пространстве. Для адвекции необходимы токи в жидкости, и поэтому она не может происходить в твердых телах. Он не включает перенос веществ посредством молекулярной диффузии.

Адвекцию иногда путают с более всеобъемлющим процессом конвекции, который представляет собой комбинацию адвективного переноса и диффузионного переноса.

В метеорологии и физической океанографии под адвекцией часто понимается перенос некоторых свойств атмосферы или океана, например тепло, влажность (см. влажность ) или соленость. Адвекция важна для формирования орографических облаков и выпадения воды из облаков как части гидрологического цикла.

Содержание

1 Различие между адвекцией и конвекцией
2 Метеорология
3 Другие величины
4 Математика адвекции
- 4.1 Уравнение адвекции
- 4.2 Решение уравнения
- 4.3 Обработка оператора адвекции в уравнениях Навье-Стокса несжимаемой жидкости
5 См. Также
6 Ссылки

Различие между адвекцией и конвекцией

Термин адвекция часто служит синонимом конвекции, и это соответствие терминов используется в литературе. Более технически конвекция применяется к движению жидкости (часто из-за градиентов плотности, создаваемых тепловыми градиентами), тогда как адвекция - это движение некоторого материала за счет скорости жидкости. Таким образом, что несколько сбивает с толку, технически правильно думать об импульсе, переносимом полем скорости в уравнениях Навье-Стокса, хотя результирующее движение можно было бы рассматривать как конвекцию. Из-за особого использования термина конвекция для обозначения переноса в связи с температурными градиентами, вероятно, безопаснее использовать термин адвекция, если кто-то не уверен в том, какая терминология лучше всего описывает их конкретную систему.

Метеорология

В метеорологии и физической океанографии адвекция часто относится к горизонтальному переносу некоторых свойств атмосферы или океана, такие как тепло, влажность или соленость, и конвекция обычно относятся к вертикальному переносу (вертикальная адвекция). Адвекция важна для формирования орографических облаков (конвекция, вызванная рельефом местности) и выпадения воды из облаков как части гидрологического цикла.

Другие величины

Уравнение адвекции также применяется, если адвектируемая величина представлена функцией плотности вероятности в каждой точке, хотя учет диффузии сложнее.

Математика адвекции

уравнение переноса - это уравнение в частных производных, которое управляет движением сохраняющегося скалярного поля, поскольку оно переносится известным векторным полем скорости . Он выводится с использованием закона сохранения скалярного поля вместе с теоремой Гаусса и взятия бесконечно малого предела.

Одним из легко визуализируемых примеров адвекции является перенос чернил, сброшенных в реку. По мере того, как река течет, чернила будут двигаться вниз по течению "пульсирующе" за счет адвекции, поскольку движение воды переносит чернила. Если добавить в озеро без значительного объемного потока воды, чернила просто рассеялись бы наружу от своего источника диффузным способом, что не является адвекцией. Обратите внимание, что по мере движения вниз по потоку «импульс» чернил также распространяется посредством диффузии. Сумма этих процессов называется конвекцией.

Уравнение адвекции

В декартовых координатах оператор переноса имеет вид

u ⋅ ∇ = ux ∂ ∂ x + uy ∂ ∂ Y + UZ ∂ ∂ Z {\ Displaystyle \ mathbf {u} \ cdot \ nabla = u_ {x} {\ frac {\ partial} {\ partial x}} + u_ {y} {\ frac {\ partial} { \ partial y}} + u_ {z} {\ frac {\ partial} {\ partial z}}}

\ mathbf {u} \ cdot \ nabla = u_x \ frac {\ partial} {\ partial x} + u_y \ frac {\ partial} { \ partial y} + u_z \ frac {\ partial} {\ partial z}

где $u = (ux, uy, uz) {\ displaystyle \ mathbf {u} = ( u_ {x}, u_ {y}, u_ {z})}$ ${\ displaystyle \ mathbf {u} = (u_ {x}, u_ {y}, u_ {z})}$ - это поле скорости, а $∇ {\ displaystyle \ nabla}$ $\ nabla$ - это оператор del (обратите внимание, что здесь используются декартовы координаты ).

Уравнение переноса для сохраняющейся величины, описываемое скалярным полем $ψ {\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ математически выражается уравнением неразрывности :

$∂ ψ ∂ T + ∇ ⋅ (ψ u) = 0 {\ displaystyle {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial t}} + \ nabla \ cdot \ left (\ psi {\ mathbf {u}) } \ right) = 0}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial t}} + \ nabla \ cdot \ left (\ psi {\ mathbf {u}} \ right) = 0}$

, где $∇ ⋅ {\ displaystyle \ nabla \ cdot}$ $\ nabla \ cdot$ - оператор расхождения и снова $u {\ displaystyle \ mathbf {u}}$ $\ mathbf {u}$ - это векторное поле скорости. Часто предполагается, что поток несжимаемый, то есть поле скорости удовлетворяет

∇ ⋅ u = 0 {\ displaystyle \ nabla \ cdot {\ mathbf {u }} = 0}

{\ displaystyle \ набла \ cdot {\ mathbf {u}} = 0}

В этом случае $u {\ displaystyle \ mathbf {u}}$ $\ mathbf {u}$ называется соленоидальным. Если это так, приведенное выше уравнение можно переписать как

$∂ ψ ∂ t + u ⋅ ∇ ψ = 0 {\ displaystyle {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial t}} + {\ mathbf {u }} \ cdot \ nabla \ psi = 0}$ ${\ displaystyle {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial t}} + {\ mathbf {u}} \ cdot \ nabla \ psi = 0}$

В частности, если поток устойчивый, то

u ⋅ ∇ ψ = 0 {\ displaystyle {\ mathbf {u}} \ cdot \ nabla \ psi = 0}

{\ displaystyle {\ mathbf {u}} \ cdot \ nabla \ psi = 0}

, который показывает, что $ψ {\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ является постоянным вдоль линии тока . Следовательно, $∂ ψ / ∂ T = 0, {\ displaystyle \ partial \ psi / \ partial t = 0,}$ $\ partial \ psi / \ partial t = 0,$ , поэтому $ψ {\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ не меняется во времени.

Если векторная величина $a {\ displaystyle \ mathbf {a}}$ $\ mathbf {a}$ (например, магнитное поле ) переносится соленоидальное поле скорости $u {\ displaystyle \ mathbf {u}}$ $\ mathbf {u}$ , приведенное выше уравнение переноса принимает следующий вид:

∂ a ∂ t + (u ⋅ ∇) a = 0. {\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ mathbf {a}}} {\ partial t}} + \ left ({\ mathbf {u}} \ cdot \ nabla \ right) {\ mathbf { a}} = 0.}

{\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ mathbf {a}}} {\ partial t}} + \ left ({\ mathbf {u}} \ cdot \ nabla \ right) {\ mathbf { a}} = 0.}

Здесь $a {\ displaystyle \ mathbf {a}}$ $\ mathbf {a}$ - это векторное поле вместо скалярного поля $ψ {\ displaystyle \ psi}$ $\ psi$ .

Решение уравнения

Моделирование уравнения переноса, где u = (sin t, cos t) является соленоидальным.

Уравнение переноса нелегко решить численно : система представляет собой уравнение в частных производных гиперболического типа, и интерес обычно сосредоточен на прерывистых «ударных» решениях (которые, как известно, трудно обрабатывать численные схемы).

Даже при одном пространственном измерении и постоянном поле скоростей систему по-прежнему сложно моделировать. Уравнение принимает вид

∂ ψ ∂ t + ux ∂ ψ ∂ x = 0 {\ displaystyle {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial t}} + u_ {x} {\ frac {\ partial \ psi} {\ partial x}} = 0}

\ frac {\ partial \ psi} {\ partial t} + u_x \ frac {\ partial \ psi} {\ partial x} = 0

где $ψ = ψ (x, t) {\ displaystyle \ psi = \ psi (x, t)}$ ${\ displaystyle \ psi = \ psi (x, t)}$ - скаляр добавляемое поле и $ux {\ displaystyle u_ {x}}$ $u_ {x}$ - это $x {\ displaystyle x}$ $x$ компонент вектора $u = (ux, 0, 0) {\ displaystyle \ mathbf {u} = (u_ {x}, 0,0)}$ ${\ displaystyle \ mathbf { u} = (u_ {x}, 0,0)}$ .

Обработка оператора адвекции в уравнениях Навье-Стокса для несжимаемой жидкости

Согласно Занга, численному моделированию может помочь рассмотрение кососимметричной формы для оператора адвекции.

1 2 U ⋅ ∇ U + 1 2 ∇ (uu) {\ displaystyle {\ frac {1} {2}} {\ mathbf {u}} \ cdot \ nabla {\ mathbf {u}} + {\ frac {1} {2}} \ nabla ({\ mathbf {u}} {\ mathbf {u}})}

{\ displaystyle {\ frac {1} {2}} {\ mathbf {u} } \ cdot \ nabla {\ mathbf {u}} + {\ frac {1} {2}} \ nabla ({\ mathbf {u}} {\ mathbf {u}})}

где

∇ (uu) = [∇ (uux), ∇ (uuy), ∇ (uuz)] {\ displaystyle \ nabla ({\ mathbf {u}} {\ mathbf {u}}) = [\ nabla ({\ mathbf {u}} u_ {x}), \ nabla ({\ mathbf {u}} u_ {y}), \ nabla ({\ mathbf {u}} u_ {z})]}

{\ displaystyle \ nabla ({\ mathbf {u}} {\ mathbf {u}}) = [\ nabla ({\ mathbf {u}} u_ {x}), \ nabla ({\ mathbf {u}} u_ {y}), \ nabla ({\ mathbf {u}} u_ {z})]}

и $u {\ displaystyle \ mathbf {u}}$ $\ mathbf {u}$ такое же, как указано выше.

Поскольку асимметрия подразумевает только мнимые собственные значения, эта форма уменьшает «взрыв» и «спектральную блокировку», которые часто возникают при численных решениях с резкими разрывами (см. Boyd).

Используя тождества векторного исчисления, эти операторы также могут быть выражены другими способами, доступными в большем количестве программных пакетов для большего количества систем координат.

U ⋅ ∇ U знак равно ∇ (‖ u ‖ 2 2) + (∇ × u) × U {\ displaystyle \ mathbf {u} \ cdot \ nabla \ mathbf {u} = \ nabla \ left ({\ frac {\ | \ mathbf {u} \ | ^ {2}} {2}} \ right) + \ left (\ nabla \ times \ mathbf {u} \ right) \ times \ mathbf {u}}

\ mathbf {u} \ cdot \ nabla \ mathbf {u} = \ nabla \ left (\ frac {\ | \ mathbf {u} \ | ^ 2} {2} \ right) + \ left (\ nabla \ times \ mathbf {u} \ right) \ times \ mathbf {u}

1 2 U ⋅ ∇ U + 1 2 ∇ (uu) = ∇ (‖ u ‖ 2 2) + (∇ × u) × u ​​+ 1 2 u (∇ ⋅ u) {\ displaystyle {\ frac {1} {2} } \ mathbf {u} \ cdot \ nabla \ mathbf {u} + {\ frac {1} {2}} \ nabla (\ mathbf {u} \ mathbf {u}) = \ nabla \ left ({\ frac { \ | \ mathbf {u} \ | ^ {2}} {2}} \ right) + \ left (\ nabla \ times \ mathbf {u} \ right) \ times \ mathbf {u} + {\ frac {1 } {2}} \ mathbf {u} (\ nabla \ cdot \ mathbf {u})}

\ frac { 1} {2} \ mathbf {u} \ cdot \ nabla \ mathbf {u} + \ frac {1} {2} \ nabla (\ mathbf {u} \ mathbf {u}) = \ nabla \ left (\ frac {\ | \ mathbf {u} \ | ^ 2} {2} \ right) + \ left (\ nabla \ times \ mathbf {u} \ right) \ times \ mathbf {u} + \ frac {1} {2 } \ mathbf {u} (\ nabla \ cdot \ mathbf {u})

Эта форма также показывает, что оператор кососимметричный вносит ошибку, когда поле скорости расходится. Решение уравнения переноса численными методами является очень сложной задачей, и по этому поводу имеется обширная научная литература.

См. Также

Ссылки

^Занг, Томас (1991). «О вращении и кососимметричных формах для моделирования течения несжимаемой жидкости». Прикладная вычислительная математика. 7 : 27–40. Bibcode : 1991ApNM.... 7... 27Z. doi : 10.1016 / 0168-9274 (91) 90102-6.
^Бойд, Джон П. (2000). Спектральные методы Чебышева и Фурье 2-е издание. Дувр. п. 213.