4-х коллектор - 4-manifold

редактировать

Коллектор 4-го измерения

В математике 4-многообразие - это 4-мерное топологическое многообразие. гладкое 4-многообразие - это 4-многообразие с гладкая структура. В размерности четыре, в отличие от более низких размерностей, топологические и гладкие многообразия совершенно разные. Существуют некоторые топологические 4-многообразия, которые не допускают гладких структура, и даже если существует гладкая структура, она не обязательно должна быть уникальной (т.е. есть гладкие 4-многообразия, которые гомеоморфны, но не диффеоморфны ).

4-многообразия важны в физике, потому что в общей теории относительности, пространство-время моделируется как псевдориманово 4-многообразие.

Содержание

1 Топологические 4-многообразия
2 Гладкие 4-многообразия
3 Особые явления в 4-мерном пространстве
4 Неудача трюка Уитни в размерности 4
5 См. Также
6 Список литературы

Топологические 4-многообразия

гомотопический тип для односвязного компактного 4-многообразия зависит только от формы пересечения на гомологиях средней размерности. Из знаменитой теоремы Майкла Фридмана (1982) следует, что тип гомеоморфизма многообразия зависит только от этой формы пересечения и от $Z / 2 Z {\ displaystyle \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {Z} / 2 \ mathbb {Z}}$ инвариант, называемый инвариантом Кирби – Зибенмана, и более того, что каждая комбинация унимодулярной формы и может возникнуть инвариант Кирби – Зибенмана, за исключением того, что если форма четная, то инвариантом Кирби – Зибенмана должна быть сигнатура / 8 (mod 2).

Примеры:

В особом случае, когда форма равна 0, это подразумевает 4-мерную топологическую гипотезу Пуанкаре.
. Если форма является решеткой E8, это дает многообразие, называемое многообразием E8, многообразие, не гомеоморфное никакому симплициальному комплексу.
Если форма имеет вид $Z {\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ , существует два многообразия, зависящих от инварианта Кирби – Зибенмана: одно - это 2-мерное комплексное проективное пространство, а другое - поддельное проективное пространство того же гомотопического типа, но не гомеоморфное (и без гладкой структуры).
Когда ранг формы больше, чем примерно 28, число положительно определенных унимодулярных форм начинает чрезвычайно быстро расти с рангом, поэтому существует огромное количество соответствующих односвязных топологических 4 -многообразия (большинство из которых, кажется, почти не представляют интереса).

Классификация Фридмана может быть расширена на некоторые случаи, когда фундаментальная группа не слишком сложна d; например, когда это $Z {\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ , существует классификация, аналогичная приведенной выше, с использованием эрмитовых форм над групповым кольцом $Z {\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ $\ mathbb {Z}$ . Если фундаментальная группа слишком велика (например, свободная группа на 2 образующих), то методы Фридмана кажутся неудачными, и о таких многообразиях известно очень мало.

Для любой конечно определенной группы легко построить (гладкое) компактное 4-многообразие с его фундаментальной группой. Поскольку не существует алгоритма, позволяющего определить, являются ли две конечно определенные группы изоморфными (даже если одна известна как тривиальная), не существует алгоритма, позволяющего определить, имеют ли два 4-многообразия одну и ту же фундаментальную группу. Это одна из причин, почему большая часть работ по 4-многообразиям рассматривает просто односвязный случай: общий случай многих проблем уже известен как неразрешимый.

Гладкие 4-многообразия

Для многообразий размерности не выше 6 любая кусочно-линейная (PL) структура может быть сглажена уникальным образом, в частности теория 4-мерного PL-многообразия во многом аналогична теории 4-мерных гладких многообразий.

Основная открытая проблема теории гладких 4-многообразий - классификация односвязных компактных многообразий. Поскольку топологические из них известны, это разбивается на две части:

Какие топологические многообразия сглаживаются?
Классифицируют различные гладкие структуры на сглаживаемом многообразии.

Существует почти полный ответ на вопрос первая проблема, о которой односвязные компактные 4-многообразия имеют гладкую структуру. Во-первых, должен исчезнуть класс Кирби – Зибенмана.

Если форма пересечения определена Теорема Дональдсона (Donaldson 1983) дает полный ответ: существует гладкая структура тогда и только тогда, когда форма диагонализуема.
Если форма неопределенная и нечетная, имеется гладкая структура.
Если форма неопределенная и четная, мы можем также предположить, что она имеет неположительную сигнатуру, изменив при необходимости ориентацию, и в этом случае она изоморфен сумме m копий II 1,1 и 2n копий E 8 (−1) для некоторых m и n. Если m ≥ 3n (так что размерность как минимум в 11/8 раз больше | сигнатуры |), то существует гладкая структура, заданная взятием связной суммы n K3 поверхностей и m - 3n копий S × S. Если m ≤ 2n (т.е. размерность не более чем в 10/8 раз превышает | сигнатуру |), то Фурута доказал, что гладкой структуры не существует (Furuta 2001). Это оставляет небольшой промежуток между 10/8 и 11/8, где ответ в основном неизвестен. (Наименьший случай, не описанный выше, имеет n = 2 и m = 5, но он также был исключен, поэтому наименьшая решетка, для которой в настоящее время неизвестен ответ, - это решетка II 7,55 из 62 с n = 3 и m = 7. См. недавний (по состоянию на 2019 год) прогресс в этой области.) «Гипотеза 11/8» утверждает, что гладких структур не существует, если размерность меньше чем в 11/8 раз больше | signature |.

Напротив, очень мало известно о втором вопросе классификации гладких структур на сглаживаемом 4-многообразии; на самом деле не существует ни одного сглаживаемого 4-многообразия, ответ на который известен. Дональдсон показал, что существуют односвязные компактные 4-многообразия, такие как поверхности Долгачева, со счетно бесконечным числом различных гладких структур. На R имеется бесчисленное количество различных гладких структур; см. экзотика R. Финтушель и Стерн показали, как с помощью хирургии построить большое количество различных гладких структур (индексированных произвольными целочисленными полиномами) на множестве различных многообразий, используя инварианты Зайберга – Виттена, чтобы показать, что гладкие структуры различны. Их результаты показывают, что любая классификация односвязных гладких 4-многообразий будет очень сложной. В настоящее время нет убедительных предположений о том, как может выглядеть эта классификация. (Некоторые ранние гипотезы о том, что все односвязные гладкие 4-многообразия могут быть связными суммами алгебраических поверхностей или симплектическими многообразиями, возможно, с обратной ориентацией, были опровергнуты.)

Особые явления в 4 -размерности

Существует несколько фундаментальных теорем о многообразиях, которые могут быть доказаны низкоразмерными методами в размерностях не более 3, и совершенно другими методами больших размерностей в размерностях не менее 5, но которые неверны в размерности. 4. Вот несколько примеров:

В измерениях, отличных от 4, инвариант Кирби – Зибенмана препятствует существованию PL-структуры; другими словами, компактное топологическое многообразие имеет PL-структуру тогда и только тогда, когда его инвариант Кирби – Зибенмана в H (M, Z/2Z) равен нулю. В размерности 3 и ниже каждое топологическое многообразие допускает существенно уникальную PL-структуру. В размерности 4 есть много примеров с исчезающим инвариантом Кирби – Зибенмана, но без PL-структуры.
В любой размерности, отличной от 4, компактное топологическое многообразие имеет только конечное число существенно различных PL или гладких структур. В размерности 4 компактные многообразия могут иметь счетное бесконечное число недиффеоморфных гладких структур.
Четыре - единственная размерность n, для которой R может иметь экзотическую гладкую структуру. R имеет несчетное количество экзотических гладких структур; см. экзотика R.
Решение гладкой гипотезы Пуанкаре известно во всех измерениях, кроме 4 (обычно оно неверно в размерностях не менее 7; см. экзотическая сфера ). Гипотеза Пуанкаре для PL-многообразий была доказана для всех размерностей, кроме 4, но неизвестно, верна ли она в 4-х измерениях (это эквивалентно гладкой гипотезе Пуанкаре в 4-х измерениях).
Теорема о гладком h-кобордизме верна для кобордизмов при условии, что ни кобордизм, ни его граница не имеют размерности 4. Она может потерпеть неудачу, если граница кобордизма имеет размерность 4 (как показано Дональдсон ). Если кобордизм имеет размерность 4, то неизвестно, верна ли теорема о h-кобордизме.
Топологическое многообразие размерности, не равной 4, имеет разложение на ручку. Многообразия размерности 4 имеют разложение на ручки тогда и только тогда, когда они сглаживаются.
Существуют компактные 4-мерные топологические многообразия, которые не гомеоморфны никакому симплициальному комплексу. В размерности не менее 5 существование топологических многообразий, не гомеоморфных симплициальному комплексу, было открытой проблемой. Чиприан Манолеску показал, что существуют многообразия в каждом измерении, большее или равное 5, которые не гомеоморфны симплициальному комплексу.

Неудача трюка Уитни в размерности 4

Согласно to Фрэнк Куинн, «Два n-мерных подмногообразия многообразия размерности 2n обычно пересекают себя и друг друга в изолированных точках. « Уитни » использует изотопию через вложенную 2-диск, чтобы упростить эти пересечения. Грубо говоря, это сводит изучение n-мерных вложений к встраиванию 2-дисков. Но это не сокращение, когда вложение равно 4: сами два диска являются средними размерностями, поэтому попытка вложить они сталкиваются с теми же проблемами, которые должны решать. Это явление, которое отделяет измерение 4 от других. "

См. также

Литература

Дональдсон, Саймон К. (1983), «Применение калибровочной теории к четырехмерной топологии», Journal of Differential Geometry, 18(2): 279–315, doi : 10.4310 / jdg / 1214437665
Дональдсон, Саймон К. ; Кронхеймер, Питер Б. (1997), Геометрия четырехмерных многообразий, Oxford Mathematical Monographs, Oxford: Clarendon Press, ISBN 0-19-850269-9
Фрид, Дэниел С. ; Уленбек, Карен К. (1984), Инстантоны и четырехмерные многообразия, публикации Института исследований математических наук, 1, Springer-Verlag, Нью-Йорк, doi : 10.1007 / 978-1-4684-0258-2, ISBN 0-387-96036-8, MR 0757358
Фридман, Майкл Хартли ( 1982), «Топология четырехмерных многообразий», Journal of Differential Geometry, 17(3): 357–453, doi : 10.4310 / jdg / 1214437136, MR 0679066
Фридман, Майкл Х. ; Куинн, Фрэнк (1990), Топология 4-многообразий, Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, ISBN 0 -691-08577-3
Фурута, Микио (2001), «Уравнение монополя и гипотеза 11/8» (PDF), Mathematical Research Letters, 8 : 279 –291, doi : 10.4310 / mrl.2001.v8.n3.a5, MR 1839478
Кирби, Робион К. (1989), Топология 4-многообразий, Lecture Notes in Mathematics, 1374, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi : 10.1007 / BFb0089031, ISBN 978-3-540-51148-9, MR 1001966
Gompf, Robert E. ; Стипсич, Андраш И. (1999), 4-многообразия и исчисление Кирби, Grad. Исследования в области математики., 20, Американское математическое общество, MR 1707327
Кирби, Р.К.; Тейлор, Л. Р. (1998). «Обзор 4-многообразий глазами хирургии». arXiv : math.GT/9803101.
Мандельбаум, Р. (1980), «Четырехмерная топология: введение», Bull. Амер. Математика. Soc., 2 : 1–159, doi : 10.1090 / S0273-0979-1980-14687-X
Матвеев, С.В. (2001) [1994], Энциклопедия математики, EMS Press
Скорпан, А. (2005), Дикий мир 4-многообразий, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество, ISBN 0-8218-3749-4