Войти
Сферическая система координат обычно используется в физике. Он присваивает три числа (известные как координаты) каждой точке в евклидовом пространстве: радиальное расстояние r, полярный угол θ (theta ) и азимутальный угол φ (phi ). Символ ρ (rho ) часто используется вместо r. В geometry система координат - это система, в которой используется один или несколько числа или координаты, чтобы однозначно определить положение точек или других геометрических элементов на многообразии, например евклидовом пространстве. Порядок координат имеет значение, и иногда они идентифицируются по их положению в упорядоченном кортеже, а иногда и по букве, как в «координате x». В качестве координат используются действительные числа в элементарной математике, но могут быть комплексные числа или элементы более абстрактной системы, такой как коммутативное кольцо.. Использование системы координат позволяет преобразовать геометрические задачи в задачи о числах и наоборот; это основа аналитической геометрии.
Простейшим примером системы координат является идентификация точек на прямой с действительными числами с помощью числовой строки. В этой системе на заданной прямой выбирается произвольная точка O (начало координат). Координата точки P определяется как расстояние со знаком от O до P, где расстояние со знаком - это расстояние, принимаемое как положительное или отрицательное, в зависимости от того, с какой стороны лежит линия P. Каждой точке дается уникальная координата, и каждое действительное число является координатой уникальной точки.
Декартова система координат на плоскости. Прототипный пример система координат - декартова система координат. На плоскости выбираются две перпендикулярные линии , и координаты точки принимаются в качестве расстояний до линий со знаком.
В трех измерениях выбираются три взаимно ортогональные плоскости, и три координаты точки являются расстояниями со знаком до каждой из плоскостей. Это можно обобщить, чтобы создать n координат для любой точки n-мерного евклидова пространства.
В зависимости от направления и порядка осей координат трехмерная система может быть правосторонней или левосторонней системой. Это одна из многих систем координат.
Другой распространенной системой координат для плоскости является полярная система координат. В качестве полюса выбирается точка, а луч из этой точки берется за полярную ось. Для заданного угла θ через полюс проходит одна линия, угол которой с полярной осью равен θ (измеряется против часовой стрелки от оси к прямой). Тогда на этой линии есть единственная точка, расстояние со знаком которой от начала координат равно r для данного числа r. Для данной пары координат (r, θ) существует одна точка, но любая точка представлена множеством пар координат. Например, (r, θ), (r, θ + 2π) и (−r, θ + π) - все полярные координаты для одной и той же точки. Полюс обозначается (0, θ) для любого значения θ.
Существует два распространенных метода расширения полярной системы координат до трех измерений. В цилиндрической системе координат координата z с тем же значением, что и в декартовых координатах, добавляется к полярным координатам r и θ, давая тройку (r, θ, z). Сферические координаты делают еще один шаг вперед, преобразовывая пару цилиндрических координат (r, z) в полярные координаты (ρ, φ), давая тройную (ρ, θ, φ).
Точка на плоскости может быть представлена в однородных координатах тройкой (x, y, z), где x / z и y / z - декартовы координаты точки. Это вводит "дополнительную" координату, поскольку для определения точки на плоскости необходимы только две, но эта система полезна тем, что представляет любую точку на проективной плоскости без использования бесконечности. В общем, однородная система координат - это система, в которой важны только отношения координат, а не фактические значения.
Некоторые другие распространенные системы координат следующие:
Существуют способы описания кривых без координат с помощью внутренних уравнений, в которых используются инвариантные величины, такие как curvatur e и длина дуги. К ним относятся:
Системы координат часто используются для определения положения точки, но они также могут использоваться для определения положения более сложных фигур, таких как линии, плоскости, круги или сферы. Например, координаты Плюккера используются для определения положения линии в пространстве. При необходимости тип описываемого рисунка используется для различения типа системы координат, например, термин координаты линии используется для любой системы координат, которая определяет положение линии.
Может случиться так, что системы координат для двух разных наборов геометрических фигур эквивалентны с точки зрения их анализа. Примером этого являются системы однородных координат точек и прямых на проективной плоскости. Две системы в подобном случае называются дуалистическими. Дуалистические системы обладают тем свойством, что результаты одной системы могут быть перенесены в другую, поскольку эти результаты представляют собой лишь разные интерпретации одного и того же аналитического результата; это известно как принцип двойственности.
Поскольку часто существует множество различных возможных систем координат для описания геометрических фигур, важно понимать, как они связаны. Такие отношения описываются преобразованиями координат, которые дают формулы для координат в одной системе через координаты в другой системе. Например, на плоскости, если декартовы координаты (x, y) и полярные координаты (r, θ) имеют одно и то же начало, а полярная ось является положительной осью x, то преобразование координат из полярных в декартовы координаты задается следующим образом: x = r cosθ и y = r sinθ.
С каждым биекцией из пространства в себя могут быть связаны два преобразования координат:
Например, в 1D, если отображение является преобразованием 3 вправо, первое перемещает начало координат из 0 в 3, поэтому что координата каждой точки становится на 3 меньше, а вторая перемещает начало отсчета от 0 до −3, так что координата каждой точки становится на 3 больше.
В двух измерениях, если одна из координат в системе координат точки остается постоянной, а другая координата может изменяться, тогда результирующая кривая называется координатной кривой . В декартовой системе координат координатные кривые фактически являются прямыми линиями, следовательно, координатными линиями . В частности, это линии, параллельные одной из осей координат. Для других систем координат кривые координат могут быть кривыми общего вида. Например, координатные кривые в полярных координатах, полученные при постоянном r, представляют собой окружности с центром в начале координат. Система координат, для которой некоторые кривые координат не являются линиями, называется криволинейной системой координат. Эта процедура не всегда имеет смысл, например, нет координатных кривых в однородной системе координат.
Координатные поверхности трехмерных параболоидальных координат. В трехмерном пространстве, если удерживается одна координата константа, а два других могут изменяться, тогда результирующая поверхность называется координатной поверхностью . Например, координатные поверхности, полученные при поддержании постоянства ρ в сферической системе координат , являются сферами с центром в начале координат. В трехмерном пространстве пересечение двух координатных поверхностей представляет собой координатную кривую. В декартовой системе координат мы можем говорить о координатных плоскостях .
Аналогично, координатные гиперповерхности представляют собой (n - 1) -мерные пространства, полученные в результате фиксации одной координаты n-мерной системы координат..
Концепция координатной карты или координатной карты занимает центральное место в теории многообразий. Координатная карта - это, по сути, система координат для подмножества данного пространства, обладающая тем свойством, что каждая точка имеет ровно один набор координат. Точнее, координатное отображение - это гомеоморфизм из открытого подмножества пространства X в открытое подмножество R . Часто невозможно обеспечить единую согласованную систему координат для всего пространства. В этом случае набор координатных карт объединяется, чтобы сформировать атлас , покрывающий пространство. Пространство, снабженное таким атласом, называется многообразием, и на многообразии может быть определена дополнительная структура, если структура согласована там, где координатные карты перекрываются. Например, дифференцируемое многообразие - это многообразие, в котором изменение координат от одной координатной карты к другой всегда является дифференцируемой функцией.
В геометрии и кинематике системы координат используются для описания (линейного) положения точек и угловое положение осей, плоскостей и твердых тел. В последнем случае ориентация второй (обычно называемой «локальной») системы координат, привязанной к узлу, определяется на основе первой (обычно называемой «глобальной» или «мировой» системой координат). Например, ориентация твердого тела может быть представлена матрицей ориентации, которая включает в свои три столбца декартовы координаты трех точек. Эти точки используются для определения ориентации осей локальной системы; они представляют собой концы трех единичных векторов, выровненных по этим осям.
 | Найдите систему координат или координату в Викисловаре, бесплатном словаре. |
 | Викискладе есть медиафайлы, связанные с системами координат. |
