Гиперповерхность

В геометрии, A гиперповерхность представляет собой обобщение понятий гиперплоскости, плоские кривые и поверхности. Гиперповерхность - это многообразие или алгебраическое многообразие размерности n - 1, которое вложено в объемлющее пространство размерности n, обычно евклидово пространство, аффинное пространство или проективное пространство. Гиперповерхности разделяют с поверхностями в трехмерном пространстве свойство определяться одним неявным уравнением., по крайней мере, локально (около каждой точки), а иногда и глобально.

Гиперповерхность в (евклидовом, аффинном или проективном) пространстве размерности два - это плоская кривая. В трехмерном пространстве это поверхность.

Например, уравнение

${\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + \ cdots + x_ {n} ^ {2} -1 = 0}$

определяет алгебраическую гиперповерхность размерности n - 1 в евклидовом пространстве размерности n. Эта гиперповерхность также является гладким многообразием и называется гиперсферой или ( n - 1) -сферой.

• 1 Гладкая гиперповерхность
• 2 Аффинная алгебраическая гиперповерхность
  • 2.1 Свойства
  • 2.2 Реальные и рациональные точки зрения
• 3 Проективная алгебраическая гиперповерхность
• 4 См. Также
• 5 ссылки

Гиперповерхность, являющаяся гладким многообразием, называется гладкой гиперповерхностью.

В R ⁿ гладкая гиперповерхность ориентируема. Каждая связная компактная гладкая гиперповерхность является множеством уровня и разделяет R ⁿ на две компоненты связности; это связано с теоремой Жордана – Брауэра об отделимости.

Алгебраическая гиперповерхность представляет собой алгебраическое многообразие, которое может быть определено с помощью одного неявного уравнения вида

${\ Displaystyle p (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = 0,}$

где p - многомерный многочлен. Обычно предполагается, что многочлен неприводимый. Когда это не так, гиперповерхность не является алгебраическим многообразием, а всего лишь алгебраическим множеством. Это может зависеть от авторов или контекста, определяет ли приводимый многочлен гиперповерхность. Во избежание двусмысленности часто используется термин неприводимая гиперповерхность.

Что касается алгебраических многообразий, коэффициенты определяющего полинома могут принадлежать к какому - либо фиксированному полю к, а точки гиперповерхностей являются нулями из р в аффинном пространстве, где K является алгебраически замкнутым расширением в к. ${\ displaystyle K ^ {n},}$

Гиперповерхность может иметь особенности, которые являются общими нулями, если таковые имеются, определяющего полинома и его частных производных. В частности, вещественная алгебраическая гиперповерхность не обязательно является многообразием.

Характеристики

Гиперповерхности обладают некоторыми специфическими свойствами, которые не присущи другим алгебраическим разновидностям.

Одним из основных таких свойств является Nullstellensatz Гильберта, который утверждает, что гиперповерхность содержит данное алгебраическое множество тогда и только тогда, когда определяющий многочлен гиперповерхности имеет мощность, которая принадлежит идеалу, порожденному определяющими многочленами алгебраического набора.

Следствие этой теоремы состоит в том, что если два неприводимых многочлена (или, в более общем смысле, два многочлена без квадратов ) определяют одну и ту же гиперповерхность, то один является произведением другого на ненулевую константу.

Гиперповерхности в точности подмногообразие размерности п - 1 из аффинного пространства размерности п. Это геометрическая интерпретация того факта, что в кольце многочленов над полем высота идеала равна 1 тогда и только тогда, когда идеал является главным идеалом. В случае возможно приводимых гиперповерхностей этот результат можно переформулировать следующим образом: гиперповерхности - это в точности алгебраические множества, все неприводимые компоненты которых имеют размерность n - 1.

Реальные и рациональные точки

Вещественная гиперповерхность гиперповерхность, которая определяется полиномом с вещественными коэффициентами. В этом случае алгебраически замкнутое поле, над которым определены точки, обычно является полем комплексных чисел. В реальных точек вещественной гиперповерхности точки, которые принадлежат Множество вещественных точек вещественной гиперповерхности является действительной частью гиперповерхности. Часто вопрос о том, относится ли термин гиперповерхность ко всем точкам или только к реальной части, остается в зависимости от контекста. ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n} \ subset \ mathbb {C} ^ {n}.}$

Если коэффициенты определяющего полинома принадлежат полю k, которое не является алгебраически замкнутым (обычно поле рациональных чисел, конечное поле или числовое поле ), говорят, что гиперповерхность определена над k, а точки, принадлежащие являются рациональными над к (в случае поля рациональных чисел «над к », как правило, опущены). ${\ Displaystyle к ^ {п}}$

Например, мнимая n- сфера, определяемая уравнением

${\ displaystyle x_ {0} ^ {2} + \ cdots + x_ {n} ^ {2} + 1 = 0}$

- реальная гиперповерхность без реальной точки, определенная над рациональными числами. У него нет рациональной точки, но есть много точек, которые рациональны по сравнению с гауссовскими рациональными числами.

Проективный (алгебраический) гиперповерхность размерности п - 1 в проективном пространстве размерности п над полем к определяются однородным многочленом в п + 1 неизвестных. Как обычно, однородный многочлен означает, что все мономы из Р имеют одинаковую степень, или, что то же самое, что для каждой постоянной с, где d является степень многочлена. В точках гиперповерхности являются точками проективного пространства, чьей проективной координата нули Р. ${\ Displaystyle P (x_ {0}, x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}$ ${\ Displaystyle P (cx_ {0}, cx_ {1}, \ ldots, cx_ {n}) = c ^ {d} P (x_ {0}, x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}$

Если выбрать гиперплоскость уравнения в качестве гиперплоскости на бесконечности, дополнение к этой гиперплоскости будет аффинным пространством, а точки проективной гиперповерхности, принадлежащие этому аффинному пространству, образуют аффинную гиперповерхность уравнения. И наоборот, учитывая аффинную гиперповерхность уравнения, она определяет проективную гиперповерхность, называемую ее проективным пополнением, уравнение которой получается усреднением p. То есть, уравнение проективной завершенности с ${\ displaystyle x_ {0} = 0}$ ${\ Displaystyle P (1, x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = 0.}$${\ Displaystyle p (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = 0,}$ ${\ Displaystyle P (x_ {0}, x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = 0,}$

${\ Displaystyle P (x_ {0}, x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = x_ {0} ^ {d} p (x_ {1} / x_ {0}, \ ldots, x_ {n) } / x_ {0}),}$

где d является степень P.

Эти два процесса проективного пополнения и ограничения на аффинное подпространство обратны друг другу. Следовательно, аффинная гиперповерхность и ее проективное пополнение имеют по существу одинаковые свойства и часто рассматриваются как две точки зрения на одну и ту же гиперповерхность.

Однако может оказаться, что аффинная гиперповерхность неособа, а ее проективное пополнение имеет особые точки. В этом случае говорят, что аффинная поверхность особа на бесконечности. Например, круговой цилиндр уравнения

${\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} -1 = 0}$

в аффинном пространстве размерности три имеет единственную особую точку, находящуюся на бесконечности в направлении x = 0, y = 0.

• Аффинная сфера
• Гиперповерхность булыжника
• Семья Дворк
• Нулевая гиперповерхность
• Полярная гиперповерхность

• "Гиперповерхность", Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Сошичи Кобаяси и Кацуми Номидзу (1969), Основы дифференциальной геометрии, том II, Wiley Interscience
• П.А. Симионеску и Д. Бил (2004) Визуализация гиперповерхностей и многомерных (целевых) функций путем частичной глобализации, Визуальный компьютер 20 (10): 665–81.