Координаты Шварцшильда

В теории лоренцевых многообразий, сферически-симметричное пространство-время допускает семейство вложенных круглые сферы. В таком пространстве-времени особенно важным видом координатной карты является карта Шварцшильда, своего рода диаграмма полярных сферических координат на статической и сферически симметричное пространство-время, которое адаптировано к этим вложенным круглым сферам. Определяющей характеристикой диаграммы Шварцшильда является то, что радиальная координата имеет естественную геометрическую интерпретацию с точки зрения площади поверхности и гауссовой кривизны каждой сферы. Однако радиальные расстояния и углы не представлены точно.

Эти диаграммы имеют множество применений в метрических теориях гравитации, таких как общая теория относительности. Чаще всего они используются в статических сферически-симметричных пространствах-временах. В случае общей теории относительности, теорема Биркгофа утверждает, что каждое изолированное сферически-симметричное вакуумное или электровакуумное решение уравнения поля Эйнштейна является статическим, но это, конечно, не верно для идеальных жидкостей. Расширение внешней области решения вакуум Шварцшильда внутри горизонта событий сферически-симметричной черной дыры не статично внутри горизонта, и семейство (пространственноподобные) вложенные сферы не могут быть продолжены внутри горизонта, поэтому диаграмма Шварцшильда для этого решения обязательно обрывается на горизонте.

• 1 Определение
• 2 Векторные поля убийства
• 3 Семейство статических вложенных сфер
• 4 Координатные особенности
• 5 Визуализация статических гиперпространств
• 6 Метрический анзац
• 7 Некоторые точные решения, допускающие диаграммы Шварцшильда
• 8 Обобщения
• 9 См. Также
• 10 Примечания

Задание метрического тензора $g\; \{\backslash \; displaystyle\; g\}$- часть определения любого лоренцевого многообразия. Самый простой способ определить этот тензор - определить его в совместимых локальных координатных картах и ​​убедиться, что тот же тензор определен на перекрытиях доменов карт. В этой статье мы попытаемся определить метрический тензор только в области одного графика.

В диаграмме Шварцшильда (в статическом сферически-симметричном пространстве-времени) линейный элемент принимает форму

$g\; =\; -\; a\; (r)\; 2\; dt\; 2\; +\; b\; (r)\; 2\; dr\; 2\; +\; r\; 2\; (d\; \theta \; 2\; +\; грех\; 2\; \; \theta \; d\; \varphi \; 2)\; =\; -\; a\; (r)\; 2\; dt\; 2\; +\; b\; (r)\; 2\; dr\; 2\; +\; r\; 2\; g\; \Omega \; \{\backslash \; displaystyle\; g\; =\; -a\; (r)\; ^\; \{2\}\; \backslash ,\; dt\; ^\; \{2\}\; +\; b\; (r)\; ^\; \{2\}\; \backslash ,\; dr\; ^\; \{2\}\; +\; r\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (d\; \backslash \; theta\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; \backslash \; theta\; \backslash ,\; d\; \backslash \; phi\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; =\; -\; a\; (r)\; ^\; \{2\}\; \backslash ,\; dt\; ^\; \{2\}\; +\; b\; (r)\; ^\; \{2\}\; \backslash ,\; dr\; ^\; \{2\}\; +\; r\; ^\; \{2\}\; g\; \_\; \{\backslash \; Omega\}\}$

где $\Omega \; =\; (\theta ,\; \varphi )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Omega\; =\; (\backslash \; theta,\; \backslash \; phi)\}$- это стандартная сферическая координата и $g\; \Omega \; \{\backslash \; displaystyle\; g\; \_\; \{\backslash \; Omega\}\}$- стандартная метрика на единичной двумерной сфере. См. Получение решения Шварцшильда для более подробного вывода этого выражения.

В зависимости от контекста, может быть целесообразно рассматривать a и b как неопределенные функции радиальной координаты (например, при выводе точного статического сферически-симметричного решения уравнения поля Эйнштейна ). В качестве альтернативы, мы можем подключить определенные функции (возможно, в зависимости от некоторых параметров), чтобы получить диаграмму координат Шварцшильда в конкретном лоренцевом пространстве-времени.

Если окажется, что это допускает тензор энергии-напряжения такой, что результирующая модель удовлетворяет уравнению поля Эйнштейна (скажем, для статической сферически-симметричной идеальной жидкости, подчиняющейся подходящие энергетические условия и другие свойства, ожидаемые от разумной идеальной жидкости), тогда с соответствующими тензорными полями, представляющими физические величины, такие как материя и плотности импульса, мы получаем часть возможно большего пространства-времени; кусок, который можно рассматривать как локальное решение уравнения поля Эйнштейна.

Что касается диаграммы Шварцшильда, алгебра Ли из векторных полей Киллинга генерируется с помощью времениподобного безвихревого векторного поля Киллинга

$\partial \; t\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; \_\; \{t\}\}$

и три пространственных векторных поля Киллинга

$\partial \; \varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; \_\; \{\backslash \; phi\}\}$

$sin\; \; \varphi \; \partial \; \theta \; +\; cot\; \; \theta \; соз\; \; \varphi \; \partial \; \varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sin\; \backslash \; phi\; \backslash ,\; \backslash \; partial\; \_\; \{\backslash \; theta\}\; +\; \backslash \; cot\; \backslash \; theta\; \backslash ,\; \backslash \; cos\; \backslash \; phi\; \backslash ,\; \backslash \; partial\; \_\; \{\backslash \; phi\}\}$

$cos\; \; \varphi \; \partial \; \theta \; -\; детская\; кроватка\; \; \theta \; грех\; \; \varphi \; \partial \; \varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; cos\; \backslash \; phi\; \backslash ,\; \backslash \; partial\; \_\; \{\backslash \; theta\}\; -\; \backslash \; cot\; \backslash \; theta\; \backslash ,\; \backslash \; sin\; \backslash \; phi\; \backslash ,\; \backslash \; partial\; \_\; \{\backslash \; phi\}\}$

Здесь утверждение, что $X\; \to \; =\; \partial \; t\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{X\}\}\; =\; \backslash \; partial\; \_\; \{t\}\}$является безвихревым, означает, что тензор завихренности соответствующего временноподобная конгруэнтность исчезает; таким образом, это векторное поле Киллинга ортогонально гиперповерхности. Тот факт, что наше пространство-время допускает безвихревое времяподобное векторное поле Киллинга, на самом деле является определяющей характеристикой статического пространства-времени. Непосредственным следствием этого является то, что поверхности с постоянной временной координатой $t\; =\; t\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; =\; t\_\; \{0\}\}$образуют семейство (изометрических) пространственных гиперпространств. (Это неверно, например, в диаграмме Бойера – Линдквиста для внешней области вакуума Керра, где вектор времениподобных координат не ортогонален гиперповерхности.)

В диаграмме Шварцшильда поверхности $t\; =\; t\; 0,\; r\; =\; r\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; =\; t\_\; \{0\},\; \backslash ,\; r\; =\; r\_\; \{0\}\; \}$выглядят как круглые сферы (когда мы строим loci в полярной сферической манере), и по его форме мы видим, что метрика Шварцшильда, ограниченная любой из этих поверхностей, положительно определена и задана автор

где $g\; \Omega \; \{\backslash \; displaystyle\; g\; \_\; \{\backslash \; Omega\; \}\}$- стандартная риманова метрика на двумерной сфере единичного радиуса. То есть эти вложенные координатные сферы на самом деле представляют геометрические сферы с площадью поверхности

1. $A\; =\; 4\; \pi \; r\; 0\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; =\; 4\; \backslash \; pi\; r\_\; \{0\}\; ^\; \{2\}\}$
2. Гауссова кривизна $K\; =\; 1\; /\; r\; 0\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; K\; =\; 1\; /\; r\_\; \{0\}\; ^\; \{2\}\}$

В частности, это геометрические круглые сферы. Более того, угловые координаты $\Omega \; =\; (\theta ,\; \varphi )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Omega\; =\; (\backslash \; theta,\; \backslash \; phi)\}$- это в точности обычные полярные сферические угловые координаты: $\theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\}$иногда называют шириной, а $\varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\}$обычно называют долготой. По сути, это определяющая геометрическая особенность диаграммы Шварцшильда.

Можно добавить, что приведенные выше четыре поля Киллинга, рассматриваемые как абстрактные векторные поля на нашем лоренцевом многообразии, дают наиболее верное выражение как симметрий статического сферически-симметричного пространства-времени, так и конкретной тригонометрической формы, которая Они считают, что наша диаграмма является наиболее верным выражением значения термина «диаграмма Шварцшильда». В частности, три пространственных векторных поля Киллинга имеют точно такую ​​же форму, что и три нетрансляционных векторных поля Киллинга в сферически-симметричной карте на E; то есть они демонстрируют понятие произвольного евклидова вращения вокруг начала координат или сферической симметрии.

Тем не менее, обратите внимание: в целом радиальная координата Шварцшильда не точно представляет радиальные расстояния, то есть расстояния, взятые вдоль пространственноподобного геодезического конгруэнтности, которые возникают как интегральные кривые $\partial \; r\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; \_\; \{r\}\}$. Скорее, чтобы найти подходящее понятие «пространственного расстояния » между двумя из наших вложенных сфер, мы должны интегрировать $b\; (r)\; dr\; \{\backslash \; displaystyle\; b\; (r)\; dr\; \}$вдоль некоторого координатного луча от начала координат:

$\Delta \; \rho \; =\; \int \; r\; 1\; r\; 2\; b\; (r)\; dr\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; \backslash \; rho\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{r\_\; \{1\}\}\; ^\; \{\; r\_\; \{2\}\}\; b\; (r)\; dr\}$

Точно так же мы можем рассматривать каждую сферу как геометрическое место сферического облака идеализированных наблюдателей, которые должны (в общем) использовать ракетные двигатели для радиального ускорения наружу, чтобы поддерживать свои позиция. Это статические наблюдатели, и у них есть мировые линии формы $r\; =\; r\; 0,\; \theta \; =\; \theta \; 0,\; \varphi \; =\; \varphi \; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; =\; r\_\; \{0\},\; \backslash \; theta\; =\; \backslash \; theta\; \_\; \{0\},\; \backslash \; phi\; =\; \backslash \; phi\; \_\; \{0\}\}$, которые, конечно же, имеют форму вертикальных координатных линий на диаграмме Шварцшильда.

Чтобы вычислить интервал собственного времени между двумя событиями на мировой линии одного из этих наблюдателей, мы должны интегрировать $a\; (r)\; dt\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; (r)\; dt\}$вдоль соответствующей координатной линии:

$\Delta \; \tau \; =\; \int \; t\; 1\; t\; 2\; a\; (r)\; dt\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Delta\; \backslash \; tau\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{t\_\; \{1\}\}\; ^\; \{t\_\; \{2\}\}\; a\; (r)\; dt\}$

Оглядываясь на диапазоны координат выше, обратите внимание, что координатная сингулярность при $t\; =\; t\; 0,\; r\; =\; r\; 0,\; \theta \; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; =\; t\_\; \{0\},\; \backslash ,\; r\; =\; r\_\; \{0\},\; \backslash ,\; \backslash \; theta\; =\; 0\}$отмечает положение северного полюса одного из наши статические вложенные сферы, а $t\; =\; t\; 0,\; r\; =\; r\; 0,\; \theta \; =\; \pi \; \{\backslash \; displaystyle\; t\; =\; t\_\; \{0\},\; \backslash ,\; r\; =\; r\_\; \{0\},\; \backslash ,\; \backslash \; theta\; =\; \backslash \; pi\}$отмечает расположение Южного полюса. Как и в случае с обычной полярной сферической картой на E, по топологическим причинам мы не можем получить непрерывные координаты на всей сфере; мы должны выбрать долготу (большой круг), которая будет выступать в качестве нулевого меридиана $\varphi \; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\; =\; 0\}$, и вырезать его из диаграммы. В результате мы вырезаем замкнутую полуплоскость из каждого пространственного гиперсреза $t\; =\; t\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; =\; t\_\; \{0\}\}$, включая ось $r\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; =\; 0\}$и полуплоскость, отходящая от этой оси.

Когда мы сказали выше, что $\partial \; \varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; \_\; \{\backslash \; phi\}\}$является векторным полем Киллинга, мы опустили педантичный, но важный уточняющий фактор, о котором мы думаем. из $\varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; phi\}$как циклической координаты, и мы действительно считаем наши три пространственноподобных вектора Киллинга действующими на круглые сферы.

Возможно, конечно, $r\; 1>0\; \{\backslash \; displaystyle\; r\_\; \{1\}>0\}$или , в этом случае мы также должны удалить регион за пределами некоторых мяч или внутри какого-либо шара из области нашей диаграммы. Это происходит всякий раз, когда f или g взрываются при некотором значении радиальной координаты Шварцшильда r.

Чтобы лучше понять значение радиальной координаты Шварцшильда, это может помочь встроить один из пространственных гиперпрезов $t\; =\; t\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; =\; t\_\; \{0\}\}$(они, конечно, все изометричны друг друга) в плоском евклидовом пространстве.Люди, которым трудно визуализировать четырехмерное евклидово пространство, будут рады заметить, что мы можем воспользоваться преимуществом сферической симметрии для подавления одной координаты. Этого можно удобно достичь, задав $t\; =\; 0,\; \theta \; знак\; равно\; \pi \; /\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; t\; =\; 0,\; \backslash \; theta\; =\; \backslash \; pi\; /\; 2\}$. Теперь у нас есть двумерное риманово многообразие с локальной радиальной координатной картой,

Чтобы вставить эту поверхность (или в кольцевое кольцо ) в E, мы принимаем поле кадра в E, которое

1. определено на параметризованной поверхности, которая унаследует желаемую метрику из пространства внедрения,
2. адаптирована к нашей радиальной диаграмме,
3. имеет неопределенную функцию $f\; (r)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (r)\}$.

То есть, рассмотрим параметризованную поверхность

$(z,\; r,\; \varphi )\; \to \; (f\; (r),\; r\; соз\; \; \varphi ,\; р\; грех\; \; \varphi )\; \{\backslash \; displaystyle\; (z,\; r,\; \backslash \; phi)\; \backslash \; rightarrow\; (f\; (r),\; \backslash ,\; r\; \backslash \; cos\; \backslash \; phi,\; \backslash ,\; r\; \backslash \; sin\; \backslash \; phi)\}$

координата векторные поля на этой поверхности:

$\partial \; r\; =\; (f\; \prime \; (r),\; cos\; \; \varphi ,\; sin\; \; \varphi ),\; \partial \; \varphi \; =\; (0,\; -\; r\; sin\; \; \varphi ,\; r\; cos\; \; \varphi )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; partial\; \_\; \{r\}\; =\; (f\; ^\; \{\backslash \; prime\}\; (r),\; \backslash ,\; \backslash \; cos\; \backslash \; phi,\; \backslash ,\; \backslash \; sin\; \backslash \; phi),\; \backslash ;\; \backslash ;\; \backslash \; partial\; \_\; \{\backslash \; phi\}\; =\; (0,\; -r\; \backslash \; sin\; \backslash \; phi,\; r\; \backslash \; cos\; \backslash \; phi)\}$

Индуцированная метрика, унаследованная, когда мы ограничиваем евклидову метрику на E нашей параметризованной поверхностью, имеет вид

Чтобы идентифицировать это с метрикой нашего гиперсреза, мы, очевидно, должны выбрать $f\; (r)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (r)\}$так, чтобы

$f\; \prime \; (r)\; =\; 1\; -\; b\; (r)\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{\backslash \; prime\}\; (r)\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{1-b\; (r)\; ^\; \{2\}\}\}\}$

Возьмем несколько глупый пример: $b\; (r)\; =\; f\; (r)\; =\; sin\; \; (r)\; \{\backslash \; displaystyle\; b\; (r)\; =\; f\; (r)\; =\; \backslash \; sin\; (r)\}$.

Это работает для поверхностей, на которых истинные расстояния между двумя радиально разделенными точки больше, чем разница между их радиальными координатами. Если истинные расстояния меньше, мы должны вместо этого вложить наше риманово многообразие как пространственноподобную поверхность в E. Например, у нас может быть $b\; (r)\; =\; f\; (r)\; =\; sinh\; \; (r)\; \{\backslash \; displaystyle\; b\; (r)\; =\; f\; (r)\; =\; \backslash \; sinh\; (r)\}$. Иногда нам могут понадобиться два или более локальных вложения кольцевых колец (для областей положительной или отрицательной гауссовой кривизны). В общем, не следует ожидать глобального вложения в какое-либо одно плоское пространство (с исчезающим тензором Римана).

Дело в том, что определяющая характеристика карты Шварцшильда с точки зрения геометрической интерпретации радиальной координаты - это как раз то, что нам нужно для выполнения (в принципе) такого рода сферически-симметричного вложения пространственных гиперпластиков.

Приведенный выше линейный элемент, где f, g рассматриваются как неопределенные функции радиальной координаты Шварцшильда r, часто используется как метрический анзац в получение статических сферически-симметричных решений в общей теории относительности (или других метрических теориях гравитации ).

В качестве иллюстрации мы покажем, как вычислить соединение и кривизну, используя метод внешнего исчисления Картана. Сначала мы считываем элемент строки a coframe field,

$\sigma \; 0\; =\; -\; a\; (r)\; dt\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; ^\; \{0\}\; =\; -\; a\; (r)\; \backslash ,\; dt\}$

$\sigma \; 1\; знак\; равно\; б\; (г)\; dr\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; ^\; \{1\}\; =\; b\; (r)\; \backslash ,\; dr\}$

$\sigma \; 2\; =\; rd\; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\; =\; rd\; \backslash \; theta\; \backslash ,\}$

$\sigma \; 3\; знак\; равно\; r\; грех\; \; \theta \; d\; \varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sigma\; ^\; \{3\}\; =\; r\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\; \backslash ,\; d\; \backslash \; phi\}$

где мы рассматриваем $ab\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; \backslash ,\; b\}$- это еще не определенные гладкие функции от $r\; \{\backslash \; displaystyle\; r\}$. (Тот факт, что наше пространство-время допускает каркас, имеющий эту конкретную тригонометрическую форму, является еще одним эквивалентным выражением понятия карты Шварцшильда в статическом сферически симметричном лоренцевом многообразии).

Во-вторых, мы вычисляем внешние производные этих кобазисных одноформ:

$d\; \sigma \; 0\; =\; -\; a\; \prime \; (r)\; dr\; \wedge \; dt\; =\; a\; \prime \; (r)\; b\; (r)\; dt\; \wedge \; \sigma \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; \backslash \; sigma\; ^\; \{0\}\; =\; -\; a\; \text{'}(r)\; \backslash ,\; dr\; \backslash \; wedge\; dt\; =\; \{\backslash \; frac\; \{a\text{'}\; (r)\}\; \{b\; (r)\}\}\; \backslash ,\; dt\; \backslash \; wedge\; \backslash \; sigma\; ^\; \{\; 1\}\}$

$d\; \sigma \; 1\; знак\; равно\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; \backslash \; sigma\; ^\; \{1\}\; =\; 0\; \backslash ,\}$

$d\; \sigma \; 2\; =\; dr\; \wedge \; d\; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; d\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\; =\; dr\; \backslash \; клин\; d\; \backslash \; theta\}$

$d\; \sigma \; 3\; =\; sin\; \; \theta \; dr\; \wedge \; d\; \varphi \; +\; r\; cos\; \; \theta \; d\; \theta \; \wedge \; d\; \varphi \; =\; -\; (sin\; \; \theta \; d\; \varphi \; b\; (r)\; \wedge \; \sigma \; 1\; +\; cos\; \; \theta \; d\; \varphi \; \wedge \; \sigma \; 2)\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; \backslash \; sigma\; ^\; \{3\}\; =\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\; \backslash ,\; dr\; \backslash \; wedge\; d\; \backslash \; phi\; +\; r\; \backslash ,\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; \backslash ,\; d\; \backslash \; theta\; \backslash \; wedge\; d\; \backslash \; phi\; =\; -\; \backslash \; left\; (\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sin\; \backslash \; theta\; \backslash ,\; d\; \backslash \; phi\}\; \{b\; (r)\}\}\; \backslash \; wedge\; \backslash \; sigma\; ^\; \{1\}\; +\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; \backslash ,\; d\; \backslash \; phi\; \backslash \; wedge\; \backslash \; sigma\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right)\; \}$

По сравнению с первым структурным уравнением Картана (или, скорее, с его условием интегрируемости),

$d\; \sigma \; m\; ^\; =\; -\; \omega \; m\; ^\; n\; ^\; \wedge \; \sigma \; n\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; d\; \backslash \; sigma\; ^\; \{\backslash \; hat\; \{m\}\}\; =\; -\; \{\backslash \; omega\; ^\; \{\backslash \; hat\; \{m\}\}\}\; \_\; \{\backslash \; hat\; \{n\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; wedge\; \backslash \; sigma\; ^\; \{\backslash \; hat\; \{n\}\}\}$

мы угадываем выражения для соединения -формы. (Шляпы - это просто условное обозначение, напоминающее нам, что индексы относятся к нашим кобазисным единицам, а не к координатным единицам $dt,\; dr,\; d\; \theta ,\; d\; \varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; dt,\; \backslash ,\; dr,\; \backslash ,\; d\; \backslash \; theta,\; d\; \backslash \; phi\}$.)

Если мы вспомним, какие пары индексов симметричны (пространство-время), а какие антисимметричны (пространство-пространство) в $\omega \; m\; ^\; n\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; omega\; ^\; \{\backslash \; hat\; \{m\}\}\}\; \_\; \{\backslash \; hat\; \{n\}\}\}$, мы можем подтвердить, что шесть одинарных форм соединения равны

$\omega \; 0\; 1\; знак\; равно\; a\; \prime \; b\; (r)\; dt\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; omega\; ^\; \{0\}\}\; \_\; \{1\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{a\; \text{'}\}\; \{b\}\}\; (r)\; \backslash ,\; dt\}$

$\omega \; 0\; 2\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; omega\; ^\; \{0\}\}\; \_\; \{2\}\; =\; 0\}$

$\omega \; 0\; 3\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; omega\; ^\; \{0\}\}\; \_\; \{3\}\; =\; 0\}$

$\omega \; 1\; 2\; знак\; равно\; -\; d\; \theta \; b\; (r)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; omega\; ^\; \{1\}\}\; \_\; \{2\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{d\; \backslash \; theta\}\; \{b\; (r)\}\}\}$

$\omega \; 1\; 3\; знак\; равно\; -\; грех\; \; \theta \; d\; \varphi \; b\; (r)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; omega\; ^\; \{1\}\}\; \_\; \{3\}\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sin\; \backslash \; theta\; \backslash ,\; d\; \backslash \; phi\}\; \{b\; (r)\}\}\; \}$

$\omega \; 2\; 3\; =\; -\; cos\; \; \theta \; d\; \varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; omega\; ^\; \{2\}\}\; \_\; \{3\}\; =\; -\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; \backslash ,\; d\; \backslash \; phi\}$

(в этом примере только четыре из шести не исчезают.) Мы можем соберите эти единичные формы в матрицу однозначных форм или, еще лучше, в однозначную SO (1,3) -значную форму. Обратите внимание, что результирующая матрица однозначных форм не будет полностью антисимметричной, как для однозначной SO (4) -значной формы; нам нужно вместо этого использовать понятие транспонирования, возникающее из.

В-третьих, мы вычисляем внешние производные единичных форм связности и используем второе структурное уравнение Картана

$\Omega \; m\; ^\; n\; ^\; =\; d\; \omega \; m\; ^\; n\; ^\; -\; \omega \; m\; ^\; \ell \; ^\; \wedge \; \omega \; \ell \; ^\; п\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; Omega\; ^\; \{\backslash \; hat\; \{m\}\}\}\; \_\; \{\backslash \; hat\; \{n\}\}\; =\; d\; \{\backslash \; omega\; ^\; \{\backslash \; hat\; \{m\}\}\}\; \_\; \{\backslash \; hat\; \{n\}\}\; -\; \{\backslash \; omega\; ^\; \{\backslash \; hat\; \{m\}\}\}\; \_\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; ell\}\}\; \backslash \; wedge\; \{\backslash \; omega\; ^\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; ell\}\}\}\; \_\; \{\backslash \; hat\; \{n\}\}\}$

для вычисления кривизны две формы. В-четвертых, используя формулу

$\Omega \; m\; ^\; n\; ^\; =\; R\; m\; ^\; n\; ^\; |\; ı\; ^\; ȷ\; ^\; |\; \sigma \; ı\; ^\; \wedge \; \sigma \; ȷ\; ^\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; Omega\; ^\; \{\backslash \; hat\; \{m\}\}\}\; \_\; \{\backslash \; hat\; \{n\}\}\; =\; \{R\; ^\; \{\backslash \; hat\; \{m\}\}\}\; \_\; \{\{\backslash \; hat\; \{n\}\; \}\; |\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; imath\}\}\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; jmath\}\}\; |\}\; \backslash ,\; \backslash \; sigma\; ^\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; imath\}\}\; \backslash \; wedge\; \backslash \; sigma\; ^\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; jmath\}\}\}$

где означает, что мы должны суммировать только по шести возрастающим парам индексов (i, j), мы можем считывать линейно независимые компоненты тензора Римана относительно нашего кофрейма и двойственного ему поле кадра. Получаем:

$R\; 0\; 101\; =\; -\; a\; ″\; b\; +\; a\; \prime \; b\; \prime \; ab\; 3\; (r)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{R\; ^\; \{0\}\}\; \_\; \{101\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{-a\; \text{'}\text{'}\; \backslash ,\; b\; +\; a\; \text{'}\backslash ,\; b\text{'}\}\; \{a\; \backslash ,\; b\; ^\; \{3\}\}\}\; (r)\}$

$R\; 0\; 202\; =\; 1\; r\; -\; a\; \text{'}ab\; 2\; (r)\; =\; R\; 0\; 303\; \{\backslash \; displaystyle\; \{R\; ^\; \{0\}\}\; \_\; \{202\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{r\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{-a\; \text{'}\}\; \{a\; \backslash ,\; b\; ^\; \{2\}\}\}\; (r)\; =\; \{R\; ^\; \{0\}\}\; \_\; \{303\}\}$

$R\; 1\; 212\; =\; 1\; rb\; \prime \; b\; 3\; (r)\; =\; R\; 1\; 313\; \{\backslash \; displaystyle\; \{R\; ^\; \{1\}\}\; \_\; \{212\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{r\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{b\; \text{'}\}\; \{b\; ^\; \{3\}\}\}\; (r)\; =\; \{R\; ^\; \{1\}\}\; \_\; \{313\}\}$

$R\; 2\; 323\; =\; 1\; r\; 2\; b\; 2\; -\; 1\; b\; 2\; (r)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{R\; ^\; \{2\}\}\; \_\; \{323\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{r\; ^\; \{2\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{b\; ^\; \{2\}\; -1\}\; \{b\; ^\; \{2\}\}\}\; (г)\; \}$

В-пятых, мы можем понизить индексы и организовать компоненты $R\; m\; ^\; n\; ^\; i\; ^\; j\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; R\; \_\; \{\{\backslash \; hat\; \{m\}\}\; \{\backslash \; hat\; \{n\}\}\; \{\backslash \; hat\; \{i\; \}\}\; \{\backslash \; hat\; \{j\}\}\}\}$в матрицу

$[R\; 0101\; R\; 0102\; R\; 0103\; R\; 0123\; R\; 0131\; R\; 0112\; R\; 0201\; R\; 0202\; R\; 0203\; R\; 0223\; R\; 0231\; R\; 0212\; R\; 0301\; R\; 0302\; R\; 0303\; R\; 0323\; R\; 0331\; R\; 0312\; R\; 2301\; R\; 2302\; R\; 2303\; R\; 2323\; R\; 2331\; R\; 2312\; R\; 3101\; R\; 3102\; R\; 3103\; R\; 3123\; R\; 3131\; R\; 3112\; R\; 1201\; R\; 1202\; R\; 1203\; R\; 1223\; R\; 1231\; R\; 1212]\; =\; [EBBTL\; ]\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; R\_\; \{0101\}\; R\_\; \{0102\}\; R\_\; \{01\; 03\}\; R\_\; \{0123\}\; R\_\; \{0131\}\; R\_\; \{0112\}\; \backslash \backslash \; R\_\; \{0201\}\; R\_\; \{0202\}\; R\_\; \{0203\}\; R\_\; \{0223\}\; R\_\; \{0231\}\; R\_\; \{0212\}\; \backslash \backslash \; R\_\; \{0301\}\; R\_\; \{0302\}\; R\_\; \{0303\}\; R\_\; \{0323\}\; R\_\; \{0331\}\; R\_\; \{0312\}\; \backslash \backslash \; R\_\; \{2301\}\; R\_\; \{2302\}\; R\_\; \{2303\}\; R\_\; \{2323\}\; R\_\; \{2331\}\; R\_\; \{2312\}\; \backslash \backslash \; R\_\; \{3101\}\; R\_\; \{\; 3102\}\; R\_\; \{3103\}\; R\_\; \{3123\}\; R\_\; \{3131\}\; R\_\; \{3112\}\; \backslash \backslash \; R\_\; \{1201\}\; R\_\; \{1202\}\; R\_\; \{1203\}\; R\_\; \{1223\}\; R\_\; \{1231\}\; R\_\; \{1212\}\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right]\; =\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; begin\; \{matrix\}\; EB\; \backslash \backslash \; B\; ^\; \{T\}\; L\; \backslash \; end\; \{matrix\}\}\; \backslash \; right]\}$

где E, L симметричны (шесть линейно независимых компонентов, в общем) и B - это бесследный (восемь линейно независимых компонентов, в общем), который мы думаем как представление линейного оператора в шестимерном векторном пространстве двух форм (в каждом событии). Отсюда мы можем прочитать разложение Беля относительно времениподобного единичного векторного поля $X\; \to \; =\; e\; \to \; 0\; =\; 1\; a\; (r)\; \partial \; t\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{X\}\}\; =\; \{\backslash \; vec\; \{e\}\}\; \_\; \{0\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{a\; (r)\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; partial\; \_\; \{t\}\}$. тензор электрогравитации равен

$E\; [X\; \to ]\; 11\; =\; a\; ″\; b\; -\; a\; \prime \; b\; \prime \; ab\; 3\; (r),\; E\; [X\; \to ]\; 22\; =\; E\; [X\; \to ]\; 33\; =\; 1\; ra\; \text{'}Ab\; 2\; (r)\; \{\backslash \; displaystyle\; E\; [\{\backslash \; vec\; \{X\}\}]\; \_\; \{11\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{a\text{'}\; \text{'}\backslash ,\; b-a\text{'}\; \backslash ,\; b\; \text{'}\}\; \{a\; \backslash ,\; b\; ^\; \{3\; \}\}\}\; (r),\; \backslash ;\; E\; [\{\backslash \; vec\; \{X\}\}]\; \_\; \{22\}\; =\; E\; [\{\backslash \; vec\; \{X\}\}]\; \_\; \{33\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{r\}\}\; \{\; \backslash \; frac\; \{a\; \text{'}\}\; \{a\; \backslash ,\; b\; ^\; \{2\}\}\}\; (r)\}$

Магнитогравитационный тензор тождественно обращается в нуль, а топогравитационный тензор , откуда ( используя тот факт, что $X\; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{X\}\}\}$является безвихревым), мы можем определить трехмерный тензор Римана пространственных гиперпластиков, это

$L\; [X\; \to ]\; 11\; =\; 1\; р\; 2\; 1\; -\; b\; 2\; b\; 2\; (r),\; L\; [X\; \to ]\; 22\; =\; L\; [X\; \to ]\; 33\; =\; 1\; r\; -\; b\; \prime \; b\; 3\; (r)\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; [\{\backslash \; vec\; \{\; X\}\}]\; \_\; \{11\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{r\; ^\; \{2\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{1-b\; ^\; \{2\}\}\; \{b\; ^\; \{2\}\}\}\; (r),\; \backslash ;\; L\; [\{\backslash \; vec\; \{X\}\}]\; \_\; \{22\}\; =\; L\; [\{\backslash \; vec\; \{X\}\}]\; \_\; \{33\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{r\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{-b\; \text{'}\}\; \{b\; ^\; \{3\}\}\}\; (r)\}$

Все это справедливо для любого лоренцевого многообразия, но отметим, что в общей теории относительности электрогравитационный тензор контролирует приливные напряжения на малых объектах, измеренные наблюдателями, соответствующими нашей системе координат, а магнитогравитационный тензор контролирует любые спин-спиновые силы на вращающихся объектах, измеряемые наблюдателями, соответствующими нашей системе координат.

Двойное поле кадра нашего поля кадра:

$e\; \to \; 0\; =\; 1\; a\; (r)\; \partial \; t\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{e\}\}\; \_\; \{0\}\; =\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{1\}\; \{a\; (r)\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; partial\; \_\; \{t\}\}$

$e\; \to \; 1\; =\; 1\; b\; (r)\; \partial \; r\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{e\}\}\; \_\; \{1\}\; =\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{1\}\; \{b\; (r)\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; partial\; \_\; \{r\}\}$

$e\; \to \; 2\; =\; 1\; r\; \partial \; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{e\}\}\; \_\; \{2\}\; =\; \{\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{r\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; partial\; \_\; \{\backslash \; theta\}\}$

$e\; \to \; 3\; =\; 1\; r\; sin\; \; \theta \; \partial \; \varphi \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{e\}\}\; \_\; \{3\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{r\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\}\}\; \backslash ,\; \backslash \; partial\; \_\; \{\backslash \; phi\}\}$

Тот факт, что коэффициент $1\; b\; (r)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{b\; (\; r)\}\}\}$умножает только первое из трех ортонормированных пространственноподобных векторных полей здесь означает, что карты Шварцшильда не являются пространственно изотропными (за исключением тривиального случая локально плоского пространства-времени); скорее появляются световые конусы (радиально сплющенные) или (радиально вытянутые). Это, конечно, просто еще один способ сказать, что диаграммы Шварцшильда правильно представляют расстояния внутри каждой вложенной круглой сферы, но радиальная координата не точно отражает правильное радиальное расстояние.

Некоторые примеры точных решений, которые могут быть получены таким образом, включают:

• внешнюю область вакуума Шварцшильда,
• то же самое, для электровакуума Рейсснера – Нордстрема, который включает предыдущий пример как особый случай,
• то же самое, для электроламбдавакуума, который включает предыдущий пример как особый случай,
• решение Джениса-Ньюмана-Винакура (которое моделирует внешний вид статического сферически-симметричного объекта, наделенного безмассовым минимально связанным скалярным полем),
• звездные модели, полученные путем сопоставления внутренней области, которая является статической сферически симметричное решение идеальной жидкости через сферическое место исчезающего давления к внешней области, которая локально изометрична части области вакуума Шварцшильда.

Это Естественно рассматривать нестатические, но сферически-симметричные пространства-времени с обобщенным Sc диаграмма hwarzschild, в которой принимает вид

$g\; =\; -\; a\; (t,\; r)\; 2\; dt\; 2\; +\; b\; (t,\; r)\; 2\; dr\; 2\; +\; r\; 2\; (d\; \theta \; 2\; +\; sin\; 2\; \; \theta \; d\; \varphi \; 2),\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; =\; -a\; (t,\; r)\; ^\; \{2\}\; \backslash ,\; dt\; ^\; \{2\}\; +\; b\; (t,\; r)\; ^\; \{2\}\; \backslash ,\; dr\; ^\; \{2\}\; +\; r\; ^\; \{2\}\; \backslash \; left\; (\; d\; \backslash \; theta\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; \backslash \; theta\; \backslash ,\; d\; \backslash \; phi\; ^\; \{2\}\; \backslash \; right),\}$

Обобщая в другом направлении, мы можем использовать другие системы координат на наши круглые две сферы, чтобы получить, например, стереографическую диаграмму Шварцшильда, которая иногда бывает полезна:

• статическое пространство-время,
• сферически-симметричное пространство-время,
• статические сферически-симметричные идеальные жидкости,
• изотропные координаты, еще одна популярная диаграмма для статических сферически-симметричных пространств-времени,
• Гауссовские полярные координаты, менее распространенная альтернативная диаграмма для статических сферически-симметричных пространств-времени,
• координаты Гуллстранда – Пенлеве, простая диаграмма, действующая в пределах горизонта событий статической черной дыры.
• кадр fi поля общей теории относительности, для получения дополнительной информации о полях системы отсчета и полях к кадрам,
• разложение Беля тензора Римана,
• сравнение (общая теория относительности), для получения дополнительной информации о сопоставлениях, таких как $X\; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{X\}\}\}$выше,
• координаты Крускала – Секереса, диаграмма, охватывающая все пространственно-временное многообразие максимально расширенного решения Шварцшильда и хорошо - вел себя везде за пределами физической сингулярности,
• координаты Эддингтона – Финкельштейна, альтернативная диаграмма для статических сферически-симметричных пространств-времени,