Частная производная

Часть цикла статей о
Исчисление
Основная теорема Интегральное правило Лейбница Пределы функций Непрерывность Теорема о среднем значении Теорема Ролля
Дифференциальный Определения Производная  ( обобщения ) Дифференциальный бесконечно малый функции общий Концепции Обозначение дифференциации Вторая производная Неявное дифференцирование Логарифмическое дифференцирование Связанные ставки Теорема Тейлора Правила и личности Сумма Продукт Цепь Власть Частное Правило L'Hôpital Обратный Генерал Лейбниц Формула Фаа ди Бруно Рейнольдс
интеграл Списки интегралов Интегральное преобразование Определения Первообразный Интегральный  ( неправильный ) Интеграл Римана Интеграция Лебега Контурная интеграция Интеграл от обратных функций Интеграция Запчасти Диски Цилиндрические оболочки Подстановка  ( тригонометрическая, Вейерштрасса, Эйлера ) Формула Эйлера Неполные фракции Изменение порядка Формулы приведения Дифференцируя знаком интеграла Алгоритм риша
Серии Геометрический  ( арифметико-геометрический ) Гармонический Чередование Власть Биномиальный Тейлор Тесты сходимости Предел слагаемого (тест на срок) Соотношение Корень интеграл Прямое сравнение Сравнение пределов Чередование серий Конденсация Коши Дирихле Авель
Вектор Градиент Расхождение Завиток Лапласиан Производная по направлению Идентичности Теоремы Градиент Зелень Стокса Расхождение обобщенный Стокса
Многовариантный Формализмы Матрица Тензор Внешний вид Геометрический Определения Частная производная Кратный интеграл Линейный интеграл Поверхностный интеграл Объемный интеграл Якобиан Гессен
Специализированный Дробное Маллявин Стохастик Вариации
Разное Precalculus История Глоссарий Список тем Интеграционная пчела Анализ
v т е

В математике, частной производной из функции нескольких переменных является его производной по отношению к одной из этих переменных, с остальными поддерживалась постоянной (в отличие от полной производной, в которой все переменные могут изменяться). Частные производные используются в векторном исчислении и дифференциальной геометрии.

Частной производной функции по отношению к переменной по - разному обозначается ${\ Displaystyle е (х, у, \ точки)}$${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle f '_ {x}}$,,,,,, Или.${\ displaystyle f_ {x}}$${\ displaystyle \ partial _ {x} f}$${\ displaystyle \ D_ {x} f}$${\ displaystyle D_ {1} f}$${\ displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial x}} f}$${\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial x}}}$

Иногда, для, частная производная от относительно обозначается как Поскольку частная производная обычно имеет те же аргументы, что и исходная функция, ее функциональная зависимость иногда явно обозначается обозначениями, например: ${\ Displaystyle г = е (х, у, \ ldots)}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle {\ tfrac {\ partial z} {\ partial x}}.}$

${\ displaystyle f_ {x} (x, y, \ ldots), {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} (x, y, \ ldots).}$

Для обозначения частных производных используется символ ∂. Одно из первых известных применений этого символа в математике было сделано Маркизом де Кондорсе из 1770 года, который использовал его для частичных разностей. Современная частная производная обозначения была создана Лежандр (1786) (хотя он позже отказался от нее, Якоби вновь символ в 1841 году).

• 1 Определение
• 2 Обозначения
• 3 Градиент
• 4 Производная по направлению
• 5 Пример
• 6 частные производные высшего порядка
• 7 Первоначальный аналог
• 8 приложений
  • 8.1 Геометрия
  • 8.2 Оптимизация
  • 8.3 Термодинамика, квантовая механика и математическая физика
  • 8.4 Изменение размера изображения
  • 8.5 Экономика
• 9 См. Также
• 10 заметок
• 11 Источники
• 12 Внешние ссылки

Как и обычные производные, частная производная определяется как предел. Пусть U быть открытое подмножество в и функции. Частная производная f в точке по i -й переменной x i определяется как ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$${\ displaystyle f: U \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbf {a} = (a_ {1}, \ ldots, a_ {n}) \ in U}$

${\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {i}}} f (\ mathbf {a}) amp; = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f ( a_ {1}, \ ldots, a_ {i-1}, a_ {i} + h, a_ {i + 1}, \ ldots, a_ {n}) - f (a_ {1}, \ ldots, a_ { i}, \ dots, a_ {n})} {h}} \\ amp; = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f (\ mathbf {a} + h \ mathbf {e_ {i}})) -f (\ mathbf {а})} {ч}} \ конец {выровнено}}}$

Даже если все частные производные ∂f / ∂x я () существует в данной точке а, то функция не должен быть непрерывным там. Однако, если существуют все частные производные в окрестностях из и непрерывны там, то F является полностью дифференцируемым в этом районе и полная производная непрерывна. В этом случае говорят, что f является функцией класса C ¹. Это может быть использовано для обобщения вектора-функции,, осторожно используя покомпонентный аргумент. ${\ displaystyle f: U \ to \ mathbb {R} ^ {m}}$

Частную производную можно рассматривать как другую функцию, определенную на U, и снова ее можно частично дифференцировать. Если все смешанные частные производные второго порядка непрерывны в точке (или на множестве), f называется функцией C ² в этой точке (или на этом множестве); в этом случае частные производные можно поменять местами по теореме Клеро : ${\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial x}}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x_ {i} \ partial x_ {j}}} = {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x_ {j} \ partial x_ {i}}}.}$

Дополнительная информация: ∂

Для следующих примеров позвольте быть функцией в и. ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x, y}$${\ displaystyle z}$

Частные производные первого порядка:

${\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} = f_ {x} = \ partial _ {x} f.}$

Частные производные второго порядка:

${\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x ^ {2}}} = f_ {xx} = \ partial _ {xx} f = \ partial _ {x} ^ {2} f.}$

Смешанные производные второго порядка:

${\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial y \, \ partial x}} = {\ frac {\ partial} {\ partial y}} \ left ({\ frac {\ partial f } {\ partial x}} \ right) = (f_ {x}) _ {y} = f_ {xy} = \ partial _ {yx} f = \ partial _ {y} \ partial _ {x} f.}$

Частные и смешанные производные высшего порядка:

${\ displaystyle {\ frac {\ partial ^ {i + j + k} f} {\ partial x ^ {i} \ partial y ^ {j} \ partial z ^ {k}}} = f ^ {(i, j, k)} = \ partial _ {x} ^ {i} \ partial _ {y} ^ {j} \ partial _ {z} ^ {k} f.}$

При работе с функциями нескольких переменных некоторые из этих переменных могут быть связаны друг с другом, поэтому может потребоваться явно указать, какие переменные остаются постоянными, чтобы избежать двусмысленности. В таких областях, как статистическая механика, частная производная по отношению к, удерживая и постоянная, часто выражаются как ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle z}$

${\ displaystyle \ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial x}} \ right) _ {y, z}.}$

Обычно для ясности и простоты обозначений функция частной производной и значение функции в определенной точке объединяются путем включения аргументов функции, когда используется символ частной производной (обозначение Лейбница). Таким образом, выражение вроде

${\ displaystyle {\ frac {\ partial f (x, y, z)} {\ partial x}}}$

используется для функции, а

${\ displaystyle {\ frac {\ partial f (u, v, w)} {\ partial u}}}$

может использоваться для значения функции в точке. Однако это соглашение нарушается, когда мы хотим оценить частную производную в такой точке, как. В таком случае оценка функции должна быть выражена громоздко как ${\ Displaystyle (х, у, z) = (и, v, ш)}$${\ displaystyle (х, y, z) = (17, u + v, v ^ {2})}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial f (x, y, z)} {\ partial x}} (17, u + v, v ^ {2})}$

или

${\ displaystyle \ left. {\ frac {\ partial f (x, y, z)} {\ partial x}} \ right | _ {(x, y, z) = (17, u + v, v ^ { 2})}}$

чтобы использовать обозначение Лейбница. Таким образом, в этих случаях может быть предпочтительнее использовать обозначение дифференциального оператора Эйлера с символом частной производной по i- й переменной. Например, можно написать для примера, описанного выше, в то время как выражение представляет функцию частной производной по 1-й переменной. ${\ displaystyle D_ {i}}$${\ displaystyle D_ {1} f (17, u + v, v ^ {2})}$${\ displaystyle D_ {1} f}$

Для частных производных более высокого порядка обозначается частная производная (функция) по j- й переменной. То есть, чтобы переменные были перечислены в порядке, в котором берутся производные, и, следовательно, в порядке, обратном тому, как обычно записывается композиция операторов. Конечно, из теоремы Клеро следует, что пока выполняются сравнительно мягкие условия регулярности на f. ${\ displaystyle D_ {i} f}$${\ Displaystyle D_ {j} (D_ {i} f) = D_ {i, j} f}$${\ displaystyle D_ {j} \ circ D_ {i} = D_ {i, j}}$ ${\ Displaystyle D_ {я, j} = D_ {j, i}}$

Важным примером функции нескольких переменных является случай скалярнозначной функции f ( x 1,…, x n) в области в евклидовом пространстве (например, на или). В этом случае F имеет частную производную ∂f / ∂x J по отношению к каждой переменной х J. В точке a эти частные производные определяют вектор ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

${\ displaystyle \ nabla f (a) = \ left ({\ frac {\ partial f} {\ partial x_ {1}}} (a), \ ldots, {\ frac {\ partial f} {\ partial x_ { n}}} (a) \ right).}$

Этот вектор называется градиентом от F на. Если f дифференцируема в каждой точке некоторой области, то градиент является векторной функцией ∇ f, которая переводит точку a в вектор ∇ f ( a). Следовательно, градиент создает векторное поле.

Распространенным злоупотреблением обозначениями является определение оператора del (∇) следующим образом в трехмерном евклидовом пространстве с единичными векторами : ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {i}}}, {\ hat {\ mathbf {j}}}, {\ hat {\ mathbf {k}}}}$

${\ displaystyle \ nabla = \ left [{\ frac {\ partial} {\ partial x}} \ right] {\ hat {\ mathbf {i}}} + \ left [{\ frac {\ partial} {\ partial y}} \ right] {\ hat {\ mathbf {j}}} + \ left [{\ frac {\ partial} {\ partial z}} \ right] {\ hat {\ mathbf {k}}}}$

Или, в более общем смысле, для n -мерного евклидова пространства с координатами и единичными векторами: ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {п}}$${\ displaystyle x_ {1}, \ ldots, x_ {n}}$${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {1}, \ ldots, {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {n}}$

${\ displaystyle \ nabla = \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ left [{\ frac {\ partial} {\ partial x_ {j}}} \ right] {\ hat {\ mathbf {e}} } _ {j} = \ left [{\ frac {\ partial} {\ partial x_ {1}}} \ right] {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {1} + \ left [{\ frac {\ partial} {\ partial x_ {2}}} \ right] {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {2} + \ dots + \ left [{\ frac {\ partial} {\ partial x_ { n}}} \ right] {\ hat {\ mathbf {e}}} _ {n}}$

Этот раздел представляет собой отрывок из § Определение направленной производной. [ редактировать ] Контурный график из, показывающий вектор градиента в черный и единичный вектор масштабируется с помощью производной по направлению в направлении оранжевого цвета. Вектор градиента длиннее, потому что градиент указывает в направлении наибольшей скорости увеличения функции.${\ displaystyle f (x, y) = x ^ {2} + y ^ {2}}$${\ displaystyle \ mathbf {u}}$${\ displaystyle \ mathbf {u}}$

Производная по направлению из скалярной функции

${\ Displaystyle f (\ mathbf {x}) = f (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n})}$

по вектору

${\ Displaystyle \ mathbf {v} = (v_ {1}, \ ldots, v_ {n})}$

- функция, определяемая пределом ${\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {v}} {f}}$

${\ displaystyle \ nabla _ {\ mathbf {v}} {f} (\ mathbf {x}) = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f (\ mathbf {x} + h \ mathbf {v) }) -f (\ mathbf {x})} {h}}.}$

Это определение действительно в широком диапазоне контекстов, например, когда норма вектора (и, следовательно, единичного вектора) не определена.

Предположим, что f является функцией более чем одной переменной. Например,

${\ Displaystyle г = е (х, у) = х ^ {2} + ху + у ^ {2}}$.

График z = x ² + xy + y ². Для частной производной в точке (1, 1), которая оставляет y постоянным, соответствующая касательная линия параллельна плоскости xz. Срез приведенного выше графика, показывающий функцию на плоскости xz при y = 1. Обратите внимание, что две оси показаны здесь в разных масштабах. Наклон касательной равен 3.

График этой функции определяет поверхность в евклидовом пространстве. К каждой точке на этой поверхности есть бесконечное количество касательных. Частичная дифференциация - это выбор одной из этих линий и определение ее наклона. Обычно наибольший интерес представляют линии, параллельные плоскости -плоскости, и линии, параллельные плоскости-плоскости (которые возникают в результате удержания либо, либо постоянного, соответственно). ${\ displaystyle xz}$${\ displaystyle yz}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle x}$

Для того, чтобы найти наклон линии, касательной к функции в и параллельно плоскости, мы рассматриваем как постоянную. График и эта плоскость показаны справа. Ниже мы видим, как функция выглядит на плоскости. Найдя производную уравнения, предполагая, что это константа, мы обнаруживаем, что наклон в точке равен: ${\ Displaystyle P (1,1)}$${\ displaystyle xz}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle y = 1}$ ${\ displaystyle y}$${\ displaystyle f}$${\ Displaystyle (х, у)}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial z} {\ partial x}} = 2x + y}$.

Таким образом, при подстановке наклон равен 3. Следовательно, ${\ displaystyle (1,1)}$

${\ displaystyle {\ frac {\ partial z} {\ partial x}} = 3}$

в точку. То есть частная производная по at равна 3, как показано на графике. ${\ displaystyle (1,1)}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle (1,1)}$

Функцию f можно переинтерпретировать как семейство функций одной переменной, индексированных другими переменными:

${\ displaystyle f (x, y) = f_ {y} (x) = x ^ {2} + xy + y ^ {2}.}$

Другими словами, каждое значение y определяет функцию, обозначенную f y  , которая является функцией одной переменной x. То есть,

${\displaystyle f_{y}(x)=x^{2}+xy+y^{2}.}$

В этом разделе нижний индекс f y обозначает функцию, зависящую от фиксированного значения y, а не частной производной.

Как только значение y выбрано, скажем a, тогда f ( x, y) определяет функцию f a, которая отслеживает кривую x ² + ax + a ² на плоскости: ${\ displaystyle xz}$

${\ displaystyle f_ {a} (x) = x ^ {2} + ax + a ^ {2}}$.

В этом выражении a - константа, а не переменная, поэтому f a - функция только одной действительной переменной, то есть x. Следовательно, применяется определение производной функции одной переменной:

${\ displaystyle f_ {a} '(x) = 2x + a}$.

Вышеупомянутая процедура может быть выполнена для любого выбора a. Объединение производных вместе в функцию дает функцию, которая описывает изменение f в направлении x:

${\ displaystyle {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} (x, y) = 2x + y.}$

Это частная производная f по x. Здесь ∂ - округленный d, называемый символом частной производной ; чтобы отличить его от буквы d, ∂ иногда произносится как «частичный».

Частные производные второго и более высокого порядка определяются аналогично производным высшего порядка функций одной переменной. Для функции "собственная" вторая частная производная по x - это просто частная производная от частной производной (обе по x): ${\ Displaystyle f (х, у,...)}$

${\ Displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x ^ {2}}} \ Equiv \ partial {\ frac {\ partial f / \ partial x} {\ partial x}} \ Equiv { \ frac {\ partial f_ {x}} {\ partial x}} \ Equiv f_ {xx}.}$

Перекрестная частная производная по x и y получается путем взятия частной производной от f по x, а затем взятия частной производной результата по y, чтобы получить

${\ Displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial y \, \ partial x}} \ Equiv \ partial {\ frac {\ partial f / \ partial x} {\ partial y}} \ эквив {\ frac {\ partial f_ {x}} {\ partial y}} \ Equiv f_ {xy}.}$

Теорема Шварц утверждает, что если вторые производные непрерывны выражение для поперечной частной производной не зависит от какого переменного частной производная берутся по отношению к первому и который берется вторым. То есть,

${\ Displaystyle {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial x \, \ partial y}} = {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial y \, \ partial x}} }$

или эквивалентно ${\ displaystyle f_ {yx} = f_ {xy}.}$

Собственные и перекрестные частные производные появляются в матрице Гессе, которая используется в условиях второго порядка в задачах оптимизации.

Существует концепция частных производных, аналогичная первообразным для регулярных производных. Учитывая частную производную, он позволяет частичное восстановление исходной функции.

Рассмотрим на примере

${\ displaystyle {\ frac {\ partial z} {\ partial x}} = 2x + y.}$

«Частичный» интеграл можно взять относительно x (рассматривая y как постоянный, аналогично частичному дифференцированию):

${\ displaystyle z = \ int {\ frac {\ partial z} {\ partial x}} \, dx = x ^ {2} + xy + g (y)}$

Здесь «константа» интегрирования больше не является константой, а является функцией всех переменных исходной функции, кроме x. Причина этого в том, что все другие переменные рассматриваются как постоянные при взятии частной производной, поэтому любая функция, которая не включает в себя, исчезнет при взятии частной производной, и мы должны учитывать это, когда берем первообразную. Самый общий способ представить это - сделать так, чтобы «константа» представляла неизвестную функцию всех других переменных. ${\ displaystyle x}$

Таким образом, набор функций, где g - любая функция с одним аргументом, представляет весь набор функций от переменных x, y, которые могли бы произвести x -частную производную. ${\ Displaystyle х ^ {2} + ху + г (у)}$${\ displaystyle 2x + y}$

Если все частные производные функции известны (например, с градиентом ), то первообразные могут быть сопоставлены с помощью описанного выше процесса для восстановления исходной функции с точностью до константы. Однако, в отличие от случая с одной переменной, не каждый набор функций может быть набором всех (первых) частных производных одной функции. Другими словами, не все векторные поля консервативны.

Геометрия

Объем конуса зависит от высоты и радиуса

Объем V из конуса зависит от конуса высоты ч и его радиус г по формуле

${\ displaystyle V (r, h) = {\ frac {\ pi r ^ {2} h} {3}}.}$

Частная производная V по r равна

${\ displaystyle {\ frac {\ partial V} {\ partial r}} = {\ frac {2 \ pi rh} {3}},}$

который представляет скорость, с которой изменяется объем конуса, если его радиус изменяется, а его высота остается постоянной. Частная производная по отношению к equals, которая представляет скорость, с которой изменяется объем, если его высота изменяется, а его радиус остается постоянным. ${\ displaystyle h}$${\ displaystyle {\ frac {\ pi r ^ {2}} {3}},}$

В противоположность этому, общая производная от V по отношению к т и ч соответственно

${\ displaystyle {\ frac {dV} {dr}} = \ overbrace {\ frac {2 \ pi rh} {3}} ^ {\ frac {\ partial V} {\ partial r}} + \ overbrace {\ frac {\ pi r ^ {2}} {3}} ^ {\ frac {\ partial V} {\ partial h}} {\ frac {dh} {dr}}}$

а также

${\ displaystyle {\ frac {dV} {dh}} = \ overbrace {\ frac {\ pi r ^ {2}} {3}} ^ {\ frac {\ partial V} {\ partial h}} + \ overbrace {\ frac {2 \ pi rh} {3}} ^ {\ frac {\ partial V} {\ partial r}} {\ frac {dr} {dh}}}$

Разница между полной и частной производной заключается в устранении косвенных зависимостей между переменными в частных производных.

Если (по какой-то произвольной причине) пропорции конуса должны оставаться прежними, а высота и радиус находятся в фиксированном соотношении k,

${\ displaystyle k = {\ frac {h} {r}} = {\ frac {dh} {dr}}.}$

Это дает полную производную по r:

${\ displaystyle {\ frac {dV} {dr}} = {\ frac {2 \ pi rh} {3}} + {\ frac {\ pi r ^ {2}} {3}} k}$

что упрощает:

${\ Displaystyle {\ гидроразрыва {dV} {dr}} = к \ пи г ^ {2}}$

Точно так же полная производная по h равна:

${\ displaystyle {\ frac {dV} {dh}} = \ pi r ^ {2}}$

Полная производная по отношению к как г и ч объема предназначена в качестве скалярной функции этих двух переменных задается градиент вектор

${\ displaystyle \ nabla V = \ left ({\ frac {\ partial V} {\ partial r}}, {\ frac {\ partial V} {\ partial h}} \ right) = \ left ({\ frac { 2} {3}} \ pi rh, {\ frac {1} {3}} \ pi r ^ {2} \ right)}$.

Оптимизация

Частные производные появляются в любой задаче оптимизации, основанной на исчислении, с более чем одной переменной выбора. Например, в экономике фирма может пожелать максимизировать прибыль π ( x, y) в зависимости от выбора величин x и y двух различных типов выпуска. В условии первого порядка для этой оптимизации является π х = 0 = π у. Поскольку обе частные производные π x и π y обычно сами являются функциями обоих аргументов x и y, эти два условия первого порядка образуют систему двух уравнений с двумя неизвестными.

Термодинамика, квантовая механика и математическая физика

Частные производные появляются в термодинамических уравнениях, таких как уравнение Гиббса-Дюгема, в квантовой механике как волновое уравнение Шредингера, а также в других уравнениях математической физики. Здесь переменные, которые остаются постоянными в частных производных, могут быть отношением простых переменных, таких как мольные доли x i в следующем примере, включающем энергии Гиббса в системе тройной смеси:

${\ displaystyle {\ bar {G_ {2}}} = G + (1-x_ {2}) \ left ({\ frac {\ partial G} {\ partial x_ {2}}} \ right) _ {\ frac {x_ {1}} {x_ {3}}}}$

Выразите мольные доли компонента как функции от мольных долей других компонентов и бинарных мольных соотношений:

${\ displaystyle x_ {1} = {\ frac {1-x_ {2}} {1 + {\ frac {x_ {3}} {x_ {1}}}}}}}$

${\ displaystyle x_ {3} = {\ frac {1-x_ {2}} {1 + {\ frac {x_ {1}} {x_ {3}}}}}}$

Дифференциальные коэффициенты могут быть сформированы при постоянных отношениях, подобных указанным выше:

${\ displaystyle \ left ({\ frac {\ partial x_ {1}} {\ partial x_ {2}}} \ right) _ {\ frac {x_ {1}} {x_ {3}}} = - {\ гидроразрыв {x_ {1}} {1-x_ {2}}}}$

${\ displaystyle \ left ({\ frac {\ partial x_ {3}} {\ partial x_ {2}}} \ right) _ {\ frac {x_ {1}} {x_ {3}}} = - {\ гидроразрыв {x_ {3}} {1-x_ {2}}}}$

Соотношения X, Y, Z мольных долей можно записать для тройных и многокомпонентных систем:

${\ displaystyle X = {\ frac {x_ {3}} {x_ {1} + x_ {3}}}}$

${\ displaystyle Y = {\ frac {x_ {3}} {x_ {2} + x_ {3}}}}$

${\ displaystyle Z = {\ frac {x_ {2}} {x_ {1} + x_ {2}}}}$

которые можно использовать для решения уравнений в частных производных, например:

${\ displaystyle \ left ({\ frac {\ partial \ mu _ {2}} {\ partial n_ {1}}} \ right) _ {n_ {2}, n_ {3}} = \ left ({\ frac {\ partial \ mu _ {1}} {\ partial n_ {2}}} \ right) _ {n_ {1}, n_ {3}}}$

Это равенство можно изменить так, чтобы с одной стороны было дифференциальное отношение мольных долей.

Изменение размера изображения

Частные производные являются ключом к целевым алгоритмам изменения размера изображения. Эти алгоритмы, широко известные как вырезание швов, требуют, чтобы каждому пикселю в изображении была присвоена числовая «энергия», чтобы описать их несходство с ортогональными соседними пикселями. Алгоритм затем постепенно удаляет строки или столбцы с наименьшей энергией. Формула, установленная для определения энергии пикселя (величины градиента в пикселе), сильно зависит от конструкций частных производных.

Экономика

Частные производные играют важную роль в экономике, в которой большинство функций, описывающих экономическое поведение, постулируют, что поведение зависит от более чем одной переменной. Например, функция общественного потребления может описывать сумму, потраченную на потребительские товары, как зависящую как от дохода, так и от благосостояния; предельная склонность к потреблению тогда частной производной функции потребления по отношению к доходам.

• оператор Даламбера
• Правило цепи
• Curl (математика)
• Расхождение
• Внешняя производная
• Итерированный интеграл
• Матрица Якоби и определитель
• Лапласиан
• Многопараметрическое исчисление
• Симметрия вторых производных
• Правило тройного произведения, также известное как правило циклической цепи.

• "Частная производная", Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
• Частные производные в MathWorld