Тензор напряжения – энергии

Контравариантные компоненты тензора энергии-импульса.

Общая теория относительности
${\ displaystyle G _ {\ mu \ nu} + \ Lambda g _ {\ mu \ nu} = {8 \ pi G \ over c ^ {4}} T _ {\ mu \ nu}}$
Вступление История Математическая формулировка Тесты
Основные концепции Принцип эквивалентности Специальная теория относительности Мировая линия Псевдориманово многообразие
Явления Проблема Кеплера Гравитационное линзирование Гравитационные волны Перетаскивание кадра Геодезический эффект Горизонт событий Сингулярность Черная дыра Пространство-время Диаграммы пространства-времени Пространство-время Минковского Мост Эйнштейна – Розена
Уравнения Формализмы Уравнения Линеаризованная гравитация Уравнения поля Эйнштейна Фридман Геодезические Матиссон – Папапетру – Диксон Гамильтон – Якоби – Эйнштейн Формализмы ADM БССН Постньютоновский Продвинутая теория Теория Калуцы – Клейна Квантовая гравитация
Решения Шварцшильд ( интерьер ) Рейсснер-Нордстрём Гёдель Керр Керр – Ньюман Kasner Лемэтр – Толман Тауб-ОРЕХ Milne Робертсон – Уокер pp-волна van Stockum пыль Вейль-Льюис-Папапетру
Ученые Эйнштейн Лоренц Гильберта Пуанкаре Шварцшильд де Ситтер Рейсснер Nordström Weyl Эддингтон Фридман Milne Цвикки Лемэтр Гёдель Уиллер Робертсон Bardeen Уокер Керр Чандрасекхар Элерс Пенроуз Хокинг Райчаудхури Тейлор Hulse van Stockum Тауб Новый человек Яу Торн другие
Физический портал   Категория
v т е

Тензор энергии, которую иногда называют тензор энергии-импульса или тензор энергии-импульса, является тензором физическая величина, которая описывает плотность и поток от энергии и импульса в пространстве - времени, обобщающий тензор напряжений в ньютоновской физике. Это атрибут материи, излучения и негравитационных силовых полей. Эта плотность и поток энергии и импульса являются источниками гравитационного поля в полевых уравнениях Эйнштейна в общей теории относительности, так же, как плотность массы является источником такого поля в ньютоновской гравитации.

СОДЕРЖАНИЕ

• 1 Определение
• 2 Компоненты тензора энергии-импульса
  • 2.1 Ковариантные и смешанные формы
• 3 Закон сохранения
  • 3.1 В специальной теории относительности
  • 3.2 В общей теории относительности
• 4 В специальной теории относительности
  • 4.1 Трассировка
• 5 В общей теории относительности
  • 5.1 уравнения поля Эйнштейна
• 6 Стресс – энергия в особых ситуациях
  • 6.1 Изолированная частица
  • 6.2. Напряжение – энергия жидкости в равновесии.
  • 6.3. Электромагнитный тензор энергии-напряжения.
  • 6.4 Скалярное поле
• 7 Варианты определения напряжения – энергии
  • 7.1. Гильбертовый тензор энергии-импульса.
  • 7.2 Канонический тензор энергии-импульса
  • 7.3 Тензор энергии-импульса Белинфанте – Розенфельда
• 8 Гравитационное напряжение – энергия
• 9 См. Также
• 10 Примечания и ссылки
• 11 Внешние ссылки

Определение

Тензор энергии предполагает использование переменных (верхнего индекса не экспонент; см тензорное индексное обозначение и Эйнштейна суммирования обозначения ). Если используются декартовы координаты в единицах СИ, то компоненты четырехвектора положения задаются следующим образом: x ⁰ = t, x ¹ = x, x ² = y и x ³ = z, где t - время в секундах, а x, y и z - расстояния в метрах.

Тензор энергии определяется как тензор Т ^ае второго порядка, что дает поток из альфа - го компонента импульса вектора по всей поверхности с постоянной х ^β координат. В теории относительности этот вектор импульса принимается за четырехмерный импульс. В общей теории относительности тензор энергии-импульса симметричен:

${\ displaystyle T ^ {\ alpha \ beta} = T ^ {\ beta \ alpha}.}$

В некоторых альтернативных теориях, таких как теория Эйнштейна – Картана, тензор энергии-импульса может не быть идеально симметричным из-за ненулевого тензора спина, который геометрически соответствует ненулевому тензору кручения.

Компоненты тензора энергии-импульса

Поскольку тензор энергии-импульса имеет порядок 2, его компоненты могут быть отображены в матричной форме 4 × 4:

${\ displaystyle (T ^ {\ mu \ nu}) _ {\ mu, \ nu = 0,1,2,3} = {\ begin {pmatrix} T ^ {00} amp; T ^ {01} amp; T ^ {02 } amp; T ^ {03} \\ T ^ {10} amp; T ^ {11} amp; T ^ {12} amp; T ^ {13} \\ T ^ {20} amp; T ^ {21} amp; T ^ {22} amp; T ^ {23} \\ T ^ {30} amp; T ^ {31} amp; T ^ {32} amp; T ^ {33} \ end {pmatrix}}.}$

Далее k и ℓ находятся в диапазоне от 1 до 3:

1. Компонент время-время - это плотность релятивистской массы, то есть плотность энергии, деленная на квадрат скорости света, находящегося в сопутствующей системе отсчета. Имеет прямую физическую интерпретацию. В случае идеальной жидкости этот компонент равен

   ${\ displaystyle T ^ {00} = \ rho ~,}$

   где - релятивистская масса на единицу объема, а для электромагнитного поля в пустом пространстве эта компонента равна ${\ displaystyle \ rho}$

   ${\ displaystyle T ^ {00} = {1 \ over c ^ {2}} \ left ({\ frac {1} {2}} \ epsilon _ {0} E ^ {2} + {\ frac {1} {2 \ mu _ {0}}} B ^ {2} \ right),}$

   где E и B - электрическое и магнитное поля соответственно.
2. Поток релятивистской массы через поверхность x ^k эквивалентен плотности k- й компоненты количества движения,

   ${\ displaystyle T ^ {0k} = T ^ {k0} ~.}$

3. Компоненты
   ${\ Displaystyle Т ^ {к \ ell}}$
   представляют поток k- й компоненты количества движения через поверхность x ^ℓ. Особенно,

   ${\ displaystyle T ^ {kk}}$

   (не суммировано) представляет собой нормальное напряжение в k- м координатном направлении ( k = 1, 2, 3), которое называется « давлением », когда оно одинаково во всех направлениях, k. Остальные компоненты

   ${\ Displaystyle Т ^ {к \ ell} \ четырехъядерный к \ neq \ ell}$

   представляют напряжение сдвига (сравните с тензором напряжений ).

В физике твердого тела и механике жидкости тензор напряжений определяется как пространственные компоненты тензора энергии-напряжения в соответствующей системе отсчета. Другими словами, тензор энергии напряжения в технике отличается от релятивистского тензора энергии-импульса импульсно-конвективным членом.

Ковариантные и смешанные формы

Большая часть данной статьи работает с контравариантной формой тензора энергии-импульса T ^μν. Однако часто бывает необходимо работать с ковариантной формой,

${\ displaystyle T _ {\ mu \ nu} = T ^ {\ alpha \ beta} g _ {\ alpha \ mu} g _ {\ beta \ nu},}$

или смешанная форма,

${\ Displaystyle T ^ {\ mu} {} _ {\ nu} = T ^ {\ mu \ alpha} g _ {\ alpha \ nu},}$

или как смешанная тензорная плотность

${\ displaystyle {\ mathfrak {T}} ^ {\ mu} {} _ {\ nu} = T ^ {\ mu} {} _ {\ nu} {\ sqrt {-g}} \,.}$

В этой статье для метрической подписи используется условное обозначение пробелов (- +++).

Закон сохранения

В специальной теории относительности

Смотрите также: релятивистский угловой момент и четыре импульса

Тензор энергии-импульса - это сохраняющийся ток Нётер, связанный с трансляциями пространства-времени.

Дивергенция негравитационного напряжения-энергии равна нулю. Другими словами, сохраняются негравитационная энергия и импульс,

${\ displaystyle 0 = T ^ {\ mu \ nu} {} _ {; \ nu} = \ nabla _ {\ nu} T ^ {\ mu \ nu} {}. \!}$

Когда гравитация пренебрежимо мала и используется декартова система координат для пространства-времени, это может быть выражено в терминах частных производных как

${\ displaystyle 0 = T ^ {\ mu \ nu} {} _ {, \ nu} = \ partial _ {\ nu} T ^ {\ mu \ nu}. \!}$

Интегральная форма этого

${\ displaystyle 0 = \ int _ {\ partial N} T ^ {\ mu \ nu} \ mathrm {d} ^ {3} s _ {\ nu} \!}$

где N - любая компактная четырехмерная область пространства-времени; его граница, трехмерная гиперповерхность; и является элементом границы, рассматриваемой как направленная наружу нормаль. ${\ displaystyle \ partial N}$${\ displaystyle \ mathrm {d} ^ {3} s _ {\ nu}}$

В плоском пространстве-времени и с использованием декартовых координат, если объединить это с симметрией тензора энергии-импульса, можно показать, что угловой момент также сохраняется:

${\ displaystyle 0 = (x ^ {\ alpha} T ^ {\ mu \ nu} -x ^ {\ mu} T ^ {\ alpha \ nu}) _ {, \ nu}. \!}$

В общей теории относительности

Когда гравитацией нельзя пренебречь или при использовании произвольных систем координат, расхождение между напряжением и энергией все равно исчезает. Но в этом случае используется безкоординатное определение расходимости, включающее ковариантную производную

${\ displaystyle 0 = \ operatorname {div} T = T ^ {\ mu \ nu} {} _ {; \ nu} = \ nabla _ {\ nu} T ^ {\ mu \ nu} = T ^ {\ mu \ nu} {} _ {, \ nu} + \ Gamma ^ {\ mu} {} _ {\ sigma \ nu} T ^ {\ sigma \ nu} + \ Gamma ^ {\ nu} {} _ {\ sigma \ nu} T ^ {\ mu \ sigma}}$

где - символ Кристоффеля, который представляет собой поле силы тяжести. ${\ Displaystyle \ Gamma ^ {\ mu} {} _ {\ sigma \ nu}}$

Следовательно, если - любое векторное поле Киллинга, то закон сохранения, связанный с симметрией, порожденной векторным полем Киллинга, может быть выражен как ${\ displaystyle \ xi ^ {\ mu}}$

${\ displaystyle 0 = \ nabla _ {\ nu} \ left (\ xi ^ {\ mu} T _ {\ mu} ^ {\ nu} \ right) = {\ frac {1} {\ sqrt {-g}} } \ partial _ {\ nu} \ left ({\ sqrt {-g}} \ \ xi ^ {\ mu} T _ {\ mu} ^ {\ nu} \ right)}$

Интегральная форма этого

${\ Displaystyle 0 = \ int _ {\ partial N} {\ sqrt {-g}} \ \ xi ^ {\ mu} T _ {\ mu} ^ {\ nu} \ \ mathrm {d} ^ {3} s_ {\ nu} = \ int _ {\ partial N} \ xi ^ {\ mu} {\ mathfrak {T}} _ {\ mu} ^ {\ nu} \ \ mathrm {d} ^ {3} s _ {\ nu}}$

В специальной теории относительности

В специальной теории относительности тензор энергии-импульса содержит информацию о плотности энергии и импульса данной системы в дополнение к плотностям импульса и потока энергии.

Учитывая плотность лагранжиана, которая является функцией набора полей и их производных, но явно не какой-либо из координат пространства-времени, мы можем построить тензор, глядя на полную производную по одной из обобщенных координат системы. Итак, с нашим условием ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}}}$${\ displaystyle \ phi _ {\ alpha}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial x _ {\ nu}}} = 0}$

Тогда, используя цепное правило, мы имеем

${\ displaystyle {\ frac {d {\ mathcal {L}}} {dx _ {\ nu}}} = \ partial ^ {\ nu} {\ mathcal {L}} = {\ frac {\ partial {\ mathcal { L}}} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ phi _ {\ alpha})}} {\ frac {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ phi _ {\ alpha})} {\ частичный x _ {\ nu}}} + {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ phi _ {\ alpha}}} {\ frac {\ partial \ phi _ {\ alpha}} { \ partial x _ {\ nu}}}}$

Написано полезной стенографией,

${\ displaystyle \ partial ^ {\ nu} {\ mathcal {L}} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ phi _ {\ alpha})}} \ partial ^ {\ nu} \ partial _ {\ mu} \ phi _ {\ alpha} + {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ phi _ {\ alpha}} } \ partial ^ {\ nu} \ phi _ {\ alpha}}$

Тогда мы можем использовать уравнение Эйлера – Лагранжа:

${\ Displaystyle \ partial _ {\ mu} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ phi _ {\ alpha})}} \ right) = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ phi _ {\ alpha}}}}$

А затем используйте тот факт, что частные производные коммутируют, так что теперь мы имеем

${\ displaystyle \ partial ^ {\ nu} {\ mathcal {L}} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ phi _ {\ alpha})}} \ partial _ {\ mu} \ partial ^ {\ nu} \ phi _ {\ alpha} + \ partial _ {\ mu} \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} { \ partial (\ partial _ {\ mu} \ phi _ {\ alpha})}} \ right) \ partial ^ {\ nu} \ phi _ {\ alpha}}$

Мы можем распознать правую часть как правило продукта. Запись его как производной от произведения функций говорит нам, что

${\ displaystyle \ partial ^ {\ nu} {\ mathcal {L}} = \ partial _ {\ mu} \ left [{\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ { \ mu} \ phi _ {\ alpha})}} \ partial ^ {\ nu} \ phi _ {\ alpha} \ right]}$

Теперь в плоском пространстве можно писать. Сделав это и переместив его на другую сторону уравнения, мы узнаем, что ${\ Displaystyle \ partial ^ {\ nu} {\ mathcal {L}} = \ partial _ {\ mu} g ^ {\ mu \ nu} {\ mathcal {L}}}$

${\ displaystyle \ partial _ {\ mu} \ left [{\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ phi _ {\ alpha})}} \ partial ^ {\ nu} \ phi _ {\ alpha} \ right] - \ partial _ {\ mu} \ left (g ^ {\ mu \ nu} {\ mathcal {L}} \ right) = 0}$

И по условиям перегруппировки,

${\ displaystyle \ partial _ {\ mu} \ left [{\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ phi _ {\ alpha})}} \ partial ^ {\ nu} \ phi _ {\ alpha} -g ^ {\ mu \ nu} {\ mathcal {L}} \ right] = 0}$

Это означает, что дивергенция тензора в скобках равна 0. В самом деле, этим мы определяем тензор энергии-импульса:

${\ Displaystyle Т ^ {\ му \ ню} \ экв {\ гидроразрыва {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ phi _ {\ alpha})}} \ partial ^ {\ nu} \ phi _ {\ alpha} -g ^ {\ mu \ nu} {\ mathcal {L}}}$

По построению он обладает тем свойством, что

${\ Displaystyle \ partial _ {\ mu} T ^ {\ mu \ nu} = 0}$

Отметим, что это свойство бездивергентности этого тензора эквивалентно четырем уравнениям неразрывности. То есть поля имеют по крайней мере четыре набора величин, которые подчиняются уравнению неразрывности. В качестве примера можно увидеть, что это плотность энергии системы, и, таким образом, можно получить плотность гамильтониана из тензора энергии-импульса. ${\ displaystyle T_ {0} ^ {0}}$

В самом деле, поскольку это так, учитывая это, мы имеем ${\ Displaystyle \ partial _ {\ mu} T ^ {\ mu 0} = 0}$

${\ Displaystyle {\ frac {\ partial {\ mathcal {H}}} {\ partial t}} + \ nabla \ cdot \ left ({\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ nabla \ phi _ {\ alpha}}} {\ dot {\ phi}} _ {\ alpha} \ right) = 0}$

Затем мы можем заключить, что члены представляют плотность потока энергии системы. ${\ displaystyle {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ nabla \ phi _ {\ alpha}}} {\ dot {\ phi}} _ {\ alpha}}$

След

Отметим, что след тензора энергии-импульса определяется как, где ${\ Displaystyle Т _ {\ mu} ^ {\ mu}}$

${\ Displaystyle T _ {\ mu} ^ {\ mu} = T ^ {\ mu \ nu} g _ {\ nu \ mu}.}$

Когда мы используем формулу для тензора энергии-импульса, найденную выше,

${\ displaystyle T _ {\ mu} ^ {\ mu} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ phi _ {\ alpha})}} g_ {\ mu \ nu} \ partial ^ {\ nu} \ phi _ {\ alpha} -g _ {\ mu \ nu} g ^ {\ mu \ nu} {\ mathcal {L}}.}$

Используя повышающие и понижающие свойства метрики и этого, ${\ Displaystyle г ^ {\ му \ ню} г _ {\ му \ альфа} = \ дельта _ {\ альфа} ^ {\ ню}}$

${\ displaystyle T _ {\ mu} ^ {\ mu} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ phi _ {\ alpha})}} \ частичный _ {\ mu} \ phi _ {\ alpha} - \ delta _ {\ mu} ^ {\ mu} {\ mathcal {L}}.}$

Поскольку, ${\ displaystyle \ delta _ {\ mu} ^ {\ mu} = 4}$

${\ displaystyle T _ {\ mu} ^ {\ mu} = {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial _ {\ mu} \ phi _ {\ alpha})}} \ частичный _ {\ mu} \ phi _ {\ alpha} -4 {\ mathcal {L}}.}$

В общей теории относительности

В ОТО, то симметричен тензор энергии-действует как источник пространственно - временной кривизны, а плотность тока, связанная с калибровочными преобразованиями тяжести, которые вообще криволинейные преобразования координат. (Если есть кручение, то тензор больше не является симметричным. Это соответствует случаю с ненулевым тензором спина в теории гравитации Эйнштейна – Картана. )

В общей теории относительности частные производные, используемые в специальной теории относительности, заменены ковариантными производными. Это означает, что уравнение неразрывности больше не подразумевает, что негравитационная энергия и импульс, выраженные тензором, абсолютно сохраняются, то есть гравитационное поле может действовать на материю и наоборот. В классическом пределе ньютоновской гравитации это имеет простую интерпретацию: кинетическая энергия обменивается с гравитационной потенциальной энергией, которая не входит в тензор, а импульс передается через поле другим телам. В общей теории относительности псевдотензор Ландау – Лифшица - это единственный способ определить плотность энергии и импульса гравитационного поля. Любой такой псевдотензор энергии-напряжения может быть локально обращен в нуль с помощью преобразования координат.

В искривленном пространстве-времени пространственноподобный интеграл теперь вообще зависит от пространственноподобного среза. Фактически невозможно определить глобальный вектор энергии-импульса в искривленном пространстве-времени.

Уравнения поля Эйнштейна

Основная статья: уравнения поля Эйнштейна

В общей теории относительности тензор энергии-импульса изучается в контексте уравнений поля Эйнштейна, которые часто записываются как

${\ displaystyle R _ {\ mu \ nu} - {\ tfrac {1} {2}} R \, g _ {\ mu \ nu} + \ Lambda g _ {\ mu \ nu} = {8 \ pi G \ over c ^ {4}} T _ {\ mu \ nu},}$

где - тензор Риччи, - скаляр Риччи ( тензорное сжатие тензора Риччи), - метрический тензор, Λ - космологическая постоянная (пренебрежимо малая в масштабе галактики или меньше), и - универсальная гравитационная постоянная. ${\ Displaystyle R _ {\ mu \ nu}}$ ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle g _ {\ mu \ nu} \,}$ ${\ displaystyle G}$

Стресс – энергия в особых ситуациях

Изолированная частица

В специальной теории относительности напряжение-энергия невзаимодействующей частицы с массой покоя m и траекторией составляет: ${\ Displaystyle \ mathbf {х} _ {\ текст {p}} (т)}$

${\ displaystyle T ^ {\ alpha \ beta} (\ mathbf {x}, t) = {\ frac {m \, v ^ {\ alpha} (t) v ^ {\ beta} (t)} {\ sqrt {1- (v / c) ^ {2}}}} \; \, \ delta \ left (\ mathbf {x} - \ mathbf {x} _ {\ text {p}} (t) \ right) = {\ frac {E} {c ^ {2}}} \; v ^ {\ alpha} (t) v ^ {\ beta} (t) \; \, \ delta (\ mathbf {x} - \ mathbf { х} _ {\ текст {p}} (т))}$

где - вектор скорости (который не следует путать с четырехскоростной, так как в нем отсутствует a) ${\ Displaystyle \ влево (v ^ {\ альфа} \ вправо) _ {\ альфа = 0,1,2,3} \!}$ ${\ displaystyle \ gamma}$

${\ displaystyle \ left (v ^ {\ alpha} \ right) _ {\ alpha = 0,1,2,3} = \ left (1, {\ frac {d \ mathbf {x} _ {\ text {p) }}} {dt}} (t) \ right) \,,}$

${\ displaystyle \ delta}$- дельта-функция Дирака и - энергия частицы. ${\ displaystyle E = {\ sqrt {p ^ {2} c ^ {2} + m ^ {2} c ^ {4}}}}$

Написанный на языке классической физики, тензор энергии-импульса будет иметь вид (релятивистская масса, импульс, диадное произведение импульса и скорости)

${\ displaystyle \ left ({\ frac {E} {c ^ {2}}}, \, \ mathbf {p}, \, \ mathbf {p} \, \ mathbf {v} \ right)}$.

Напряжение – энергия жидкости в равновесии.

Для идеальной жидкости в термодинамическом равновесии тензор энергии-импульса принимает особенно простой вид

${\ displaystyle T ^ {\ alpha \ beta} \, = \ left (\ rho + {p \ over c ^ {2}} \ right) u ^ {\ alpha} u ^ {\ beta} + pg ^ {\ альфа \ бета}}$

где - плотность массы и энергии (килограммы на кубический метр), - гидростатическое давление ( паскали ), - четвертая скорость жидкости и является обратной величиной метрического тензора. Следовательно, след определяется выражением ${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle u ^ {\ alpha}}$ ${\ displaystyle g ^ {\ alpha \ beta}}$

${\ Displaystyle T _ {\, \ alpha} ^ {\ alpha} = g _ {\ alpha \ beta} T ^ {\ beta \ alpha} = 3p- \ rho c ^ {2} \,.}$

Эти четыре скоростей удовлетворяет

${\ Displaystyle и ^ {\ альфа} и ^ {\ бета} г _ {\ альфа \ бета} = - с ^ {2} \,.}$

В инерциальной системе отсчета, сопутствующей жидкости, более известной как собственная система отсчета жидкости, четыре скорости равны

${\ Displaystyle (и ^ {\ альфа}) _ {\ альфа = 0,1,2,3} = (1,0,0,0) \,,}$

обратная величина метрического тензора просто

${\ displaystyle (g ^ {\ alpha \ beta}) _ {\ alpha, \ beta = 0,1,2,3} \, = \ left ({\ begin {matrix} - {\ frac {1} {c ^ {2}}} amp; 0 amp; 0 amp; 0 \\ 0 amp; 1 amp; 0 amp; 0 \\ 0 amp; 0 amp; 1 amp; 0 \\ 0 amp; 0 amp; 0 amp; 1 \ end {matrix}} \ right) \,}$

а тензор энергии-импульса - диагональная матрица

${\ displaystyle (T ^ {\ alpha \ beta}) _ {\ alpha, \ beta = 0,1,2,3} = \ left ({\ begin {matrix} \ rho amp; 0 amp; 0 amp; 0 \\ 0 amp; p amp; 0 amp; 0 amp; 0 \\ 0 amp; 0 amp; p amp; 0 \\ 0 amp; 0 amp; 0 amp; p \ end {matrix}} \ right).}$

Электромагнитный тензор энергии-напряжения.

Основная статья: Электромагнитный тензор энергии-напряжения

Тензор энергии-импульса Гильберта электромагнитного поля без источника имеет вид

${\ displaystyle T ^ {\ mu \ nu} = {\ frac {1} {\ mu _ {0}}} \ left (F ^ {\ mu \ alpha} g _ {\ alpha \ beta} F ^ {\ nu \ beta} - {\ frac {1} {4}} g ^ {\ mu \ nu} F _ {\ delta \ gamma} F ^ {\ delta \ gamma} \ right)}$

где - тензор электромагнитного поля. ${\ Displaystyle F _ {\ mu \ nu}}$

Скалярное поле

Основная статья: уравнение Клейна – Гордона

Тензор энергии-импульса для комплексного скалярного поля, удовлетворяющего уравнению Клейна – Гордона, имеет вид ${\ displaystyle \ phi}$

${\ displaystyle T ^ {\ mu \ nu} = {\ frac {\ hbar ^ {2}} {m}} \ left (g ^ {\ mu \ alpha} g ^ {\ nu \ beta} + g ^ { \ mu \ beta} g ^ {\ nu \ alpha} -g ^ {\ mu \ nu} g ^ {\ alpha \ beta} \ right) \ partial _ {\ alpha} {\ bar {\ phi}} \ partial _ {\ beta} \ phi -g ^ {\ mu \ nu} mc ^ {2} {\ bar {\ phi}} \ phi,}$

а когда метрика плоская (Минковский в декартовых координатах), ее компоненты получаются такими:

${\ displaystyle {\ begin {align} T ^ {00} amp; = {\ frac {\ hbar ^ {2}} {mc ^ {4}}} \ left (\ partial _ {0} {\ bar {\ phi }} \ partial _ {0} \ phi + c ^ {2} \ partial _ {k} {\ bar {\ phi}} \ partial _ {k} \ phi \ right) + m {\ bar {\ phi} } \ phi, \\ T ^ {0i} = T ^ {i0} amp; = - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {mc ^ {2}}} \ left (\ partial _ {0} {\ bar {\ phi}} \ partial _ {i} \ phi + \ partial _ {i} {\ bar {\ phi}} \ partial _ {0} \ phi \ right), \ \ mathrm {и} \\ T ^ {ij} amp; = {\ frac {\ hbar ^ {2}} {m}} \ left (\ partial _ {i} {\ bar {\ phi}} \ partial _ {j} \ phi + \ partial _ {j} {\ bar {\ phi}} \ partial _ {i} \ phi \ right) - \ delta _ {ij} \ left ({\ frac {\ hbar ^ {2}} {m}} \ eta ^ {\ alpha \ beta} \ partial _ {\ alpha} {\ bar {\ phi}} \ partial _ {\ beta} \ phi + mc ^ {2} {\ bar {\ phi}} \ phi \ right). \ конец {выровнено}}}$

Варианты определения напряжения – энергии

Существует ряд неэквивалентных определений негравитационного напряжения – энергии:

Гильбертовый тензор энергии-импульса

Тензор энергии-импульса Гильберта определяется как функциональная производная

${\ displaystyle T _ {\ mu \ nu} = {\ frac {-2} {\ sqrt {-g}}} {\ frac {\ delta S _ {\ mathrm {материя}}} {\ delta g ^ {\ mu \ nu}}} = {\ frac {-2} {\ sqrt {-g}}} {\ frac {\ partial \ left ({\ sqrt {-g}} {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {материя}} \ right)} {\ partial g ^ {\ mu \ nu}}} = - 2 {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {material}}} {\ partial g ^ {\ mu \ nu}}} + g _ {\ mu \ nu} {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {материя}},}$

где - негравитационная часть действия, - негравитационная часть плотности лагранжиана, и было использовано уравнение Эйлера-Лагранжа. Это симметрично и калибровочно-инвариантно. См. Действие Эйнштейна – Гильберта для получения дополнительной информации. ${\ displaystyle S _ {\ mathrm {материя}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {материя}}}$

Канонический тензор энергии-импульса

Теорема Нётер подразумевает, что существует сохраняющийся ток, связанный с переводами в пространстве и времени. Это называется каноническим тензором энергии-импульса. Как правило, это не симметрично, и если у нас есть калибровочная теория, она может не быть калибровочно-инвариантной, потому что пространственно-зависимые калибровочные преобразования не коммутируют с пространственными переносами.

В общей теории относительности трансляции относятся к системе координат и, как таковые, не преобразуются ковариантно. См. Раздел ниже о гравитационном псевдотензоре энергии-импульса.

Тензор энергии-импульса Белинфанте – Розенфельда

Основная статья: Тензор энергии-импульса Белинфанте – Розенфельда

При наличии спина или другого собственного углового момента канонический тензор энергии напряжения Нётер не может быть симметричным. Тензор энергии напряжения Белинфанте – Розенфельда строится из канонического тензора энергии-импульса и спинового тока таким образом, чтобы он был симметричным и все еще сохранялся. В общей теории относительности этот модифицированный тензор согласуется с тензором энергии-импульса Гильберта.

Гравитационное напряжение – энергия

Основная статья: Псевдотензор напряжения – энергии – импульса

Согласно принципу эквивалентности, гравитационное напряжение-энергия всегда будет локально обращаться в нуль в любой выбранной точке в некоторой выбранной системе отсчета, поэтому гравитационное напряжение-энергия не может быть выражено как ненулевой тензор; вместо этого мы должны использовать псевдотензор.

В общей теории относительности существует множество различных определений гравитационного псевдотензора напряжения-энергии-импульса. К ним относятся псевдотензор Эйнштейна и псевдотензор Ландау – Лифшица. Псевдотензор Ландау – Лифшица можно свести к нулю в любом событии пространства-времени, выбрав подходящую систему координат.

Смотрите также

• Электромагнитный тензор энергии-напряжения.
• Энергетическое состояние
• Плотность энергии электрического и магнитного полей
• Тензор напряжений Максвелла
• Вектор Пойнтинга
• Исчисление Риччи
• Классификация Сегре

Примечания и ссылки

1. ↑ На стр. 141–142 Мизнера, Торна и Уиллера раздел 5.7 «Симметрия тензора напряжения-энергии» начинается со слов: «Все исследованные выше тензоры энергии-напряжения были симметричными. следует. "
2. ^ Миснер, Чарльз У.; Thorne, Kip S.; Уиллер, Джон А. (1973). Гравитация. Сан-Франциско, Калифорния: WH Freeman and Company. ISBN   0-7167-0334-3.
3. ^ д'Инверно, РА (1992). Введение в теорию относительности Эйнштейна. Нью-Йорк, Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. ISBN   978-0-19-859686-8.
4. ^ Ландау, LD; Лифшиц, Э.М. (2010). Классическая теория поля (4-е изд.). Баттерворт-Хайнеманн. С. 84–85. ISBN   978-0-7506-2768-9.
5. ^ Бейкер, MR; Кирющева, Н.; Кузьмин, С. (2021). «Нётер и гильбертовские (метрические) тензоры энергии-импульса, вообще говоря, не эквивалентны». Ядерная физика Б. 962 (1): 115240. arXiv : 2011.10611. DOI : 10.1016 / j.nuclphysb.2020.115240.

• В. Висс (2005). "Тензор энергии-импульса в классической теории поля" (PDF). Колорадо, США.

внешние ссылки

• Лекция, Стефан Ванер
• Учебник Калифорнийского технологического института по теории относительности - простое обсуждение связи между тензором напряжения – энергии общей теории относительности и метрикой.