Тесты сходимости

редактировать

В математике, тесты сходимости - это методы проверки сходимости , условная сходимость, абсолютная сходимость, интервал сходимости или расхождение бесконечного ряда $∑ n = 1 ∞ an {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n}}$ $\ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n}$ .

Содержание

1 Список тестов
- 1.1 Предел слагаемого
- 1.2 Проверка соотношения
- 1.3 Корневой тест
- 1.4 Интегральный тест
- 1.5 Тест прямого сравнения
- 1.6 Тест сравнения пределов
- 1.7 Тест конденсации Коши
- 1.8 Тест Абеля
- 1.9 Тест абсолютной сходимости
- 1.10 Чередование серий тест
- 1.11 Тест Дирихле
- 1.12 Тест Раабе – Дюамеля
- 1.13 Тест Бертрана
- 1.14 Тест Гаусса
- 1.15 Примечания
2 Примеры
3 Сходимость произведений
4 См. также
5 Ссылки
6 Дополнительная литература
7 Внешние ссылки

Список тестов

Предел слагаемого
Если предел суммы mand не определен или отличен от нуля, то есть $lim n → ∞ an ≠ 0 {\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} a_ {n} \ neq 0}$ $\ lim_ {n \ to \ infty} a_n \ ne 0$ , тогда серия должна расходятся. В этом смысле частичные суммы равны Коши , только если этот предел существует и равен нулю. Проверка неубедительна, если предел слагаемого равен нулю.

Проверка соотношения
Это также известно как критерий Даламбера .
Предположим, что существует $r {\ displaystyle r}$ $r$ такое, что
$lim n → ∞ | а п + 1 а п | = r. {\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ left | {\ frac {a_ {n + 1}} {a_ {n}}} \ right | = r.}$ ${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ left | {\ frac {a_ {n + 1}} {a_ {n}}} \ right | = r.}$
Если r < 1, then the series is absolutely convergent. If r>1, то ряд расходится. Если r = 1, тест отношения неубедителен, и ряды могут сходиться.

Корневой тест
Это также известно как тест корня n-й степени или критерий Коши .
Пусть
$r = lim sup n → ∞ | а п | n, {\ displaystyle r = \ limsup _ {n \ to \ infty} {\ sqrt [{n}] {| a_ {n} |}},}$ ${\ displaystyle r = \ limsup _ {n \ to \ infty} {\ sqrt [{n}] {| a_ {n} |}},}$
где $lim sup {\ displaystyle \ limsup }$ $\ limsup$ обозначает верхний предел (возможно, $∞ {\ displaystyle \ infty}$ $\ infty$ ; если предел существует, это то же значение).
Если r < 1, then the series converges. If r>1, то ряд расходится. Если r = 1, корневой тест неубедителен, и ряды могут сходиться или расходиться.
Корневой тест сильнее, чем тест отношения: всякий раз, когда тест отношения определяет сходимость или расхождение бесконечного ряда, тест корня делает тоже, но не наоборот.

Например, для ряда
1 + 1 + 0,5 + 0,5 + 0,25 + 0,25 + 0,125 + 0,125 +... = 4
сходимость следует из корня тест, но не из теста соотношения.

Интегральный тест
Ряд можно сравнить с интегралом, чтобы установить сходимость или расхождение. Пусть $f: [1, ∞) → R + {\ displaystyle f: [1, \ infty) \ to \ mathbb {R} _ {+}}$ $f: [1, \ infty) \ to \ R_ +$ является неотрицательным и монотонно убывающая функция такая, что $f (n) = an {\ displaystyle f (n) = a_ {n}}$ $f (n) = a_ {n}$ .
If
$∫ 1 ∞ f (x) dx = lim t → ∞ ∫ 1 tf (x) dx < ∞, {\displaystyle \int _{1}^{\infty }f(x)\,dx=\lim _{t\to \infty }\int _{1}^{t}f(x)\,dx<\infty,}$ ${\ displaystyle \ int _ {1} ^ {\ infty} f (x) \, dx = \ lim _ {t \ to \ infty} \ int _ {1} ^ {t} f ( х) \, dx <\ infty,}$
, то ряд сходится. Но если интеграл расходится, то и ряд тоже.
Другими словами, ряд $an {\ displaystyle {a_ {n}}}$ ${a_n}$ сходится тогда и только тогда, когда интеграл сходится.

Тест прямого сравнения
Если ряд $∑ n = 1 ∞ bn {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty } b_ {n}}$ $\ sum _ {n = 1 } ^ {\ infty} b_ {n}$ - это абсолютно сходящийся ряд и $| а п | ≤ | б н | {\ displaystyle | a_ {n} | \ leq | b_ {n} |}$ $| a_n | \ le | b_n |$ для достаточно большого n, тогда ряд $∑ n = 1 ∞ an {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n}}$ $\ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n}$ сходится абсолютно.

Тест сравнения пределов
Если ${an}, {bn}>0 {\ displaystyle \ {a_ {n} \}, \ {b_ {n} \}>0}$ $\{a_{n}\},\{b_{n}\}>0$ , (что есть, каждый элемент двух последовательностей положителен) и предел $lim n → ∞ anbn {\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {a_ {n}} {b_ {n}} }}$ ${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {a_ {n}} {b_ {n} }}}$ существует, конечно и не равно нулю, тогда $∑ n = 1 ∞ an {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n}}$ $\ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n}$ расходится тогда и только тогда, когда $∑ n = 1 ∞ bn {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} b_ {n}}$ $\ sum _ {n = 1 } ^ {\ infty} b_ {n}$ расходится.

Тест конденсации Коши
Пусть ${an} {\ displaystyle \ left \ {a_ {n} \ right \}}$ $\ left \ {a_ {n} \ right \}$ будет положительным невозрастающим последовательность. Тогда сумма $A = ∑ N = 1 ∞ an {\ displaystyle A = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n}}$ $A = \ sum_ {n = 1} ^ \ infty a_n$ сходится , если и только если сумма $A ∗ = ∑ n = 0 ∞ 2 na 2 n {\ displaystyle A ^ {} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} 2 ^ {n} а_ {2 ^ {n}} }$ $A ^ = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty 2 ^ n a_ {2 ^ n}$ сходится. Более того, если они сходятся, то выполняется $A ≤ A ∗ ≤ 2 A {\ displaystyle A \ leq A ^ {} \ leq 2A}$ $A \ leq A ^ \ leq 2A$ .

Тест Абеля
Предположим, что верны следующие утверждения:
$∑ an {\ displaystyle \ sum a_ {n}}$ $\ sum a_n$ - сходящийся ряд,
${bn} {\ displaystyle \ left \ {b_ {n} \ right \}}$ ${\ displaystyle \ left \ {b_ {n} \ right \}}$ - монотонная последовательность, а
${bn} {\ displaystyle \ left \ {b_ {n} \ right \}}$ ${\ displaystyle \ left \ {b_ {n} \ right \}}$ ограничен.
Тогда $∑ anbn {\ displaystyle \ sum a_ {n} b_ {n}}$ $\ sum a_nb_n$ также сходится.

Тест абсолютной сходимости
Каждый абсолютно сходящийся ряд сходится.

Тест чередующейся серии
Это также известно как критерий Лейбница .

Предположим, что верны следующие утверждения:
$lim n → ∞ an = 0 {\ displaystyle \ lim _ { n \ to \ infty} a_ {n} = 0}$ ${\ displaystyle \ lim _ { n \ to \ infty} a_ {n} = 0}$ ,
для каждого n, $an + 1 ≤ an {\ displaystyle a_ {n + 1} \ leq a_ {n}}$ ${\ displaystyle a_ {n + 1} \ leq a_ {n}}$
Тогда $∑ N знак равно К ∞ (- 1) nan {\ displaystyle \ sum _ {n = k} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} a_ {n}}$ ${\ displaystyle \ sum _ {n = k} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n} a_ {n}}$ и $∑ N знак равно К ∞ (- 1) n + 1 an {\ displaystyle \ sum _ {n = k} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n + 1} a_ {n}}$ ${\ displaystyle \ sum _ {n = k} ^ {\ infty} ( -1) ^ {n + 1} a_ {n}}$ сходятся ряды.

Тест Дирихле
Если ${an} {\ displaystyle \ {a_ {n} \}}$ $\ {a_ {n} \}$ является последовательностью из вещественных числа и ${bn} {\ displaystyle \ {b_ {n} \}}$ $\ {b_ {n} \}$ последовательность комплексных чисел, удовлетворяющих
$an ≥ an + 1 { \ displaystyle a_ {n} \ geq a_ {n + 1}}$ $a_ {n} \ geq a _ {{n + 1}}$
$lim n → ∞ an = 0 {\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} a_ {n} = 0}$ $\ lim_ {n \ rightarrow \ infty} a_n = 0$
$| ∑ n = 1 N b n | ≤ M {\ displaystyle \ left | \ sum _ {n = 1} ^ {N} b_ {n} \ right | \ leq M}$ $\ left | \ sum ^ {N} _ {n = 1} b_n \ right | \ leq M$ для каждого положительного целого числа N
, где M - некоторая константа, то ряд
$∑ n = 1 ∞ anbn {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n} b_ {n}}$ $\ sum ^ { \ infty} _ {n = 1} a_n b_n$
сходится.

Тест Раабе – Дюамеля
Пусть $an>0 {\ displaystyle a_ {n}>0}$ $a_{n}>0$ .

Определите
$bn = n (anan + 1 - 1). {\ displaystyle b_ {n} = n \ left ({\ frac {a_ {n}} {a_ {n + 1}}} - 1 \ right).}$ ${\ displaystyle b_ {n} = n \ left ({\ frac {a_ {n}} {a_ {n + 1}}} - 1 \ right).}$
Если
$L = lim n → ∞ bn {\ displaystyle L = \ lim _ {n \ to \ infty} b_ {n}}$ ${\ displaystyle L = \ lim _ {n \ to \ infty} b_ {n}}$
существует, есть три возможности:
если L>1, ряд сходится
если L < 1 the series diverges
и если L = 1, проверка не дает результатов.
Альтернативная формулировка этого теста следующая. Пусть {a n } будет серией действительных чисел. Тогда, если b>1 и K (натуральное число) существуют такие, что
$| an + 1 an | ≤ 1 - bn {\ displaystyle \ left | {\ frac {a_ {n + 1}} {a_ {n}}} \ right | \ leq 1 - {\ frac {b} {n}}}$ ${\ displaystyle \ left | {\ frac {a_ {n + 1}} {a_ {n}}} \ right | \ leq 1 - {\ frac {b} {n}}}$
для всех n>K, тогда ряд {a n } сходится.

Тест Бертрана
Пусть {a n } будет последовательностью положительных чисел.

Определите
$bn = ln ⁡ n (n (ан а n + 1 - 1) - 1). {\ displaystyle b_ {n} = \ ln n \ left (n \ left ({\ frac {a_ {n}} {a_ {n + 1}}} - 1 \ right) -1 \ right).}$ ${\ displaystyle b_ {n} = \ ln n \ left (n \ left ({\ frac {a_ {n}} {a_ {n + 1}}} - 1 \ right) - 1 \ right).}$
Если существует
$L = lim n → ∞ bn {\ displaystyle L = \ lim _ {n \ to \ infty} b_ {n}}$ ${\ displaystyle L = \ lim _ {n \ to \ infty} b_ {n}}$
, есть три возможности:
если L>1, серия сходится
, если L < 1 the series diverges
и если L = 1, тест неубедителен.

Тест Гаусса
Пусть {a n } будет последовательность положительных чисел. Если $анан + 1 = 1 + α N + O (1 / n β) {\ displaystyle {\ frac {a_ {n}} {a_ {n + 1}}} = 1 + {\ frac {\ alpha } {n}} + O (1 / n ^ {\ beta})}$ ${\ displaystyle {\ frac {a_ {n}} {a_ {n + 1}}} = 1 + {\ frac {\ alpha} {n} } + O (1 / n ^ {\ beta})}$ для некоторого β>1, затем $∑ an {\ displaystyle \ sum a_ {n}}$ ${\ displaystyle \ sum a_ {n}}$ сходится, если α>1, и расходится, если α ≤ 1.

Примечания

Для некоторых конкретных типов рядов существуют более специализированные тесты сходимости, например, для рядов Фурье есть тест Дини.

Примеры

Рассмотрим ряд

$(∗) ∑ n = 1 ∞ 1 n α. {\ displaystyle (*) \; \; \; \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {\ alpha}}}.}$ ${\ displaystyle (*) \; \; \; \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {\ alpha}}}.}$

Тест конденсации Коши означает, что (*) конечно сходится, если

(∗ ∗) ∑ n = 1 ∞ 2 n (1 2 n) α {\ displaystyle (**) \; \; \; \ sum _ {n = 1 } ^ {\ infty} 2 ^ {n} \ left ({\ frac {1} {2 ^ {n}}} \ right) ^ {\ alpha}}

{\ displaystyle (**) \; \; \; \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} 2 ^ {n } \ left ({\ frac {1} {2 ^ {n}}} \ right) ^ {\ alpha}}

конечно сходится. Так как

∑ N = 1 ∞ 2 N (1 2 N) α = ∑ N = 1 ∞ 2 N - N α = ∑ N = 1 ∞ 2 (1 - α) n {\ Displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} 2 ^ {n} \ left ({\ frac {1} {2 ^ {n}}} \ right) ^ {\ alpha} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty } 2 ^ {nn \ alpha} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} 2 ^ {(1- \ alpha) n}}

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} 2 ^ {n} \ left ({\ frac {1} {2 ^ {n}}} \ right) ^ {\ alpha} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} 2 ^ {nn \ alpha} = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty } 2 ^ {(1- \ alpha) n}}

(**) - геометрический ряд с соотношением $2 (1 - α) {\ Displaystyle 2 ^ {(1- \ альфа)}}$ $2 ^ {(1- \ альфа)}$ . (**) конечно сходится, если его отношение меньше единицы (а именно $α>1 {\ displaystyle \ alpha>1}$ $\alpha>1$ ). Таким образом, (*) конечно сходится тогда и только тогда, когда $α>1 {\ displaystyle \ alpha>1}$ $\alpha>1$ .

Сходимость произведений

Хотя большинство тестов касается сходимости бесконечных рядов, их также можно использовать, чтобы показать сходимость или расхождение бесконечных произведений. Этого можно достичь, используя следующую теорему: Пусть ${an} n = 1 ∞ {\ displaystyle \ left \ {a_ {n} \ right \} _ {n = 1} ^ {\ infty}}$ $\ left \ {a_n \ right \} _ {n = 1} ^ \ infty$ быть последовательностью положительных чисел. Тогда бесконечное произведение $∏ n = 1 ∞ (1 + an) {\ displaystyle \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} (1 + a_ {n})}$ $\ prod_ {n = 1} ^ \ infty (1 + a_n)$ сходится тогда и только тогда, когда ряд $∑ n = 1 ∞ an {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n}}$ $\ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n}$ сходится. Аналогично, если выполняется $0 < a n < 1 {\displaystyle 0$ $0 <a_n <1$ , то $∏ n = 1 ∞ (1 - an) {\ displaystyle \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} (1-a_ {n})}$ $\ prod_ { n = 1} ^ \ infty (1 - a_n)$ приближается к ненулевому пределу тогда и только тогда, когда ряд $∑ n = 1 ∞ an {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n}}$ $\ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} a_ {n}$ сходится.

Это можно доказать, взяв логарифм произведения и используя тест сравнения пределов.

См. Также

Ссылки

Дополнительная литература

Лейтольд, Луи (1972). Исчисление с аналитической геометрией (2-е изд.). Нью-Йорк: Харпер и Роу. С. 655–737. ISBN 0-06-043959-9.

Внешние ссылки

Блок-схема для выбора теста сходимости

Тесты сходимости

Тест абсолютной сходимостиКаждый абсолютно сходящийся ряд сходится.

Примечания

Тест абсолютной сходимости
Каждый абсолютно сходящийся ряд сходится.