Константа (математика)

редактировать

Функция или значение, которое не изменяется в процессе

В математике, t Слово константа может иметь несколько значений. Как прилагательное, оно относится к отсутствию дисперсии (т. Е. Неизменность по отношению к некоторому другому значению ); как существительное, оно имеет два различных значения:

фиксированное и четко определенное число или другой неизменяющийся математический объект. Термины математическая константа или физическая константа иногда используются для различения этого значения.
A функция, значение которой остается неизменным (т. Е. постоянная функция ). Такая константа обычно представлена переменной, которая не зависит от основной рассматриваемой переменной (ов). Это имеет место, например, для константы интегрирования , которая представляет собой произвольную постоянную функцию (т. Е. Не зависящую от переменной интегрирования), добавленную к конкретной первообразной , чтобы получить все первообразные данной функции.

Например, общая квадратичная функция обычно записывается как:

ax 2 + bx + c, {\ displaystyle ax ^ {2} + bx + c \,,}

ax ^ 2 + bx + c \,,

где a, b и c - константы (или параметры), а xa переменная - заполнитель для аргумента изучаемой функции. Более явный способ обозначить эту функцию:

x ↦ ax 2 + bx + c, {\ displaystyle x \ mapsto ax ^ {2} + bx + c \,,}

x \ mapsto ax ^ 2 + bx + c \,,

, который делает статус аргумента функции x (и, следовательно, постоянство a, b и c) ясно. В этом примере a, b и c - коэффициенты полинома . Поскольку c встречается в члене, который не включает x, он называется постоянным членом полинома и может рассматриваться как коэффициент при x. В более общем смысле, любой полиномиальный член или выражение степени нуля является константой.

Содержание

1 Постоянная функция
2 Контекстная зависимость
3 Известные математические константы
4 Константы в исчислении
- 4.1 Примеры
5 См. также
6 Ссылки
7 Внешние ссылки

Постоянная функция

Константа может использоваться для определения постоянной функции который игнорирует свои аргументы и всегда дает одно и то же значение. Постоянная функция одной переменной, например $f (x) = 5 {\ displaystyle f (x) = 5}$ $f (x) = 5$ , имеет график горизонтальной прямой линии. параллельно оси абсцисс. Такая функция всегда принимает одно и то же значение (в данном случае 5), потому что ее аргумент не появляется в выражении, определяющем функцию.

Контекстная зависимость

Контекстно-зависимый характер понятия «константа» можно увидеть в этом примере из элементарного исчисления:

ddx 2 x = lim h → 0 2 x + h - 2 xh = lim h → 0 2 x 2 h - 1 h = 2 x lim h → 0 2 h - 1 h, поскольку x постоянно (т.е. не зависит от h) = 2 x ⋅ constant, где константа означает не зависит от х. {\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {d} {dx}} 2 ^ {x} = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {2 ^ {x + h} -2 ^ { x}} {h}} = \ lim _ {h \ to 0} 2 ^ {x} {\ frac {2 ^ {h} -1} {h}} \\ [8pt] = 2 ^ {x} \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {2 ^ {h} -1} {h}} {\ text {, поскольку}} x {\ text {является постоянным (т.е. не зависит от}} h { \ text {)}} \\ [8pt] = 2 ^ {x} \ cdot \ mathbf {constant,} {\ text {where}} \ mathbf {constant} {\ text {означает не зависит от}} x. \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {d} {dx}} 2 ^ {x} = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {2 ^ {x + h} -2 ^ {x} } {h}} = \ lim _ {h \ to 0} 2 ^ {x} {\ frac {2 ^ {h} -1} {h}} \\ [8pt] = 2 ^ {x} \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {2 ^ {h} -1} {h}} {\ text {Since}} x {\ text {является постоянным (т.е. не зависит от}} h {\ text {)}} \\ [8pt] = 2 ^ {x} \ cdot \ mathbf {constant,} {\ text {where}} \ mathbf {c onstant} {\ text {означает

«Константа» означает независимость от какой-либо переменной; не меняется при изменении этой переменной. В первом случае это означает, что не зависит от h; во втором - не зависит от x. Константа в более узком контексте может рассматриваться как переменная в более широком контексте.

Известные математические константы

Некоторые значения часто встречаются в математике и обычно обозначаются специальным символом. Эти стандартные символы и их значения называются математическими константами. Примеры включают:

0 (ноль ).
1 (один ), натуральное число после нуля.
π (pi ), константа, представляющая отношение длины окружности круга к его диаметру, приблизительно равное 3,141592653589793238462643.
e, приблизительно равное 2,718281828459045235360287.
i, мнимая единица такая, что я = -1.
$2 {\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$ ${\ sqrt {2}}$ (квадратный корень из 2 ), длина диагонали квадрата со сторонами, равными единице, приблизительно равно 1,414213562373095048801688.
φ (золотое сечение ), приблизительно равно 1,618033988749894848204586, или алгебраически $1 + 5 2 {\ displaystyle 1 + {\ sqrt {5} } \ over 2}$ ${1 + {\ sqrt {5}} \ over 2}$ .

Константы в исчислении

В исчислении константы обрабатываются несколькими способами в зависимости от операции. Например, производная постоянной функции равна нулю. Это связано с тем, что производная измеряет скорость изменения функции по отношению к переменной, а поскольку константы по определению не изменяются, их производная, следовательно, равна нулю.

И наоборот, при интегрировании постоянной функции, постоянная умножается на переменную интегрирования. Во время оценки предела константа остается такой же, как была до и после оценки.

Интегрирование функции одной переменной часто включает константу интегрирования. Это возникает из-за того, что интегральный оператор является обратным к дифференциальному оператору, что означает, что цель интегрирования - восстановить исходную функцию до дифференцирования.. Дифференциал постоянной функции равен нулю, как отмечалось выше, а дифференциальный оператор является линейным оператором, поэтому функции, которые отличаются только постоянным членом, имеют одинаковую производную. Чтобы подтвердить это, к неопределенному интегралу добавляется постоянная интегрирования; это гарантирует включение всех возможных решений. Константа интегрирования обычно обозначается как «c» и представляет собой константу с фиксированным, но неопределенным значением.

Примеры

Если f - постоянная функция, такая что $f (x) = 72 {\ displaystyle f (x) = 72}$ ${\ displaystyle f (x) = 72}$ для каждого x, то

е '(Икс) знак равно 0 ∫ е (Икс) dx = 72 Икс + с {\ Displaystyle {\ begin {Выровнено} f' (х) = 0 \\\ int f (x) \, dx = 72x + c \ end {align}}}

{\begin{aligned}f'(x)=0\\\int f(x)\,dx=72x+c\end{aligned}}

См. Также

Ссылки

Внешние ссылки

Носители, относящиеся к Константам на Викискладе