Тест конденсации Коши

В математике, тест конденсации Коши, названный в честь Огюстена-Луи Коши, это стандартный тест сходимости для бесконечной серии. Для невозрастающей последовательности $f\; (n)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (n)\}$неотрицательных действительных чисел, серия $\sum \; N\; =\; 1\; \infty \; е\; (N)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \backslash \; limits\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; f\; (n)\}$сходится тогда и только тогда, когда "сжатый" ряд $\sum \; N\; =\; 0\; \infty \; 2\; nf\; (2\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \backslash \; limits\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; 2\; ^\; \{n\}\; f\; (2\; ^\; \{n\})\}$сходится. Более того, если они сходятся, сумма сжатого ряда не более чем в два раза больше суммы исходного.

• 1 Оценка
• 2 Интегральное сравнение
• 3 Примеры
• 4 Обобщение Шлёмильха
• 5 Ссылки
• 6 Внешние ссылки

Конденсация Коши тест следует из более сильной оценки,

$\sum \; n\; =\; 1\; \infty \; f\; (n)\; \le \; \sum \; n\; =\; 0\; \infty \; 2\; nf\; (2\; n)\; \le \; 2\; \sum \; n\; =\; 1\; \infty \; f\; (n),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{\; n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; f\; (n)\; \backslash \; leq\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; 2\; ^\; \{n\}\; f\; (2\; ^\; \{n\})\; \backslash \; leq\; \backslash \; 2\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; f\; (n),\}$

, которое следует понимать как неравенство расширенных действительных чисел. Далее следует основная направленность доказательства, построенного по образцу доказательства Оремом дивергенции гармонических рядов.

. Чтобы увидеть первое неравенство, члены исходного ряда заменены скобками на серии, длины которых являются степенями из двух, а затем каждый прогон ограничивается сверху заменой каждого члена на самый большой член в этом прогоне. Этот член всегда является первым, поскольку предполагается, что члены не увеличиваются.

$\sum \; n\; =\; 1\; \infty \; f\; (n)\; =\; f\; (1)\; +\; f\; (2)\; +\; f\; (3)\; +\; f\; (4)\; +\; f\; (5)\; +\; f\; (6)\; +\; f\; (7)\; +\; \cdots \; =\; f\; (1)\; +\; (f\; (2)\; +\; f\; (3))\; +\; (f\; (4)\; +\; f\; (5)\; +\; f\; (6)\; +\; f\; (7))\; +\; \cdots \; \le \; f\; (1)\; +\; (f\; (2)\; +\; f\; (2))\; +\; (f\; (4)\; +\; f\; (4)\; +\; f\; (4)\; +\; f\; (4))\; +\; \cdots \; =\; f\; (1)\; +\; 2\; f\; (2)\; +\; 4\; f\; (4)\; +\; \cdots \; Знак\; равно\; \sum \; N\; знак\; равно\; 0\; \infty \; 2\; nf\; (2\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{rcccccccl\}\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \backslash \; limits\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; f\; (n)\; =\; f\; (1)\; +\; f\; (2)\; +\; f\; (3)\; +\; f\; (4)\; +\; f\; (5)\; +\; f\; (6)\; +\; f\; (7)\; +\; \backslash \; cdots\; \backslash \backslash \; =\; f\; (1)\; +\; \{\; \backslash \; Big\; (\}\; f\; (2)\; +\; f\; (3)\; \{\backslash \; Big)\}\; +\; \{\backslash \; Big\; (\}\; f\; (4)\; +\; f\; (5)\; +\; f\; (6)\; +\; f\; (7)\; \{\backslash \; Big)\}\; +\; \backslash \; cdots\; \backslash \backslash \; \backslash \; leq\; f\; (1)\; +\; \{\backslash \; Big\; (\}\; f\; (2)\; +\; f\; (2)\; \{\backslash \; Big)\}\; +\; \{\backslash \; Big\; (\}\; f\; (4)\; +\; f\; (4)\; +\; f\; (4)\; +\; f\; (4)\; \{\backslash \; Big)\}\; +\; \backslash \; cdots\; \backslash \backslash \; =\; f\; (1)\; +\; 2f\; (2)\; +\; 4f\; (4)\; +\; \backslash \; cdots\; =\; \backslash \; sum\; \backslash \; limits\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; 2\; ^\; \{n\}\; f\; (2\; ^\; \{n\})\; \backslash \; end\; \{array\}\}\}$

Чтобы увидеть второе неравенство, эти две серии снова заменены скобками на прогоны степеней двойной длины, но «смещение», как показано ниже, так что прогон $2\; \sum \; n\; =\; 1\; \infty \; f\; (n)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; 2\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; f\; (n)\}$, который начинается с $f\; (\; 2\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; f\; (2\; ^\; \{n\})\}$совпадает с концом цикла $\sum \; n\; =\; 0\; \infty \; 2\; nf\; (2\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; 2\; ^\; \{n\}\; f\; (2\; ^\; \{n\})\}$который заканчивается на $f\; (2\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; f\; (2\; ^\; \{n\})\}$, так что первый всегда остается «впереди» второго.

$\sum \; n\; =\; 0\; \infty \; 2\; nf\; (2\; n)\; =\; f\; (1)\; +\; (f\; (2)\; +\; f\; (2))\; +\; (f\; (4)\; +\; f\; (4)\; +\; f\; (4)\; +\; f\; (\; 4))\; +\; \cdots \; =\; (f\; (1)\; +\; f\; (2))\; +\; (f\; (2)\; +\; f\; (4)\; +\; f\; (4)\; +\; f\; (4))\; +\; \cdots \; \le \; (f\; (1)\; +\; f\; (\; 1))\; +\; (е\; (2)\; +\; е\; (2)\; +\; f\; (3)\; +\; f\; (3))\; +\; \cdots \; =\; 2\; \sum \; n\; =\; 1\; \infty \; f\; (n)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{array\}\; \{rcl\}\; \backslash \; sum\; \backslash \; limits\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; 2\; ^\; \{n\}\; f\; (2\; ^\; \{n\})\; =\; f\; (1)\; +\; \{\backslash \; Big\; (\}\; f\; (2)\; +\; f\; (2)\; \{\; \backslash \; Big)\}\; +\; \{\backslash \; Big\; (\}\; f\; (4)\; +\; f\; (4)\; +\; f\; (4)\; +\; f\; (4)\; \{\backslash \; Big)\}\; +\; \backslash \; cdots\; \backslash \backslash \; =\; \{\backslash \; Big\; (\}\; f\; (1)\; +\; f\; (2)\; \{\backslash \; Big)\}\; +\; \{\backslash \; Big\; (\}\; f\; (2)\; +\; f\; (4)\; +\; f\; (4)\; +\; f\; (4)\; \{\backslash \; Big)\}\; +\; \backslash \; cdots\; \backslash \backslash \; \backslash \; leq\; \{\backslash \; Big\; (\}\; f\; (1)\; +\; f\; (1)\; \{\backslash \; Big)\}\; +\; \{\backslash \; Big\; (\}\; f\; (2)\; +\; f\; (2)\; +\; f\; (3)\; +\; f\; (3)\; \{\backslash \; Big)\}\; +\; \backslash \; cdots\; =\; 2\; \backslash \; sum\; \backslash \; limits\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; f\; (n)\; \backslash \; end\; \{array\}\}\}$

Визуализация приведенного выше аргумента. Частичные суммы ряда $\sum \; е\; (n)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; sum\; f\; (n)\}$, $\sum \; 2\; nf\; (2\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; 2\; ^\; \{n\}\; f\; (2\; ^\; \{\; n\})\}$и $2\; \sum \; f\; (n)\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; \backslash \; sum\; f\; (n)\}$показаны с наложением слева направо.

Преобразование «уплотнение» $f\; (n)\; \to \; 2\; nf\; (2\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; f\; (n)\; \backslash \; rightarrow\; 2\; ^\; \{n\}\; f\; (2\; ^\; \{n\})\; \}$вызывает подстановку интегральной переменной $x\; \to \; ex\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; x\; \backslash \; rightarrow\; e\; ^\; \{x\}\}$с получением $f\; (x)\; dx\; \to \; exf\; (\; пример)\; dx\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; f\; (x)\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; x\; \backslash \; rightarrow\; e\; ^\; \{x\}\; f\; (e\; ^\; \{x\})\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; x\}$.

Реализация этой идеи, интегральный тест на сходимость дает нам в случае монотонного f, что $\sum \; n\; =\; 1\; \infty \; f\; (n)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \backslash \; limits\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\; \backslash \; infty\}\; f\; (n)\}$сходится тогда и только тогда, когда $\int \; 1\; \infty \; f\; (x)\; dx\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; f\; (x)\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; x\}$сходится. Замена $x\; \to \; 2\; x\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; x\; \backslash \; rightarrow\; 2\; ^\; \{x\}\}$дает интеграл $log\; \; 2\; \int \; 0\; \infty \; 2\; xf\; (2\; x)\; dx\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; log\; 2\; \backslash ,\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash !\; 2\; ^\; \{x\}\; f\; (2\; ^\; \{x\})\; \backslash ,\; \backslash \; mathrm\; \{d\}\; x\}$и другой интегральный тест приводит нас к сжатому ряду $\sum \; n\; =\; 0\; \infty \; 2\; nf\; (2\; n)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \backslash \; limits\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; 2\; ^\; \{n\}\; f\; (\; 2\; ^\; \{n\})\}$.

Тест может быть полезен для серий, где n появляется в знаменателе в f. Самый простой пример такого рода - гармонический ряд $\sum \; n\; =\; 1\; \infty \; 1\; /\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; 1\; /\; n\}$преобразуется в ряд $\sum \; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; sum\; 1\}$, который явно расходится.

В качестве более сложного примера возьмем

$f\; (n):\; =\; n\; -\; a\; (log\; \; n)\; -\; b\; (log\; \; log\; \; n)\; -\; c\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (n):\; =\; n\; ^\; \{-\; a\}\; (\backslash \; log\; n)\; ^\; \{-\; b\}\; (\backslash \; log\; \backslash \; log\; n)\; ^\; \{-\; c\}\}$.

Здесь ряд определенно сходится при a>1 и расходится при a < 1. When a = 1, the condensation transformation gives the series

$\sum \; n\; -\; b\; (log\; \; n)\; -\; c\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; n\; ^\; \{-\; b\}\; (\backslash \; log\; n)\; ^\; \{-\; c\}\}$.

Логарифмы «сдвигаются влево». Таким образом, когда a = 1, мы имеем сходимость для b>1, расходимость для b < 1. When b = 1 the value of c enters.

Этот результат легко обобщается: многократно применяемый тест конденсации может использоваться, чтобы показать, что для $k\; =\; 1,\; 2,\; 3,\; \dots \; \{\backslash \; Displaystyle\; k\; =\; 1,2,3,\; \backslash \; ldots\}$, обобщенный ряд Бертрана

$\sum \; n\; \ge \; N\; 1\; n\; \cdot \; log\; \; n\; \cdot \; log\; \; log\; \; n\; \cdots \; log\; \circ \; (k\; -\; 1)\; \; N\; \cdot \; (журнал\; \circ \; К\; \; N)\; \alpha \; (N\; =\; \lfloor \; ехр\; \circ \; К\; \; (0)\; \rfloor \; +\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; \backslash \; geq\; N\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{n\; \backslash \; cdot\; \backslash \; log\; n\; \backslash \; cdot\; \backslash \; log\; \backslash \; log\; n\; \backslash \; cdots\; \backslash \; log\; ^\; \{\backslash \; circ\; (k-1)\}\; n\; \backslash \; cdot\; (\backslash \; log\; ^\; \{\backslash \; circ\; k\}\; n)\; ^\; \{\backslash \; alpha\}\}\}\; \backslash \; quad\; \backslash \; quad\; (N\; =\; \backslash \; lfloor\; \backslash \; exp\; ^\; \{\backslash \; circ\; k\}\; (0)\; \backslash \; rfloor\; +1)\}$

сходится для $\alpha >1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha>1\}$и расходится для . Здесь $f\; \circ \; m\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; ^\; \{\backslash \; circ\; m\}\}$обозначает m-ю композиционную итерацию функции $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$, так что

$f\; \circ \; m\; (x):\; =\; \{f\; (f\; \circ \; (m\; -\; 1)\; (x)),\; m\; =\; 1,\; 2,\; 3,\dots ;\; х,\; м\; знак\; равно\; 0.\; \{\backslash \; Displaystyle\; f\; ^\; \{\backslash \; circ\; m\}\; (x):\; =\; \{\backslash \; begin\; \{cases\}\; f\; (f\; ^\; \{\backslash \; circ\; (m-1)\}\; (x)),\; m\; =\; 1,2,\; 3,\; \backslash \; ldots;\; \backslash \backslash \; x,\; m\; =\; 0.\; \backslash \; End\; \{cases\}\}\}$

Нижний предел суммы, $N\; \{\backslash \; displaystyle\; N\}$, был выбран таким образом что все члены серии положительны. Примечательно, что эти ряды предоставляют примеры бесконечных сумм, которые сходятся или расходятся сколь угодно медленно. Например, в случае $k\; =\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; k\; =\; 2\}$и $\alpha \; =\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; alpha\; =\; 1\}$частичное сумма превышает 10 только после $10\; 10\; 100\; \{\backslash \; displaystyle\; 10\; ^\; \{10\; ^\; \{100\}\}\}$(a googolplex ) терминов; тем не менее, серии расходятся.

Пусть u (n) будет строго возрастающей последовательностью положительных целых чисел, так что отношение последовательных разностей ограничено: существует положительное действительное число N, для которого:

Тогда при условии, что $f\; (n)\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (n)\}$удовлетворяет тем же предварительным условиям, что и в тесте Коши, сходимость ряда $\sum \; n\; =\; 1\; \infty \; f\; (n)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; f\; (n)\}$эквивалентно сходимости:

$\sum \; n\; =\; 0\; \infty \; \Delta \; u\; (n)\; f\; (u\; (n))\; Знак\; равно\; \sum \; n\; =\; 0\; \infty \; (u\; (n\; +\; 1)\; -\; u\; (n))\; f\; (u\; (n)).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; Delta\; u\; (n)\}\; \backslash ,\; f\; (u\; (n))\; \backslash \; =\; \backslash \; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\; \backslash \; Big\; (\}\; u\; (n\; \{+\}\; 1)\; -u\; (n)\; \{\backslash \; Big)\}\; f\; (u\; (n)).\}$

Принимая $u\; (n)\; =\; 2\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; u\; (n)\; =\; 2\; ^\; \{n\}\}$так, что $\Delta \; u\; (n)\; =\; u\; (n\; +\; 1)\; -\; u\; (n)\; =\; 2\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; textstyle\; \backslash \; Delta\; u\; (n)\; =\; u\; (n\; \{+\}\; 1)\; -u\; (n)\; =\; 2\; ^\; \{n\}\}$, тест конденсации Коши является частным случаем.

• Бонар, Хури (2006). Настоящая бесконечная серия. Математическая ассоциация Америки. ISBN 0-88385-745-6.

• Испытание конденсации Коши