Статическое пространство-время

редактировать

В общей теории относительности, пространство-время называется статический, если он не меняется со временем, а также является безвихревым. Это частный случай стационарного пространства-времени, которое представляет собой геометрию стационарного пространства-времени, которое не изменяется во времени, но может вращаться. Таким образом, решение Керра предоставляет пример стационарного пространства-времени, которое не статично; невращающееся решение Шварцшильда является статическим примером.

Формально пространство-время статично, если оно допускает глобальное, не исчезающее, времяподобное векторное поле убийства $K {\ displaystyle K}$ $К$ , который является безвихревым, т.е. чье ортогональное распределение является инволютивным. (Обратите внимание, что листы связанного слоения обязательно являются пространственно-подобными гиперповерхностями.) Таким образом, статическое пространство-время - это стационарное пространство-время, удовлетворяющее этому дополнительному условию интегрируемости. Эти пространства-времени образуют один из простейших классов лоренцевых многообразий.

Локально каждое статическое пространство-время выглядит как стандартное статическое пространство-время, которое является искривленным лоренцевым произведением R $× {\ displaystyle \ times }$ $\ times$ S с метрикой вида

g [(t, x)] = - β (x) dt 2 + g S [x] {\ displaystyle g [(t, x)] = - \ beta (x) dt ^ {2} + g_ {S} [x]}

{\ displaystyle g [(t, x)] = - \ beta (x) dt ^ {2} + g_ {S} [x]}

где R - вещественная линия, $g S {\ displaystyle g_ {S}}$ ${\ displaystyle g_ {S}}$ - метрика (положительно определенная), а $β {\ displaystyle \ beta}$ $\ beta$ - положительная функция на римановом многообразии S.

В таком представлении локальных координат поле Killing $K {\ displaystyle K}$ $К$ может быть идентифицировано с помощью $∂ t {\ displaystyle \ partial _ {t}}$ ${\ displaystyle \ partial _ {t}}$ и S, многообразие $K {\ displaystyle K}$ $К$ -траекторий, можно рассматривать как мгновенное 3-мерное пространство неподвижных наблюдателей. Если $λ {\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ - квадрат нормы векторного поля Киллинга, $λ = g (K, K) {\ displaystyle \ lambda = g (K, K)}$ ${\ displaystyle \ lambda = g (K, K)}$ , и $λ {\ displaystyle \ lambda}$ $\ lambda$ , и $g S {\ displaystyle g_ {S}}$ $g_{S}$ не зависят от время (на самом деле $λ = - β (x) {\ displaystyle \ lambda = - \ beta (x)}$ ${\ displaystyle \ lambda = - \ бета (х)}$ ). Именно из-за последнего факта статическое пространство-время получило свое название, поскольку геометрия пространственно-подобного среза S не меняется со временем.

Примеры статического пространства-времени

(внешнее) решение Шварцшильда.
пространство де Ситтера (его часть, покрытая статическим патчем ).
Рейсснер – Нордстрём space.
Статическое осесимметричное решение уравнений вакуумного поля Эйнштейна $R μ ν = 0 {\ displaystyle R _ {\ mu \ nu} = 0}$ $R _ {{\ mu \ nu}} = 0$ обнаружен Германом Вейлем.

Примеры нестатических пространств-времени

В общем, «почти все» пространства-времени не будут статичными. Некоторые явные примеры включают:

Сферически-симметричные пространства-времени, которые являются безвихревыми, но не статичными.
Решение Керра, поскольку оно описывает вращающуюся черную дыру, представляет собой стационарное пространство-время, которое не статично.
Пространство-время с гравитационные волны в них даже не являются стационарными.

Ссылки

Хокинг, С.В.; Эллис, GFR (1973), Крупномасштабная структура пространства-времени, Кембриджские монографии по математической физике, 1, Лондон-Нью-Йорк: Cambridge University Press, MR 0424186