Если и только если

редактировать
Логическая связка

↔⇔≡⟺. Логические символы, представляющие iff

В логике и связанных полях, таких как математика и философия, тогда и только тогда, когда (сокращенно iff ) является условным логической связкой между утверждения, где либо оба утверждения верны, либо оба ложны.

Связующее слово двусмысленное (утверждение о материальной эквивалентности ), и его можно сравнить со стандартным материальным условным условием ("только если", равно «если... то») в сочетании с обратным («если»); отсюда и название. В результате истинность любого из связанных утверждений требует истинности другого (т.е. либо оба утверждения истинны, либо оба ложны), хотя остается спорным вопрос о том, правильно ли определенная таким образом связка передана англичанами "if и только если "- с уже существующим значением. Например, P тогда и только тогда, когда Q означает, что единственный случай, когда P истинно, - это если Q также истинно, тогда как в случае P, если Q, могут быть другие сценарии, где P истинно, а Q ложно.

В письменной форме фразы, обычно используемые в качестве альтернативы P "тогда и только тогда, когда" Q включают: Q необходимо и достаточно для P, P эквивалентно (или материально эквивалентно) Q ( сравните с материальным подтекстом ), P - точно, если Q, P - точно (или точно), когда Q, P - точно в случае Q, и P - только в случае Q. Некоторые авторы считают «тогда и только тогда» непригодным для формального письма ; другие считают это «пограничным случаем» и допускают его использование.

В логических формулах логические символы, такие как ↔ {\ displaystyle \ leftrightarrow}\ leftrightarrow и ⇔ {\ displaystyle \ Leftrightarrow}\ Leftrightarrow используются вместо этих фраз; см. § Обозначение ниже.

Содержание
  • 1 Определение
  • 2 Использование
    • 2.1 Обозначение
    • 2.2 Доказательства
    • 2.3 Происхождение iff и произношение
    • 2.4 Использование в определениях
  • 3 Отличие от «if» и "только если"
  • 4 В терминах диаграмм Эйлера
  • 5 Более общее использование
  • 6 См. также
  • 7 Ссылки
  • 8 Внешние ссылки
Определение

таблица истинности из P ⇔ {\ displaystyle \ Leftrightarrow}\ Leftrightarrow Q выглядит следующим образом:

Таблица истинности
PQP ⇒ {\ displaystyle \ Rightarrow}\ Rightarrow Q P ⇐ {\ displaystyle \ Leftarrow}\ Leftarrow QP ⇔ {\ displaystyle \ Leftrightarrow}\ Leftrightarrow Q
TTTTT
TFFTF
FTTFF
FFTTT

Эквивалентен логическому элементу XNOR и противоположен логическому элементу XOR.

Использование

Обозначение

Соответствующие логические символы: «↔», «⇔ {\ displaystyle \ Leftrightarrow}\ Leftrightarrow » и «. ", а иногда и" iff ". Обычно они рассматриваются как эквивалентные. Однако в некоторых текстах по математической логике (особенно по логике первого порядка, а не по логике высказываний ) проводится различие между ними, в которых первая, ↔ используется как символ в логических формулах, а ⇔ используется в рассуждениях об этих логических формулах (например, в металогике ). В польской нотации Лукасевича это префиксный символ 'E'.

Другой термин для этой логической связки - исключающее ни.

В TeX «тогда и только тогда» отображается как длинная двойная стрелка: ⟺ {\ displaystyle \ iff}\ iff через команду \ iff.

Доказательства

В большинстве логических систем каждый доказывает утверждение формы «P, если и только если Q», доказывая либо «если P, то Q» «и» если Q, то P », или« если P, то Q »и« если не-P, то не-Q ». Доказательство этой пары утверждений иногда приводит к более естественному доказательству, поскольку нет очевидных условий, при которых можно было бы вывести биконусловие напрямую. Альтернативой является доказательство дизъюнкции «(P и Q) или (not-P и not-Q)», которое само может быть выведено непосредственно из любого из его дизъюнктов, то есть потому, что «iff» является функционалом истинности, "P iff Q" следует, если P и Q были показаны как истинные или оба ложные.

Происхождение слова iff и произношение

Аббревиатура «iff» впервые появилась в печати в книге Джона Л. Келли «Общая топология» 1955 года. Его изобретение часто приписывают Полу Халмосу, который писал: «Я изобрел« если и только если », то есть« если и только если »- но я никогда не мог поверить, что я действительно был его первым изобретателем».

Непонятно, как должно было произноситься «iff». В современной практике единственное «слово» «если и только если» почти всегда читается как четыре слова «если и только если». Однако в предисловии к «Общей топологии» Келли предлагает читать по-другому: «В некоторых случаях, когда математическое содержание требует« тогда и только тогда », а благозвучие требует чего-то меньшего, я использую Halmos« iff » ". Авторы одного учебника дискретной математики предлагают: «Если вам нужно произнести iff, на самом деле держитесь за 'ff', чтобы люди услышали разницу от 'if'», подразумевая, что «iff» может быть произносится как [ɪfː].

Использование в определениях

Технически определения всегда являются операторами «если и только если»; некоторые тексты - такие как Общая топология Келли - следуют строгим требованиям логики и используют «тогда и только тогда» или «тогда и только тогда» в определениях новых терминов. Однако такое логически правильное использование слова «если и только если» встречается относительно редко, поскольку большинство учебников, исследовательских работ и статей (включая статьи на английском языке Википедии) следуют специальному соглашению интерпретировать «если» как «если и только если», всякий раз, когда задействовано математическое определение (например, «топологическое пространство компактно, если каждое открытое покрытие имеет конечное подпокрытие»).

Отличие от «если» и «только если»
  • Мэдисон съест фрукты, если это яблоко ". (эквивалент «Только если Мэдисон съест фрукт, может это быть яблоко» или «Мэдисон съест фрукт ← фрукт - это яблоко»)
    Это означает, что Мэдисон съест ешьте яблоки. Однако это не исключает возможности того, что Мэдисон также может есть бананы или другие фрукты. Все, что известно наверняка, - это то, что она съест все яблоки, которые ей попадутся. То, что фрукт является яблоком, является достаточным условием для Мэдисон съесть этот фрукт.
  • «Мэдисон съест фрукт, только если это яблоко». (эквивалент «Если Мэдисон съест фрукт, то это яблоко» или «Мэдисон съест фрукт → фрукт - яблоко»)
    Это означает, что единственный фрукт Мэдисон съест яблоко. Однако это не исключает возможности того, что Мэдисон откажется от яблока, если оно станет доступным, в отличие от пункта (1), который требует от Мэдисона съесть любое доступное яблоко. В этом случае то, что данный фрукт является яблоком, является необходимым условием для Мэдисон, чтобы его съесть. Это не достаточное условие, поскольку Мэдисон может съесть не все яблоки, которые ей дадут.
  • «Мэдисон съест фрукт тогда и только тогда, когда это яблоко». (эквивалент «Мэдисон съест фрукт ↔ фрукт - яблоко»)
    Это утверждение ясно дает понять, что Мэдисон будет есть все и только те фрукты, которые являются яблоками. Она не оставит ни одного яблока несъеденным, и она не будет есть никаких других фруктов. То, что данный фрукт является яблоком, является одновременно необходимым и достаточным условием для Мэдисон, чтобы съесть этот фрукт.

Достаточность - это противоположность необходимости. То есть, если P → Q (т.е. если P, то Q), P было бы достаточным условием для Q, а Q было бы необходимым условием для P. Кроме того, если P → Q, верно, что ¬Q → ¬P (где ¬ - оператор отрицания, т.е. «не»). Это означает, что взаимосвязь между P и Q, установленная посредством P → Q, может быть выражена следующими, всеми эквивалентными способами:

P достаточно для Q
Q необходимо для P
¬Q достаточно для ¬P
¬P необходимо для ¬Q

В качестве примера возьмем первый пример выше, в котором указано P → Q, где P - "рассматриваемый плод - яблоко », а Q -« Мэдисон съест этот фрукт ». Ниже приведены четыре эквивалентных способа выражения этой самой связи:

Если рассматриваемый фрукт - яблоко, то Мэдисон съест его.
Только если Мэдисон съест данный фрукт, будет ли это яблоко.
Если Мэдисон не съест рассматриваемый фрукт, то это не яблоко.
Мэдисон не будет есть его только в том случае, если рассматриваемый фрукт не является яблоком.

Здесь второй пример можно переформулировать в форме if... then as «Если Мэдисон съест рассматриваемый фрукт, то это яблоко»; рассматривая это в сочетании с первым примером, мы обнаруживаем, что третий пример можно сформулировать так: «Если рассматриваемый фрукт - яблоко, то Мэдисон съест его; а если Мэдисон съест фрукт, то это яблоко».

В терминах диаграмм Эйлера

Диаграммы Эйлера показывают логические отношения между событиями, свойствами и так далее. «P, только если Q», «если P, то Q» и «P → Q» все означают, что P является подмножеством, правильным или неправильным, Q. «P if Q», «если Q, затем P "и Q → P все означают, что Q является собственным или несобственным подмножеством P." P тогда и только тогда, когда Q "и" Q тогда и только тогда, когда P "оба означают, что множества P и Q идентичны друг друга.

Более общее использование

Iff также используется вне области логики. Везде, где применяется логика, особенно в обсуждениях математики, она имеет то же значение, что и выше: это сокращение от if и only if, указывающее на то, что одно выражение является необходимым и достаточным для другой. Это пример математического жаргона (хотя, как отмечалось выше, если в формулировках определения используется чаще, чем iff).

Элементы X - это все и только элементы Y означает: «Для любого z в области дискурса, z находится в X тогда и только тогда, когда z находится в Y».

См. Также
  • Философский портал
  • Психологический портал
Литература
Внешние ссылки
Викискладе есть материалы, связанные с Если и только если.
Последняя правка сделана 2021-05-23 10:46:45
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте