Матрица Якоби и определитель

редактировать
Матрица всех частных производных первого порядка векторнозначной функции

В векторе исчисление, матрица Якоби (, ) векторнозначной функции от нескольких переменных - это матрица всех ее частных производных первого порядка. Когда эта матрица имеет вид квадрат, то есть, когда функция принимает в качестве входных данных такое же количество переменных, что и количество компонентов вектора на выходе, ее детерминант называется определителем Якоби . Как матрица, так и (если применимо) определитель в литературе часто называют просто якобианом .

Предположим, что f : ℝ → ℝ - такая функция, что каждая из его частных производных первого порядка существует на. Эта функция принимает точку x ∈ ℝ в качестве входных данных и производит вектор f(x) ∈ ℝ в качестве выходных данных. Тогда матрица Якоби f определяется как матрица размера m × n, обозначенная J, чья (i, j) -я запись J ij = ∂ fi ∂ xj {\ displaystyle \ mathbf {J} _ {ij} = {\ frac {\ partial f_ {i}} {\ partial x_ {j}}}}{\ displaystyle \ mathbf {J} _ {ij} = {\ frac {\ partial f_ {i}} {\ partial x_ {j}}}} или явно

J = [ ∂ f ∂ x 1 ⋯ ∂ f ∂ xn] = [∂ f 1 ∂ x 1 ⋯ ∂ f 1 ∂ xn ⋮ ⋱ ∂ fm ∂ x 1 ⋯ ∂ fm ∂ xn]. {\ displaystyle \ mathbf {J} = {\ begin {bmatrix} {\ dfrac {\ partial \ mathbf {f}} {\ partial x_ {1}}} \ cdots {\ dfrac {\ partial \ mathbf {f }} {\ partial x_ {n}}} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} {\ dfrac {\ partial f_ {1}} {\ partial x_ {1}}} \ cdots {\ dfrac {\ partial f_ {1}} {\ partial x_ {n}}} \\\ vdots \ ddots \ vdots \\ {\ dfrac {\ partial f_ {m}} {\ partial x_ {1}}} \ cdots {\ dfrac {\ partial f_ {m}} {\ partial x_ {n}}} \ end {bmatrix}}.}{\ displaystyle \ mathbf {J} = {\ begin {bmatrix} {\ dfrac {\ partial \ mathbf {f}} {\ partial x_ {1}}} \ cdots {\ dfrac {\ partial \ mathbf {f}} {\ partial x_ {n} }} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} {\ dfrac {\ partial f_ {1}} {\ partial x_ {1}}} \ cdots {\ dfrac {\ partial f_ {1}} {\ partial x_ {n}}} \\\ vdots \ ddots \ vdots \\ {\ dfrac {\ partial f_ {m}} {\ partial x_ {1}}} \ cdots {\ dfrac {\ часть ial f_ {m}} {\ partial x_ {n}}} \ end {bmatrix}}.}

Эта матрица, элементы которой являются функциями x, обозначается по-разному; общие обозначения включают D f {\ displaystyle D \ mathbf {f}}{\ displaystyle D \ mathbf {f}} , J f {\ displaystyle \ mathbf {J} _ {\ mathbf {f}}}{\ displaystyle \ mathbf {J} _ {\ mathbf {f}}} , ∇ f {\ displaystyle \ nabla \ mathbf {f}}{\ displaystyle \ nabla \ mathbf {f}} и ∂ (f 1,.., fm) ∂ (x 1,.., xn) {\ displaystyle {\ frac {\ partial (f_ {1 },.., f_ {m})} {\ partial (x_ {1},.., x_ {n})}}}{\ displaystyle {\ frac {\ partial (f_ {1},.., f_ {m}) } {\ partial (x_ {1},.., x_ {n})}}} . Некоторые авторы определяют якобиан как транспонирование приведенной выше формы.

Матрица Якоби представляет дифференциал для f в каждой точке, где f дифференцируемо. Более подробно, если h представляет собой вектор смещения, представленный матрицей-столбцом , матричный продукт J(x) ⋅ h - еще один вектор смещения, который является наилучшим линейным приближением изменения f в окрестности из x, если f(x) равно дифференцируемый в x . Это означает, что функция, отображающая y в f(x) + J(x) ⋅ (y– x), является наилучшим линейным приближением из f(y) для всех точек y близко к x . Эта линейная функция известна как производная или дифференциал от f в x.

. Когда m = n, матрица Якоби квадратная, поэтому ее определитель - это четко определенная функция от x, известная как определитель Якоби от f . Он несет важную информацию о локальном поведении f . В частности, функция f имеет локально в окрестности точки x обратную функцию, которая дифференцируема тогда и только тогда, когда определитель Якоби не равен нулю в x (см. гипотезу о якобиане ). Определитель Якоби также появляется при изменении переменных в множественных интегралах (см. правило подстановки для множественных переменных ).

Когда m = 1, то есть когда f: ℝ → ℝ является скалярной функцией, матрица Якоби сокращается до вектора-строки. Этот вектор-строка всех частных производных первого порядка от f является транспонированием градиента f, то есть J f = (∇ f) ⊺ {\ displaystyle \ mathbf {J} _ {f} = (\ nabla f) ^ {\ intercal}}{\ displaystyle \ mathbf {J} _ {f} = (\ nabla f) ^ {\ intercal}} . Здесь мы принимаем соглашение, согласно которому вектор градиента ∇ f {\ displaystyle \ nabla f}\ nabla f является вектором-столбцом. Более конкретно, когда m = n = 1, то есть когда f: ℝ → ℝ является скалярной функцией одной переменной, матрица Якоби имеет единственный элемент. Эта запись является производной функции f.

Эти концепции названы в честь математика Карла Густава Якоба Якоби (1804–1851).

Содержание

  • 1 Матрица Якоби
  • 2 Определитель Якоби
  • 3 Обратный
  • 4 Критические точки
  • 5 Примеры
    • 5.1 Пример 1
    • 5.2 Пример 2: полярно-декартово преобразование
    • 5.3 Пример 3: сферически-декартово преобразование
    • 5.4 Пример 4
    • 5.5 Пример 5
  • 6 Другие применения
    • 6.1 Динамические системы
    • 6.2 Метод Ньютона
    • 6.3 Анализ поверхности
  • 7 См. Также
  • 8 Примечания
  • 9 Ссылки
  • 10 Дополнительная литература
  • 11 Внешние ссылки

Матрица Якоби

Якобиан векторнозначной функции от нескольких переменных обобщает градиент скалярной -значной функции от нескольких переменных, которая, в свою очередь, обобщает производную скалярной функции от одной переменной. Другими словами, матрица Якоби скалярнозначной функции от нескольких переменных является (транспонированием) ее градиентом, а градиент скалярной функции одной переменной является ее производной.

В каждой точке, где функция является дифференцируемой, ее матрицу Якоби также можно рассматривать как описывающую величину «растяжения», «поворота» или «преобразования», которое функция накладывает локально около этой точки. Например, если (x ′, y ′) = f (x, y) используется для плавного преобразования изображения, матрица Якоби Jf(x, y) описывает, как изображение в окрестность (x, y) преобразуется.

Если функция дифференцируема в точке, ее дифференциал задается в координатах матрицей Якоби. Однако функция не должна быть дифференцируемой, чтобы ее матрица Якоби была определена, поскольку требуется, чтобы существовали только ее частные производные первого порядка.

Если f является дифференцируемым в точке p в ℝ, то его дифференциал представлен как Jf(p). В этом случае линейное преобразование, представленное как Jf(p), является наилучшим линейным приближением для f около точки p в в том смысле, что

f (x) - f (p) = J f (p) (x - p) + o (‖ x - p ‖) (как x → p), {\ displaystyle \ mathbf {f} (\ mathbf {x}) - \ mathbf {f} (\ mathbf {p}) = \ mathbf {J} _ {\ mathbf {f}} (\ mathbf {p}) (\ mathbf {x} - \ mathbf {p}) + o (\ | \ mathbf {x} - \ mathbf {p} \ |) \ quad ({\ text {as}} \ mathbf {x} \ to \ mathbf {p}),}{\ displaystyle \ mathbf {f} (\ mathbf {x}) - \ mathbf {f} (\ mathbf {p}) = \ mathbf {J} _ {\ mathbf {f} } (\ mathbf {p}) (\ mathbf {x} - \ mathbf {p}) + o (\ | \ mathbf {x} - \ mathbf {p} \ |) \ quad ({\ text {as}} \ mathbf {x} \ to \ mathbf {p}),}

где o (‖ x− p‖) - величина , которая приближается к нулю намного быстрее, чем расстояние между x и p . поскольку x приближается к p . Это приближение специализируется на приближении скалярной функции одной переменной ее многочленом Тейлора первой степени, а именно

f (x) - f (p) = f ′ (p) (x - p) + o (x - p) (как x → p) {\ displaystyle f (x) -f (p) = f '(p) (xp) + o (xp) \ quad ({\ text {as}) } x \ to p)}{\displaystyle f(x)-f(p)=f'(p)(x-p)+o(x-p)\quad ({\text{as }}x\to p)}.

В этом смысле якобиан можно рассматривать как своего рода "производную первого порядка " векторнозначной функции нескольких переменных. В частности, это означает, что градиент скалярной функции нескольких переменных может также рассматриваться как ее «производная первого порядка».

Составные дифференцируемые функции f : ℝ → ℝ и g : ℝ → ℝ удовлетворяют цепному правилу, а именно J g ∘ е (Икс) знак равно J г (е (Икс)) J е (Икс) {\ Displaystyle \ mathbf {J} _ {\ mathbf {g} \ circ \ mathbf {f}} (\ mathbf {x}) = \ mathbf {J} _ {\ mathbf {g}} (\ mathbf {f} (\ mathbf {x})) \ mathbf {J} _ {\ mathbf {f}} (\ mathbf {x})}{\ displaystyle \ mathbf {J} _ {\ mathbf {g} \ circ \ mathbf {f}} (\ mathbf {x}) = \ mathbf {J} _ {\ mathbf {g}} (\ mathbf {f } (\ mathbf {x})) \ mathbf {J} _ {\ mathbf {f}} (\ mathbf {x})} для x дюймов ℝ.

Якобиан градиента скалярной функции нескольких переменных имеет специальное название: матрица Гессе, которая в некотором смысле является «второй производной » рассматриваемая функция.

определитель Якоби

Нелинейное отображение f: R 2 → R 2 {\ displaystyle f \ двоеточие \ mathbb {R} ^ {2} \ to \ mathbb {R} ^ {2} }{\ displaystyle f \ двоеточие \ mathbb {R} ^ {2} \ to \ mathbb {R} ^ {2}} переводит маленький квадрат (слева, красный) в искаженный параллелограмм (справа, красный). Якобиан в точке дает наилучшее линейное приближение искаженного параллелограмма около этой точки (справа, полупрозрачным белым), а определитель Якоби дает отношение площади аппроксимирующего параллелограмма к площади исходного квадрата.

Если m = n, тогда f является функцией от ℝ до самого себя, а матрица Якоби является квадратной матрицей . Затем мы можем сформировать его определитель , известный как определитель Якоби . Определитель якобиана иногда называют просто «якобианом».

Детерминант Якоби в данной точке дает важную информацию о поведении f около этой точки. Например, непрерывно дифференцируемая функция fобратима около точки p ∈ ℝ, если определитель Якоби в p отличен от нуля. Это теорема об обратной функции. Кроме того, если определитель Якоби в p является положительным, то f сохраняет ориентацию около p ; если он отрицательный,, fменяет ориентацию. Абсолютное значение определителя Якоби при p дает нам коэффициент, на который функция f расширяет или сжимает объемы около р ; вот почему это происходит в общем правиле подстановки .

Детерминант Якоби используется при замене переменных при вычислении кратного интеграла функции по области в пределах своей области. Чтобы приспособиться к изменению координат, величина определителя Якоби возникает как мультипликативный множитель в интеграле. Это связано с тем, что n-мерный элемент dV, как правило, является параллелепипедом в новой системе координат, а n-объем параллелепипеда является определителем его векторов ребер.

Якобиан также можно использовать для решения систем дифференциальных уравнений в точке равновесия или приближенных решений около точки равновесия. Его приложения включают определение стабильности равновесия без болезней при моделировании болезней.

Обратный

Согласно теореме об обратной функции, матрица, обратная матрицы Якоби обратимой функции является матрицей Якоби обратной функции. То есть, если якобиан функции f : ℝ → ℝ непрерывен и неособен в точке p в ℝ, то f обратим при ограничении некоторая окрестность p и

J f - 1 ∘ f = J f - 1. {\ displaystyle \ mathbf {J} _ {\ mathbf {f} ^ {- 1}} \ circ \ mathbf {f} = {\ mathbf {J} _ {\ mathbf {f}}} ^ {- 1}. }\ mathbf {J} _ {\ mathbf {f} ^ {- 1}} \ circ \ mathbf {f} = {\ mathbf {J} _ {\ mathbf {f}}} ^ {- 1}.

И наоборот, если определитель Якоби не равен нулю в точке, тогда функция локально обратима около этой точки, то есть существует окрестность этой точки, в которой функция обратима.

(недоказанная) гипотеза о якобиане связана с глобальной обратимостью в случае полиномиальной функции, то есть функции, определяемой n полиномами от n переменных. Он утверждает, что, если определитель Якоби является ненулевой константой (или, что то же самое, что он не имеет никакого комплексного нуля), то функция обратима, а ее обратная функция является полиномиальной функцией.

Критические точки

Если f : ℝ → ℝ является дифференцируемой функцией, критическая точка f является точка, где ранг матрицы Якоби не максимален. Это означает, что ранг в критической точке ниже ранга в некоторой соседней точке. Другими словами, пусть k будет максимальной размерностью открытых шаров, содержащихся в изображении f ; тогда точка является критической, если все миноры ранга k из f равны нулю.

В случае, когда m = n = k, точка является критической, если определитель Якоби равен нулю.

Примеры

Пример 1

Рассмотрим функцию f : ℝ → ℝ, с (x, y) ↦ (f 1 (x, y), f 2 (x, y)), заданный как

f ([xy]) = [f 1 (x, y) f 2 (x, y) ] = [х 2 у 5 х + грех ⁡ у]. {\ displaystyle \ mathbf {f} \ left ({\ begin {bmatrix} x \\ y \ end {bmatrix}} \ right) = {\ begin {bmatrix} f_ {1} (x, y) \\ f_ { 2} (x, y) \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} x ^ {2} y \\ 5x + \ sin y \ end {bmatrix}}.}{ \ displaystyle \ mathbf {f} \ left ({\ begin {bmatrix} x \\ y \ end {bmatrix}} \ right) = {\ begin {bmatrix} f_ {1} (x, y) \\ f_ {2 } (x, y) \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} x ^ {2} y \\ 5x + \ sin y \ end {bmatrix}}.}

Тогда мы имеем

f 1 (x, y) = x 2 y {\ displaystyle f_ {1} (x, y) = x ^ {2} y}f_{1}(x,y)=x^{2}y

и

f 2 (x, y) = 5 x + sin ⁡ y {\ displaystyle f_ {2} (x, y) = 5x + \ sin y}f_ {2} (x, y) = 5x + \ sin y

, а матрица Якоби f равна

J f (x, y) = [∂ f 1 ∂ x ∂ е 1 ∂ y ∂ е 2 ∂ x ∂ f 2 ∂ y] = [2 xyx 2 5 cos ⁡ y] {\ displaystyle \ mathbf {J} _ {\ mathbf {f}} (x, y) = {\ begin {bmatrix} {\ dfrac {\ partial f_ {1}} {\ partial x}} {\ dfrac {\ partial f_ {1}} {\ partial y}} \\ [1em] {\ dfrac { \ partial f_ {2}} {\ partial x}} {\ dfrac {\ partial f_ {2}} {\ partial y}} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 2xy x ^ {2} \ \ 5 \ cos y \ end {bmatrix}}}\ mathbf {J} _ {\ mathbf {f}} (x, y) = {\ begin {bmatrix} {\ dfrac {\ partial f_ {1}} {\ partial x}} {\ dfrac {\ partial f_ {1}} {\ partial y }} \\ [1em] {\ dfrac {\ partial f_ {2}} {\ partial x}} {\ dfrac {\ partial f_ {2}} {\ partial y}} \ end {bmatrix}} = { \ begin {bmatrix} 2xy x ^ {2} \\ 5 \ cos y \ end {bmatrix}}

и определитель Якоби равен

det (J f (x, y)) = 2 xy cos ⁡ y - 5 x 2. {\ displaystyle \ det (\ mathbf {J} _ {\ mathbf {f}} (x, y)) = 2xy \ cos y-5x ^ {2}.}\ det (\ mathbf {J} _ {\ mathbf {f}} (x, y)) = 2xy \ cos y-5x ^ {2}.

Пример 2: полярно-декартово преобразование

Преобразование из полярных координат (r, φ) в декартовых координат (x, y) задается функцией F : ℝ × [0, 2π) → ℝ с компонентами:

x = r cos ⁡ φ; у = г sin ⁡ φ. {\ Displaystyle {\ begin {align} x = r \ cos \ varphi; \\ y = r \ sin \ varphi. \ end {align}}}{\ begin {align} x = r \ соз \ varphi; \\ y = r \ sin \ varphi. \ end {align}}
JF (r, φ) = [∂ x ∂ r ∂ Икс ∂ φ ∂ Y ∂ р ∂ Y ∂ φ] знак равно [соз ⁡ φ - r грех ⁡ φ грех ⁡ φ r соз ⁡ φ] {\ displaystyle \ mathbf {J} _ {\ mathbf {F}} (r, \ varphi) = {\ begin {bmatrix} {\ dfrac {\ partial x} {\ partial r}} {\ dfrac {\ partial x} {\ partial \ varphi}} \\ [1em] {\ dfrac {\ partial y} {\ partial r}} {\ dfrac {\ partial y} {\ partial \ varphi}} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} \ cos \ varphi -r \ sin \ varphi \\ \ sin \ varphi r \ cos \ varphi \ end {bmatrix}}}{\ displaystyle \ mathbf {J} _ {\ mathbf {F} } (r, \ varphi) = {\ begin {bmatrix} {\ dfrac {\ partial x} {\ partial r}} {\ dfrac {\ partial x} {\ partial \ varphi}} \\ [1em] { \ dfrac {\ partial y} {\ partial r}} и {\ dfrac {\ partial y} {\ partial \ varphi}} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} \ cos \ varphi -r \ sin \ varphi \\\ sin \ varphi r \ cos \ varphi \ end {bmatrix}}}

Определитель Якоби равен r. Это можно использовать для преобразования интегралов между двумя системами координат:

∬ F (A) f (x, y) d x d y = ∬ A f (r cos ⁡ φ, r sin ⁡ φ) r d r d φ. {\ displaystyle \ iint _ {\ mathbf {F} (A)} f (x, y) \, dx \, dy = \ iint _ {A} f (r \ cos \ varphi, r \ sin \ varphi) \, r \, dr \, d \ varphi.}{\ displaystyle \ iint _ {\ mathbf {F} (A)} f (x, y) \, dx \, dy = \ iint _ {A} f (r \ cos \ varphi, r \ sin \ varphi) \, r \, dr \, d \ varphi.}

Пример 3: сферико-декартово преобразование

Преобразование из сферических координат (ρ, φ, θ) в Декартовы координаты (x, y, z) задаются функцией F : ℝ × [0, π) × [0, 2π) → с компонентами:

x = ρ sin ⁡ φ cos ⁡ θ; y = ρ sin ⁡ φ sin ⁡ θ; z = ρ cos ⁡ φ. {\ Displaystyle {\ begin {align} x = \ rho \ sin \ varphi \ cos \ theta; \\ y = \ rho \ sin \ varphi \ sin \ theta; \\ z = \ rho \ cos \ varphi. \ end {align}}}{\ displaystyle {\ begin {align} x = \ rho \ sin \ varphi \ cos \ theta; \\ y = \ rho \ sin \ varphi \ sin \ theta; \\ z = \ rho \ cos \ varphi. \ end {align}}}

Матрица Якоби для этого изменения координат равна

JF (ρ, φ, θ) = (∂ x ∂ ρ ∂ x ∂ φ ∂ x ∂ θ ∂ y ∂ ρ ∂ y ∂ φ ∂ y ∂ θ ∂ z ∂ ρ ∂ z ∂ φ ∂ z ∂ θ) = (sin ⁡ φ cos ⁡ θ ρ cos ⁡ φ cos ⁡ θ - ρ sin ⁡ φ sin ⁡ θ sin ⁡ φ sin ⁡ θ ρ cos ⁡ φ sin Θ ρ sin ⁡ φ cos ⁡ θ cos ⁡ φ - ρ sin ⁡ φ 0). {\ displaystyle \ mathbf {J} _ {\ mathbf {F}} (\ rho, \ varphi, \ theta) = {\ begin {pmatrix} {\ dfrac {\ partial x} {\ partial \ rho}} { \ dfrac {\ partial x} {\ partial \ varphi}} и {\ dfrac {\ partial x} {\ partial \ theta}} \\ [1em] {\ dfrac {\ partial y} {\ partial \ rho}} {\ dfrac {\ partial y} {\ partial \ varphi}} {\ dfrac {\ partial y} {\ partial \ theta}} \\ [1em] {\ dfrac {\ partial z} {\ partial \ rho }} {\ dfrac {\ partial z} {\ partial \ varphi}} {\ dfrac {\ partial z} {\ partial \ theta}} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ sin \ varphi \ cos \ theta \ rho \ cos \ varphi \ cos \ theta - \ rho \ sin \ varphi \ sin \ theta \\\ sin \ varphi \ sin \ theta \ rho \ cos \ varphi \ sin \ theta \ rho \ sin \ varphi \ cos \ theta \\\ cos \ varphi - \ rho \ sin \ varphi 0 \ end {pmatrix}}.}{\ displaystyle \ mathbf {J} _ {\ mathbf {F}} (\ rho, \ varphi, \ theta) = {\ begin {pmatrix} {\ dfrac {\ partial x} {\ partial \ rho}} {\ dfrac {\ partial x} {\ partial \ varphi}} {\ dfrac {\ partial x} {\ partial \ theta}} \\ [1em] {\ dfrac {\ partial y} {\ partial \ rho }} {\ dfrac {\ partial y} {\ partial \ varphi}} {\ dfrac {\ partial y} {\ partial \ theta}} \\ [1em] {\ dfrac {\ partial z} {\ partial \ rho}} {\ dfrac {\ partial z} {\ partial \ varphi}} {\ dfrac {\ partial z} {\ partial \ theta}} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} \ sin \ varphi \ cos \ theta \ rho \ cos \ varphi \ cos \ theta - \ rho \ sin \ varphi \ sin \ theta \\\ sin \ varphi \ sin \ theta \ rho \ cos \ varphi \ sin \ theta \ rho \ sin \ varphi \ cos \ theta \\\ cos \ varphi - \ rho \ sin \ varphi 0 \ end {pmatrix}}.}

Определитель равен ρ sin φ. Поскольку dV = dx dy dz является объемом прямоугольного элемента дифференциального объема (поскольку объем прямоугольной призмы является произведением ее сторон), мы можем интерпретировать dV = ρ sin φ dρ dφ dθ как объем сферической призмы элемент дифференциального объема. В отличие от объема прямоугольного элемента дифференциального объема, объем этого элемента дифференциального объема не является постоянным и изменяется в зависимости от координат (ρ и φ). Его можно использовать для преобразования интегралов между двумя системами координат:

∭ F (U) f (x, y, z) dxdydz = ∭ U f (ρ sin ⁡ φ cos ⁡ θ, ρ sin ⁡ φ sin ⁡ θ, ρ cos ⁡ φ) ρ 2 sin ⁡ φ d ρ d φ d θ. {\ displaystyle \ iiint _ {\ mathbf {F} (U)} f (x, y, z) \, dx \, dy \, dz = \ iiint _ {U} f (\ rho \ sin \ varphi \ cos \ theta, \ rho \ sin \ varphi \ sin \ theta, \ rho \ cos \ varphi) \, \ rho ^ {2} \ sin \ varphi \, d \ rho \, d \ varphi \, d \ theta.}{\ displaystyle \ iiint _ {\ mathbf {F} (U)} f (x, y, z) \, dx \, dy \, dz = \ iiint _ {U} f (\ rho \ sin \ varphi \ cos \ theta, \ rho \ sin \ varphi \ sin \ theta, \ rho \ cos \ varphi) \, \ rho ^ {2} \ sin \ varphi \, d \ rho \, d \ varphi \, d \ theta.}

Пример 4

Матрица Якоби функции F : ℝ → ℝ с компонентами

y 1 = x 1 y 2 = 5 x 3 y 3 = 4 x 2 2–2 x 3 y 4 = x 3 грех ⁡ x 1 {\ displaystyle {\ begin {align} y_ {1} = x_ {1} \\ y_ {2} = 5x_ {3} \\ y_ {3 } = 4x_ {2} ^ {2} -2x_ {3} \\ y_ {4} = x_ {3} \ sin x_ {1} \ end {align}}}{\ begin {align} y_ {1} = x_ {1} \\ y_ {2} = 5x_ {3} \\ y_ {3} = 4x_ {2} ^ {2} -2x_ {3} \\ y_ {4} = x_ {3} \ sin x_ {1} \ end {align}}

равно

JF ( x 1, x 2, x 3) = [∂ y 1 ∂ x 1 ∂ y 1 ∂ x 2 ∂ y 1 ∂ x 3 ∂ y 2 ∂ x 1 ∂ y 2 ∂ x 2 ∂ y 2 ∂ x 3 ∂ y 3 ∂ x 1 ∂ y 3 ∂ x 2 ∂ y 3 ∂ x 3 ∂ y 4 ∂ x 1 ∂ y 4 ∂ x 2 ∂ y 4 ∂ x 3] = [1 0 0 0 0 5 0 8 x 2 - 2 x 3 cos ⁡ x 1 0 sin ⁡ x 1]. {\ displaystyle \ mathbf {J} _ {\ mathbf {F}} (x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) = {\ begin {bmatrix} {\ dfrac {\ partial y_ {1}} {\ partial x_ {1}}} {\ dfrac {\ partial y_ {1}} {\ partial x_ {2}}} и {\ dfrac {\ partial y_ {1}} {\ partial x_ {3}} } \\ [1em] {\ dfrac {\ partial y_ {2}} {\ partial x_ {1}}} {\ dfrac {\ partial y_ {2}} {\ partial x_ {2}}} {\ dfrac {\ partial y_ {2}} {\ partial x_ {3}}} \\ [1em] {\ dfrac {\ partial y_ {3}} {\ partial x_ {1}}} и {\ dfrac {\ partial y_ {3}} {\ partial x_ {2}}} {\ dfrac {\ partial y_ {3}} {\ partial x_ {3}}} \\ [1em] {\ dfrac {\ partial y_ {4} } {\ partial x_ {1}}} {\ dfrac {\ partial y_ {4}} {\ partial x_ {2}}} {\ dfrac {\ partial y_ {4}} {\ partial x_ {3} }} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 0 0 \\ 0 0 5 \\ 0 8x_ {2} - 2 \\ x_ {3} \ cos x_ {1} 0 \ sin x_ {1} \ end { bmatrix}}.}\ mathbf {J} _ {\ mathbf {F}} ( x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}) = {\ begin {bmatrix} {\ dfrac {\ partial y_ {1}} {\ partial x_ {1}}} {\ dfrac {\ partial y_ {1}} {\ partial x_ {2}}} {\ dfrac {\ partial y_ {1}} {\ partial x_ {3}}} \\ [1em] {\ dfrac {\ partial y_ {2}} {\ partial x_ {1}}} {\ dfrac {\ partial y_ {2}} {\ partial x_ {2}}} {\ dfrac {\ partial y_ {2}} {\ partial x_ {3}} } \\ [1em] {\ dfrac {\ partial y_ {3}} {\ partial x_ {1}}} {\ dfrac {\ partial y_ {3}} {\ partial x_ {2}}} { \ dfrac {\ partial y_ {3}} {\ partial x_ {3}}} \\ [1em] {\ dfrac {\ partial y_ {4}} {\ partial x_ {1}}} и {\ dfrac {\ частичный y_ {4}} {\ partial x_ {2}}} {\ dfrac {\ partial y_ {4}} {\ partial x_ {3}}} \ end {bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} 1 0 0 \\ 0 0 5 \\ 0 8x_ {2} - 2 \\ x_ {3} \ cos x_ {1} 0 \ sin x_ {1} \ end {bmatrix}}.

Этот пример показывает, что матрица Якоби не обязательно должна быть квадратной матрицей.

Пример 5

Определитель Якоби функции F : ℝ → ℝ с компонентами

y 1 = 5 x 2 y 2 = 4 x 1 2 - 2 грех ⁡ (Икс 2 Икс 3) Y 3 = Икс 2 Икс 3 {\ Displaystyle {\ begin {Выровнено} y_ {1} = 5x_ {2} \\ y_ {2} = 4x_ {1} ^ {2 } -2 \ sin (x_ {2} x_ {3}) \\ y_ {3} = x_ {2} x_ {3} \ end {align}}}{\ begin {align} y_ {1} = 5x_ {2} \\ y_ {2} = 4x_ {1} ^ {2} -2 \ sin (x_ {2} x_ {3}) \\ y_ {3} = x_ {2} x_ {3} \ end {align}}

равно

| 0 5 0 8 x 1 - 2 x 3 cos ⁡ (x 2 x 3) - 2 x 2 cos ⁡ (x 2 x 3) 0 x 3 x 2 | = - 8 х 1 | 5 0 х 3 х 2 | = - 40 х 1 х 2. {\ displaystyle {\ begin {vmatrix} 0 5 0 \\ 8x_ {1} - 2x_ {3} \ cos (x_ {2} x_ {3}) - 2x_ {2} \ cos (x_ {2} x_ {3 }) \\ 0 x_ {3} x_ {2} \ end {vmatrix}} = - 8x_ {1} {\ begin {vmatrix} 5 0 \\ x_ {3} x_ {2} \ end {vmatrix}} = - 40x_ {1} x_ {2}.}{\ begin {vmatrix} 0 5 0 \\ 8x_ {1} - 2x_ {3} \ cos (x_ {2} x_ {3}) - 2x_ {2} \ cos (x_ {2} x_ {3}) \\ 0 x_ {3} x_ {2} \ end {vmatrix}} = - 8x_ {1} {\ begin {vmatrix} 5 0 \\ x_ {3} x_ {2} \ end {vmatrix}} = - 40x_ {1} x_ {2}.

Из этого мы видим, что F меняет ориентацию около тех точек, где x 1 и x 2 имеют одинаковые знак; функция локально обратима везде, кроме близких точек, где x 1 = 0 или x 2 = 0. Интуитивно понятно, если начать с крошечного объекта вокруг точки (1, 2, 3) и примените F к этому объекту, вы получите результирующий объект с примерно 40 × 1 × 2 = 80-кратным объемом исходного, с обратной ориентацией.

Другое использование

Якобиан служит линеаризованной матрицей плана в статистической регрессии и подборе кривой ; см. нелинейный метод наименьших квадратов.

Динамические системы

Рассмотрим динамическую систему в форме x ˙ = F (x) {\ displaystyle {\ dot { \ mathbf {x}}} = F (\ mathbf {x})}{\ dot {{\ mathbf {x}}}} = F ({\ mathbf {x}}) , где x ˙ {\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {x}}}}{\ dot {{\ mathbf {x) }}}} - (покомпонентная) производная от x {\ displaystyle \ mathbf {x}}\ mathbf {x} по параметру эволюции t {\ displaystyle t}t (время) и F: R n → R n {\ displaystyle F \ двоеточие \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {n}}{\ displaystyle F \ двоеточие \ mathbb {R} ^ {n} \ к \ mathbb {R} ^ {n}} дифференцируемо. Если F (x 0) = 0 {\ displaystyle F (\ mathbf {x} _ {0}) = 0}{\ displaystyle F (\ mathbf {x} _ {0}) = 0} , то x 0 {\ displaystyle \ mathbf {x} _ {0}}\ mathbf {x} _ {0} - это стационарная точка (также называемая устойчивым состоянием ). Согласно теореме Хартмана – Гробмана, поведение системы около стационарной точки связано с собственными значениями из JF (x 0) {\ displaystyle \ mathbf {J} _ {F} \ left (\ mathbf {x} _ {0} \ right)}{\ отображает tyle \ mathbf {J} _ {F} \ left (\ mathbf {x} _ {0} \ right)} , якобиан F {\ displaystyle F}F в стационарной точке. В частности, если все собственные значения имеют действительные части, которые отрицательны, тогда система устойчива около стационарной точки, если любое собственное значение имеет действительную часть, которая положительна, то точка неустойчива. Если наибольшая действительная часть собственных значений равна нулю, матрица Якоби не позволяет оценить устойчивость.

Метод Ньютона

Квадратная система связанных нелинейных уравнений может быть решена итеративно с помощью Метод Ньютона. В этом методе используется матрица Якоби системы уравнений.

Анализ поверхности

Пусть n = 2, поэтому якобиан является вещественной матрицей 2 × 2. Предположим, что диффеоморфизм поверхности f: U → V в окрестности p в U записывается как (u (x, y), v (x, y)). {\ displaystyle (u (x, y), \ v (x, y)).}{\ displaystyle (U (x, y), \ v (x, y)).} Матрица J f (p) {\ displaystyle \ mathbf {J} _ {\ mathbf { f}} (\ mathbf {p})}{\ displaystyle \ mathbf {J} _ {\ mathbf {f}} (\ mathbf {p})} можно интерпретировать как комплексное число: обычное, разделенное или двойное. Кроме того, поскольку J f (p) {\ displaystyle \ mathbf {J} _ {\ mathbf {f}} (\ mathbf {p})}{\ displaystyle \ mathbf {J} _ {\ mathbf {f}} (\ mathbf {p})} обратимо, комплексное число имеет полярное разложение или альтернативное плоское разложение.

И снова каждое такое комплексное число представляет собой групповое действие на касательной плоскости в точке p. Действие заключается в растяжении на норму комплексного числа и повороте на угол, гиперболический угол или наклон в соответствии со случаем J. f (p). {\ displaystyle \ mathbf {J} _ {\ mathbf {f}} (\ mathbf {p}).}{\ displaystyle \ mathbf {J} _ {\ mathbf {f}} (\ mathbf {p}).} Такое действие соответствует конформному отображению.

См. также

Примечания

Ссылки

Дополнительная литература

Внешние ссылки

Последняя правка сделана 2021-05-24 11:42:47
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте