Бесконечная сумма
В математике серия грубо говоря, это описание операции добавления одного за другого бесконечного количества величин к заданному начальному количеству. Изучение рядов является основной частью исчисления и его обобщения, математического анализа. Серии используются в области математики, даже для изучения конечных структур (например, в комбинаторике ) через производящие функции. Помимо того, что бесконечные ряды широко используются в математике, они также широко используются в других количественных дисциплинах, таких как физика, информатика, статистика и сы.
Долгое время идея о том, что такое бесконечное суммирование может дать конечный результат, считалась парадоксальной. Этот парадокс был разрешен с помощью предела в 17 веке. Парадокс Зенона из Ахиллеса и черепахи показывает это парадоксальное свойство бесконечных сумм: Ахес бежит за черепахой, но когда он достигает положения черепахи в начале забега, черепаха достигла второй позиции; когда он достигает этой второй позиции, черепаха оказывается в третьей позиции и так далее. Зенон пришел к выводу, что Ахиллес никогда не смог бы добраться до черепахи, и поэтому движения не существует. Зенон разделил расу на бесконечно много подрас, каждое из которых требует определенного количества времени, так что общее, за которое Ахиллес должен поймать черепаху, дается сериями. Разрешение парадокса состоит в том, что, хотя ряд состоит из бесконечного числа, он имеет конечную сумму, которая дает Ахиллу время, необходимое для того, чтобы догнать черепаху.
В современной терминологии любая (упорядоченная) бесконечная последовательность из терминов (то есть числа, функций или чего-либо еще, что может быть добавлено) определяет серию, которая это операция добавить i одного за другим. Чтобы подчеркнуть, что существует бесконечное количество членов, ряд можно назвать бесконечным рядом . Такой ряд представлен (или обозначен) выражением , например
или используя знак суммирования ,
Бесконечная последовательность добавлений, подразумеваемая рядом, не может быть эффективно продолжена (по крайней мере, за конечный промежуток времени). Однако, если набор , к которому принадлежат члены и их конечные суммы, имеет понятие предел, иногда возможно присвоить значение, называемой серии суммой ряда. Это значение является пределом, поскольку n стремится к бесконечности (если существует) конечных сумм n-ми частичными суммами ряда. То есть
Когда сход этот предел существует, говорят, что ряд ится или суммируется, или что последовательность является суммируемым . В этом случае предел называется суммой ряда. В противном случае говорят, что ряд расходится .
. Как правило, стабильные кольца , часто из поля из вещественных чисел или поле из комплексных чисел. В этом случае набор всех рядов сам по себе является кольцом (и даже ассоциативной алгеброй ), в котором сложение из почтового сложения ряда, а умножение - это произведение Коши..
Содержание
- 1 Основные свойства
- 2 Примеры числового ряда
- 2.1 π
- 2.2 Натуральный логарифм 2
- 2.3 Натуральный логарифм с основанием e
- 3 Исчисление и частичное суммирование как операция над последовательностью
- 4 Свойства ряда
- 4.1 Неотрицательные члены
- 4.2 Абсолютная сходимость
- 4.3 Условная сходимость
- 4.4 Оценка ошибок усечения
- 4.4.1 Чередование серии
- 4.4. 2 Ряд Тейлора
- 4.4.3 Гипергеометрический ряд
- 4.4.4 Экспоненциальная матрица
- 5 Тесты сходимости
- 6 Ряд функций
- 6.1 Степенный ряд
- 6.2 Формальная степень серия
- 6.3 Ряд Лорана
- 6.4 Ряд Дирихле
- 6.5 Тригонометрический ряд
- 7 История теории бесконечных рядов
- 7.1 Развитие бесконечных рядов
- 7.2 Конверсия Критерии
- 7.3 Равномерная сходимость
- 7.4 Полусходимость
- 7.5 Ряд Фурье
- 8 Обобщения
- 8.1 Асимптотический ряд
- 8.2 Дивергентный ряд
- 8.3 Суммирование по произвольным индексн ым наборам
- 8.3.1 Семейства неотрицательных чисел
- 8.3.2 Абелевы топологические группы
- 8.3.3 Безоговорочно сходящиеся ряды
- 8.3.4 Ряды в топологических векторных пространствах
- 8.3.4.1 Банаховы ряды и полу - нормированные пробелы
- 8.3.5 Хорошо упорядоченные суммы
- 8.3.6 Примеры
- 9 См. также
- 10 Примечания
- 11 Ссылки
- 12 Внешние ссылки
Основные свойства
Бесконечный ряд или просто ряд - это бесконечная сумма, представленная бесконечным выражением в форме
где - любая упорядоченная последовательность из терминов, таких как чисел, функций или чего- либо еще, что может быть добавлено (абелева группа ). Это выражение получается из списка терминов путем размещения их рядом, и соединяя их символом «+». Ряд также может быть представлен с использованием нотации суммирования, например
- .
Если абелева группа A терминов имеет понятие предел (например, если это метрическое пространство ), то некоторая серия, сходящаяся серия, можно интерпретировать как имеющее в A, называемое суммой ряда. Сюда входят общие случаи из исчисления, в котором группа представляет собой поле действующих чисел или поле комплексных чисел. Для ряда kth частичная сумма is
По определению, ряд сходится к пределу L (или просто суммируется с L), если последовательность его частичных сумм имеет предел L. В этом случае обычно пишут
Ряд называется сходящимся, если он сходится к некоторому пределу, или расходящимся, если это не так. Значение этого лимита, если оно существует, является значением ряда.
Сходящийся ряд
Иллюстрация 3
геометрических рядов с частичными суммами от 1 до 6 членов. Пунктирная линия представляет предел.
Говорят, что последовательность ∑a n сходится или сходится, когда последовательность (s k) частичных сумм имеет конечный предел. Если предел s k бесконечен или не существует, говорят, что ряд расходится. Когда существует предел частичных сумм, он называется величиной (или суммой) ряда
Простой способ схождения бесконечного ряда в том, если все a n равны нулю для достаточно большого n. Такой можно отождествить с конечной суммой, поэтому он бесконечен только в тривиальном смысле.
Определение свойств сходящихся рядов, даже если бесконечно много отличных от нуля, является сутью изучение рядов. Рассмотрим пример
Можно "визуализировать" его конвергенцию на прямой числовой : мы можем представить длину 2 последовательными сегментами, размеченными по длине 1, ½, ¼ и т. Д. Всегда есть место для отметки следующего сегмента, потому что количество оставшейся линии всегда было таким же, как и у последнего сегмента: когда мы отметили ½, у нас все еще есть кусок длины ½ без отметки, так что мы, безусловно, можем отметить следующий ¼. Этот аргумент не доказывает, что сумма равна 2 (хотя это так), но доказывает, что она не превосходит 2. Другими словами, ряд имеет верхнюю границу. Учитывая, что ряд сходится, для доказательства того, что он равен 2, требуется только элементарная алгебра. Если серия обозначена S, можно увидеть, что
Следовательно,
Идиому можно распространить на другие эквивалентные понятия. серии. Например, повторяющееся десятичное число , как в
- ,
, кодирует ряд
Временные эти ряды всегда сходятся к действительным числам ( из-за того, что называется своим полноты вещественных чисел), говорят о рядах таким образом - то же самое, что говорят о числах, которые они обозначают. В частности, представленное 0,111... может быть идентифицировано как / 9. Это приводит к аргументу, что 9 × 0,111... = 0,999... = 1, который основан на том факте, что только предельные законы для рядов сохраняют арифметические операции; Подробнее об этом аргументе см. 0,999....
Примеры числовых рядов
- A геометрический ряд - это ряд, в каждом последующем члене получается умножения предыдущего члена на постоянное число (в данном контексте называется обычным сообщением). Например:
- В в общем, геометрический ряд
- сходится тогда и только тогда, когда , и в этом случае он сходится к .
и их обобщения (такие как базовый гипергеометрический ряд и эллиптический гипергеометрический ряд ) часто встречаются в интегрируемые системы и математическая физика.
- арифметико-геометрический ряд - это обобщение геометрического ряда, у которого коэффициенты равны общего числа членов арифметической последовательности. Пример:
- Гармонический ряд - это ряд
- Гармонический ряд расходящийся.
- чередующийся ряд - это ряд, в котором меняют знаки. Примеры:
- (чередующиеся гармонические ряды )
и
- сходится, если p>1, и расходится при p ≤ 1, что может быть показано с помощью интегрального критерия, описанного ниже в тестах сходимости. Как функция p, сумма этого ряда равна дзета-функция Римана.
- сходится, если последовательность bnсходится к пределу L, когда n стремится к бесконечности. Тогда значение ряда равно b 1 - L.
- Есть некоторые элементарные ряды, сходимость которых еще не известна / не доказана. Например, неизвестно, является ли серия Флинт-Хиллз
- сходится или нет. Сходимость зависит от того, насколько хорошо может быть аппроксимировано рациональными числами (что пока неизвестно). Более конкретно, значения n с большим числовым вкладом в количестве числителями подходящих дробей для непрерывной дроби , последовательность, начинающейся с 1, 3, 22, 333, 355, 103993,... (последовательность A046947 в OEIS ). Это целые числа, близкие к для некоторого целого n, так что близко к 0, а обратная величина - большая. Алексеев (2011) доказал, что если ряд сходится, то мера иррациональности для меньше 2,5, что намного меньше известная граница 7.10320533....
π
Натуральный логарифм 2
Натуральный логарифм база е
Вычисление и частичное суммирование как операция над последовательностями
Частичное суммирование принимает в качестве входных данных последовательности (a n) и дает в качестве выходных данных другую последовательность (S N). Таким образом, это унарная операция над последовательностями. Кроме того, эта функция является линейной и, таким образом, является линейным оператором в векторном пространстве последовательностей, обозначенном Σ. Обратный оператор - это оператор конечных разностей , обозначенный Δ. Они ведут себя как дискретные аналоги интегрирования и дифференцирования, только для рядов (функций натурального числа) вместо функций действительной переменной. Например, последовательность (1, 1, 1,...) имеет ряд (1, 2, 3, 4,...) в качестве частичного суммирования, что аналогично тому, что
В информатике это известно как сумма префикса.
Свойства ряда
С классифицируются не только по тому, сходятся они или расходятся, но и по свойствам A n (абсолютная или условная сходимость); тип сходимости ряда (поточечная, равномерная); класс member a n (будь то действительное число, арифметическая прогрессия, тригонометрическая функция);
Неотрицательные члены
Когда n является неотрицательным действительным числом для каждого n, последовательность S N частичных сумм не убывают. Когда последовательность S N частичных сумм ограничена, следует, что следует, что ряд ∑a n с неотрицательными неотрицательными сходится тогда и только тогда, когда последовательность S N частичных сумм ограничена.
Например, ряд
сходится, потому что неравенство
и аргумент телескопической суммы подразумевает, что частичные суммы ограничены число 2. Точное значение исходного ряда - это задача Базеля.
Абсолютная сходимость
Ряд
абсолютно сходится, если ряд абсолютных значений
сходится. Этого достаточно, чтобы не только то что исходный ряд сходится к пределу, но и то, что любое его переупорядочение сходится к тому же пределу.
Условная сходимость
Серия действительных или комплексных чисел называется условно сходящейся (или полусходящейся ), если она сходится, но не совсем сходится. Известный пример - чередующийся ряд
который сходится (и его сумма ), но ряд, образованный взятиемного значения каждого члена - расходящийся гармонический ряд. В теореме о рядх Римана говорится, что любой условно сходящийся ряд можно переупорядочить, чтобы получить расходящийся ряд, и, более, если действительны и - любое действительное число, которое можно переупорядочить, чтобы переупорядоченный ряд сходился с суммой, равной .
Абелевской тест - важный инструмент для работы с полусходящимися рядомми. Если ряд имеет вид
, где частичные суммы ограничены, имеет ограниченную вариацию, и существует :
, тогда ряд сходится. Это относится к точечной сходимости многих тригонометрических рядов, например,
с
- ∑ (λ n - λ n + 1) B n. {\ displaystyle \ sum (\ lambda _ {n} - \ lambda _ {n + 1}) \, B_ {n}.}
Оценка ошибок усечения
Оценка ошибок усечения - это важная процедура в числовом анализом (особенно проверенные числа и компьютерное доказательство ).
Когда условия теста чередующихся серий удовлетворяют S: = ∑ m = 0 ∞ (- 1) мама {\ displaystyle S: = \ sum _ {m = 0} ^ {\ infty} (- 1) ^ {m} u_ {m}}, есть точная оценка ошибки. Задайте sn {\ displaystyle s_ {n}}как частичную сумму sn: = ∑ m = 0 n (- 1) мама {\ displaystyle s_ {n}: = \ сумма _ {m = 0} ^ {n} (- 1) ^ {m} u_ {m}}заданного переменного ряда S {\ displaystyle S}. Тогда выполняет следующее неравенство:
- | S - s n | ≤ U N + 1. {\ Displaystyle | S-s_ {n} | \ leq u_ {n + 1}.}
Теорема Тейлора - это утверждение, которое включает член ошибки, когда Ряд Тейлора усечен.
Используя коэффициент , мы можем получить членские ошибки, когда гипергеометрический ряд усечен.
Для матричной экспоненты :
- exp (X): = ∑ k = 0 ∞ 1 k! Икс К, Икс ∈ С N × N, {\ Displaystyle \ ехр (X): = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {k!}} X ^ {k}, \ quad X \ in \ mathbb {C} ^ {n \ times n},}
произведена следующая оценка ошибки (метод масштабирования и возведения в квадрат):
- T r, s (X): = [∑ j = 0 r 1 j! (X / s) j] s, | | ехр (X) - T r, s (X) | | ≤ | | X | | г + 1 с г (г + 1)! ехр (| | X | |). {\ displaystyle T_ {r, s} (X): = \ left [\ sum _ {j = 0} ^ {r} {\ frac {1} {j!}} (X / s) ^ {j} \ вправо] ^ {s}, \ quad || \ exp (X) -T_ {r, s} (X) || \ leq {\ frac {|| X || ^ {r + 1}} {s ^ {r} (r + 1)!}} \ exp (|| X ||).}
Тесты сходимости
Существует множество тестов, которые можно использовать, чтобы определить, сходятся или расходятся электрические ряды.
- проверка n-го термина : Если lim n → ∞ an ≠ 0 {\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} a_ {n} \ neq 0}, то ряд расходится; Если lim n → ∞ an = 0 {\ displaystyle \ lim _ {n \ rightarrow \ infty} a_ {n} = 0}, то проверка не дает результатов.
- Сравнительный тест 1 (см. Тест прямого сравнения ): Если ∑ bn {\ displaystyle \ sum b_ {n}}является абсолютно сходящейся серией, такой что | а п | ≤ C | б н | {\ displaystyle \ left \ vert a_ {n} \ right \ vert \ leq C \ left \ vert b_ {n} \ right \ vert}для некоторого числа C {\ displaystyle C}и для достаточно большого n {\ displaystyle n}, тогда ∑ an {\ displaystyle \ sum a_ {n}}сходится абсолютно как Что ж. Если ∑ | б н | {\ displaystyle \ sum \ left \ vert b_ {n} \ right \ vert}расходится, и | а п | ≥ | б н | {\ displaystyle \ left \ vert a_ {n} \ right \ vert \ geq \ left \ vert b_ {n} \ right \ vert}для всех достаточно больших n {\ displaystyle n}, то ∑ {\ displaystyle \ sum a_ {n}}также не может полностью сходиться (хотя он все еще может быть условно сходящимся, например, если an {\ displaystyle a_ {n}}альтернативный знак).
- сравнительный тест 2 (см. предельный сравнительный тест ): если ∑ bn {\ displaystyle \ sum b_ {n}}- это абсолютно сходящийся ряд, такой что | а п + 1 а п | ≤ | б н + 1 б н | {\ Displaystyle \ left \ vert {\ frac {a_ {n + 1}} {a_ {n}}} \ right \ vert \ leq \ left \ vert {\ frac {b_ {n + 1}} {b_ {n)}}} \ right \ vert}для достаточно большого n {\ displaystyle n}, затем ∑ an {\ displaystyle \ sum a_ {n}}также абсолютно сходится. Если ∑ | б н | {\ displaystyle \ sum \ left \ vert b_ {n} \ right \ vert}расходится, и | а п + 1 а п | ≥ | б н + 1 б | | {\ displaystyle \ left \ vert {\ frac {a_ {n + 1}} {a_ {n}}} \ right \ vert \ geq \ left \ vert {\ frac {b_ {n + 1}} {b_ {n))}}} \ right \ vert}для всех достаточно больших n {\ displaystyle n}, затем ∑ an {\ displaystyle \ sum a_ {n} }также не может быть полностью сходиться (хотя он все еще может быть условно сходящимся, например, если {\ displaystyle a_ {n}}меняет знак).
- Проверка соотношения : Если существует константа C < 1 {\displaystyle C<1}такая, что | а п + 1 а п | < C {\displaystyle \left\vert {\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\right\vert для всех достаточно больших n {\ displaystyle n}, тогда ∑ an {\ displaystyle \ sum a_ {n}}сходится абсолютно. Когда отношение меньше 1 {\ displaystyle 1}, но не меньше константы меньше 1 {\ displaystyle 1}, сходимость возможна, но этот тест не устанавливает этого.
- Корневой тест : Если существует константа C < 1 {\displaystyle C<1}такая, что | а п | 1 n ≤ C {\ displaystyle \ left \ vert a_ {n} \ right \ vert ^ {\ frac {1} {n}} \ leq C}для всех достаточно больших n {\ displaystyle n}, тогда ∑ an {\ displaystyle \ sum a_ {n}}сходится абсолютно.
- Интегральный тест : if f (x) {\ displaystyle f (x)}- положительная монотонно убывающая функция, определенная на интервале [1, ∞) {\ displaystyle [1, \ infty)}с f (n) = an {\ displaystyle f (n) = a_ {n}}для всех n {\ displaystyle n}, тогда ∑ an {\ displaystyle \ sum a_ {n}}сходится тогда и только тогда, когда интеграл ∫ 1 ∞ f (x) dx {\ displaystyle \ int _ {1} ^ {\ infty} f (x) dx}конечно.
- Тест конденсации Коши : Если an {\ displaystyle a_ {n}}неотрицательный и невозрастающий, тогда две серии ∑ an {\ displaystyle \ sum a_ {n} }и ∑ 2 ка (2 k) {\ displaystyle \ sum 2 ^ {k} a _ {(2 ^ {k})}}одинаковы характер: оба сходятся или оба расходятся.
- Тест чередующейся серии : серия в форме ∑ (- 1) nan {\ displaystyle \ sum (-1) ^ {n} a_ {n}}(с an>0 {\ displaystyle a_ {n}>0}) называется чередующимся. Такой ряд сходится, если последовательность an {\ displaystyle a_ {n}}<>698>монотонно убывает и сходится к 0 {\ displaystyle 0}. Обратное, как правило, неверно.
- Для некоторых конкретных типов рядов существуют более специализированные тесты сходимости, например, для рядов Фурье существует тест Дини.
рядов функций
Серия функций с действительным или комплексным знаком
- ∑ n = 0 ∞ fn (x) {\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} f_ {n} (x)}
сходится поточечно на множестве E, если ряд сходится для каждого x в E как обычный ряд действительных или компле ксных чисел. Аналогично частичные суммы
- s N (x) = ∑ n = 0 N fn (x) {\ displaystyle s_ {N} (x) = \ sum _ {n = 0} ^ {N} f_ {n} ( x)}
сходятся к ƒ (x) при N → ∞ для каждого x ∈ E.
Более сильным понятием сходимости ряда функций является равномерная сходимость. Ряд сходится равномерно, если он сходится поточечно к функциям ƒ (x), и ошибка аппроксимации предела N-й частичной суммой,
- | s N (x) - f (x) | {\ displaystyle | s_ {N} (x) -f (x) |}
можно сделать минимальным путем x выбора достаточно большого N.
Для ряда желательна равномерная сходимость, поскольку свойства многих членов ряда сохраняются до предела. Например, если ряд непрерывных функций сходится равномерно, то предельная функция также будет непрерывной. Аналогично, если ƒ n интегрируем на замкнутом и ограниченном интервале I и сходятся равномерно, то ряд также интегрируем на I и может быть интегрирован почленно. Тесты на равномерную сходимость включают М-Вейерштрасса, тест равномерной сходимости Абеля, тест Дини и критерий Коши.
более сложный также можно определить типы сходимости ряда функций. В теории меры, например, ряд функцийится почти всюду, если он сходится поточечно, за исключением набора нулевой меры. Другие режимы сходимости зависят от другой структуры метрического пространства на рассматриваемом пространстве функций. Например, ряд функций сходится в среднем на множестве E к предельной функции ƒ при условии
- ∫ E | s N (x) - f (x) | 2 d Икс → 0 {\ Displaystyle \ int _ {E} \ left | s_ {N} (x) -f (x) \ right | ^ {2} \, dx \ to 0}
при N → ∞.
Силовой ряд
A степенной ряд - это ряд вида
- ∑ n = 0 ∞ a n (x - c) n. {\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} (xc) ^ {n}.}
Ряд Тейлора в точке c функцией является степенной ряд, который во многих случаях сходится к функциям в окрестностях c. Например, ряд
- ∑ n = 0 ∞ x n n! {\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {n}} {n!}}}
- это ряд Тейлора ex {\ displaystyle e ^ {x }}в начале координат и сходится к нему для каждого x.
Если он не сходится только в точке x = c, такой ряд сходится на некотором открытом мире сходимости с точкой c на некоторых точках границы диск. Радиус этого диска известен как радиус сходимости и, в принципе, может быть определен из асимптотики коэффициентов a n. Сходимость пространенном на замкнутом и ограниченном (то есть компактном ) подмноже внутренних частей диска сходимости: именно, это одинаково сходящиеся на компактах.
математики, такие как Леонард Эйлер, свободно работали с бесконечными рядами, даже если они не сходились. Когда в девятнадцатом веке исчисление было положено на прочное и правильное основание, всегда требовалось строгое доказательство сходимости рядов.
Формальный степенной ряд
Хотя во многих случаях степенные ряды относятся к их суммам, также можно рассматривать степенные ряды как формальные суммы, что означает, что операции сложения фактически не выполняются, а символ «+» - абстрактный символ соединения, который не обязательно интерпретируется как соответствующий сложению. В этом случае интерес представляет сама последовательность коэффициентов, а не сходимость ряда. Формальные степенные ряды используются в комбинаторике для описания и изучения последовательностей, которые иначе трудно обрабатывать, например, с использованием метода генерирующих функций. Ряд Гильберта – Пуанкаре - это формальный степенной ряд, используемый для изучения градуированных алгебр.
Даже если предел степенного ряда не рассматривается, если термины поддерживают соответствующую структуру, тогда можно определить операции, такие как сложение, умножение, производная, первообразная для степенного ряда «формально», обрабатывая символ «+» как если бы это соответствовало сложению. В наиболее распространенной настройке члены берутся из коммутативного кольца , так что формальный степенной ряд можно добавлять почленно и умножать на произведение Коши. В этом случае алгебра формальных степенных рядов - это общая алгебра моноида натуральных чисел над лежащим в основе кольцом терминов. Если основное кольцо терминов является дифференциальной алгеброй, то алгебра формальных степенных рядов также является дифференциальной алгеброй, с дифференцированием, выполняемым почленно.
Ряд Лорана
Ряд Лорана обобщают степенные ряды, допуская в ряд члены с отрицательными и положительными показателями степени. Таким образом, ряд Лорана - это любой ряд вида
- ∑ n = - ∞ ∞ a n x n. {\ displaystyle \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} a_ {n} x ^ {n}.}
Если такой ряд сходится, то, как правило, это происходит в кольце , а не диск, и, возможно, некоторые граничные точки. Ряд сходится равномерно на компактных подмножествах внутренней части кольца сходимости.
Ряд Дирихле
A Ряд Дирихле является одной из форм
- ∑ n = 1 ∞ anns, {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {a_ { n} \ over n ^ {s}},}
где s - комплексное число. Например, если все a n равны 1, то ряд Дирихле - это дзета-функция Римана
- ζ (s) = ∑ n = 1 ∞ 1 n s. {\ displaystyle \ zeta (s) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {s}}}.}
Как и дзета-функция, ряд Дирихле в целом играют важную роль в аналитической теории чисел. Обычно ряд Дирихле сходится, если действительная часть s больше числа, называемого абсциссой сходимости. Во многих случаях ряд Дирихле может быть расширен до аналитической функции вне области сходимости с помощью аналитического продолжения. Например, Дирихле для дзета-функции абсолютно сходится, когда Re s>1, но дзета-функция может быть расширена до голоморфной функции, определенной на C ∖ {1} {\ displaystyle \ mathbf {C} \ setminus \ { 1 \}}основным полюсом в точке 1.
Этот ряд можно напрямую обобщить на общий ряд Дирихле.
Тригонометрический ряд
Тригонометрические функции , называемые тригонометрическим рядом :
- 1 2 A 0 + ∑ n = 1 ∞ (A n cos nx + B n sin nx). {\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} A_ {0} + \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (A_ {n} \ cos nx + B_ {n} \ sin nx \ справа).}
Самым важным примером тригонометрического ряда является ряд Фурье функции.
История теории бесконечного ряда
Развитие бесконечного ряда
Греческий математик Архимед произвел первое известное суммирование бесконечного ряда с помощью метода это все еще используется в области исчисления сегодня. Он использовал метод истощения для вычислений площади под дугой параболы с суммированием бесконечного ряда и дал удивительно точное приближение π.
Математики из Кералы, Индия, изучали бесконечные ряды около 1350 г. н.э.
В 17 веке Джеймс Грегори работал в новой десятичной системе по бесконечным сериям и опубликовал несколько серий Маклорена. В 1715 году общий метод построения рядов Тейлора для всех функций, для которых они существуют, был предоставлен Брук Тейлор. Леонард Эйлер в 18 веке разработал теорию гипергеометрических рядов и q-рядов.
Критерии сходимости
Исследование действительности бесконечных Считается, что серия начинается с Гаусса в 19 веке. Эйлер уже рассматривал гипергеометрический ряд
- 1 + α β 1 ⋅ γ x + α (α + 1) β (β + 1) 1 ⋅ 2 ⋅ γ (γ + 1) x 2 + ⋯ {\ displaystyle 1+ {\ frac {\ alpha \ beta} {1 \ cdot \ gamma}} x + {\ frac {\ alpha (\ alpha +1) \ beta (\ beta +1)} {1 \ cdot 2 \ cdot \ gamma (\ гамма +1)}} x ^ {2} + \ cdots}
, о котором Гаусс опубликовал мемуары в 1812 году. В нем были установлены более простые сходимости, а также вопросы об остатках и диапазоне сходимости.
Коши (1821) настаивал на строгих проверках сходимости; он показал, что если две серии сходятся, их работа не обязательно так, и с него начинается открытие эффективных критериев. Термины конвергенция и расхождение были введены задолго до этого Грегори (1668). Леонард Эйлер и Гаусс привел к оценке, а Колин Маклорен предвосхитил некоторые открытия Коши. Коши продвинул теорию степенных рядов, расширив сложную функцию в такой форме.
Абель (1826) в своих мемуарах о биномиальном ряду
- 1 + m 1! х + м (м - 1) 2! x 2 + ⋯ {\ displaystyle 1 + {\ frac {m} {1!}} x + {\ frac {m (m-1)} {2!}} x ^ {2} + \ cdots}
исправлены выводы Коши, и полностью научное суммирование ряда для комплексных значений m {\ displaystyle m}и x {\ displaystyle x}. Он предлагает рассмотрение вопроса о преемственности в рассмотрении конвергенции.
Методы Коши привести к частным, не общим критериям, и то же самое можно сказать о Раабе (1832 г.), который провел первое подробное исследование предмета, Де Моргана (из 1842 г.), чьи логарифмические тесты DuBois-Reymond (1873) и Pringsheim (1889) показали, что в определенной области не работают; из Бертрана (1842), Бонне (1843), Мальмстена (1846, 1847, последний без интеграции); Стокс (1847), Паукер (1852), Чебышев (1852) и Арндт (1853).
Общие правила начались с Куммера (1835) и были изучены Эйзенштейном (1847), Вейерштрассом в его вкладах в теории функций, Дини (1867), Дюбуа-Реймон (1873) и многие другие. Воспоминания Прингсхайма (1889 г.) Дополнительная полная общую теорию.
Равномерная конвергенция
Теория равномерной конвергенции была рассмотрена Коши (1821), его ограничения были указаны Абелем, но первыми, кто успешно атаковал ее, были: 186>Зайдель и Стокс (1847–48). Коши снова занялся этой проблемой (1853 г.), признав критику Абеля и придя к тем же выводам, которые уже сделал Стокс. Тома использовал эту доктрину (1866 г.), но с большим опозданием признал различия между однородной и неоднородной сходимостью, несмотря на требования теории функций.
Полусходимость
Ряд называется полусходящимся (или условно сходящимся), если он сходится, но не абсолютно сходится..
Полусходящие ряды изучались Пуассон (1823 г.), который также дал общий вид остальной части формулы Маклорена. Однако наиболее важным решением проблемы является Якоби (1834 г.), который подошел к вопросу об остатке с другой точки зрения и пришел к другой формуле. Это выражение также было разработано и дано Мальмстеном (1847). Schlömilch (Zeitschrift, Vol.I, p. 192, 1856) также улучшил остаток Якоби и показал связь между остатком и функцией Бернулли.
- F (x) = 1 n + 2 п + ⋯ + (х - 1) п. {\ displaystyle F (x) = 1 ^ {n} + 2 ^ {n} + \ cdots + (x-1) ^ {n}.}
Дженокки (1852 г.) внес свой вклад в теорию.
Среди ранних писателей был Вронский, чье «loi suprême» (1815) почти не узнавали, пока Кэли (1873) не выдвинул его на первый план.
Ряды Фурье
Ряды Фурье исследовались как результаты физических соображений в то время, когда Гаусс, Абель и Коши использовали теорию бесконечных рядов. Были рассмотрены ряды для разложения синусов и косинусов, кратных дуг по степеням синуса и косинуса дуги Якобом Бернулли (1702) и его братом Иоганном Бернулли (1701).) и еще раньше Виетой. Эйлер и Лагранж упростили предмет, как и Пуансо, Шретер, Глейшер и Куммер.
Фурье (1807 г.)) поставил перед собой другую задачу - разложить заданную функцию от x в терминах синусов или косинусов кратных x - проблему, которую воплотил в своей Théorie analytique de la chaleur (1822). Эйлер уже привел формулы для определения коэффициентов значений; Фурье был первым, кто утвердил и попытался доказать общую теорему. Пуассон (1820–1823 гг.) Также подошел к проблеме с другой точки зрения. Фурье, однако, не решил вопрос о сходимости своих рядов, и этот вопрос оставался на усмотрение Коши (1826 г.), а Дирихле (1829 г.) - сугубо научного подхода (см. сходимость ряда Фурье ). Трактовка Дирихле (Crelle, 1829) тригонометрических рядов был предметом критики и улучшений со стороны Римана (1854), Гейне, Липшица, Шлефли и дю Буа -Реймон. Среди других выдающихся авторов теории тригонометрических рядов и рядов Фурье были Дини, Эрмит, Халфен, Краузе, Байерли и Аппелл.
Обобщения
Асимптотический ряд
Асимптотический ряд, иначе асимптотическое разложение, представляет собой бесконечный ряд, частичные суммы которого становятся хорошими приближениями в пределе некоторой точки области. В общем, они не сходятся, но они полезны как приближений, каждый из которых обеспечивает, близкое к желаемому ответу для конечного числа членов. Разница в том, что асимптотический ряд не может дать столь точный ответ. Фактически, после определенного числа типичный асимптотический ряд достигает наилучшего приближения; если будет включено больше терминов, большинство таких серий дадут худшие ответы.
Расходящийся ряд
Во многих случаях желательно установить предел для ряда, который не может сходиться в обычном смысле. Метод суммируемости - это назначение предела подмнству множества расходящихся рядов, которое должным образом расширяет классическое понятие сходимости. Методы суммирования включают в себя суммирование Чезаро, (C, k) суммирование, суммирование Абеля и суммирование Бореля в порядке возрастания общности (и, следовательно, применимы ко все более расходящимся серии).
Известно множество результатов, использованные методы суммирования. Теорема Сильвермана - Теплица предоставляет методы суммирования матриц, которые предоставляют собой методы суммирования расходящихся рядов путем применения бесконечной матрицы к вектору коэффициентов. Самый общий метод суммирования расходящихся рядов неконструктивен и касается Банаховых пределов.
Суммирования по произвольным индексным наборам
Могут быть даны определения для сумм по произвольному набору индексов I. Существуют два основных отличия от обычных понятий серии: во -первых, на множестве I нет определенного порядка; во-втором, этот набор может быть бесчисленным. Понятие сходимости необходимо усилить, потому что концепция условной сходимости зависит от порядка набора индексов.
Если a: I ↦ G {\ displaystyle a: I \ mapsto G}- это функция из набора индексов I к набору G, тогда "серия", связанная с a {\ displaystyle a}, является формальной суммой элементов a (x) ∈ G {\ displaystyle a (x) \ in G}над элементами x ∈ I {\ displaystyle x \ in I}, обозначенными
- ∑ x ∈ Я а (х). {\ displaystyle \ sum _ {x \ in I} a (x).}
Когда набором индексов являются натуральные числа I = N {\ displaystyle I = \ mathbb {N}}, функция a: N ↦ G {\ displaystyle a: \ mathbb {N} \ mapsto G}представляет собой последовательность, обозначенную a (n) = an {\ Displaystyle а (п) = а_ {п}}. Ряд, проиндексированный по натуральным числам, является упорядоченной формальной суммой, поэтому мы перепишем ∑ n ∈ N {\ displaystyle \ sum _ {n \ in \ mathbb {N}}}как ∑ N = 0 ∞ {\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty}}, чтобы подчеркнуть порядок, вызванный натуральными числами. Таким образом, мы получаем общее обозначение ряда, пронумерованного натуральными числами
- ∑ n = 0 ∞ a n = a 0 + a 1 + a 2 + ⋯. {\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} = a_ {0} + a_ {1} + a_ {2} + \ cdots.}
Семейства неотрицательных чисел
При суммировании семейства неотрицательных чисел {a i }, i ∈ I, можно определить
- ∑ i ∈ I ai = sup {∑ i ∈ A ai | Конечное, A ⊂ I} ∈ [0, + ∞]. {\ displaystyle \ sum _ {i \ in I} a_ {i} = \ sup {\ Bigl \ {} \ sum _ {i \ in A} a_ {i} \, {\ big |} A {\ text { конечно,}} A \ subset I {\ Bigr \}} \ in [0, + \ infty].}
Когда супремум конечен, множество i ∈ I таких, что a i>0 счетно. На самом деле, для любого n ≥ 1 множество A n = {i ∈ I: ai>1 / n} {\ displaystyle A_ {n} = \ {i \ in I \,: \, a_ {i}>1 / n \}}конечно, потому что
- 1 n карточка (A n) ≤ ∑ i ∈ A nai ≤ ∑ i ∈ I ai < ∞. {\displaystyle {\frac {1}{n}}\,{\textrm {card}}(A_{n})\leq \sum _{i\in A_{n}}a_{i}\leq \sum _{i\in I}a_{i}<\infty.}
Если I счетно бесконечен и пронумерован как I = {i 0, i 1,...}, тогда определенная выше сумма удовлетворяет
- ∑ i ∈ I ai = ∑ k = 0 + ∞ aik, {\ displaystyle \ sum _ {i \ in I} a_ {i} = \ sum _ {k = 0} ^ {+ \ infty} a_ {i_ {k}},}
при условии, что значение ∞ разрешено для суммы ряда.
Любую сумму по неотрицательным числам можно понимать как интеграл неотрицательной функции по отношению к счетной мере, которая объясняет много общего между двумя конструкциями.
Абелевы топологические группы
Пусть a: I → X, где I - любое множеств о, а X - абелев Хаусдорф t опологическая группа. Пусть F будет совокупностью всех конечных подмножеств из I, при этом F рассматривается как направленный набор, упорядоченный с помощью с объединением как объединение. Определим сумму семейства S как предел
- S = ∑ i ∈ I a i = lim {∑ i ∈ A a i | A ∈ F} {\ displaystyle S = \ sum _ {i \ in I} a_ {i} = \ lim {\ Bigl \ {} \ sum _ {i \ in A} a_ {i} \, {\ big | } А \ in F {\ Bigr \}}}
, если он существует, и говорят, что семейство безусловно суммируемо. Утверждение, что сумма S является пределом конечных частичных сумм, означает, что для каждой окрестности V точка 0 в X существует конечное подмножество A 0 из I такое, что
- S - ∑ i ∈ A ai ∈ V, A ⊃ A 0. {\ displaystyle S- \ sum _ {i \ in A} a_ {i} \ in V, \ quad A \ supset A_ {0}.}
Диаграмма F не полностью упорядочен, это не Отслеживает предел частичных сумм, а скорее сеть.
Для каждой W, окрестности 0 в X, существует меньшая набегность V такая, что V - V ⊂ W., что частичные безусловно суммируемого семейства a i, i ∈ I, образуют сеть Коши, то есть для каждой W, окрестности 0 в X, существует конечное подмножество A 0 из I такое, что
- ∑ я ∈ A 1 ai - ∑ я ∈ A 2 ai ∈ W, A 1, A 2 ⊃ A 0. {\ displaystyle \ sum _ {i \ in A_ {1}} a_ {i} - \ sum _ {i \ in A_ {2}} a_ {i} \ in W, \ quad A_ {1}, A_ {2} \ supset A_ {0}.}
Когда X полно, семейство безусловно суммируемо в X т огда и только тогда, когда конечные удовлетворяют последнему условию сети Коши. Когда X полно и a i, i ∈ I, безусловно суммируем в X, то есть для любого подмножества J ⊂ I соответствующее подсемейство a j, j ∈ J, также является безусловно суммируемой в X
Когда сумма семейства неотрицательных чисел в расширенном смысле, определенном ранее, конечна, то она совпадает с суммой в топологической группе X = R.
Если семейство a в X безусловно, то для любого W, окрестности 0 в X существует конечное подмножество A 0 из I такое, что a i ∈ W для любого i, не в A 0. Если X счётно первым, отсюда следует, что множество таких i ∈ I, что a i ≠ 0, является счётным. Этого не должно быть в общей абелевой топологической группе (см. Примеры ниже).
Безоговорочно сходящийся ряд
Предположим, что I = N . Если семейство a n, n ∈ N, безусловно суммируемо в абелевой хаусдорфовой топологической группе X, то ряд в обычном смысле сходится и имеет ту же сумму,
- ∑ n = 0 ∞ an = ∑ n ∈ N an. {\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} = \ sum _ {n \ in \ mathbf {N}} a_ {n}.}
По природе своей определения безусловного суммируемости нечувствительна к порядку суммирования. Когда ∑a n безусловно суммируем, то ряд остается сходящимся после любой перестановки σ набора N индексов с той же суммой,
- ∑ n = 0 ∞ a σ (n) = ∑ n = 0 ∞ an. {\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a _ {\ sigma (n)} = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n}.}
И наоборот, если каждая перестановка ряда ∑a n сходится, то ряд безусловно сходится. Когда X полно, то безусловная сходимость также эквивалентна тому факту, что все подсерии сходятся; если X - банахово пространство, это эквивалентно тому, что для каждой последовательности знаков ε n = ± 1 ряд
- ∑ n = 0 ∞ ε nan {\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ { \ infty} \ varepsilon _ {n} a_ {n}}
сходится в X.
Ряды в топологических векторных пространствах
Если X является топологическое векторное пространство (TVS) и (x α) α ∈ A {\ displaystyle \ left (x _ {\ alpha} \ right) _ {\ alpha \ in A}}семейство (возможно несчетное ) в X, тогда это семейство суммируемое, если предел lim H ∈ F (A) x H {\ displaystyle \ lim _ {H \ in {\ mathcal {F}} (A)} x_ {H}}из сети (x H) H ∈ F (A) {\ displaystyle \ left (x_ {H} \ right) _ {H \ in {\ mathcal {F}} (A)}}сходится в X, где F (A) {\ displaystyle {\ mathcal {F}} (A)}- это направленное множество всех конечных подмножеств, направленное включением ⊆ {\ displaystyle \ substeq}и Икс H: = ∑ я ∈ H xi {\ displaystyle x_ {H}: = \ sum _ {i \ in H} x_ {i}}.
Это вызов ed абсолютно суммируемо, если, кроме того, для каждой непрерывной полунормы p на X (p (x α)) α ∈ A {\ displaystyle \ left (p \ left (x _ {\ alpha} \ right) \ справа) _ {\ alpha \ in A}}суммируемый. Если X - нормируемое пространство, и если (x α) α ∈ A {\ displaystyle \ left (x _ {\ alpha} \ right) _ {\ alpha \ in A}}абсолютно суммируемое семейство в X, то обязательно все, кроме счетного набора x α {\ displaystyle x _ {\ alpha}}, равны 0. Следовательно, в нормированных пространствах это обычно только когда-либо необходимо. рассматривать ряды со счетным числом членов.
Суммируемые семейные рабочие роли в теории ядерных пространств.
Рядов в банаховых и полунормированных пространствах
Понятие рядов можно легко распространить на случай полунормированное пространство. Если x n представляет собой последовательность элементов нормированного пространства X, и если x находится в X, то ряд Σx n сходится к x в X, если последовательность частичных сумм ряд (∑ N Знак равно 0 N xn) N = 1 ∞ {\ displaystyle \ left (\ sum _ {n = 0} ^ {N} x_ {n} \ right) _ {N = 1} ^ {\ infty}}сходится к x в X; то есть,
- ‖ Икс - ∑ N = 0 N xn ‖ → 0 {\ displaystyle \ left \ | x- \ sum _ {n = 0} ^ {N} x_ {n} \ right \ | \ to 0}
при N → ∞.
В более общем смысле сходимость рядов может быть определена в любой абелевой Хаусдорфе топологической группе. В частности, в этом случае Σx n сходится к x, если последовательность частичных сумм сходится к x.
Если (X, | · |) является полунормированным пространством, тогда понятие абсолютной сходимости принимает следующий вид: Ряд ∑ i ∈ I xi {\ displaystyle \ sum _ {i \ in \ mathbf {I}} x_ {i}}векторов в X сходится абсолютно, если
- ∑ i ∈ I | х я | < + ∞ {\displaystyle \sum _{i\in \mathbf {I} }\left|x_{i}\right|<+\infty }
, и в этом случае все значения, кроме максимально счетного, | х я | {\ displaystyle \ left | x_ {i} \ right |}обязательно равны нулю.
Если счетная серия векторов в банаховом пространстве сходится абсолютно, то она точно верно только в конечном банаховом пространстве (теорема из Дворецкий и Роджерс (1950)).
Хорошо упорядоченные суммы
Условно сходящийся ряд можно рассматривать, если I хорошо упорядоченным набором, например, порядковым номером α0. Можно определить с помощью трансфинитной рекурсии :
- ∑ β < α + 1 a β = a α + ∑ β < α a β {\displaystyle \sum _{\beta <\alpha +1}a_{\beta }=a_{\alpha }+\sum _{\beta <\alpha }a_{\beta }}
и для предельного ординала α
- ∑ β < α a β = lim γ → α ∑ β < γ a β {\displaystyle \sum _{\beta <\alpha }a_{\beta }=\lim _{\gamma \to \alpha }\sum _{\beta <\gamma }a_{\beta }}
, если этот предел существует. Если все пределы существуют до α 0, то ряд сходится.
Примеры
- Для функций f: X → Y, где Y является абелевой топологической группой, определим для каждого a ∈ X
- fa (x) = {0 x ≠ a, f (a) x = а, {\ displaystyle f_ {a} (x) = {\ begin {cases} 0 x \ neq a, \\ f (a) x = a, \\\ end {cases}}}
функция поддержка - это синглтон {a}. Тогда
- f = ∑ a ∈ X fa {\ displaystyle f = \ sum _ {a \ in X} f_ {a}}
в топологии точечной сходимости (то есть есть сумма берется в бесконечной группе произведений Y). - В оценке разбиений единицы строятся суммы функций по произвольному множеству индексов I,
- ∑ i ∈ I φ я (х) = 1. {\ displaystyle \ sum _ {i \ in I} \ varphi _ {i} (x) = 1.}
Хотя формально для этого требуется понятие сумм бесчисленных рядов, построение существует для каждого заданного x только конечное число ненулевых членов в сумме, поэтому вопросов относительно сходимости таких сумм не возникает. На самом деле обычно предполагается большее: семейство функций локально конечно, то есть для каждого x существует окрестность x, в которой все функции, кроме конечного, обращаются в нуль. Любое свойство регулярности φ i, такое как непрерывность, дифференцируемость, которое сохраняется при конечных суммах, будет сохранено для суммы любого поднабора этого семейства функций. - На первый несчетный порядковый номер ω1, рассматриваемый как топологическое пространство в топологии порядка , постоянная функция f: [0, ω 1) → [0, ω 1 ], заданный формулой f (α) = 1, удовлетворяет
- ∑ α ∈ [0, ω 1) f (α) = ω 1 {\ displaystyle \ sum _ {\ alpha \ in [0, \ omega _ { 1})} f (\ alpha) = \ omega _ {1}}
(другими словами, ω 1 копий 1 равно ω 1), только если один берет предел по всем счетным частичным суммам, а не конечным частичным суммам. Это пространство не может быть разделено.
См. Также
Примечания
Ссылки
- Bromwich, TJ Введение в Теория бесконечных рядов MacMillan Co. 1908, переработанная 1926, переизданная 1939, 1942, 1949, 1955, 1959, 1965.
- Дворецкий, Арье; Роджерс, К. Эмброуз (1950). «Абсолютная и безусловная сходимость в линейных нормированных пространствах». Proc. Natl. Акад. Sci. США 36 (3): 192–197. Bibcode : 1950PNAS... 36..192D. doi : 10.1073 / pnas.36.3.192. PMC 1063182.
- ; (2011). Топологические векторные пространства. Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
- Своковски, Эрл У. (1983), Исчисление с аналитической геометрией (альтернативное издание), Бостон: Prindle, Weber Schmidt, ISBN 978-0-87150-341-1
- Уолтер Рудин, Принципы математического анализа (McGraw-Hill: New York, 1964).
- Питч, Альбрехт (1972). Ядерные локально выпуклые пространства. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-05644-0. OCLC 539541.
- Робертсон, А. П. (1973). Топологические векторные пространства. Кембридж, Англия: Издательство университета. ISBN 0-521-29882-2. OCLC 589250.
- Райан, Раймонд (2002). Введение в тензорные произведения банаховых пространств. Лондон Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 1-85233-437-1. OCLC 48092184.
- Шефер, Гельмут Х. ; (1999). Топологические векторные пространства. GTM. 8(Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
- Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.
- Вонг (1979). Пространства Шварца, ядерные пространства и тензорные произведения. Берлин Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09513-6. OCLC 5126158.
MR 0033975
Внешние ссылки
| На Викискладе есть материалы, связанные с Серии (математика). |