Правильный 4-многогранник

Тессеракт - один из 6 выпуклых правильных 4-многогранников

В математике , правильный 4-многогранник - это регулярный четырехмерный многогранник. Они являются четырехмерными аналогами правильных многогранников в трех измерениях и правильных многоугольников в двух измерениях.

Правильные 4-многогранники были впервые описаны швейцарским математиком Людвигом Шлефли в середине XIX века, хотя полный набор был открыт лишь позже.

Имеется шесть выпуклых и десять звездных правильных 4-многогранников, всего шестнадцать.

Содержание

• 1 История
• 2 Конструкция
• 3 Правильные выпуклые 4-многогранники
  • 3.1 Свойства
  • 3.2 Как конфигурации
  • 3.3 Визуализация
• 4 Правильная звезда (Schläfli – Hess) 4-многогранники
  • 4.1 Имена
  • 4.2 Симметрия
  • 4.3 Свойства
• 5 См. Также
• 6 Ссылки
  • 6.1 Цитаты
  • 6.2 Библиография
• 7 Внешние ссылки

История

Выпуклые правильные 4-многогранники впервые были описаны швейцарским математиком Людвигом Шлефли в середине XIX века. Он обнаружил, что таких фигур ровно шесть.

Шлефли также обнаружил четыре правильных звездчатых 4-многогранника: большой 120-элементный, большой звездчатый 120-элементный, большой 600-элементный и большой звездчатый 120-элементный. Он пропустил оставшиеся шесть, потому что он не допускал форм, которые не соответствовали характеристике Эйлера на ячейках или фигурах вершин (для торов с нулевым отверстием: F - E + V = 2). Это исключает ячейки и фигуры вершин, поскольку {5,5 / 2} и {5 / 2,5}.

Эдмунд Хесс (1843–1903) опубликовал полный список в своем 1883 Немецкая книга «Einleitung in die Lehre von der Kugelteilung mit besonderer Berücksichtigung ihrer Anwendung auf die Theorie der Gleichflächigen und der gleicheckigen Polyeder».

Конструкция

Существование правильного 4-многогранника $\{p,\; q,\; r\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{p,\; q,\; r\; \backslash \}\}$ограничено существованием правильных многогранников $\{p,\; q\},\; \{q,\; r\}\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; \{p,\; q\; \backslash \},\; \backslash \; \{q,\; r\; \backslash \}\}$, которые образуют его ячейки и двугранный угол ограничение

, чтобы гарантировать, что ячейки встречаются, образуя замкнутую 3-поверхность.

Описанные шесть выпуклых и десять звездных многогранников являются единственными решениями этих ограничений.

Есть четыре невыпуклых символа Шлефли {p, q, r}, которые имеют допустимые ячейки {p, q} и фигуры вершин {q, r} и проходят двугранный тест, но не дают конечных цифр: {3,5 / 2,3}, {4,3,5 / 2}, {5 / 2,3,4}, {5 / 2,3,5 / 2}.

Правильные выпуклые 4-многогранники

Правильные выпуклые 4-многогранники являются четырехмерными аналогами Платоновых тел в трех измерениях и выпуклых правильных многоугольников. в двух измерениях.

Пять из них можно рассматривать как близкие аналоги Платоновых тел. Еще одна фигура, 24-элементный, не имеет близкого трехмерного эквивалента.

Каждый выпуклый правильный 4-многогранник ограничен набором 3-мерных ячеек, которые являются Платоновыми телами одного типа и размера. Они подходят друг к другу по соответствующим сторонам обычным образом.

Свойства

В следующих таблицах перечислены некоторые свойства шести выпуклых правильных 4-многогранников. Все группы симметрии этих 4-многогранников являются группами Кокстера и даны в обозначениях, описанных в этой статье. Номер, следующий за именем группы, - это порядок группы.

Имена	Изображение	Семейство	Schläfli. Coxeter	V	E	F	C	Vert.. рис.	Двойное	Группа симметрии
5- ячейка. пентахорон. пентатоп. 4-симплекс		n-симплекс. (Anсемейство)	{3,3,3}.	5	10	10. {3}	5. {3,3}	{3,3}	(самодвойственный)	A4. [3,3,3]	120
8-элементный. октахорон. тессеракт. 4-куб		гиперкуб. n-куб. (Bnсемейство)	{4,3,3}.	16	32	24. {4}	8. {4,3}	{3,3}	16-элементный	B4. [4,3,3]	384
16-элементный. гексадекахорон. 4-ортоплекс		n-ортоплекс. (Bnсемейство)	{3,3,4}.	8	24	32. {3}	16. {3,3}	{3, 4}	8-элементный	B4. [4,3,3]	384
24-элементный. икозитетрахорон. октаплекс. полиоктаэдр (pO)		Fnсемейство	{3,4,3}.	24	96	96. {3}	24. {3,4}	{4,3}	(самодвойственный)	F4. [3,4,3]	1152
120-cell. гекатоникосахорон. додекаконтахорон. додекаплекс. полидодекаэдр (pD)		n-пятиугольный многогранник. (Hnсемья)	{5,3,3}.	600	1200	720. {5}	120. {5,3}	{3,3}	600-ячеечный	H4. [5,3,3]	14400
600- ячейка. гексакозихорон. тетраплекс. политетраэдр (pT)		n-пятиугольный многогранник. (Hnсемейство)	{3,3,5}.	120	720	1200. {3}	600. {3,3}	{3,5}	120-ячеечный	H4. [5,3 ]	14400

Джон Конвей отстаивал названия симплекс, ортоплекс, тессеракт, октаплекс или полиоктаэдр (pO), додекаплекс или полидодекаэдр (pD) и тетраплекс или политетраэдр (pT).

Норман Джонсон отстаивал названия n-клетка, или пентахорон, тессеракт или октахорон, гексадекахорон, икозитетрахорон, гекатоникосахорон (или додекаконтахорон) и гексакосихорон, являясь аналогом 4D полихорона. трехмерный многогранник и двумерный многоугольник, выраженные от греческих корней poly («много») и choros («комната» или «пространство»).

характеристика Эйлера для всех 4-многогранников равен нулю, имеем 4-мерный аналог полиэдральной формулы Эйлера:

$N\; 0\; -\; N\; 1\; +\; N\; 2\; -\; N\; 3\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; N\_\; \{0\}\; -N\_\; \{1\}\; +\; N\_\; \{2\}\; -N\_\; \{3\}\; =\; 0\; \backslash ,\}$

где N k обозначает количество k-граней в многограннике (вершина - это 0-грань, ребро - 1-грань и т. д.).

Топология любого данного 4-многогранника определяется его числами Бетти и коэффициентами кручения.

Как конфигурации

Правильный 4-многогранник может быть полностью описывается как матрица конфигурации, содержащая подсчеты составляющих ее элементов. Строки и столбцы соответствуют вершинам, ребрам, граням и ячейкам. Диагональные числа (сверху слева направо снизу) говорят, сколько элементов каждого элемента встречается во всем 4-многограннике. Недиагональные числа говорят, сколько элементов столбца встречается в элементе строки или рядом с ним. Например, в каждом ребре есть 2 вершины (каждое ребро имеет 2 вершины) и 2 ячейки пересекаются на каждой грани (каждая грань принадлежит 2 ячейкам) в любом правильном 4-многограннике. Обратите внимание, что конфигурацию двойного многогранника можно получить, повернув матрицу на 180 градусов.

5-элементная. {3,3,3}	16-ячейка. {3,3,4}	tesseract. {4,3,3}	24-ячейка. {3,4,3}	600-ячейка. {3,3,5}	120- ячейка. {5,3,3}
$[5\; 4\; 6\; 4\; 2\; 10\; 3\; 3\; 3\; 3\; 10\; 2\; 4\; 6\; 4\; 5]\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; \{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; 5\; 4\; 6\; 4\; \backslash \backslash \; 2\; 10\; 3\; 3\; \backslash \backslash \; 3\; 3\; 10\; 2\; \backslash \backslash \; 4\; 6\; 4\; 5\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\}$	$[8\; 6\; 12\; 8\; 2\; 24\; 4\; 4\; 3\; 3\; 32\; 2\; 4\; 6\; 4\; 16]\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; \{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; 8\; 6\; 12\; 8\; \backslash \backslash \; 2\; 24\; 4\; 4\; \backslash \backslash \; 3\; 3\; 32\; 2\; \backslash \backslash \; 4\; 6\; 4\; 16\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\}$	$[16\; 4\; 6\; 4\; 2\; 32\; 3\; 3\; 4\; 4\; 24\; 2\; 8\; 12\; 6\; 8]\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; \{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; 16\; 4\; 6\; 4\; \backslash \backslash \; 2\; 32\; 3\; 3\; \backslash \backslash \; 4\; 4\; 24\; 2\; \backslash \backslash \; 8\; 12\; 6\; 8\; \backslash \; end\; \{matrix\}\; \}\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\}$	$[24\; 8\; 12\; 6\; 2\; 96\; 3\; 3\; 3\; 3\; 96\; 2\; 6\; 12\; 8\; 24]\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; \{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; 24\; 8\; 12\; 6\; \backslash \backslash \; 2\; 96\; 3\; 3\; \backslash \backslash \; 3\; 3\; 96\; 2\; \backslash \backslash \; 6\; 12\; 8\; 24\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\}$	$[120\; 12\; 30\; 20\; 2\; 720\; 5\; 5\; 3\; 3\; 1200\; 2\; 4\; 6\; 4\; 600]\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{bma\; trix\}\; \{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; 120\; 12\; 30\; 20\; \backslash \backslash \; 2\; 720\; 5\; 5\; \backslash \backslash \; 3\; 3\; 1200\; 2\; \backslash \backslash \; 4\; 6\; 4\; 600\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\}$	$[600\; 4\; 6\; 4\; 2\; 1200\; 3\; 3\; 5\; 5\; 720\; 2\; 20\; 30\; 12\; 120]\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; \{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; 600\; 4\; 6\; 4\; \backslash \backslash \; 2\; 1200\; 3\; 3\; \backslash \backslash \; 5\; 5\; 720\; 2\; \backslash \backslash \; 20\; 30\; 12\; 120\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\}$

Визуализация

В следующей таблице показаны некоторые двумерные проекции этих 4-многогранников. Различные другие визуализации можно найти по внешним ссылкам ниже. Графики диаграммы Кокстера-Дынкина также приведены под символом Шлефли.

A4= [3,3,3]	B4= [4,3,3]		F4= [3, 4,3]	H4= [5,3,3]
5 ячеек	8 ячеек	16 ячеек	24 ячеек	120 ячеек	600 -ячейка
{3,3,3}	{4,3,3}	{3,3,4}	{3,4,3 }	{5,3,3}	{3,3,5}
Сплошные 3D ортографические проекции
. Тетраэдрический. конверт. (по центру ячейки / вершины)	. Кубическая оболочка. (по центру ячейки)	. кубическая оболочка. (по центру ячейки)	. Кубооктаэдрическая. огибающая. (по центру ячейки)	. Усеченный ромбический. триаконтаэдр. конверт. (по центру ячейки)	. пентакис икосидодекаэдрический. конверт. (вершина по центру)
Каркас диаграммы Шлегеля (Перспективная проекция )
. по центру ячейки	. по центру ячейки	. по центру ячейки	. по центру ячейки	. по ячейке- по центру	. Вершина с центром
Каркас стереографические проекции (3-сфера )

Обычная звезда (Schläfli – He ss) 4-многогранники

Это показывает отношения между четырехмерными звездными многогранниками. Две выпуклые формы и 10 звездчатых форм можно увидеть в 3D как вершины кубооктаэдра. Подмножество отношений между 8 формами 120-ячеечного полидодекаэдра (pD). Три операции {a, g, s} коммутируемы, определяя кубический каркас. При вертикальном расположении наблюдается 7 плотностей, причем две двойные формы имеют одинаковую плотность.

4-многогранники Шлефли – Гесса представляют собой полный набор из 10 регулярных самопересекающиеся звездные полихоры (четырехмерные многогранники ). Они названы в честь своих первооткрывателей: Людвиг Шлефли и Эдмунд Гесс. Каждый представлен символом Шлефли {p, q, r}, в котором одно из чисел равно 5/2. Таким образом, они аналогичны правильным невыпуклым многогранникам Кеплера – Пуансо, которые, в свою очередь, аналогичны пентаграмме.

Имена

Их имена, данные здесь, были даны Джоном Конвеем, расширяя имена Кэли для многогранников Кеплера – Пуансо : наряду со звездочкой и большим он добавляет модификатор grand. Конвей предложил следующие рабочие определения:

1. звездочка - заменяет края более длинными в тех же строках. (Пример: пятиугольник звёздчатый в пентаграмму )
2. , увеличивающуюся - заменяет грани большими в тех же плоскостях. (Пример: икосаэдр расширяется в большой икосаэдр )
3. увеличение - заменяет ячейки большими в тех же трех пространствах (пример: 600-ячейка увеличивается в большую 600-ячейку )

Джон Конвей называет 10 форм из 3-х правильных 4-ячеечных многогранников: pT = политетраэдр {3,3,5} (тетраэдр 600-ячейка ), pI = поликошедр {3,5,5 / 2 } (икосаэдр с 120 ячейками ) и pD = полидодекаэдр {5,3,3} (додекаэдр с 120 ячейками ) с модификаторами префикса: g, a и s для большого, (ag) grand и звездчатого. Последняя звездчатая форма, большой звездчатый полидодекаэдр содержит их все как gaspD.

Симметрия

Все десять полихор имеют [3,3,5] (H4 ) гексакосихорическая симметрия. Они генерируются из 6 связанных тетраэдров Гурса групп симметрии рационального порядка : [3,5,5 / 2], [5,5 / 2,5], [5,3,5 / 2], [5 / 2,5,5 / 2], [5,5 / 2,3] и [3,3,5 / 2].

В каждой группе есть 2 правильные звездно-полихоры, за исключением двух самодвойственных групп, имеющих только одну. Таким образом, среди десяти правильных звездных полихор есть 4 двойные пары и 2 самодвойственные формы.

Свойства

Примечание:

• Имеется 2 уникальных расположения вершин, соответствующих таковым для 120-ячеек и 600- ячейка.
• Имеется 4 уникальных расположения краев, которые показаны как каркасы ортогональные проекции.
• Имеется 7 уникальных расположений граней, показанных в виде сплошных (окрашенных гранями)) ортогональных проекций.

Клетки (многогранники), их грани (многоугольники), многоугольные реберные фигуры и многогранные вершинные фигуры обозначаются символами Шлефли.

Имя. Конвей (аббревиатура)	Ортогональная. проекция	Шлефли. Кокстер	C. {p, q}	F. {p}	E. {r}	V. {q, r}	Плотность	χ
Икосаэдрический 120-элементный. поликосаэдр (pI)		{3,5,5 / 2}.	120. {3,5}.	1200. {3}.	720. 5.	120. {5,5 / 2}.	4	480
Мелкие звездчатые 120 -ячейка. звездчатый полидодекаэдр (spD)		{5/2,5,3}.	120. {5 / 2,5}.	720. 5.	1200. {3}.	120. { 5,3}.	4	−480
Большой 120-элементный. большой полидодекаэдр (gpD)		{5,5/2,5}.	120. { 5,5 / 2}.	720. {5}.	720. {5}.	120. {5 / 2,5}.	6	0
Большой 120-элементный. большой полидодекаэдр (apD)		{5,3,5/2}.	120. {5,3}.	720. {5}.	720. 5.	120. {3,5 / 2}.	20	0
Большой звездчатый 120-элементный. большой звездчатый полидодекаэдр ( gspD)		{5/2,3,5}.	120. {5/2,3}.	720. 5.	720. {5}.	120. {3,5}.	20	0
Большой звездчатый 120-элементный. большой звездчатый полидодекаэдр (aspD)		{5 / 2,5,5 / 2 }.	120. {5 / 2,5}.	720. 5.	720. 5.	120. {5,5 / 2}.	66	0
Большой 120-элементный. большой большой полидодекаэдр (gapD)		{5,5/2,3}.	120. {5,5 / 2}.	720. {5}.	1200. {3}.	120. {5 / 2,3}.	76	- 480
Большой икосаэдр с 120 ячейками. большой поликосаэдр (gpI)		{3,5/2,5}.	120. {3,5 / 2}.	1200. {3}.	720. {5}.	120. {5 / 2,5}.	76	480
Большой 600-элементный. большой политетраэдр (apT)		{3,3,5/2}.	600. {3,3}.	1200. {3}.	720. 5.	120. {3,5 / 2}.	191	0
Большой звездчатый 120-элементный. большой звездчатый полидодекаэдр ( gaspD)		{5/2,3,3}.	120. {5/2,3}.	720. 5.	1200. {3}.	600. {3,3}.	191	0

См. Также

• Правильный многогранник
• Список правильных многогранников
• Бесконечные правильные 4-многогранники:
  • Одна правильная евклидова сота : {4,3,4}
  • Четыре компактные правильные гиперболические соты: {3,5,3}, {4,3,5}, {5,3,4}, {5, 3,5}
  • Одиннадцать паракомпактных обычных гиперболических сот: {3,3,6}, {6,3,3}, {3,4,4}, {4,4,3}, {3, 6,3}, {4,3,6}, {6,3,4}, {4,4,4}, {5,3,6}, {6,3,5} и {6, 3,6}.
• Абстрактные правильные 4-многогранники:
  • 11-элементный {3,5,3}
  • 57-элементный {5,3,5}
• Равномерный 4-многогранник Равномерный 4-многогранник, построенный из этих шести
• Платоновы тела
• Многогранники Кеплера-Пуансо - правильный звездчатый многогранник
• Звездный многоугольник - правильные звездчатые многоугольники

Литература

Цитаты

Библиография

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик У. «Регулярный полихорон». MathWorld.
• Джонатан Бауэрс, 16 правильных 4-многогранников
• Раскрытие правильных 4D-многогранников
• Каталог изображений многогранников Коллекция стереографических проекций 4-многогранников.
• Каталог однородных многогранников
• Размеры 2-часовой фильм о четвертом измерении (содержит стереографические проекции всех правильных 4-многогранников)
• Ольшевский, Георгий. "Гекатоникосахорон". Глоссарий по гиперпространству. Архивировано из оригинального 4 февраля 2007 года. У цитирования пустой неизвестный параметр: | 1 =()
  • Olshevsky, George. "Hexacosichoron" ". Глоссарий по гиперпространству. Архивировано из исходного 4 февраля 2007 года. Cite имеет пустой неизвестный параметр: | 1 =()
  • Ольшевский, Георгий. "Stellation". Глоссарий по гиперпространству. Архивировано из оригинального 4 февраля 2007 г. Цитата имеет пустой неизвестный параметр: | 1 =()
  • Ольшевский, Джордж. "Greatening". Глоссарий по гиперпространству. Архивировано из исходного 4 февраля 2007 года. Cite имеет пустой неизвестный параметр : | 1 =()
  • Ольшевский, Джордж. «Aggrandizement». Глоссарий по гиперпространству. Архивировано из оригинала 4 февраля 2007 г.. Cite имеет пустой неизвестный параметр: | 1 =()
• Reguläre Polytope
• The Regular Star Polychora