Jet (математика)

В математике jet - это операция, которая требует дифференцируемой функции f и производит полином , усеченный полином Тейлора функции f, в каждой точке его области определения. Хотя это определение струи, теория струй рассматривает эти полиномы как абстрактные полиномы, а не как полиномиальные функции.

В этой статье сначала исследуется понятие струи вещественнозначной функции от одной действительной переменной, а затем обсуждаются обобщения на несколько реальных переменных. Затем он дает строгое построение струй и струйных пространств между евклидовыми пространствами. Он завершается описанием струй между коллекторами и тем, как эти струи могут быть сконструированы по существу. В этом более общем контексте он суммирует некоторые приложения струй к дифференциальной геометрии и теории дифференциальных уравнений.

• 1 Джеты функций между евклидовыми пространствами
  • 1.1 Одномерный случай
  • 1.2 Отображение одного евклидова пространства в другое
  • 1.3 Алгебраические свойства струй
• 2 Джеты в точке евклидова пространства: строгие определения
  • 2.1 Аналитическое определение
  • 2.2 Алгебро-геометрические определение
  • 2.3 Теорема Тейлора
  • 2.4 Пространства струй от точки к точке
• 3 Струи функций между двумя многообразиями
  • 3.1 Струи функций от вещественной прямой к многообразию
  • 3.2 Струи функций от многообразия к многообразию
  • 3.3 Multijets
• 4 Jets секций
  • 4.1 Дифференциальные операторы между векторными расслоениями
• 5 См. также
• 6 Ссылки

Прежде чем дать строгое определение струи, полезно рассмотреть некоторые частные случаи.

Одномерный случай

Предположим, что $f:\; R\; \to \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; f:\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\}\; \backslash \; rightarrow\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\}\}$- функция с действительным знаком, имеющая не менее k + 1 производных в окрестности U точки $x\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{0\}\}$. Тогда по теореме Тейлора

$f\; (x)\; =\; f\; (x\; 0)\; +\; f\; \prime \; (x\; 0)\; (x\; -\; x\; 0)\; +\; \cdots \; +\; f\; (k)\; (x\; 0)\; k!\; (Икс\; -\; Икс\; 0)\; К\; +\; R\; К\; +\; 1\; (Икс)\; (К\; +\; 1)!\; (Икс\; -\; Икс\; 0)\; К\; +\; 1\; \{\backslash \; Displaystyle\; F\; (X)\; =\; F\; (X\_\; \{0\})\; +\; F\; \text{'}(X\_\; \{0\})\; (X-X\_\; \{0\})\; +\; \backslash \; cdots\; +\; \{\backslash \; frac\; \{f\; ^\; \{(k)\}\; (x\_\; \{0\})\}\; \{k!\}\}\; (x-x\_\; \{0\})\; ^\; \{k\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{R\_\; \{k\; +\; 1\}\; (x)\}\; \{(k\; +\; 1)!\}\}\; (x-x\_\; \{0\})\; ^\; \{k\; +\; 1\}\}$

где

$|\; R\; k\; +\; 1\; (x)\; |\; \le \; sup\; x\; \in \; U\; |\; f\; (k\; +\; 1)\; (x)\; |.\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; R\_\; \{k\; +\; 1\}\; (x)\; |\; \backslash \; leq\; \backslash \; sup\; \_\; \{x\; \backslash \; in\; U\}\; |\; f\; ^\; \{(k\; +\; 1)\}\; (x)\; |.\}$

Тогда k -jet f в точке $x\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{0\}\}$определяется как многочлен

$(J\; x\; 0\; kf)\; (z)\; =\; \sum \; i\; Знак\; равно\; 0\; kf\; (я)\; (х\; 0)\; я!\; Z\; я\; знак\; равно\; F\; (Икс\; 0)\; +\; F\; \prime \; (Икс\; 0)\; Z\; +\; \cdots \; +\; F\; (К)\; (Икс\; 0)\; К!\; z\; k.\; \{\backslash \; Displaystyle\; (J\_\; \{x\_\; \{0\}\}\; ^\; \{k\}\; f)\; (z)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 0\}\; ^\; \{k\}\; \{\backslash \; frac\; \{f\; ^\; \{(i)\}\; (x\_\; \{0\})\; \}\; \{i!\}\}\; z\; ^\; \{i\}\; =\; f\; (x\_\; \{0\})\; +\; f\; \text{'}(x\_\; \{0\})\; z\; +\; \backslash \; cdots\; +\; \{\backslash \; frac\; \{f\; ^\; \{(k)\}\; (x\_\; \{0\})\}\; \{k!\}\}\; z\; ^\; \{k\}.\}$

Струи обычно рассматриваются как абстрактные полиномы в переменной z, а не как фактические полиномиальные функции в этой переменной. Другими словами, z - это неопределенная переменная , позволяющая выполнять различные алгебраические операции среди струй. Фактически, это базовая точка $x\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; x\_\; \{0\}\}$, от которой форсунки получают свою функциональную зависимость. Таким образом, изменяя базовую точку, струя дает полином порядка не более k в каждой точке. Это знаменует важное концептуальное различие между струями и усеченным рядом Тейлора: обычно считается, что ряд Тейлора функционально зависит от своей переменной, а не от базовой точки. Джеты, с другой стороны, отделяют алгебраические свойства рядов Тейлора от их функциональных свойств. Мы рассмотрим причины и применения этого разделения позже в статье.

Отображения одного евклидова пространства в другое

Предположим, что $f:\; R\; n\; \to \; R\; m\; \{\backslash \; displaystyle\; f:\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; rightarrow\; \{\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}\; ^\; \{m\}\}$- функция из одного евклидова пространства в другое, имеющая не менее (k + 1) производных. В этом случае теорема Тейлора утверждает, что

$f\; (x)\; =\; f\; (x\; 0)\; +\; (D\; f\; (x\; 0))\; \cdot \; (x\; -\; x\; 0)\; +\; 1\; 2\; (D\; 2\; f\; (Икс\; 0))\; \cdot \; (Икс\; -\; Икс\; 0)\; \otimes \; 2\; +\; \cdots \; \cdots \; +\; D\; КФ\; (Х\; 0)\; К!\; \cdot \; (Икс\; -\; Икс\; 0)\; \otimes \; К\; +\; R\; К\; +\; 1\; (Икс)\; (К\; +\; 1)!\; \cdot \; (х\; -\; х\; 0)\; \otimes \; (к\; +\; 1).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; f\; (x)\; =\; f\; (x\_\; \{0\})\; +\; (Df\; (x\_\; \{0\}))\; \backslash \; cdot\; (x-x\_\; \{0\})\; +\; \{\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\; \}\; \{2\}\}\; (D\; ^\; \{2\}\; f\; (x\_\; \{0\}))\; \backslash \; cdot\; (x-x\_\; \{0\})\; ^\; \{\backslash \; otimes\; 2\}\; +\; \backslash \; cdots\; \backslash \backslash \; [4pt]\; \backslash \; cdots\; +\; \{\backslash \; frac\; \{D\; ^\; \{k\}\; f\; (x\_\; \{0\})\}\; \{k!\}\}\; \backslash \; Cdot\; (x-x\_\; \{0\})\; ^\; \{\backslash \; otimes\; k\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{R\_\; \{k\; +\; 1\}\; (x)\}\; \{(k\; +\; 1)!\}\}\; \backslash \; cdot\; (x-x\_\; \{0\})\; ^\; \{\backslash \; otimes\; (k\; +\; 1)\}.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Затем k-струя f определяется как - многочлен

$(J\; x\; 0\; kf)\; (z)\; =\; f\; (x\; 0)\; +\; (D\; f\; (x\; 0))\; \cdot \; z\; +\; 1\; 2\; (D\; 2\; f\; (x\; 0))\; \cdot \; z\; \otimes \; 2\; +\; \cdots \; +\; D\; kf\; (x\; 0)\; k!\; \cdot \; Z\; \otimes \; К\; \{\backslash \; Displaystyle\; (J\_\; \{x\_\; \{0\}\}\; ^\; \{k\}\; f)\; (z)\; =\; f\; (x\_\; \{0\})\; +\; (Df\; (x\_\; \{0\}))\; \backslash \; cdot\; z\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\; \}\; \{2\}\}\; (D\; ^\; \{2\}\; f\; (x\_\; \{0\}))\; \backslash \; cdot\; z\; ^\; \{\backslash \; otimes\; 2\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; \{\backslash \; frac\; \{D\; ^\; \{k\}\; f\; (x\_\; \{0\})\}\; \{\; k!\}\}\; \backslash \; cdot\; z\; ^\; \{\backslash \; otimes\; k\}\}$

в $R\; [z]\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\}\; [z]\}$, где $z\; =\; (z\; 1,\dots ,\; zn)\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; =\; (z\_\; \{1\},\; \backslash \; ldots,\; z\_\; \{n\})\}$.

Алгебраические свойства струй

Есть две основные алгебраические структуры струй могу нести. Первый - это структура продукта, хотя в конечном итоге оказывается наименее важным. Вторая - это структура состава жиклеров.

Если $f,\; g:\; R\; n\; \to \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; f,\; g:\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; rightarrow\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\}\}$являются парой функций с действительными значениями, то мы можем определить произведение их струй с помощью

$J\; x\; 0\; kf\; \cdot \; J\; x\; 0\; kg\; =\; J\; x\; 0\; k\; (f\; \cdot \; g).\; \{\backslash \; displaystyle\; J\_\; \{x\_\; \{0\}\}\; ^\; \{k\}\; f\; \backslash \; cdot\; J\_\; \{x\_\; \{0\}\}\; ^\; \{k\}\; g\; =\; J\_\; \{x\_\; \{0\}\}\; ^\; \{k\}\; (f\; \backslash \; cdot\; g).\}$

Здесь мы исключили неопределенное z, так как подразумевается, что струи являются формальными многочленами. Этот продукт является просто произведением обычных многочленов от z, modulo $z\; k\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; z\; ^\; \{k\; +\; 1\}\}$. Другими словами, это умножение в кольце $R\; [z]\; /\; (zk\; +\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\}\; [z]\; /\; (z\; ^\; \{k\; +\; 1\})\}$, где $(zk\; +\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; (z\; ^\; \{k\; +\; 1\})\}$- идеал , порожденный однородными многочленами порядка ≥ k + 1.

Теперь перейдем к составу струй. Чтобы избежать ненужных технических деталей, мы рассматриваем наборы функций, которые отображают начало координат в начало координат. Если $f:\; R\; m\; \to \; R\; \ell \; \{\backslash \; displaystyle\; f:\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\}\; ^\; \{m\}\; \backslash \; rightarrow\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\}\; ^\; \{\backslash \; ell\}\}$и $g:\; R\; n\; \to \; R\; m\; \{\backslash \; displaystyle\; g:\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; rightarrow\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\}\; ^\; \{m\}\}$с f (0) = 0 и g (0) = 0, тогда $f\; \circ \; g:\; R\; n\; \to \; R\; \ell \; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; circ\; g:\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; rightarrow\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\; \}\; ^\; \{\backslash \; ell\}\}$. Состав струй определяется как $J\; 0\; k\; f\; \circ \; J\; 0\; k\; g\; =\; J\; 0\; k\; (f\; \circ \; g).\; \{\backslash \; displaystyle\; J\_\; \{0\}\; ^\; \{k\}\; f\; \backslash \; circ\; J\_\; \{0\}\; ^\; \{k\}\; g\; =\; J\_\; \{0\}\; ^\; \{k\}\; (f\; \backslash \; circ\; g).\}$Легко проверить, используя цепное правило , что это представляет собой ассоциативную некоммутативную операцию на пространстве джетов в начале координат.

На самом деле композиция k-струй есть не что иное, как композиция многочленов по модулю идеала многочленов, однородных порядка $>k\; \{\backslash \; displaystyle>k\}$.

Примеры:

• Пусть в одном измерении $f\; (x)\; =\; log\; \; (1\; -\; x)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; \backslash \; log\; (1-x)\}$и $g\; (\; x)\; =\; sin\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; (x)\; =\; \backslash \; sin\; \backslash ,\; x\}$. Тогда

$(J\; 0\; 3\; f)\; (x)\; =\; -\; x\; -\; x\; 2\; 2\; -\; x\; 3\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; (J\_\; \{0\}\; ^\; \{3\}\; f)\; (x)\; =\; -\; x\; -\; \{\backslash \; frac\; \{x\; ^\; \{2\}\}\; \{2\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{x\; ^\; \{3\}\}\; \{3\}\}\; \}$

$(J\; 0\; 3\; g)\; (x)\; =\; x\; -\; x\; 3\; 6\; \{\backslash \; displaystyle\; (J\_\; \{0\}\; ^\; \{3\}\; g)\; (x)\; =\; x\; -\; \{\backslash \; frac\; \{x\; ^\; \{3\}\}\; \{\; 6\}\}\}$

и

$(J\; 0\; 3\; f)\; \circ \; (J\; 0\; 3\; g)\; =\; -\; (x\; -\; x\; 3\; 6)\; -\; 1\; 2\; (x\; -\; x\; 3\; 6)\; 2\; -\; 1\; 3\; (x\; -\; x\; 3\; 6)\; 3\; (mod\; x\; 4)\; =\; -\; x\; -\; x\; 2\; 2\; -\; x\; 3\; 6\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; (J\_\; \{0\}\; ^\; \{3\}\; f)\; \backslash \; circ\; (J\_\; \{0\}\; ^\; \{3\}\; g)\; =\; -\; \backslash \; left\; (x\; -\; \{\backslash \; frac\; \{x\; ^\; \{3\}\}\; \{6\}\}\; \backslash \; right)\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \backslash \; left\; (x\; -\; \{\backslash \; frac\; \{x\; ^\; \{3\}\}\; \{6\; \}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{2\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{3\}\}\; \backslash \; left\; (x\; -\; \{\backslash \; frac\; \{x\; ^\; \{3\}\}\; \{6\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{3\}\; \{\backslash \; pmod\; \{\; x\; ^\; \{4\}\}\}\; \backslash \backslash \; [4pt]\; =\; \{\}\; -\; x\; -\; \{\backslash \; frac\; \{x\; ^\; \{2\}\}\; \{2\}\}\; -\; \{\backslash \; frac\; \{x\; ^\; \{3\}\}\; \{6\}\}\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Аналитическое определение

В следующем определении используются идеи из математического анализа для определения струй и реактивные пространства. Его можно обобщить на гладкие функции между банаховыми пространствами, аналитические функции между действительными или комплексными областями, на p-адические анализ и в другие области анализа.

Пусть $C\; \infty \; (R\; n,\; R\; m)\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; (\{\backslash \; mathbb\; \{R\}\}\; ^\; \{n\},\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\}\; ^\; \{\; m\})\}$быть векторным пространством из гладких функций $f:\; R\; n\; \to \; R\; m\; \{\backslash \; displaystyle\; f:\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\; \}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; rightarrow\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\}\; ^\; \{m\}\}$. Пусть k - неотрицательное целое число, а p - точка $R\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\}\; ^\; \{n\}\}$. Мы определяем отношение эквивалентности $E\; pk\; \{\backslash \; displaystyle\; E\_\; \{p\}\; ^\; \{k\}\}$в этом пространстве, объявляя, что две функции f и g эквивалентны порядку k если f и g имеют одинаковое значение в p, и все их частные производные согласуются в p до (включительно) их производных k-го порядка. Короче говоря, $f\; \sim \; g\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; sim\; g\; \backslash ,\; \backslash !\}$iff $f\; -\; g\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; fg\; =\; 0\}$to k-й порядок.

реактивное пространство k-го порядка из $C\; \infty \; (R\; n,\; R\; m)\; \{\backslash \; displaystyle\; C\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; (\{\backslash \; mathbb\; \{R\}\}\; ^\; \{n\},\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\}\; ^\; \{m\})\}$в p определяется как набор классов эквивалентности $E\; pk\; \{\backslash \; displaystyle\; E\_\; \{p\}\; ^\; \{\; k\}\}$, и обозначается $J\; pk\; (R\; n,\; R\; m)\; \{\backslash \; displaystyle\; J\_\; \{p\}\; ^\; \{k\}\; (\{\backslash \; mathbb\; \{R\}\}\; ^\; \{n\},\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\}\; ^\; \{m\})\}$.

струя k-го порядка в точке p гладкой функции $f\; \in \; C\; \infty \; (R\; n,\; R\; m)\; \{\; \backslash \; displaystyle\; f\; \backslash \; in\; C\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; (\{\backslash \; mathbb\; \{R\}\}\; ^\; \{n\},\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\}\; ^\; \{m\})\}$определяется как класс эквивалентности из f в $J\; pk\; (R\; n,\; R\; m)\; \{\backslash \; displaystyle\; J\_\; \{p\}\; ^\; \{k\}\; (\{\backslash \; mathbb\; \{R\}\}\; ^\; \{n\},\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\}\; ^\; \{m\})\}$.

Алгебро-геометрическое определение

В следующем определении используются идеи из алгебраической геометрии и коммутативной алгебры для установления понятий струи и пространства струй. Хотя это определение не особенно подходит для использования в алгебраической геометрии как таковой, поскольку оно относится к категории гладких, его можно легко адаптировать для таких целей.

Пусть $C\; p\; \infty \; (R\; n,\; R\; m)\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{p\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; (\{\backslash \; mathbb\; \{R\}\}\; ^\; \{n\},\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\; \}\}\; ^\; \{m\})\}$быть векторным пространством из ростков гладких функций $f:\; R\; n\; \to \; R\; m\; \{\backslash \; displaystyle\; f:\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; rightarrow\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\}\; ^\; \{m\}\}$в точке p в $R\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\}\; ^\; \{n\}\}$. Пусть $m\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{m\}\}\; \_\; \{p\}\}$- идеал, состоящий из ростков функций, обращающихся в нуль в p. (Это максимальный идеал для локального кольца $C\; p\; \infty \; (R\; n,\; R\; m)\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{p\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; (\{\backslash \; mathbb\; \{R\}\}\; ^\; \{n\},\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\}\; ^\; \{m\})\}$.) Тогда идеальный $mpk\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{m\}\}\; \_\; \{p\}\; ^\; \{k\; +\; 1\}\}$состоит из всех ростков функций, которые обращаются в нуль до порядка k в точке p. Теперь мы можем определить реактивное пространство в точке p как

$J\; pk\; (R\; n,\; R\; m)\; =\; C\; p\; \infty \; (R\; n,\; R\; m)\; /\; mpk\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; J\_\; \{p\}\; ^\; \{k\}\; (\{\backslash \; mathbb\; \{R\}\}\; ^\; \{n\},\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\}\; ^\; \{m\})\; =\; C\_\; \{p\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; (\{\backslash \; mathbb\; \{R\}\}\; ^\; \{n\; \},\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\}\; ^\; \{m\})\; /\; \{\backslash \; mathfrak\; \{m\}\}\; \_\; \{p\}\; ^\; \{k\; +\; 1\}\}$

Если $f:\; R\; n\; \to \; R\; m\; \{\backslash \; displaystyle\; f:\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; rightarrow\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\}\; ^\; \{m\}\}$- гладкая функция, мы можем определить k-струю f в точке p как элемент $J\; pk\; (R\; n,\; R\; m)\; \{\backslash \; displaystyle\; J\_\; \{p\}\; ^\; \{k\}\; (\{\backslash \; mathbb\; \{R\}\}\; ^\; \{n\},\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\}\; ^\; \{m\})\}$установкой

$J\; pkf\; =\; f\; (mod\; mpk\; +\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; J\_\; \{p\}\; ^\; \{k\}\; f\; =\; f\; \{\backslash \; pmod\; \{\{\backslash \; mathfrak\; \{m\}\}\; \_\; \{\; p\}\; ^\; \{k\; +\; 1\}\}\}\}$

Это более общая конструкция. Для $F\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{F\}\}$-space $M\; \{\backslash \; displaystyle\; M\}$, пусть $F\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; \_\; \{p\}\}$быть стержнем структурного пучка в $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; \}$и пусть $mp\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{m\}\}\; \_\; \{p\}\}$будет максимальным идеалом локального кольцо $F\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; \_\; \{p\}\}$. Пространство k-й струи в $p\; \{\backslash \; displaystyle\; p\}$определяется как кольцо $J\; pk\; (M)\; =\; F\; p\; /\; mpk\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; J\_\; \{p\}\; ^\; \{\; к\}\; (М)\; =\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; \_\; \{p\}\; /\; \{\backslash \; mathfrak\; \{m\}\}\; \_\; \{p\}\; ^\; \{k\; +\; 1\}\}$($mpk\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathfrak\; \{m\; \}\}\; \_\; \{p\}\; ^\; \{k\; +\; 1\}\}$- произведение идеалов ).

Теорема Тейлора

Независимо от определения, теорема Тейлора устанавливает канонический изоморфизм векторных пространств между $J\; pk\; (R\; n,\; R\; m)\; \{\backslash \; displaystyle\; J\_\; \{p\}\; ^\; \{\; k\}\; (\{\backslash \; mathbb\; \{R\}\}\; ^\; \{n\},\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\}\; ^\; \{m\})\}$и $R\; m\; [z\; 1,\dots ,\; zn]\; /\; (\; z\; 1,\dots ,\; zn)\; k\; +\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\}\; ^\; \{m\}\; [z\_\; \{1\},\; \backslash \; dotsc,\; z\_\; \{n\}]\; /\; (z\_\; \{1\},\; \backslash \; dotsc,\; z\_\; \{\; n\})\; ^\; \{k\; +\; 1\}\}$. Таким образом, в евклидовом контексте струи обычно отождествляются со своими полиномиальными представителями в рамках этого изоморфизма.

Струя проходит от точки к точке

Мы определили пространство $J\; pk\; (R\; n,\; R\; m)\; \{\backslash \; displaystyle\; J\_\; \{p\}\; ^\; \{k\}\; (\{\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}\; ^\; \{n\},\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\}\; ^\; \{m\})\}$струй в точке $p\; \in \; R\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; p\; \backslash \; in\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\}\; ^\; \{n\}\}$. Подпространство этого, состоящее из струй функций f таких, что f (p) = q, обозначается

$J\; pk\; (R\; n,\; R\; m)\; q\; =\; \{J\; kf\; \in \; J\; pk\; (R\; n,\; R\; m)\; \mid \; f\; (п)\; =\; q\}\; \{\backslash \; displaystyle\; J\_\; \{p\}\; ^\; \{k\}\; (\{\backslash \; mathbb\; \{R\}\}\; ^\; \{n\},\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\}\; ^\; \{m\})\; \_\; \{q\}\; =\; \backslash \; left\; \backslash \; \{J\; ^\; \{k\}\; f\; \backslash \; in\; J\_\; \{p\}\; ^\; \{k\}\; (\{\backslash \; mathbb\; \{R\}\}\; ^\; \{n\},\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\}\; ^\; \{m\})\; \backslash \; mid\; f\; (p)\; =\; q\; \backslash \; right\; \backslash \}\}$

Если M и N - два гладких многообразия, как определить струю функции $f:\; M\; \to \; N\; \{\backslash \; displaystyle\; f:\; M\; \backslash \; rightarrow\; N\}$? Возможно, мы могли бы попытаться определить такую ​​струю, используя локальные координаты на M и N. Недостатком этого является то, что струи, таким образом, не могут быть определены инвариантным образом. Струи не преобразуются как тензоры . Вместо этого струи функций между двумя многообразиями принадлежат расслоению струй.

Струи функций от вещественной прямой к многообразию

Предположим, что M - гладкое многообразие, содержащее точку p. Мы определим струи из кривых через p, под которыми мы в дальнейшем будем понимать гладкие функции $f:\; R\; \to \; M\; \{\backslash \; displaystyle\; f:\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\}\; \backslash \; rightarrow\; M\}$такой, что f (0) = p. Определите отношение эквивалентности $E\; p\; k\; \{\backslash \; displaystyle\; E\_\; \{p\}\; ^\; \{k\}\}$следующим образом. Пусть f и g - пара кривых, проходящих через p. Затем мы скажем, что f и g эквивалентны порядку k в точке p, если существует некоторая окрестность U точки p, такая, что для каждой гладкой функции $\phi :\; U\; \to \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; :\; U\; \backslash \; rightarrow\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\}\}$, $J\; 0\; К\; (\phi \; \circ \; f)\; =\; J\; 0\; К\; (\phi \; \circ \; g)\; \{\backslash \; displaystyle\; J\_\; \{0\}\; ^\; \{k\}\; (\backslash \; varphi\; \backslash \; circ\; f)\; =\; J\_\; \{0\}\; ^\; \{k\}\; (\backslash \; varphi\; \backslash \; circ\; g)\}$. Обратите внимание, что эти струи четко определены, поскольку составные функции $\phi \; \circ \; f\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; \backslash \; circ\; f\}$и $\phi \; \circ \; g\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; \backslash \; circ\; g\}$- это просто отображение реальной линии на себя. Это отношение эквивалентности иногда называют отношением контакта k-го порядка между кривыми в точке p.

Теперь мы определяем k-jet кривой с f по p как класс эквивалентности f при $E\; pk\; \{\backslash \; displaystyle\; E\_\; \{p\}\; ^\; \{k\}\}$, обозначается $J\; kf\; \{\backslash \; displaystyle\; J\; ^\; \{k\}\; \backslash !\; F\; \backslash ,\}$или $J\; 0\; kf\; \{\backslash \; displaystyle\; J\_\; \{0\}\; ^\; \{k\; \}\; f\}$. реактивное пространство k-го порядка $J\; 0\; k\; (R,\; M)\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; J\_\; \{0\}\; ^\; \{k\}\; (\{\backslash \; mathbb\; \{R\}\},\; M)\; \_\; \{\; p\}\}$- тогда набор k-струй в p.

Поскольку p изменяется в зависимости от M, $J\; 0\; k\; (R,\; M)\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; J\_\; \{0\}\; ^\; \{k\}\; (\{\backslash \; mathbb\; \{R\}\},\; M)\; \_\; \{p\}\; \}$образует пучок волокон над M: касательный пучок k-го порядка, часто обозначаемый в литературе как TM (хотя это обозначение иногда может приводить к спутанность сознания). В случае k = 1 касательное расслоение первого порядка является обычным касательным расслоением: TM = TM.

Чтобы доказать, что TM на самом деле является пучком волокон, полезно изучить свойства $J\; 0\; k\; (R,\; M)\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; J\_\; \{0\}\; ^\; \{k\}\; (\{\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\},\; M)\; \_\; \{p\}\}$в местных координатах. Пусть (x) = (x,..., x) - локальная система координат для M в окрестности U точки p. Немного злоупотребляя обозначением, мы можем рассматривать (x) как локальный диффеоморфизм $(xi):\; M\; \to \; R\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; (x\; ^\; \{i\}):\; M\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{n\}\}$.

Заявление. Две кривые с f и g по p эквивалентны по модулю $E\; pk\; \{\backslash \; displaystyle\; E\_\; \{p\}\; ^\; \{k\}\}$тогда и только тогда, когда $J\; 0\; k\; ((xi)\; \circ \; f)\; Знак\; равно\; J\; 0\; К\; ((xi)\; \circ \; g)\; \{\backslash \; displaystyle\; J\_\; \{0\}\; ^\; \{k\}\; \backslash \; left\; ((x\; ^\; \{i\})\; \backslash \; circ\; f\; \backslash \; right)\; =\; J\_\; \{0\}\; ^\; \{k\}\; \backslash \; left\; (\; (x\; ^\; \{i\})\; \backslash \; circ\; g\; \backslash \; right)\}$.

В самом деле, единственное, если часть ясна, поскольку каждая из n функций x,..., x является гладкой функцией от M до $R\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\}\}$. Таким образом, по определению отношения эквивалентности $E\; pk\; \{\backslash \; displaystyle\; E\_\; \{p\}\; ^\; \{k\}\}$две эквивалентные кривые должны иметь $J\; 0\; k\; (xi\; \circ \; f)\; =\; J\; 0\; К\; (xi\; \circ \; g)\; \{\backslash \; displaystyle\; J\_\; \{0\}\; ^\; \{k\}\; (x\; ^\; \{i\}\; \backslash \; circ\; f)\; =\; J\_\; \{0\}\; ^\; \{k\}\; (x\; ^\; \{i\}\; \backslash \; circ\; g)\}$.

И наоборот, предположим, что $\phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\}$; - гладкая вещественнозначная функция на M в окрестности точки p. Поскольку каждая гладкая функция имеет выражение локальной координаты, мы можем выразить $\phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\}$; как функция от координат. В частности, если q точка из M около p, то

$\phi \; (q)\; =\; \psi \; (x\; 1\; (q),\dots ,\; xn\; (q))\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; (q)\; =\; \backslash \; psi\; (x\; ^\; \{1\}\; (q),\; \backslash \; dots,\; x\; ^\; \{n\}\; (q))\}$

для некоторой гладкой вещественнозначной функции ψ от n вещественных переменных. Следовательно, для двух кривых с f и g по p имеем

$\phi \; \circ \; f\; =\; \psi \; (x\; 1\; \circ \; f,\dots ,\; xn\; \circ \; f)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; \backslash \; circ\; f\; =\; \backslash \; psi\; (x\; ^\; \{1\}\; \backslash \; circ\; f,\; \backslash \; точки,\; x\; ^\; \{n\}\; \backslash \; circ\; f)\}$

$\phi \; \circ \; g\; =\; \psi \; (x\; 1\; \circ \; g,\dots ,\; xn\; \circ \; g)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; \backslash \; circ\; g\; =\; \backslash \; psi\; (x\; ^\; \{1\}\; \backslash \; circ\; g,\; \backslash \; dots,\; x\; ^\; \{n\}\; \backslash \; circ\; g)\}$

Теперь цепное правило устанавливает часть утверждения if. Например, если f и g являются функциями действительной переменной t, то

$d\; d\; t\; (\phi \; \circ \; f)\; (t)\; |\; t\; =\; 0\; =\; \sum \; i\; =\; 1\; n\; d\; d\; t\; (x\; i\; \circ \; f)\; (t)\; |\; T\; знак\; равно\; 0\; (D\; я\; \psi )\; \circ \; е\; (0)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; left.\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dt\}\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; varphi\; \backslash \; circ\; f\; \backslash \; right)\; (t)\; \backslash \; right\; |\; \_\; \{t\; =\; 0\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\; =\; 1\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; left.\; \{\backslash \; Frac\; \{d\}\; \{dt\}\}\; (x\; ^\; \{i\}\; \backslash \; circ\; f)\; (t)\; \backslash \; right\; |\; \_\; \{t\; =\; 0\}\; \backslash \; (D\_\; \{i\}\; \backslash \; psi)\; \backslash \; circ\; f\; (0)\}$

, который равен тому же выражению при оценке по g вместо f, учитывая, что f (0) = g (0) = p и f и g находятся в контакте k-го порядка в системе координат (x).

Следовательно, кажущееся расслоение TM допускает локальную тривиализацию в каждой координатной окрестности. На этом этапе, чтобы доказать, что это кажущееся расслоение является действительно расслоением, достаточно установить, что оно имеет неособые функции перехода при замене координат. Пусть $(yi):\; M\; \to \; R\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; (y\; ^\; \{i\}):\; M\; \backslash \; rightarrow\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\}\; ^\; \{n\}\}$- другая система координат и пусть $\rho \; =\; (xi)\; \circ \; (yi)\; -\; 1:\; R\; n\; \to \; R\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; =\; (x\; ^\; \{i\})\; \backslash \; circ\; (y\; ^\; \{i\})\; ^\; \{-\; 1\}:\; \{\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\}\; ^\; \{n\}\; \backslash \; rightarrow\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\}\; ^\; \{n\}\}$- связанное с ним изменение координат диффеоморфизма евклидова пространства на себя. С помощью аффинного преобразования из $R\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\}\; ^\; \{n\}\}$мы можем принять без потери общности что ρ (0) = 0. При таком предположении достаточно доказать, что $J\; 0\; k\; \rho :\; J\; 0\; k\; (R\; n,\; R\; n)\; \to \; J\; 0\; k\; (R\; n,\; R\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; J\_\; \{0\}\; ^\; \{k\}\; \backslash \; rho:\; J\_\; \{0\}\; ^\; \{k\}\; (\{\backslash \; mathbb\; \{R\}\}\; ^\; \{n\},\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\}\; ^\; \{n\})\; \backslash \; rightarrow\; J\_\; \{0\}\; ^\; \{k\}\; (\{\backslash \; mathbb\; \{\; R\}\}\; ^\; \{n\},\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\}\; ^\; \{n\})\}$- обратимое преобразование относительно состава струи. (См. Также группы струй.) Но поскольку ρ - диффеоморфизм, $\rho \; -\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; rho\; ^\; \{-\; 1\}\}$также является гладким отображением. Следовательно,

$I\; =\; J\; 0\; К\; I\; =\; J\; 0\; K\; (\rho \; \circ \; \rho \; -\; 1)\; =\; J\; 0\; K\; (\rho )\; \circ \; J\; 0\; k\; (\rho \; -\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; I\; =\; J\_\; \{0\}\; ^\; \{k\; \}\; I\; =\; J\_\; \{0\}\; ^\; \{k\}\; (\backslash \; rho\; \backslash \; circ\; \backslash \; rho\; ^\; \{-\; 1\})\; =\; J\_\; \{0\}\; ^\; \{k\}\; (\backslash \; rho)\; \backslash \; circ\; J\_\; \{0\}\; ^\; \{k\}\; (\backslash \; rho\; ^\; \{-\; 1\})\}$

что доказывает, что $J\; 0\; k\; \rho \; \{\backslash \; displaystyle\; J\_\; \{0\}\; ^\; \{k\}\; \backslash \; rho\}$неособое число. Более того, он гладкий, хотя мы здесь не доказываем этот факт.

Интуитивно это означает, что мы можем выразить струю кривой через точку p в терминах ее ряда Тейлора в локальных координатах на M.

Примеры в локальных координатах:

• Как указывалось ранее, 1-струя кривой, проходящей через точку p, является касательным вектором. Касательный вектор в точке p - это дифференциальный оператор первого порядка, действующий на гладкие вещественнозначные функции в точке p. В локальных координатах каждый касательный вектор имеет вид

$v\; =\; \sum \; ivi\; \partial \; \partial \; xi\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; v\; ^\; \{i\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\}\; \{\backslash \; partial\; x\; ^\; \{i\; \}\}\}\}$

Для такого касательного вектора v, пусть f будет кривой, заданной в системе координат x формулой $xi\; \circ \; f\; (t)\; =\; tvi\; \{\backslash \; displaystyle\; x\; ^\; \{i\}\; \backslash \; circ\; f\; (t)\; =\; tv\; ^\; \{i\}\}$. Если φ - гладкая функция в окрестности p с φ (p) = 0, то

$\phi \; \circ \; f:\; R\; \to \; R\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\; \backslash \; circ\; f:\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\}\; \backslash \; rightarrow\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\}\}$

- гладкая вещественнозначная функция одной переменной, 1-струя которой задается как

$J\; 0\; 1\; (\phi \; \circ \; f)\; (t)\; =\; \sum \; itvi\; \partial \; \varphi \; \partial \; xi\; (p).\; \{\backslash \; Displaystyle\; J\_\; \{0\}\; ^\; \{1\}\; (\backslash \; varphi\; \backslash \; circ\; f)\; (t)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{i\}\; tv\; ^\; \{i\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; phi\}\; \{\backslash \; partial\; x\; ^\; \{i\}\; \}\}\; (p).\}$

что доказывает, что можно естественным образом отождествить касательные векторы в точке с 1-струями кривых, проходящими через эту точку.

• Пространство 2-струй кривых, проходящих через точку.

В локальной системе координат x с центром в точке p, мы можем выразить многочлен Тейлора второго порядка кривой f (t) через p как

$J\; 0\; 2\; (xi\; (f))\; (t)\; =\; tdxi\; (\; е)\; dt\; (0)\; +\; t\; 2\; 2\; d\; 2\; xi\; (f)\; dt\; 2\; (0).\; \{\backslash \; displaystyle\; J\_\; \{0\}\; ^\; \{2\}\; (x\; ^\; \{i\}\; (f))\; (t)\; =\; t\; \{\backslash \; frac\; \{dx\; ^\; \{i\}\; (f)\}\; \{dt\}\}\; (0)\; +\; \{\backslash \; frac\; \{t\; ^\; \{2\}\}\; \{2\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{2\}\; x\; ^\; \{i\}\; (f)\}\; \{dt\; ^\; \{2\}\}\}\; (0).\}$

Итак, в координате x системе, 2-струя кривой, проходящей через p, отождествляется со списком действительных чисел $(x\; \dot{}\; i,\; x\; ¨\; i)\; \{\backslash \; displaystyle\; (\{\backslash \; dot\; \{x\}\}\; ^\; \{i\},\; \{\backslash \; ddot\; \{x\}\}\; ^\; \{i\})\}$. Как и в случае касательных векторов (1-струй кривых) в точке, 2-струи кривых подчиняются закону преобразования при применении функций перехода координат.

Пусть (y) - другая система координат. По цепному правилу

$ddtyi\; (f\; (t))\; =\; \sum \; j\; \partial \; yi\; \partial \; xj\; (f\; (t))\; d)\; dtxj\; (f\; (t))\; d\; 2\; dt\; 2\; yi\; (f\; (t))\; =\; \sum \; j,\; k\; \partial \; 2\; yi\; \partial \; xj\; \partial \; xk\; (f\; (t))\; ddtxj\; (f\; (t))\; ddtxk\; (f\; (t))\; +\; \sum \; j\; \partial \; yi\; \partial \; xj\; (f\; (t))\; d\; 2\; dt\; 2\; xj\; (f\; (т))\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dt\}\}\; y\; ^\; \{i\}\; (f\; (t))\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; y\; ^\; \{i\}\}\; \{\backslash \; partial\; x\; ^\; \{j\}\}\}\; (f\; (t))\; \{\backslash \; frac\; \{d)\}\; \{dt\}\}\; x\; ^\; \{j\}\; (f\; (t))\; \backslash \backslash \; [5pt]\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{2\}\}\; \{dt\; ^\; \{2\}\}\}\; y\; ^\; \{i\}\; (f\; (t))\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{j,\; k\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; y\; ^\; \{i\; \}\}\; \{\backslash \; partial\; x\; ^\; \{j\}\; \backslash ,\; \backslash \; partial\; x\; ^\; \{k\}\}\}\; (f\; (t))\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dt\}\}\; x\; ^\; \{j\}\; (f\; (t))\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dt\}\}\; x\; ^\; \{k\}\; (f\; (t))\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; y\; ^\; \{i\}\}\; \{\backslash \; partial\; x\; ^\; \{j\}\}\}\; (f\; (t))\; \{\backslash \; frac\; \{d\; ^\; \{2\}\}\; \{dt\; ^\; \{2\}\}\}\; x\; ^\; \{j\}\; (f\; (t))\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Следовательно, приведен закон преобразования вычисляя эти два выражения при t = 0.

$y\; \dot{}\; i\; =\; \sum \; j\; \partial \; yi\; \partial \; xj\; (0)\; x\; \dot{}\; jy\; ¨\; i\; =\; \sum \; j,\; k\; \partial \; 2\; yi\; \partial \; xj\; \partial \; xk\; (0)\; x\; \dot{}\; jx\; \dot{}\; k\; +\; \sum \; j\; \partial \; yi\; \partial \; xj\; (0)\; x\; ¨\; j.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \{\backslash \; dot\; \{y\}\}\; ^\; \{i\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; y\; ^\; \{i\}\}\; \{\backslash \; partial\; x\; ^\; \{j\}\}\}\; (0)\; \{\backslash \; dot\; \{x\}\}\; ^\; \{j\}\; \backslash \backslash \; [5pt]\; \{\backslash \; ddot\; \{y\}\}\; ^\; \{i\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{j,\; k\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; y\; ^\; \{i\}\}\; \{\backslash \; partial\; x\; ^\; \{j\}\; \backslash ,\; \backslash \; partial\; x\; ^\; \{k\}\}\}\; (0)\; \{\backslash \; dot\; \{x\}\}\; ^\; \{j\}\; \{\backslash \; dot\; \{x\}\}\; ^\; \{k\}\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{j\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; y\; ^\; \{i\}\}\; \{\backslash \; partial\; x\; ^\; \{j\}\}\}\; (0)\; \{\backslash \; ddot\; \{x\}\}\; ^\; \{j\}.\; \backslash \; end\; \{align\}\}\; \}$

Обратите внимание, что закон преобразования для 2-струй имеет второй порядок в функциях перехода координат.

Струи функций от многообразия к многообразию

Теперь мы готовы определить струю функция от многообразия к многообразию.

Предположим, что M и N - два гладких многообразия. Пусть p точка M. Рассмотрим пространство $C\; p\; \infty \; (M,\; N)\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{p\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; (M,\; N)\}$, состоящее из гладких отображений $f:\; M\; \to \; N\; \{\backslash \; displaystyle\; f:\; M\; \backslash \; rightarrow\; N\}$определено в некоторой окрестности p. Мы определяем отношение эквивалентности $E\; pk\; \{\backslash \; displaystyle\; E\_\; \{p\}\; ^\; \{k\}\}$на $C\; p\; \infty \; (M,\; N)\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{p\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; (M,\; N)\}$следующим образом. Два отображения f и g называются эквивалентными, если для каждой кривой γ через p (напомним, что по нашим соглашениям это отображение $\gamma :\; R\; \to \; M\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma:\; \{\backslash \; mathbb\; \{R\}\}\; \backslash \; стрелка\; вправо\; M\}$такая, что $\gamma \; (0)\; =\; p\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; gamma\; (0)\; =\; p\}$), мы имеем $J\; 0\; k\; (f\; \circ \; \gamma )\; знак\; равно\; J\; 0\; К\; (г\; \circ \; \gamma )\; \{\backslash \; displaystyle\; J\_\; \{0\}\; ^\; \{k\}\; (f\; \backslash \; circ\; \backslash \; gamma)\; =\; J\_\; \{0\}\; ^\; \{k\}\; (g\; \backslash \; circ\; \backslash \; gamma)\}$в некоторой окрестности 0.

Пространство струи $J\; pk\; (M,\; N)\; \{\backslash \; displaystyle\; J\_\; \{p\}\; ^\; \{k\}\; (M,\; N)\}$затем определяется как набор классов эквивалентности $C\; p\; \infty \; (M,\; N)\; \{\backslash \; displaystyle\; C\_\; \{p\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; (M,\; N)\}$по модулю отношения эквивалентности $E\; pk\; \{\backslash \; displaystyle\; E\_\; \{p\}\; ^\; \{k\}\}$. Обратите внимание, что поскольку целевое пространство N не обязательно должно иметь алгебраическую структуру, $J\; pk\; (M,\; N)\; \{\backslash \; displaystyle\; J\_\; \{p\}\; ^\; \{k\}\; (M,\; N)\}$также не обязательно иметь такую ​​структуру. По сути, это резкое отличие от евклидовых пространств.

Если $f:\; M\; \to \; N\; \{\backslash \; displaystyle\; f:\; M\; \backslash \; rightarrow\; N\}$является гладкой функцией, определенной рядом с p, то мы определяем k-струю f в p, $J\; pkf\; \{\backslash \; displaystyle\; J\_\; \{p\}\; ^\; \{k\}\; f\}$, чтобы быть классом эквивалентности f по модулю $E\; pk\; \{\backslash \; displaystyle\; E\_\; \{p\}\; ^\; \{k\}\; \}$.

Multijets

Джон Мэзер ввел понятие multijet. Грубо говоря, мультиджет - это конечный список струй над различными базовыми точками. Мезер доказал многоструйную теорему трансверсальности, которую он использовал в своем исследовании.

Предположим, что E - конечномерное гладкое векторное расслоение над многообразием M с проекцией $\pi :\; E\; \to \; M\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi:\; E\; \backslash \; rightarrow\; M\}$. Тогда секции E являются гладкими функциями $s:\; M\; \to \; E\; \{\backslash \; displaystyle\; s:\; M\; \backslash \; rightarrow\; E\}$такие, что $\pi \; \circ \; s\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; pi\; \backslash \; circ\; s\}$- это тождественный автоморфизм группы M. Струя сечения s над окрестностью точки p - это просто струя этой гладкой функции из M в E в точке p.

Пространство струй секций в точке p обозначается $J\; pk\; (M,\; E)\; \{\backslash \; displaystyle\; J\_\; \{p\}\; ^\; \{k\}\; (M,\; E)\}$. Хотя это обозначение может привести к путанице с более общими пространствами струй функций между двумя многообразиями, контекст обычно устраняет любую такую ​​двусмысленность.

В отличие от струй функций из одного многообразия в другое многообразие, пространство струй секций в точке p несет в себе структуру векторного пространства, унаследованную от структуры векторного пространства на самих секциях. Поскольку p изменяется на M, пространства струй $J\; pk\; (M,\; E)\; \{\backslash \; displaystyle\; J\_\; \{p\}\; ^\; \{k\}\; (M,\; E)\}$образуют векторное расслоение над M, Пучок струй k-го порядка E, обозначенный J (E).

• Пример: связка струй первого порядка касательного пучка.

Мы работаем в локальных координатах в точке и используем нотацию Эйнштейна. Рассмотрим векторное поле

$v\; =\; vi\; (x)\; \partial \; /\; \partial \; xi\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; =\; v\; ^\; \{i\}\; (x)\; \backslash \; partial\; /\; \backslash \; partial\; x\; ^\; \{i\}\}$

в окрестности p в M. 1-струя v получается взятием полинома Тейлора первого порядка от коэффициентов векторного поля:

$J\; 0\; 1\; vi\; (x)\; =\; vi\; (0)\; +\; xj\; \partial \; vi\; \partial \; xj\; (0)\; =\; vi\; +\; vjixj.\; \{\backslash \; Displaystyle\; J\_\; \{0\}\; ^\; \{1\}\; v\; ^\; \{i\}\; (x)\; =\; v\; ^\; \{i\}\; (0)\; +\; x\; ^\; \{j\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; v\; ^\; \{i\}\}\; \{\backslash \; partial\; x\; ^\; \{j\}\}\}\; (0)\; =\; v\; ^\; \{i\}\; +\; v\_\; \{j\}\; ^\; \{i\}\; x\; ^\; \{j\}.\}$

В координатах x 1-струя в точке может быть идентифицирована с список действительных чисел $(vi,\; vji)\; \{\backslash \; displaystyle\; (v\; ^\; \{i\},\; v\_\; \{j\}\; ^\; \{i\})\}$. Точно так же, как касательный вектор в точке может быть идентифицирован со списком (v), при условии соблюдения определенного закона преобразования при координатных переходах, мы должны знать, как список $(vi,\; vji)\; \{\backslash \; displaystyle\; (\; v\; ^\; \{i\},\; v\_\; \{j\}\; ^\; \{i\})\}$зависит от перехода.

Итак, рассмотрим закон преобразования при переходе к другой системе координат y. Пусть w - коэффициенты векторного поля v в координатах y. Тогда в координатах y 1-струя v представляет собой новый список действительных чисел $(wi,\; wji)\; \{\backslash \; displaystyle\; (w\; ^\; \{i\},\; w\_\; \{j\}\; ^\; \{i\})\}$. Так как

$v\; =\; wk\; (y)\; \partial \; /\; \partial \; yk\; =\; vi\; (x)\; \partial \; /\; \partial \; xi,\; \{\backslash \; displaystyle\; v\; =\; w\; ^\; \{k\}\; (y)\; \backslash \; partial\; /\; \backslash \; partial\; y\; ^\; \{k\}\; =\; v\; ^\; \{i\}\; (x)\; \backslash \; partial\; /\; \backslash \; partial\; x\; ^\; \{i\},\}$

следует, что

$wk\; (y)\; =\; vi\; (x)\; \partial \; yk\; \partial \; xi\; (x).\; \{\backslash \; displaystyle\; w\; ^\; \{k\}\; (y)\; =\; v\; ^\; \{i\}\; (x)\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; y\; ^\; \{k\}\}\; \{\backslash \; partial\; x\; ^\; \{i\}\}\}\; (x).\}$

So

$wk\; (0)\; +\; yj\; \partial \; wk\; \partial \; yj\; (0)\; =\; (vi\; (0)\; +\; xj\; \partial \; vi\; \partial \; xj)\; \partial \; yk\; \partial \; xi\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; w\; ^\; \{k\}\; (0)\; +\; y\; ^\; \{j\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; w\; ^\; \{k\}\}\; \{\backslash \; partial\; y\; ^\; \{j\}\}\}\; (0)\; =\; \backslash \; left\; (v\; ^\; \{i\}\; (0)\; +\; x\; ^\; \{j\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; v\; ^\; \{i\}\}\; \{\backslash \; partial\; x\; ^\; \{j\}\}\}\; \backslash \; right)\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; y\; ^\; \{k\}\}\; \{\backslash \; partial\; x\; ^\; \{i\}\}\}\; (x)\}$

Расширение на Ряд Тейлора, у нас есть

$wk\; =\; \partial \; yk\; \partial \; xi\; (0)\; vi\; \{\backslash \; displaystyle\; w\; ^\; \{k\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; y\; ^\; \{k\}\}\; \{\backslash \; partial\; x\; ^\; \{i\}\}\}\; (\; 0)\; v\; ^\; \{i\}\}$

$wjk\; =\; vi\; \partial \; 2\; yk\; \partial \; xi\; \partial \; xj\; +\; vji\; \partial \; yk\; \partial \; xi.\; \{\backslash \; displaystyle\; w\_\; \{j\}\; ^\; \{k\}\; =\; v\; ^\; \{i\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; ^\; \{2\}\; y\; ^\; \{k\}\}\; \{\backslash \; partial\; x\; ^\; \{i\}\; \backslash ,\; \backslash \; partial\; x\; ^\; \{j\}\; \}\}\; +\; v\_\; \{j\}\; ^\; \{i\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; y\; ^\; \{k\}\}\; \{\backslash \; partial\; x\; ^\; \{i\}\}\}.\}$

Обратите внимание, что закон преобразования имеет второй порядок по координате функции перехода.

Дифференциальные операторы между векторными расслоениями

• Группа струй
• Связка струй
• Лагранжева система

• Красильщик И.С., Виноградов А.М., [и др.], Симметрии и законы сохранения для дифференциальных уравнений математической физики, Американское математическое общество, Провиденс, Род-Айленд, 1999, ISBN 0-8218-0958- X.
• Коларж, И., Михор, П., Словак, Дж., Естественные операции в дифференциальной геометрии. Springer-Verlag: Berlin Heidelberg, 1993. ISBN 3-540-56235-4, ISBN 0-387-56235-4.
• Сондерс, DJ, Геометрия струйных связок, Cambridge University Press, 1989, ISBN 0-521-36948-7
• Олвер, П.Дж., Эквивалентность, инварианты и симметрия, Ca mbridge University Press, 1995, ISBN 0-521-47811-1
• Сарданашвили Г., Продвинутая дифференциальная геометрия для теоретиков: пучки волокон, многообразия струй и лагранжиан теория, Lambert Academic Publishing, 2013, ISBN 978-3-659-37815-7 ; arXiv :0908.1886