Войти
В поле Mathematical в алгебраической геометрии, особой точкой алгебраического многообразия V является точка P, которая является «специальной» (так, особой) в геометрическом смысле, что в этой точке касательное пространство в сорт может не определяться регулярно. В случае многообразий, определенных над вещественными числами, это понятие обобщает понятие локальной неплоскостности. Неособая точка алгебраического многообразия называется правильной . Алгебраическое многообразие, не имеющее особой точки, называется неособым или гладким .
. Плоская алгебраическая кривая (кубическая кривая ) уравнения y - x (x + 1) = 0 пересекает себя в начале координат (0,0). Начало координат - это двойная точка этой кривой. Это особенность, потому что единственная касательная может быть там неправильно определена. Плоская кривая, определенная неявным уравнением
где F - гладкая функция называется сингулярным в точке, если ряд Тейлора функции F имеет порядок по крайней мере 2 в этой точке.
Причина в том, что в дифференциальном исчислении касательная в точке (x 0, y 0) такого кривая определяется уравнением
, левая часть которого является членом первой степени разложения Тейлора. Таким образом, если этот член равен нулю, касательная не может быть определена стандартным способом либо потому, что она не существует, либо потому, что необходимо дать специальное определение.
В целом для гиперповерхности
особые точки - это те, в которых все частные производные одновременно обращаются в нуль. Общее алгебраическое многообразие V определяется как общие нули нескольких многочленов, условие того, что точка P множества V является особой точкой, состоит в том, что матрица Якоби частных производных первого порядка полиномов имеет ранг в точке P, который ниже, чем ранг в других точках многообразия.
Точки V, которые не являются единственными, называются неособыми или регулярными . Всегда верно, что почти все точки неособые в том смысле, что неособые точки образуют множество, которое одновременно открыто и плотно в многообразии (для системы Зарисского топологии, как и для обычной топологии, в случае многообразий, определенных над комплексами ).
В случае действительного многообразия (то есть множества точек с действительными координатами многообразия, определяемого полиномами с вещественными коэффициентов) многообразие представляет собой многообразие около каждой регулярной точки. Но важно отметить, что вещественное многообразие может быть многообразием и иметь особые точки. Например, уравнение 
Поскольку понятие особых точек является чисто локальной опорой На самом деле, приведенное выше определение может быть расширено для охвата более широкого класса гладких отображений (функций от M до R, где существуют все производные). Анализ этих особых точек можно свести к случаю алгебраического многообразия, рассматривая струи отображения. K-я струя - это ряд Тейлора отображения, усеченный в степени k и удаленный постоянный член.
В классической алгебраической геометрии, некоторые особые особые точки также назывались узлами . Узел - это особая точка, в которой матрица Гессе неособая; это означает, что особая точка имеет кратность два, а касательный конус не является особенным вне своей вершины.
