Евклидова группа

В математике, a Евклидова группа - это группа (евклидовых) изометрий евклидова пространства 𝔼; то есть преобразования этого пространства, которые сохраняют евклидово расстояние между любыми двумя точками (также называемые евклидовыми преобразованиями ). Группа зависит только от размерности n пространства и обычно обозначается E (n) или ISO (n).

Евклидова группа E (n) включает все трансляции, вращения и отражения точки 𝔼; и произвольные конечные их комбинации. Евклидова группа может рассматриваться как группа симметрии самого пространства и содержит группу симметрий любой фигуры (подмножества) этого пространства.

Евклидова изометрия может быть прямой или косвенной, в зависимости от того, сохраняет ли она хиральность фигур. Прямые евклидовы изометрии образуют подгруппу специальную евклидову группу, элементы которой называются жесткими движениями или евклидовыми движениями. Они состоят из произвольных комбинаций перемещений и вращений, но не отражений.

Эти группы являются одними из самых старых и наиболее изученных, по крайней мере, в случаях измерения 2 и 3 - неявно, задолго до изобретения концепции группы.

Содержание

• 1 Обзор
  • 1.1 Размерность
  • 1.2 Прямая и косвенная изометрии
  • 1.3 Топология группы
  • 1.4 Структура лжи
  • 1.5 Отношение к аффинной группе
• 2 Подробно обсуждение
  • 2.1 Структура подгрупп, матрица и векторное представление
  • 2.2 Подгруппы
  • 2.3 Обзор изометрий в трех измерениях
  • 2.4 Коммутирующие изометрии
  • 2.5 Классы сопряженности
• 3 См. также
• 4 Ссылки

Обзор

Размерность

Число степеней свободы для E (n) равно n (n + 1) / 2, что дает 3 дюйма случай n = 2 и 6 для n = 3. Из них n можно отнести к имеющейся трансляционной симметрии, а остальные n (n - 1) / 2 к вращательной симметрии.

Прямые и непрямые изометрии

Прямые изометрии (т. Е. Изометрии, сохраняющие хиральность хиральных подмножеств) составляют подгруппу из E (n), называемая специальной евклидовой группой и обычно обозначаемая E (n) или SE (n). Они включают переводы и вращения, а также их комбинации; включая преобразование идентичности, но исключая любые отражения.

Изометрии обратной стороны называются непрямыми, или напротив . Для любой фиксированной изометрии R может быть получена относительно некоторой косвенной изометрия, любая другая косвенная изометрия может быть получена путем R с некоторой прямой изометрией. Следовательно, непрямые изометрии являются другим классом E (n), который может быть обозначен E (n). Отсюда следует, что подгруппа E (n) имеет индекс 2 в E (n).

Топология группы

Естественная топология евклидова пространства 𝔼 подразумевает топологию для евклидовой группы E (n). А именно последовательность f i изометрий (i∈ℕ) определена как сходящаяся тогда и только тогда, когда для любой точки p из 𝔼 сходится последовательность точек p i.

Из этого определения следует, что функция f: [0,1] → E (n) непрерывна тогда и только тогда, когда для любой точки p из 𝔼 функция f p : [0,1] → 𝔼, определенный как f p (t) = (f (t)) (p), является непрерывным. Такая функция называется «непрерывной траекторией» в E (n).

Оказывается, специальная евклидова группа SE (n) = E (n) связна в ее топологии. То есть для любых двух прямых изометрий A и B точки существует непрерывная траектория f в E (n) такая, что f (0) = A и f (1) = B. То же верно и для косвенных изометрий E (п). С другой стороны, группа E (n) в целом несвязна: не существует непрерывной траектории, которая начинается в E (n) и заканчивается в E (n).

Непрерывные траектории в E (3) играют важную роль в классической механике, поскольку они описывают физически возможные движения твердого тела в трехмерном пространстве с течением времени. За f (0) принимается преобразование тождества I из 𝔼, это начальное положение тела. Положение и описание тела в любой более поздний момент времени будет осуществляться преобразованием f (t). F (0) = "Я сейчас" в E (3), то же самое должно относиться к f (t) в любое более позднее время. По этой причине прямые евклидовы изометрии также называют «жесткими движениями».

Структура Ли

Евклидовы группы - это не только топольогические группы, это группы Ли, так что исчисление понятия могут быть немедленно адаптированы к этой настройке.

Отношение к аффинной группе

Евклидова группа E (n) является подгруппой аффинной группы для n измерений и таким образом, чтобы уважать полупрямая товарная структура обеих групп. Это дает a fortiori два способа записи элементов в явной нотации. Это:

1. парой (A, b), где A - ортогональная матрица размера n × n , а b - действительный вектор-столбец размера n; или
2. одной квадратной матрицей размера n + 1, как объяснено для аффинной группы.

. Подробности для первого представления даны в следующем разделе.

В терминах Феликса Кляйна Эрлангенской программы, мы читаем из этого, что евклидова геометрия, геометрия евклидовой группы симметрий, поэтому является специализацией аффинной геометрии. Применяются все аффинные теоремы. Происхождение евклидовой геометрии позволяет определить понятие расстояния, из которого затем можно вывести угол.

Подробное обсуждение

Структура подгруппы, матричное и векторное представление

Евклидова группа - это подгруппа группы аффинных преобразований.

Она имеет в качестве подгрупп поступательная группа T (n) и ортогональная группа O (n). Любой элемент E (n) является переносом, за которым следует ортогональное преобразование (линейная часть изометрии), уникальным образом:

$x\; \mapsto \; A\; (x\; +\; b)\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; mapsto\; A\; (x\; +\; b)\}$

где A - ортогональная матрица

или такое же ортогональное преобразование, за которым следует перевод:

$x\; \mapsto \; A\; x\; +\; c,\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; mapsto\; Ax\; +\; c,\}$

с c = Ab

T (n) - это нормальная подгруппа в E (n): для каждого перевода t и каждой изометрии u композиция

utu

- это снова перевод.

Вместе эти факты означают, что E (n) является полупрямым произведением O (n), расширенным с помощью T (n), которое записывается как $E\; (n)\; =\; Т\; (п)\; ⋊\; О\; (п)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{E\}\}\; (n)\; =\; \{\backslash \; text\; \{T\}\}\; (n)\; \backslash \; rtimes\; \{\backslash \; text\; \{O\}\}\; (n)\}$. Другими словами, O (n) (естественным образом) также является фактор-группой E (n) по T (n):

$O\; (n)\; \cong \; E\; (n)\; /\; T\; (n)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{O\}\}\; (n)\; \backslash \; cong\; \{\backslash \; text\; \{E\}\}\; (n)\; /\; \{\backslash \; text\; \{T\}\}\; (n)\}$

Итак, SO (n), специальная ортогональная группа, является подгруппой O (n), из индекса два. Следовательно, в E (n) есть подгруппа E (n), также индекса два, состоящая из прямых изометрий. В этих случаях определитель A равен 1.

Они представлены как перенос, за которым следует поворот, а не как перенос, за которым следует какое-то отражение ( в размерах 2 и 3 это знакомые отражения на линии или плоскости зеркала, которые могут включать начало координат , или в 3D, вращательное отражение ).

Это отношение обычно записывается как:

$SO\; (n)\; \cong \; E\; +\; (n)\; /\; T\; (n)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; text\; \{SO\}\}\; (n)\; \backslash \; cong\; \{\backslash \; text\; egory.$

Счетно бесконечные группы без сколь угодно малых перемещений, поворотов или комбинаций

т.е. для каждой точки набор изображений под изометриями является топологически дискретным (например, для 1 ≤ m ≤ na группы, порожденной m сдвигами в независимых направлениях и, возможно, конечной точечной группой). Сюда входят решетки. Примерами более общих, чем те, являются дискретные пространственные группы.

Счетно бесконечные группы с произвольно малыми перемещениями, поворотами или комбинациями

В этом случае есть точки, для которых набор изображений под изометриями не закрывается. Примерами таких групп являются в 1D группа, порожденная сдвигом 1 и одного из √2, а в 2D - группа, порожденная вращением вокруг начала координат на 1 радиан.

Несчетное группы, где есть точки, для которых набор изображений под изометриями не замкнут

(например, в 2D все переводы в одном направлении и все переводы на рациональные расстояния в другом направлении).

Несчетные группы, где для всех точек набор изображений под изометриями замкнут

например:

• все прямые изометрии, которые сохраняют исходную точку фиксированной, или, в более общем смысле, некоторая точка ( в 3D называется группой вращения )
• , все изометрии, которые сохраняют исходную точку фиксированной или, в более общем смысле, некоторую точку (ортогональная группа )
• все прямые изометрии E (n)
• целая евклидова группа E (n)
• одна из этих групп в m-мерном подпространстве в сочетании с дискретной группой изометрий в ортогональном (n - m) -мерном пространстве
• одна из этих группы в m-мерное подпространство, объединенное с другим подпространством в ортогональном (n-m) -мерном пространстве

Примеры комбинаций в 3D:

• все вращения вокруг одной фиксированной оси
• то же самое в сочетании с отражением в плоскостях через ось и / или плоскость, перпендикулярную оси
• , то же самое в сочетании с дискретным перемещением вдоль оси или со всеми изометриями вдоль оси
• дискретная группа точек, группа фризов или группа обоев в плоскости, объединенной с любой группой симметрии в перпендикулярном направлении
• , все изометрии, которые представляют собой комбинацию вращения вокруг некоторой оси и пропорционального перемещения вдоль оси; в общем, это сочетается с k-кратными изометриями вращения вокруг одной оси (k ≥ 1); набор изображений точки под изометриями представляет собой k-образную спираль ; кроме того, возможен двукратный поворот вокруг перпендикулярно пересекающейся оси и, следовательно, k-кратная спираль таких осей.
• для любой точечной группы: группа всех изометрий, которые являются комбинацией изометрия в точечной группе и перевод; например, в случае группы, порожденной инверсией в начале координат: группа всех переводов и инверсия во всех точках; это обобщенная группа диэдра группы R, Dih (R).

Обзор изометрий в трех измерениях

E (1), E (2) и E ( 3) можно разделить на следующие категории: степеней свободы :

Теорема Часлеса утверждает, что любой элемент E (3) является смещение винта.

См. Также трехмерные изометрии, которые оставляют исходную точку фиксированной, пространственная группа, инволюция.

Коммутирующие изометрии

Для некоторых Состав пар изометрии не зависит от порядка:

• два смещения
• два поворота или винта вокруг одной оси
• отражение относительно плоскости, и перенос в этой плоскости, поворот вокруг оси, перпендикулярной плоскости, или отражение относительно перпендикулярной плоскости
• скользящее отражение относительно плоскости, и перенос в этой плоскости
• инверсия в точке и любая изометрия фиксация точки
• поворот на 180 ° вокруг оси и отражение в плоскость через эту ось
• поворот на 180 ° вокруг оси и поворот на 180 ° вокруг перпендикулярной оси (приводит к повороту на 180 ° вокруг оси, перпендикулярной обоим)
• два вращения вокруг оси одна и та же ось относительно одной плоскости
• два скользящих отражения относительно одной плоскости

Классы сопряженности

Перемещения на заданное расстояние в любом направлении образуют сопряжение класс ; группа трансляции - это объединение таковых для всех расстояний.

В 1D все отражения относятся к одному классу.

В 2D повороты на один и тот же угол в любом направлении относятся к одному классу. Скользящие отражения с переносом на одинаковое расстояние относятся к одному классу.

В 3D:

• Инверсии по всем точкам относятся к одному классу.
• Повороты на один и тот же угол относятся к одному классу.
• Повороты вокруг ось, объединенная с трансляцией вдоль этой оси, относится к одному классу, если угол и расстояние переноса одинаковы.
• Отражения в плоскости относятся к одному классу
• Отражения в плоскость, объединенная с перемещением в этой плоскости на такое же расстояние, относится к одному классу.
• Вращения вокруг оси на один и тот же угол, не равный 180 °, в сочетании с отражением в плоскости, перпендикулярной этой оси, являются в том же классе.

См. также

• Неподвижные точки групп изометрии в евклидовом пространстве
• Изометрия евклидовой плоскости
• Группа Пуанкаре
• Координатные вращения и отражения
• Отражение через начало координат
• Плоскость вращения

Ссылки

• Седерберг, Джудит Н. (2001). Курс современной геометрии. Стр. 136 –164. ISBN 978-0-387-98972-3.
• Уильям Терстон. Трехмерная геометрия и топология. Vol. 1. Под редакцией Сильвио Леви. Princeton Mathematical Series, 35. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1997. x + 311 стр. ISBN 0-691-08304-5