Войти
Четырехмерный эквивалент куба известен как tesseract, вращающийся здесь в четырехмерном пространстве, но спроецированный в два измерения для отображения. A четырехмерное пространство (4D) является математическим расширением концепции трехмерного или трехмерного пространства. Трехмерное пространство - это простейшая возможная абстракция из наблюдения, что для описания размеров или расположения объектов в повседневном мире нужны только три числа, называемые измерениями. Например, объем прямоугольного блока находится путем измерения и умножения его длины, ширины и высоты (часто обозначаемых x, y и z).
Идея добавления четвертого измерения началась с «Измерений» Жана ле Ронд д'Аламбера, опубликованной в 1754 году, за которой последовал Жозеф-Луи Лагранж в середины 1700-х годов, и завершился точной формализацией концепции в 1854 году Бернхардом Риманом. В 1880 году Чарльз Ховард Хинтон популяризировал эти открытия в эссе под названием «Что такое четвертое измерение? », в котором объяснялась концепция «четырехмерного куба »с пошаговым обобщением свойств линий, квадратов и кубов. Самая простая форма метода Хинтона - нарисовать два обычных 3D-куба в 2D-пространстве, один из которых окружает другой, разделенных «невидимым» расстоянием, а затем провести линии между их эквивалентными вершинами. Это можно увидеть в сопровождающей анимации всякий раз, когда она показывает меньший внутренний куб внутри большего внешнего куба. Восемь линий, соединяющих вершины двух кубов, в данном случае представляют собой одно направление в «невидимом» четвертом измерении.
Пространства более высоких измерений (то есть больше трех) с тех пор стали одной из основ для формального выражения современной математики и физики. Большая часть этих тем не могла бы существовать в их нынешних формах без использования таких пространств. Эйнштейновская концепция пространства-времени использует такое четырехмерное пространство, хотя оно имеет структуру Минковского, которая немного сложнее, чем евклидово четырехмерное пространство..
Отдельные местоположения в пространстве 4D могут быть заданы как векторы или n-кортежи, то есть как упорядоченные списки чисел, такие как (t, x, y, z). Только когда такие места соединяются в более сложные формы, появляется полное богатство и геометрическая сложность пространств более высоких измерений. Намек на эту сложность можно увидеть в сопровождающей 2D-анимации одного из простейших возможных 4D-объектов, тессеракта (эквивалентного 3D кубу ; см. Также Hypercube ).
Лагранж писал в своей аналитической работе Mécanique (опубликованной в 1788 году, на основе работы, выполненной около 1755 года), что механику можно рассматривать как действующую в четырехмерном пространстве - трех измерениях пространства., и один раз. В 1827 г. Мебиус понял, что четвертое измерение позволит вращать трехмерную форму на ее зеркальном отображении, и к 1853 г. Людвиг Шлефли открыл множество многогранников в высших измерениях, хотя его работа была опубликована только после его смерти. Более высокие измерения вскоре были поставлены на твердую основу Бернхардом Риманом 1854 тезисом, Über die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen, в котором он считал «точкой» любую последовательность координат (x 1,..., x n). Таким образом была установлена возможность геометрии в высших измерениях, включая, в частности, четыре измерения.
Арифметика четырех измерений, называемая кватернионами, была определена Уильямом Роуэном Гамильтоном в 1843 году. Эта ассоциативная алгебра была источником науки о векторный анализ в трех измерениях, как описано в История векторного анализа. Вскоре после того, как тессарины и кокватернионы были введены как другие четырехмерные алгебры над R.
, одним из первых крупных толкователей четвертого измерения был Чарльз Ховард Хинтон, начиная с 1880 года с его эссе «Что такое четвертое измерение?»; опубликовано в журнале Дублинского университета. Он ввел термины тессеракт, ана и ката в своей книге Новая эра мысли и представил метод визуализации четвертого измерения с помощью кубов в книге «Четвертое измерение».
Идеи Хинтона вдохновили его на создание фантазии о «Церкви четвертого измерения», представленной Мартином Гарднером в его «колонке« Математические игры »в январе 1962 года в журнале Scientific American. В 1886 году Виктор Шлегель описал свой метод визуализации четырехмерных объектов с помощью диаграмм Шлегеля.
. В 1908 году Герман Минковский представил статью, в которой закреплена роль времени как четвертого измерение пространства-времени, основа теории Эйнштейна по специальной и общей теории относительности. Но геометрия пространства-времени, будучи неевклидовой, глубоко отличается от той, которую популяризировал Хинтон. Изучение пространства Минковского потребовало новой математики, совершенно отличной от математики четырехмерного евклидова пространства, и поэтому развивалось по совершенно другим направлениям. Это разделение было менее четким в массовом воображении, поскольку художественные произведения и философские произведения размывали это различие, поэтому в 1973 г. Х. С. М. Кокстер почувствовал себя вынужденным написать:
Мало что можно получить, если представить четвертое евклидово измерение как время. Фактически, эта идея, столь привлекательно развитая Х. Дж. Уэллс в «Машине времени» привел таких авторов, как Джон Уильям Данн («Эксперимент со временем», к серьезному неверному пониманию теории относительности. Геометрия пространства-времени Минковского не является евклидовой и, следовательно, не имеет никакого отношения к настоящему исследованию.
— Х. С.М. Коксетер, Правильные многогранникиМатематически четырехмерное пространство - это пространство с четырьмя пространственными измерениями, то есть пространство, которому требуются четыре параметра для определения пункт в нем. Например, общая точка может иметь позицию vector a, равную
Это может быть записанным в терминах четырех стандартных базисных векторов (e1, e2, e3, e4), заданных как
так общий вектор a равен
Векторы складываются, вычитаются и масштабируются как в трех измерениях.
скалярное произведение евклидова трехмерного пространства обобщается до четырех измерений как
Его можно использовать для вычисления нормы или длины вектора,
и вычислите или определите угол угол между двумя ненулевыми векторами как
Пространство-время Минковского - это четырехмерное пространство с геометрией, определяемой невырожденной парой , отличной от скалярного произведения:
Например, квадрат расстояния между точками (0,0,0,0) и (1,1,1,0) равен 3 как в евклидовом, так и в четырехмерном пространстве Минковского, а расстояние квадрат между (0,0,0,0) и (1,1,1,1) равен 4 в евклидовом пространстве и 2 в пространстве Минковского; увеличение 
Перекрестное произведение не определяется в четырех измерениях. Вместо этого для некоторых приложений используется внешний продукт, который определяется следующим образом:
Это бивектор со значениями, с бивекторами в четырех измерениях, образующими шестимерное линейное пространство с базисом (e12, e13, e14, e23, e24, e34). Их можно использовать для создания вращений в четырех измерениях.
В привычном трехмерном пространстве повседневной жизни есть три оси координат - обычно обозначаемые x, y и z - с каждой осью ортогонально (т.е. перпендикулярно) двум другим. Шесть сторон света в этом пространстве можно назвать вверх, вниз, восток, запад, север и юг. Положения по этим осям можно назвать высотой, долготой и широтой. Длины, измеренные по этим осям, можно назвать высотой, шириной и глубиной.
Для сравнения, четырехмерное пространство имеет дополнительную координатную ось, ортогональную остальным трем, которая обычно обозначается буквой w. Для описания двух дополнительных сторон света Чарльз Ховард Хинтон придумал термины ана и ката, от греческих слов, означающих «вверх к» и «вниз от» соответственно. Положение вдоль оси w может быть названо spissitude, как было придумано Генри Мором.
Как упоминалось выше, Герман Минковский использовал идею четырех измерений для обсуждения космологии, включая конечную скорость света. Добавляя временное измерение к трехмерному пространству, он указал альтернативную перпендикулярность, гиперболическую ортогональность. Это понятие обеспечивает его четырехмерное пространство с модифицированной одновременностью, соответствующей электромагнитным отношениям в его космосе. Мир Минковского преодолел проблемы, связанные с традиционной космологией абсолютного пространства и времени, ранее использовавшейся во вселенной трех пространственных измерений и одного измерения времени.
Геометрия четырехмерного пространства намного сложнее, чем у трехмерного пространства, из-за дополнительной степени свободы.
Так же, как в трех измерениях есть многогранники, состоящие из двухмерных многоугольников, в четырех измерениях есть 4-многогранники, состоящие из многогранников. В трех измерениях есть 5 правильных многогранников, известных как Платоновы тела. В четырех измерениях существует 6 выпуклых правильных 4-многогранников, аналогов Платоновых тел. Ослабление условий регулярности генерирует еще 58 выпуклых однородных 4-многогранников, аналогичных 13 полурегулярным архимедовым телам в трех измерениях. Ослабление условий выпуклости порождает еще 10 невыпуклых правильных 4-многогранников.
| A4, [3,3,3] | B4, [4,3,3 ] | F4, [3,4,3] | H4, [5,3,3] | ||
|---|---|---|---|---|---|
 . 5-элементный.    . {3,3,3} |  . тессеракт.  . {4,3, 3} |  . 16-ячеечная. . {3,3,4} |  . 24-ячеечная. . {3,4,3} |  . 120-ячеечная.  . {5,3,3 } |  . 600 ячеек. . {3,3,5} |
В трех измерениях круг может быть выдавлен, чтобы сформировать цилиндр. В четырех измерениях есть несколько разных цилиндрических объектов. Сфера может быть экструдирована для получения сферического цилиндра (цилиндр со сферическими «крышками», известный как сфериндер ), а цилиндр может быть выдавлен для получения цилиндрической призмы (cubinder ). Декартово произведение двух окружностей может быть взято для получения дуоцилиндра. Все трое могут «катиться» в четырехмерном пространстве, у каждого свои свойства.
В трех измерениях кривые могут образовывать узлы, а поверхности - нет (если только они не самопересекаются). В четырех измерениях, однако, узлы, созданные с помощью кривых, можно тривиально развязать, смещая их в четвертом направлении, но двумерные поверхности могут образовывать нетривиальные несамопересекающиеся узлы в четырехмерном пространстве. Поскольку эти поверхности двумерны, они могут образовывать гораздо более сложные узлы, чем струны в трехмерном пространстве. Бутылка Клейна является примером такой узловатой поверхности. Другой такой поверхностью является реальная проективная плоскость.
Стереографическая проекция тора Клиффорда : набор точек (cos (a), sin (a), cos (b), sin (b)), который является подмножеством 3-сферы.Множество точек в евклидовом 4-пространстве, имеющих одинаковое расстояние R от фиксированной точки P 0 образует гиперповерхность, известную как 3-сфера. Гиперобъем замкнутого пространства:
Это часть метрики Фридмана – Лемэтра – Робертсона – Уокера в общей теории относительности, где R заменено на функция R (t), где t означает космологический возраст Вселенной. Увеличение или уменьшение R со временем означает расширение или сжатие Вселенной, в зависимости от плотности массы внутри.
Исследования с использованием виртуальной реальности показывают, что люди, несмотря на то, что живут в трехмерном мире может без специальной практики делать пространственные суждения о линейных сегментах, встроенных в четырехмерное пространство, на основе их длины (одномерного) и угла (двухмерного) между ними. Исследователи отметили, что «участники нашего исследования имели минимальную практику в этих задачах, и остается открытым вопрос, можно ли получить более устойчивые, окончательные и богатые 4D-представления с улучшенным восприятием в виртуальных средах 4D». В другом исследовании проверялась способность людей ориентироваться в лабиринтах 2D, 3D и 4D. Каждый лабиринт состоял из четырех сегментов пути случайной длины и соединенных случайными ортогональными изгибами, но без ответвлений или петель (т.е. фактически лабиринтов ). Графический интерфейс был основан на бесплатной игре Джона Макинтоша 4D Maze. Участвовавшие должны были пройти по тропе и, наконец, оценить линейное направление обратно к исходной точке. Исследователи обнаружили, что некоторые из участников смогли мысленно интегрировать свой путь после некоторой практики в 4D (случаи более низкого измерения были для сравнения и для участников, чтобы изучить метод).
Сеть тессеракта Чтобы понять природу четырехмерного пространства, обычно используется устройство, называемое размерной аналогией. Размерная аналогия - это исследование того, как (n - 1) измерений соотносятся с n измерениями, а затем вывод о том, как n измерений будут соотноситься с (n + 1) измерениями.
Пространственная аналогия была использована Эдвином Эбботом Эбботт в книге Flatland, в которой рассказывается история о квадрате, который живет в двухмерном мире, как поверхность листа бумаги. С точки зрения этого квадрата, трехмерное существо обладает, казалось бы, божественными способностями, такими как способность извлекать предметы из сейфа, не взламывая его (перемещая их через третье измерение), чтобы видеть все, что из двух- пространственная перспектива заключена за стенами и оставаться полностью невидимой, стоя на расстоянии нескольких дюймов в третьем измерении.
Применяя пространственную аналогию, можно сделать вывод, что четырехмерное существо могло бы совершать аналогичные подвиги с трехмерной точки зрения. Руди Ракер иллюстрирует это в своем романе Spaceland, в котором главный герой встречает четырехмерных существ, демонстрирующих такие способности.
Поскольку трехмерный объект проходит через двумерную плоскость, двумерные существа в этой плоскости будут наблюдать только поперечное сечение трехмерный объект в этой плоскости. Например, если сферический воздушный шар прошел через лист бумаги, существа на бумаге увидели бы сначала одну точку, затем круг, постепенно увеличивающийся, пока не достигающий диаметра воздушного шара, а затем снова уменьшающийся, пока не уменьшился. до точки, а затем исчез. Точно так же, если четырехмерный объект проходит через трехмерную (гипер) поверхность, можно наблюдать трехмерное поперечное сечение четырехмерного объекта - например, четырехмерная сфера сначала появится как точка, а затем как растущая сфера, которая затем сжимается до единственной точки, а затем исчезает. Это средство визуализации аспектов четвертого измерения использовалось в романе «Флатландия», а также в нескольких работах Чарльза Ховарда Хинтона.
Полезное применение размерной аналогии в визуализации более высоких измерений находится в проекция. Проекция - это способ представления n-мерного объекта в n - 1 измерениях. Например, экраны компьютеров являются двухмерными, и все фотографии трехмерных людей, мест и вещей представлены в двух измерениях путем проецирования объектов на плоскую поверхность. При этом размер, ортогональный экрану (глубина), удаляется и заменяется косвенной информацией. сетчатка глаза глаза также представляет собой двумерный массив из рецепторов, но мозг может воспринимать природу трехмерных объектов на основании косвенной информации (например, затенение, ракурс, бинокулярное зрение и т. д.). Художники часто используют перспективу, чтобы придать двумерным изображениям иллюзию трехмерной глубины. Тень, отбрасываемая фиктивной сеточной моделью вращающегося тессеракта на плоской поверхности, как показано на рисунках, также является результатом проекций.
Точно так же объекты в четвертом измерении можно математически спроецировать в знакомые три измерения, где их будет более удобно исследовать. В этом случае «сетчатка» четырехмерного глаза представляет собой трехмерный массив рецепторов. Гипотетическое существо с таким глазом могло бы воспринимать природу четырехмерных объектов, делая вывод о четырехмерной глубине из косвенной информации в трехмерных изображениях на его сетчатке.
Перспективная проекция трехмерных объектов на сетчатку глаза привносит артефакты, такие как ракурс, который мозг интерпретирует как глубину в третьем измерении. Точно так же перспективная проекция из четырех измерений дает аналогичные эффекты ракурса. Применяя аналогию с измерениями, из этих эффектов можно сделать вывод о четырехмерной «глубине».
В качестве иллюстрации этого принципа следующая последовательность изображений сравнивает различные виды трехмерного куба с аналогичными проекциями четырехмерного тессеракта в трехмерное пространство.
| Куб | Тессеракт | Описание |
|---|---|---|
 |  | Изображение слева представляет собой куб, если смотреть лицом вверх. Аналогичная точка обзора тессеракта в 4-х измерениях - это перспективная проекция ячейка-первая, показанная справа. Между ними можно провести аналогию: точно так же, как куб проецируется на квадрат, тессеракт проецируется на куб. Обратите внимание, что остальные 5 граней куба здесь не видны. Они закрываются видимым лицом. Точно так же остальные 7 ячеек тессеракта здесь не видны, потому что они закрыты видимой ячейкой. |
 |  | На изображении слева тот же куб виден с ребра. Аналогичной точкой обзора тессеракта является перспективная проекция лицом вперед, показанная справа. Точно так же, как проекция куба, ориентированная на ребро, состоит из двух трапеций , проекция тессеракта, обращенная к гранью, состоит из двух усеченных вершин . Ближайший край куба в этой точке обзора находится между красной и зеленой гранями. Точно так же ближайшая грань тессеракта находится между красной и зеленой ячейками. |
 |  | Слева - куб, смотрящий в угол. Это аналогично перспективной проекции тессеракта с ребром, показанной справа. Точно так же, как проекция вершины куба состоит из 3 дельтоидов, окружающих вершину, проекция тессеракта, ориентированная на ребро, состоит из 3 шестигранных объемов, окружающих ребро. Подобно тому, как ближайшая вершина куба - это та, где встречаются три грани, так и ближайшая грань тессеракта - это то, что находится в центре объема проекции, где встречаются три ячейки. |
| | | Другая аналогия может быть проведена между проекцией тессеракта, ориентированной на ребро, и проекцией куба, ориентированной на ребро. В проекции куба, ориентированной на ребро, есть две трапеции, окружающие край, в то время как тессеракт имеет три шестигранных объема, окружающих край. |
| |  | Слева - куб, смотрящий в угол. Справа показана перспективная проекция вершины тессеракта. Проекция куба с первой вершиной имеет три четырехгранника, окружающих вершину, но проекция тессеракта с первой вершиной имеет четыре шестигранных объема, окружающих вершину. Подобно тому, как ближайший угол куба находится в центре изображения, ближайшая вершина тессеракта лежит не на границе проецируемого объема, а в его центре внутри, где встречаются все четыре ячейки. Обратите внимание, что здесь видны только три грани из 6 граней куба, потому что остальные 3 лежат за этими тремя гранями, на противоположной стороне куба. Точно так же здесь можно увидеть только 4 из 8 ячеек тессеракта; остальные 4 лежат позади этих 4 в четвертом направлении, на дальней стороне тессеракта. |
С проекцией тесно связано понятие отбрасывания теней.
Если свет падает на трехмерный объект, отбрасывается двумерная тень. По аналогии с измерениями, свет, падающий на двумерный объект в двухмерном мире, отбрасывает одномерную тень, а свет на одномерный объект в одномерном мире отбрасывает нульмерную тень, то есть, точка несвета. Идя другим путем, можно сделать вывод, что свет, падающий на четырехмерный объект в четырехмерном мире, отбрасывает трехмерную тень.
Если каркас куба освещается сверху, результирующая тень на плоской двумерной поверхности представляет собой квадрат внутри квадрата с соответствующими соединенными углами. Точно так же, если бы каркас тессеракта освещался «сверху» (в четвертом измерении), его тень была бы тенью трехмерного куба внутри другого трехмерного куба, подвешенного в воздухе («плоская» поверхность от четырехугольника). -мерная перспектива). (Обратите внимание, что технически показанное здесь визуальное представление на самом деле является двухмерным изображением трехмерной тени четырехмерной каркасной фигуры.)
Также и размерная аналогия помогает в выводе основных свойств объектов в более высоких измерениях. Например, двухмерные объекты ограничены одномерными границами: квадрат ограничен четырьмя ребрами. Трехмерные объекты ограничены двумерными поверхностями: куб ограничен 6 квадратными гранями. Применяя аналогию с измерениями, можно сделать вывод, что четырехмерный куб, известный как тессеракт, ограничен трехмерными объемами. И действительно, это так: математика показывает, что тессеракт ограничен 8 кубиками. Знание этого является ключом к пониманию того, как интерпретировать трехмерную проекцию тессеракта. Границы тессеракта проецируются на объемы изображения, а не только на двумерные поверхности.
Люди обладают пространственным самовосприятием как существ в трехмерном пространстве, но визуально ограничены одним измерением меньше: глаз видит мир как проекцию в двух измерениях, на поверхности сетчатки. Если предположить, что четырехмерное существо могло видеть мир в проекциях на гиперповерхность, также всего на одно измерение меньше, то есть в трех измерениях, оно могло бы видеть, например, все шесть сторон непрозрачного бокса одновременно и в Фактически, то, что находится внутри коробки одновременно, точно так же, как люди могут видеть все четыре стороны и одновременно внутреннюю часть прямоугольника на листе бумаги. Существо сможет различать все точки в трехмерном подпространстве одновременно, включая внутреннюю структуру твердых трехмерных объектов, вещи, скрытые от человеческих точек зрения в трех измерениях на двухмерных проекциях. Мозг получает изображения в двух измерениях и использует рассуждения, чтобы помочь представить себе трехмерные объекты.
Рассуждения по аналогии с знакомыми более низкими измерениями могут быть отличным интуитивным руководством, но нужно проявлять осторожность, чтобы не принимать результаты, которые не прошли более строгую проверку. Например, рассмотрим формулы для длины окружности 
 | В Викиучебнике есть книга по следующим темам: Специальная теория относительности |
