Войти
Усеченный тетраэдр, кубооктаэдр и усеченный икосододекаэдр. Первое и последнее могут быть описаны как наименьшее и наибольшее архимедово твердое тело соответственно. 
Ромбокубооктаэдр и псевдоромбокубооктаэдр В геометрии, Архимедово твердое тело - одно из 13 твердых тел, впервые перечисленных Архимедом. Они представляют собой выпуклые однородные многогранники, состоящие из правильных многоугольников, встречающихся в идентичных вершинах, за исключением пяти Платоновых тел (которые состоят только из одного типа многоугольника), за исключением призм и антипризм. Они отличаются от тел Джонсона, правильные многоугольные грани которых не пересекаются в одинаковых вершинах.
«Идентичные вершины» означает, что каждые две вершины симметричны друг другу: глобальная изометрия всего твердого тела переводит одну вершину в другую, при этом твердое тело устанавливается непосредственно в исходное положение. Бранко Грюнбаум (2009) заметил, что 14-й многогранник, удлиненный квадратный гиробикупола (или псевдоромбокубоктаэдр), соответствует более слабому определению архимедова твердого тела в где «идентичные вершины» просто означают, что грани, окружающие каждую вершину, имеют одинаковый тип (т.е. каждая вершина выглядит одинаково с близкого расстояния), поэтому требуется только локальная изометрия. Грюнбаум указал на частую ошибку, когда авторы определяют архимедовы тела, используя это локальное определение, но опускают 14-й многогранник. Если нужно перечислить только 13 многогранников, определение должно использовать глобальные симметрии многогранника, а не локальные окрестности.
Призмы и антипризмы, группы симметрии которых являются группами диэдра, как правило, не считаются архимедовыми телами, даже если их грани правильные многоугольники и их группы симметрии действуют на их вершины транзитивно. Не считая этих двух бесконечных семейств, существует 13 архимедовых тел. Все архимедовы твердые тела (но не удлиненные квадратные гиробикуполы) могут быть созданы с помощью конструкций Wythoff из платоновых тел с тетраэдрической, октаэдрической и икосаэдрической симметрией..
Архимедовы тела получили свое название от Архимеда, который обсуждал их в ныне утерянной работе. Папп ссылается на это, утверждая, что Архимед перечислил 13 многогранников. В период Возрождения, художники и математики ценили чистые формы с высокой симметрией, и примерно к 1620 году Иоганн Кеплер завершил повторное открытие 13 многогранников, а также определение призм, антипризм и невыпуклых тел, известных как многогранники Кеплера-Пуансо. (См. Schreiber, Fischer Sternath 2008 для получения дополнительной информации о повторном открытии архимедовых тел в эпоху Возрождения.)
Кеплер, возможно, также обнаружил удлиненную квадратную гиробикуполу (псевдоромбокубооктаэдр): по крайней мере, он однажды заявил, что существует 14 архимедовых тел. Однако его опубликованное перечисление включает только 13 однородных многогранников, и первое четкое заявление о существовании псевдоромбокубооктаэдра было сделано в 1905 году Дунканом Соммервиллем.
Существует 13 архимедовых тел (не считая удлиненная квадратная гиробикупола ; 15, если зеркальные изображения двух энантиоморфов, курносый куб и курносый додекаэдр, считаются отдельно).
Здесь конфигурация вершины относится к типу правильных многоугольников, которые встречаются в любой данной вершине. Например, конфигурация вершины из (4,6,8) означает, что квадрат, шестиугольник и восьмиугольник встречаются в вершина (в порядке обхода вершины по часовой стрелке).
| Имя /. (альтернативное имя) | Schläfli. Coxeter | Transparent | Solid | Net | Vertex. conf. /fig. | Faces | Edges | Vert. | Объем. (края единицы) | Точка. группа | Сферичность | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| усеченный тетраэдр | t {3,3}.    |   |  |  | 3.6.6.  | 8 | 4 треугольники. 4 шестиугольники | 18 | 12 | 2,710576 | Td | 0,7754132 |
| кубоктаэдр. ( ромбитетратетраэдр) | r {4,3} или rr {3,3}.  или |  |  |  | 3.4.3.4.  | 14 | 8 треугольники. 6 квадраты | 24 | 12 | 2.357023 | Oh | 0.9049973 |
| усеченный куб | t {4,3}. |  |  |  | 3.8.8.  | 14 | 8 треугольников. 6 восьмиугольников | 36 | 24 | 13,599663 | Oh | 0,8494937 |
| усеченный октаэдр. (усеченный тетраэтраэдр) | t {3,4} или tr {3, 3}. или |  |  |  | 4.6.6.  | 14 | 6 квадратов. 8 шестиугольников | 36 | 24 | 11.313709 | Oh | 0.9099178 |
| ромбокубооктаэдр. (малый ромбокубооктаэдр) | rr {4,3}. |  |  |  | 3.4.4.4.  | 26 | 8 треугольников. 18 квадратов | 48 | 24 | 8.714045 | Oh | 0.9540796 |
| усеченный кубооктаэдр. (большой ромбик боктаэдр) | tr {4,3}. |  |  |  | 4.6.8.  | 26 | 12 квадратов. 8 шестиугольников. 6 восьмиугольников | 72 | 48 | 41.798990 | Oh | 0.9431657 |
| курносый куб. (курносый кубооктаэдр) | sr {4,3}.  |  |  |  | 3.3.3.3.4.  | 38 | 32 треугольника. 6 квадратов | 60 | 24 | 7,889295 | O | 0,9651814 |
| икосододекаэдр | r {5,3}.  |  |  |  | 3.5.3.5.  | 32 | 20 треугольников. 12 пятиугольников | 60 | 30 | 13.835526 | Ih | 0.9510243 |
| усеченный додекаэдр | t {5,3}. |  |  |  | 3.10.10.  | 32 | 20 треугольников. 12 декагонов | 90 | 60 | 85.039665 | Ih | 0.9260125 |
| усеченный икосаэдр | t {3,5}. |  |  |  | 5.6.6.  | 32 | 12 пятиугольников. 20 шестиугольников | 90 | 60 | 55.287731 | Ih | 0,9666219 |
| ромбикосододекаэдр. (малый ромбоикосододекаэдр) | rr {5,3}. |  |  |  | 3.4.5.4.  | 62 | 20 треугольников. 30 квадратов. 12 пятиугольников | 120 | 60 | 41.615324 | Ih | 0.9792370 |
| усеченный икосододекаэдр. (большой ромбикосододекаэдр) | tr {5,3}. |  |  |  | 4.6.10.  | 62 | 30 квадратов. 20 шестиугольников. 12 декагонов | 180 | 120 | 206.803399 | Ih | 0.9703127 |
| курносый додекаэдр. (курносый икосододекаэдр) | sr {5,3}. |  |  |  | 3.3.3.3.5.  | 92 | 80 треугольников. 12 пятиугольников | 150 | 60 | 37,616650 | I | 0,9820114 |
Некоторые определения полуправильного многогранника включают еще одну фигуру: удлиненный квадратный гиробикупола или «псевдоромбокубооктаэдр».
Число вершин составляет 720 °, разделенных на вершину угловой дефект.
Кубооктаэдр и икосододекаэдр однородны по ребрам и называются квазирегулярные.
двойники архимедовых тел называются каталонскими телами. Вместе с бипирамидами и трапецоэдрами это тела однородные по граням с правильными вершинами.
Курносый куб и курносый додекаэдр известны как хиральный, поскольку они имеют левую (латинское: левоморф или левоморф) форму и правую. (Латиница: декстроморф) форма. Когда что-то присутствует в нескольких формах, которые являются трехмерным зеркальным отображением друг друга, эти формы можно назвать энантиоморфами. (Эта номенклатура также используется для форм некоторых химических соединений.)
Архимедовы тела могут быть сконструированы как положения генератора в калейдоскопе.Различные архимедовы и платоновы тела могут быть связаны друг с другом с помощью нескольких общих конструкций. Начиная с Платонова тела, усечение включает срезание углов. Для сохранения симметрии разрез выполняется в плоскости, перпендикулярной линии, соединяющей угол с центром многогранника, и одинаков для всех углов. В зависимости от того, насколько усечено (см. Таблицу ниже), могут быть созданы разные Платоновы и Архимедовы (и другие) твердые тела. Если усечение достаточно глубокое, так что каждая пара граней из соседних вершин имеет ровно одну точку, это называется исправлением. Расширение или cantellation включает в себя перемещение каждой грани от центра (на такое же расстояние, чтобы сохранить симметрию платонового тела) и взятие выпуклой оболочки. Расширение со скручиванием также включает поворот граней, таким образом, каждый прямоугольник, соответствующий ребру, разбивается на два треугольника по одной из диагоналей прямоугольника. Последняя конструкция, которую мы здесь используем, - это усечение углов и краев. Игнорируя масштабирование, расширение также можно рассматривать как исправление исправления. Точно так же обрезание можно рассматривать как усечение исправления.
| Симметрия | Тетраэдр.  | Октаэдр.  | Икосаэдр.  | |||
|---|---|---|---|---|---|---|
| Начальное твердое тело. Операция | Символ. {p, q}.   | Тетраэдр. {3,3}.  | Куб. {4,3}.  | Октаэдр. {3,4}.  | Додекаэдр. {5,3}.  | Икосаэдр. {3,5}.  |
| Усечение (t) | t {p, q}. | усеченный тетраэдр.  | усеченный куб.  | усеченный октаэдр.  | усеченный додекаэдр.  | усеченный икосаэдр.  |
| Ректификация (r). Ambo (a) | r {p, q}. | тетратетраэдр. (октаэдр).  | кубооктаэдр.  | икосододекаэдр.  | ||
| Bitruncation (2t). Dual kis (dk) | 2t {p, q}. | усеченный тетраэдр.  | усеченный октаэдр.  | усеченный куб. | усеченный икосаэдр. | усеченный додекаэдр. |
| Биректификация (2r). Двойной (d) | 2r{p,q}. | тетраэдр.  | октаэдр. | куб. | икосаэдр. | додекаэдр. |
| созвездие (rr). Расширение ( д) | рр {р, q}. | ромбитратратетраэдр. (кубооктаэдр).  | ромбокубооктаэдр.  | ромбикосододекаэдр.  | ||
| Snub rectified (sr). Snub (s) | sr {p, q}. | курносый тетраэдр. (икосаэдр).  | курносый кубооктаэдр.  | курносый икосододекаэдр.  | ||
| Cantitruncation (tr). Bevel (b) | tr {p, q}. | усеченный тетратетраэдр. (усеченный октаэдр).  | усеченный кубооктаэдр.  | усеченный икосододекаэдр.  | ||
Обратите внимание на двойственность между кубом и октаэдром, и между додекаэдр и икосаэдр. Кроме того, частично из-за того, что тетраэдр самодуальный, только одно архимедово твердое тело имеет не более тетраэдрической симметрии. (Все Платоновы тела имеют как минимум тетраэдрическую симметрию, поскольку тетраэдрическая симметрия является операцией симметрии (т.е. входит в) октаэдрической и изоэдрической симметрий, что демонстрируется тем фактом, что октаэдр можно рассматривать как выпрямленный тетраэдр, а икосаэдр может
