Локальная плоскостность

редактировать

В топологии, ветвь математики, локальная плоскостность - это свойство подмногообразия в топологическом многообразии большей размерности. В категории топологических многообразий локально плоские подмногообразия играют роль, аналогичную роли вложенных подмногообразий в категории гладких многообразий. Локальная плоскостность и топология гребневых сетей важны при изучении смятых структур, что важно при обработке материалов и машиностроении.

Предположим, что размерное многообразие N встроено в n-мерное многообразие M (где d < n). If $x ∈ N, {\ displaystyle x \ in N,}$ $x \ in N,$ мы говорим, что N локально плоский в x, если существует окрестность $U ⊂ M {\ displaystyle U \ subset M}$ $U \ подмножество M$ из x, такая что топологическая пара $(U, U ∩ N) {\ displaystyle (U, U \ cap N)}$ $(U, U \ cap N)$ гомеоморфен паре $(R n, R d) {\ displaystyle (\ mathbb {R} ^ {n}, \ mathbb {R } ^ {d})}$ $(\ mathbb {R} ^ {n}, \ mathbb {R} ^ {d })$ , со стандартным включением $R d {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}}$ $\ mathbb {R} ^ {d}$ в качестве подпространства $R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ . То есть существует гомеоморфизм $U → R n {\ displaystyle U \ to \ mathbb {R} ^ {n }}$ ${\ displaystyle U \ to \ mathbb {R} ^ {n}}$ таким образом, чтобы изображение из $U ∩ N {\ displaystyle U \ cap N}$ $U \ cap N$ совпадало с $R d {\ displaystyle \ ма thbb {R} ^ {d}}$ $\ mathbb {R} ^ {d}$ .

В приведенном выше определении предполагается, что, если M имеет границу, x не является граничной точкой M. Если x - точка на границе M, то определение изменяется следующим образом. Мы говорим, что N является локально плоским в граничной точке x точки M, если существует окрестность $U ⊂ M {\ displaystyle U \ subset M}$ $U \ подмножество M$ точки x, такая что топологическая пара $(U, U ∩ N) {\ displaystyle (U, U \ cap N)}$ $(U, U \ cap N)$ гомеоморфна паре $(R + n, R d) {\ displaystyle ( \ mathbb {R} _ {+} ^ {n}, \ mathbb {R} ^ {d})}$ ${\ displaystyle ( \ mathbb {R} _ {+} ^ {n}, \ mathbb {R} ^ {d})}$ , где $R + n {\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+ } ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+} ^ {n}}$ - стандартное полупространство, а $R d {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}}$ $\ mathbb {R} ^ {d}$ - включено как стандартное подпространство его границы. Более подробно, мы можем установить $R + N = {y ∈ R n: yn ≥ 0} {\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+} ^ {n} = \ {y \ in \ mathbb {R } ^ {n} \ двоеточие y_ {n} \ geq 0 \}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+} ^ {n} = \ { y \ in \ mathbb {R} ^ {n} \ двоеточие y_ {n} \ geq 0 \}}$ и $R d = {y ∈ R n: yd + 1 = ⋯ = yn = 0} {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {d} = \ {y \ in \ mathbb {R} ^ {n} \ двоеточие y_ {d + 1} = \ cdots = y_ {n} = 0 \}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {d} = \ {y \ in \ mathbb {R} ^ {n} \ двоеточие y_ {d + 1} = \ cdots = y_ {n} = 0 \}}$ .

Мы называем N локально плоский в M, если N локально плоский в каждой точке. Точно так же карта $χ: N → M {\ displaystyle \ chi \ двоеточие N \ to M}$ ${\ displaystyle \ chi \ двоеточие N \ to M}$ называется локально плоской, даже если это не вложение, если каждый x в N имеет окрестность U, образ $χ (U) {\ displaystyle \ chi (U)}$ ${\ displaystyle \ chi (U) }$ локально плоский в M.

Локальная плоскостность вложения подразумевает сильные свойства, присущие не всем вложениям. Браун (1962) доказал, что если d = n - 1, то N ограничено; то есть, он имеет окрестность, гомеоморфную N × [0,1], причем сама N соответствует N × 1/2 (если N находится внутри M) или N × 0 (если N находится на границе М).

См. Также

Ссылки

Браун, Мортон (1962), Локально плоские вложения топологических многообразий. Анналы математики, Вторая серия, Vol. 75 (1962), стр. 331–341.
Mazur, Barry. О вложениях сфер. Бюллетень Американского математического общества, Vol. 65 (1959), нет. 2. С. 59–65. http://projecteuclid.org/euclid.bams/1183523034.