Ортогональность

Другое название перпендикулярности и ее обобщения Отрезки AB и CD ортогональны друг другу.

In математика, ортогональность - это обобщение понятия перпендикулярности на линейную алгебру билинейных форм. Два элемента u и v векторного пространства с билинейной формой B являются ортогональными, когда B (u, v) = 0. В зависимости от билинейной формы векторное пространство может содержать ненулевое «я». -ортогональные векторы. В случае функциональных пространств, семейства ортогональных функций используются для формирования базиса.

В более широком смысле, ортогональность также используется для обозначения разделения конкретных функций системы. Этот термин также имеет специальные значения в других областях, включая искусство и химию.

• 1 Этимология
• 2 Математика и физика
  • 2.1 Определения
  • 2.2 Евклидовы векторные пространства
  • 2.3 Ортогональные функции
  • 2.4 Примеры
    • 2.4.1 Ортогональные многочлены
    • 2.4.2 Ортогональные состояния в квантовой механике
• 3 Искусство
• 4 Информатика
• 5 Коммуникации
• 6 Статистика, эконометрика и экономика
• 7 Таксономия
• 8 Комбинаторика
• 9 Химия и биохимия
• 10 Надежность системы
• 11 Неврология
• 12 Игры
• 13 Другие примеры
• 14 См. также
• 15 Ссылки
• 16 Дополнительная литература

Слово происходит от греческого ὀρθός (ортоз), что означает «прямой», и γωνία (гония), что означает «угол». Древнегреческий ортогоний ὀρθογώνιον и классический латинский ортогоний первоначально обозначали прямоугольник. Позже они стали обозначать прямоугольный треугольник. В XII веке постклассическое латинское слово orthogonalis стало обозначать прямой угол или что-то связанное с прямым углом.

Ортогональность и вращение систем координат по сравнению между левым : Евклидово пространство через круговой угол ϕ, вправо: в пространстве-времени Минковского через гиперболический угол ϕ (красные линии с меткой c обозначают мировые линии светового сигнала, вектор ортогонален сам себе, если он лежит на этой линии).

Определения

• В геометрии два Евклидовы векторы являются ортогональными, если они перпендикулярны, то есть они образуют прямой угол.
• Два вектора, x и y во внутреннем пространстве продукта , V ортогональны, если их внутренний продукт $⟨x,\; y⟩\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; x,\; y\; \backslash \; rangle\}$равен нулю. Это отношение обозначается $x\; \perp \; y\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; \backslash \; perp\; y\}$.
• Два векторных подпространства, A и B, внутреннего пространства продукта V, называются ортогональными подпространствами, если каждый вектор в A ортогонален каждому вектору в B. Наибольшее подпространство V, которое ортогонально данному подпространству, является его ортогональным дополнением.
• Для модуля M и его двойственного M, элемент m ′ из M и элемент m из M ортогональны, если их естественное спаривание равно нулю, т.е. ⟨m ′, m⟩ = 0. Два набора S ′ ⊆ M и S ⊆ M являются ортогонален, если каждый элемент S 'ортогонален каждому элементу S.
• A система перезаписи термов называется ортогональной, если она леволинейна и не является неоднозначной. Ортогональные системы перезаписи термов являются конфлюэнтными.

. Набор векторов во внутреннем пространстве произведения называется попарно ортогональными, если каждая их пара ортогональна. Такой набор называется ортогональным набором .

. В некоторых случаях слово «нормальный» используется для обозначения ортогонального, особенно в геометрическом смысле, как в нормали к поверхности. Например, ось Y перпендикулярна кривой y = x в начале координат. Однако нормальный может также относиться к величине вектора. В частности, набор называется ортонормированным (ортогональный плюс нормальный), если он является ортогональным набором единичных векторов. В результате часто избегают использования термина "нормальный" для обозначения "ортогонального". Слово «нормальный» также имеет другое значение в вероятность и статистика.

Векторное пространство с билинейной формой обобщает случай внутреннего продукта. Когда билинейная форма, примененная к двум векторам, дает ноль, тогда они ортогональны . В случае псевдоевклидовой плоскости используется термин гиперболическая ортогональность. На диаграмме оси x ′ и t ′ гиперболо-ортогональны для любого заданного ϕ.

Евклидовы векторные пространства

В евклидовом пространстве два вектора ортогональны тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю, т.е. они составляют угол 90 ° (π / 2 радиан ), или один из векторов равен нулю. Следовательно, ортогональность векторов - это расширение концепции перпендикулярных векторов на пространства любой размерности.

Ортогональное дополнение подпространства - это пространство всех векторов, которые ортогональны каждому вектору в подпространстве. В трехмерном евклидовом векторном пространстве ортогональным дополнением линии через начало координат является плоскость через начало координат, перпендикулярно к ней, и наоборот.

Обратите внимание, что геометрическая концепция двух перпендикулярных плоскостей не соответствует ортогональному дополнению, поскольку в трех измерениях пара векторов, по одному от каждой из пары перпендикулярных плоскостей, может встречаться под любым углом.

В четырехмерном евклидовом пространстве ортогональным дополнением линии является гиперплоскость и наоборот, а дополнением плоскости является плоскость.

Ортогональные функции

Используя интегральное исчисление, обычно используется следующее для определения внутреннего произведения двух функций f и g относительно неотрицательная весовая функция w на интервале [a, b]:

$⟨f,\; g⟩\; w\; =\; \int \; abf\; (x)\; g\; (x)\; w\; (x)\; dx.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; f,\; g\; \backslash \; rangle\; \_\; \{w\}\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{a\}\; ^\; \{b\}\; f\; (x)\; g\; (x)\; w\; (x)\; \backslash ,\; dx.\}$

В простых случаях w (x) = 1.

Мы говорим, что функции f и g ортогональны, если их внутреннее произведение (эквивалентно, значение этого интеграла) равно нулю:

$⟨f,\; g\; ⟩\; W\; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; f,\; g\; \backslash \; rangle\; \_\; \{w\}\; =\; 0.\}$

Ортогональность двух функций по отношению к одному внутреннему продукту не означает ортогональности по отношению к другому внутреннему продукту.

Запишем норму по отношению к этому внутреннему продукту как

$\Vert \; f\; \Vert \; w\; =\; ⟨f,\; f⟩\; w\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; |\; f\; \backslash \; |\; \_\; \{w\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; langle\; f,\; f\; \backslash \; rangle\; \_\; \{w\}\}\}\}$

Члены набора функций {f i : i = 1, 2, 3,...} ортогональны относительно w на отрезке [a, b], если

$⟨fi,\; fj⟩\; w\; =\; 0\; i\; \ne \; j.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; f\_\; \{i\},\; f\_\; \{j\}\; \backslash \; rangle\; \_\; \{w\}\; =\; 0\; \backslash \; quad\; i\; \backslash \; neq\; j.\}$

Члены такого набора функций ортонормированы относительно w на интервале [a, b], если

$⟨fi,\; fj⟩\; w\; =\; \delta \; i,\; j,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; f\_\; \{i\},\; f\_\; \{j\}\; \backslash \; rangle\; \_\; \{w\}\; =\; \backslash \; delta\; \_\; \{i,\; j\},\}$

где

$\delta \; i,\; j\; =\; \{1,\; i\; =\; j\; 0,\; i\; \ne \; j\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \_\; \{i,\; j\}\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; 1,\; i\; =\; j\; \backslash \backslash \; 0,\; i\; \backslash \; neq\; j\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right.\}$

- дельта Кронекера. Другими словами, каждая пара из них (за исключением спаривания функции с самой собой) ортогональна, и норма каждого равна 1. См., В частности, ортогональные многочлены.

Примеры

• Векторы (1, 3, 2), (3, −1, 0), (1, 3, −5) ортогональны друг другу, поскольку (1) (3) + (3) (- 1) + (2) (0) = 0, (3) (1) + (−1) (3) + (0) (- 5) = 0, и (1) (1) + (3) (3) + (2) (- 5) = 0.
• Векторы (1, 0, 1, 0,...) и (0, 1, 0, 1,...) ортогональны друг другу. Скалярное произведение этих векторов равно 0. Затем мы можем сделать обобщение, рассмотрев векторы из Z2:

для некоторого положительного целого числа a и для 1 ≤ k ≤ a - 1 эти векторы ортогональны, например $[1\; 0\; 0\; 1\; 0\; 0\; 1\; 0]\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 1\; 0\; 0\; 1\; 0\; 0\; 1\; 0\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\}$, $[0\; 1\; 0\; 0\; 1\; 0\; 0\; 1\; ]\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 0\; 1\; 0\; 0\; 1\; 0\; 0\; 1\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\}$, $[0\; 0\; 1\; 0\; 0\; 1\; 0\; 0]\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 0\; 0\; 1\; 0\; 0\; 1\; 0\; 0\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}$ортогональны.

• Функции 2t + 3 и 45t + 9t - 17 ортогональны относительно функции единичного веса на интервале от -1 до 1:. $-\; 1\; 1\; (\; 2\; t\; +\; 3)\; (45\; t\; 2\; +\; 9\; t\; -\; 17)\; dt\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; 1\}\; ^\; \{1\}\; \backslash \; left\; (2t\; +\; 3\; \backslash \; right)\; \backslash \; left\; (45t\; ^\; \{2\}\; +\; 9t-17\; \backslash \; right)\; \backslash ,\; dt\; =\; 0\}$
• Функции 1, sin (nx), cos (nx): n = 1, 2, 3,... ортогональны относительно интегрирования Римана. на интервалах [0, 2π], [−π, π] или любом другом отрезке длины 2π. Этот факт является центральным в рядах Фурье.

Ортогональных многочленах

Различные последовательности полиномов, названные в честь математиков прошлого, представляют собой последовательности ортогональных многочленов. В частности:

• Многочлены Эрмита ортогональны по отношению к распределению Гаусса с нулевым средним значением.
• Многочлены Лежандра являются ортогональны относительно равномерного распределения на интервале [-1, 1].
• Многочлены Лагерра ортогональны относительно экспоненциального распределения. Несколько более общие последовательности полиномов Лагерра ортогональны относительно гамма-распределений.
• . Полиномы Чебышева первого рода ортогональны относительно меры $1/1\; -\; x\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; /\; \{\backslash \; sqrt\; \{1-x\; ^\; \{2\}\}\}.\}$
• Полиномы Чебышева второго рода ортогональны по отношению к распределению полукругов Вигнера .

Ортогональные состояния в квантовой механике

• В квантовой механике - достаточное (но не обязательное) условие, что два собственных состояния эрмитова оператора, $\psi \; m\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; \_\; \{m\}\}$и $\psi \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; \_\; \{n\}\}$ортогональны в том смысле, что они соответствуют разным собственным значениям. Это означает, что в нотации Дирака, что $⟨\psi \; m\; |\; \psi \; N⟩\; знак\; равно\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; langle\; \backslash \; psi\; \_\; \{m\}\; |\; \backslash \; psi\; \_\; \{n\}\; \backslash \; rangle\; =\; 0\}$если $\psi \; m\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; \_\; \{m\}\}$и $\psi \; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; psi\; \_\; \{n\}\}$соответствуют разным собственным значениям. Это следует из того факта, что уравнение Шредингера является уравнением Штурма – Лиувилля (в формулировке Шредингера) или что наблюдаемые задаются эрмитовыми операторами (в формулировке Гейзенберга).

В технике перспективы (воображаемые) линии, указывающие на точку схода, упоминаются как «ортогональные линии». Термин «ортогональная линия» часто имеет совсем другое значение в литературе современной художественной критики. Многие работы художников, таких как Пит Мондриан и Бургойн Диллер, известны своим исключительным использованием «ортогональных линий» - однако не со ссылкой на перспективу, а со ссылкой на линии, которые прямые и исключительно горизонтальные или вертикальные, образующие прямые углы в местах пересечения. Например, в эссе на веб-сайте музея Тиссена-Борнемисы говорится, что «Мондриан... посвятил все свое творчество исследованию баланса между ортогональными линиями и основными цветами.. " [1]

Ортогональность в проектировании языков программирования - это способность использовать различные языковые функции в произвольных комбинациях с согласованными результатами. Это использование было введено Ван Вейнгарденом при разработке Алгола 68 :

. Количество независимых примитивных концепций было минимизировано для того, чтобы язык было легко описывать, изучать и реализовывать.. С другой стороны, эти концепции были применены «ортогонально», чтобы максимизировать выразительную силу языка, пытаясь избежать вредных излишеств.

Ортогональность - это свойство системного дизайна, которое гарантирует изменение технического эффекта, производимого компонентом системы не создает и не распространяет побочные эффекты на другие компоненты системы. Обычно это достигается за счет разделения задач и инкапсуляции, и это важно для осуществимых и компактных проектов сложных систем. Эмерджентное поведение системы, состоящей из компонентов, должно строго контролироваться формальными определениями ее логики, а не побочными эффектами, возникающими в результате плохой интеграции, то есть неортогональной конструкции модулей и интерфейсов. Ортогональность сокращает время тестирования и разработки, потому что легче проверять проекты, которые не вызывают побочных эффектов и не зависят от них.

Набор команд называется ортогональным, если в нем отсутствует избыточность (т. Е. Существует только одна инструкция, которая может использоваться для выполнения данной задачи) и спроектирована так, что инструкции могут используйте любой регистр в любом режиме адресации . Эта терминология является результатом рассмотрения инструкции как вектора, компонентами которого являются поля инструкции. Одно поле определяет регистры, с которыми нужно работать, а другое определяет режим адресации. ортогональный набор команд однозначно кодирует все комбинации регистров и режимов адресации.

В связи схемы множественного доступа ортогональны, когда идеальный приемник может полностью отклонить произвольно сильные нежелательные сигналы от полезного сигнала с использованием различных базисных функций. Одной из таких схем является TDMA, где ортогональные базисные функции представляют собой неперекрывающиеся прямоугольные импульсы («временные интервалы»).

Другой схемой является мультиплексирование с ортогональным частотным разделением (OFDM), которое относится к использованию одним передатчиком набора мультиплексированных сигналов с точным минимальным частотным интервалом, необходимым для сделайте их ортогональными, чтобы они не мешали друг другу. Хорошо известные примеры включают (a, gи n ) версии 802.11 Wi-Fi ; WiMAX ; ITU-T G.hn, DVB-T, наземная система цифрового телевещания, используемая в большинстве стран мира за пределами Северной Америки; и DMT (Discrete Multi Tone), стандартная форма ADSL.

. В OFDM частоты поднесущей выбираются так, чтобы поднесущие были ортогональны друг другу, что означает, что перекрестные помехи между подканалами устранены, а защитные полосы между несущими не требуются. Это значительно упрощает конструкцию как передатчика, так и приемника. В обычном FDM требуется отдельный фильтр для каждого подканала.

При выполнении статистического анализа независимые переменные, которые влияют на конкретную зависимую переменную, считаются ортогональными, если они некоррелированы, поскольку ковариация образует внутренний продукт. В этом случае те же результаты получаются для влияния любой из независимых переменных на зависимую переменную, независимо от того, моделирует ли влияние переменных индивидуально с помощью простой регрессии или одновременно с множественной регрессии.. Если присутствует корреляция, коэффициенты не ортогональны, и двумя методами получаются разные результаты. Такое использование возникает из-за того, что при центрировании путем вычитания ожидаемого значения (среднего) некоррелированные переменные ортогональны в геометрическом смысле, обсужденном выше, как в качестве наблюдаемых данных (т. Е. Векторов), так и в качестве случайных величин ( т.е. функции плотности). Один эконометрический формализм, который является альтернативой модели максимального правдоподобия, Обобщенный метод моментов, основан на условиях ортогональности. В частности, оценщик обыкновенных наименьших квадратов может быть легко выведен из условия ортогональности между независимыми переменными и остатками модели.

В таксономии ортогональная классификация - это такая классификация, в которой ни один элемент не является членом более чем одной группы, то есть классификации являются взаимоисключающими.

В комбинаторике два n × n латинских квадрата называются ортогональными, если их наложение дает все возможных n комбинаций записей.

В синтетической органической химии ортогональная защита - это стратегия, позволяющая снять защиту с функциональной группы независимо друг от друга. В химии и биохимии ортогональное взаимодействие происходит, когда есть две пары веществ, и каждое вещество может взаимодействовать со своим соответствующим партнером, но не взаимодействует ни с одним веществом другой пары. Например, ДНК имеет две ортогональные пары: цитозин и гуанин образуют пару оснований, а аденин и тимин образуют другую пару оснований, но другие комбинации пар оснований сильно нежелательны. В качестве химического примера, тетразин реагирует с трансциклооктеном, а азид реагирует с циклооктином без какой-либо перекрестной реакции, так что это взаимно ортогональные реакции, и поэтому их можно проводить одновременно и выборочно. Биоортогональная химия относится к протекающим химическим реакциям. внутри живых систем, не вступая в реакцию с естественными клеточными компонентами. В супрамолекулярной химии понятие ортогональности относится к возможности совместимости двух или более супрамолекулярных, часто нековалентных взаимодействий; обратимо формование без вмешательства друг друга.

В аналитической химии анализы являются «ортогональными», если они производят измерение или идентификацию совершенно разными способами, что увеличивает надежность измерения. Таким образом, ортогональное тестирование можно рассматривать как «перекрестную проверку» результатов, а понятие «перекрестное» соответствует этимологическому происхождению ортогональности. Ортогональное тестирование часто требуется как часть применения нового препарата.

В области надежности системы ортогональное резервирование - это та форма резервирования, при которой форма резервного устройства или метода полностью отличается от устройства или метода, подверженного ошибкам. Режим отказа ортогонально избыточного резервного устройства или метода не пересекается и полностью отличается от режима отказа устройства или метода, нуждающегося в резервировании, чтобы защитить всю систему от катастрофического отказа.

В неврологии сенсорная карта в мозге, которая имеет перекрывающееся кодирование стимулов (например, местоположение и качество), называется ортогональной картой.

В таких настольных играх, как шахматы, в которых используется сетка из квадратов, термин «ортогональный» используется для обозначения «в той же строке /« звании »или столбце /'файл'". Это аналог квадратов, которые «примыкают по диагонали». В древней китайской настольной игре Go игрок может захватывать камни противника, занимая все ортогонально смежные точки.

Стерео виниловые пластинки кодируют как левый, так и правый стереоканалы в одной канавке. V-образная канавка на виниле имеет стенки, расположенные под углом 90 градусов друг к другу, при этом каждая стенка по отдельности кодирует один из двух аналоговых каналов, составляющих стереосигнал. Картридж определяет движение иглы по канавке в двух ортогональных направлениях: 45 градусов по вертикали в любую сторону. Чистое горизонтальное движение соответствует моносигналу, эквивалентному стереосигналу, в котором оба канала несут идентичные (синфазные) сигналы.

Найдите ортогональный в Викисловаре, бесплатном словаре.

• Мнимое число
• Изогональное
• Изогональная траектория
• Ортогональное дополнение
• Ортогональная группа
• Ортогональная матрица
• Ортогональные многочлены
• Ортогонализация
  • Процесс Грама – Шмидта
• Ортонормированный базис
• Ортонормальность
• Ортогональное преобразование
• Панортогональность возникает в кокватернионы
• Нормальная поверхность
• Ортогональная пара лиганд-белок

• Глава 4 - Компактность и ортогональность в Искусство программирования Unix