Гармонический ряд (математика)

редактировать

В математике гармонический ряд - это расходящийся бесконечный ряд

∑ n = 1 ∞ 1 n = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + ⋯. {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n}} = 1 + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {4}} + {\ frac {1} {5}} + \ cdots.}

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n}} = 1 + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {4}} + {\ frac {1} {5}} + \ cdots.}

Его название происходит от концепции обертонов или гармоник в музыке : длины волн обертонов вибрирующей струны составляют 1/2, 1/3, 1/4 и т. д. от основной длины волны струны. Каждый член ряда после первого - это среднее гармоническое соседних членов; фраза «гармоническое среднее» также происходит от музыки.

Содержание

1 История
2 Дивергенция
- 2.1 Сравнительный тест
- 2.2 Интегральный тест
3 Скорость дивергенции
4 Частичные суммы
5 Связанные серии
- 5.1 Чередование серия гармоник
- 5.2 Общая серия гармоник
- 5.3 Серия p
- 5.4 Серия ln
- 5.5 Серия φ
- 5.6 Последовательность случайных гармоник
- 5.7 Серия обедненных гармоник
6 Применения
7 См. Также
8 Ссылки
9 Внешние ссылки

История

Дивергенция гармонического ряда была впервые доказана в XIV веке Николь Орем, но это достижение ушло в безвестность. Доказательства были даны в 17 веке Пьетро Менголи и Иоганном Бернулли, последнее доказательство опубликовал и популяризировал его брат Якоб Бернулли.

Исторически гармонические последовательности имели определенная популярность у архитекторов. Это было особенно важно в период барокко, когда архитекторы использовали их для определения пропорций планов этажей, этажей и установить гармоничные отношения между внутренними и внешними архитектурными деталями церквей и дворцов.

Дивергенция

Есть несколько хорошо известных доказательств дивергенции гармонического ряда. Некоторые из них приведены ниже.

Сравнительный тест

Один из способов доказать дивергенцию - это сравнение гармонического ряда с другим расходящимся рядом, где каждый знаменатель заменяется следующей по величине степенью двойки :

1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + 1 6 + 1 7 + 1 8 + 1 9 + ⋯ ≥ 1 + 1 2 + 1 4 + 1 4 + 1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 16 + ⋯ {\ displaystyle {\ begin {alignat} {8} 1 + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {4 }} + {\ frac {1} {5}} + {\ frac {1} {6}} + {\ frac {1} {7}} + {\ frac {1} {8}} + {\ frac {1} {9}} + \ cdots \\ [5pt] {} \ geq 1 + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {\ color {красный } {\ mathbf {4}}}} + {\ frac {1} {4}} + {\ frac {1} {\ color {красный} {\ mathbf {8}}}} + {\ frac {1} {\ color {red} {\ mathbf {8}}}} + {\ frac {1} {\ color {red} {\ mathbf {8}}}} + {\ frac {1} { 8}} + {\ frac {1} {\ color {red} {\ mathbf {16}}}} + \ cdots \ end {alignat}}}

{\ displaystyle {\ begin {alignat} {8} 1 + {\ frac {1} {2}} + {\ frac { 1} {3}} + {\ frac {1} {4}} + {\ frac {1} {5}} + {\ frac {1} {6}} + {\ frac {1} {7}} + {\ frac {1} {8}} + {\ frac {1} {9}} + \ cdots \\ [5pt] {} \ geq 1 + {\ frac {1} { 2}} + {\ frac {1} {\ color {red} {\ mathbf {4}}}} + {\ frac {1} {4}} + {\ frac {1} {\ color { red} {\ mathbf {8}}}} + {\ frac {1} {\ color {red} {\ mathbf {8}}}} + {\ frac {1} {\ color {red} {\ mathbf {8}}}} + {\ frac {1} {8}} + {\ frac {1} {\ color {red} {\ mathbf {16}}}} + \ cdots \ end {выравнивается }}}

Каждый член гармонического ряда больше или равна соответствующему члену второго ряда, и поэтому сумма гармонического ряда должна быть больше или равна сумме второй серии. Однако сумма второй серии бесконечна:

1 + (1 2) + (1 4 + 1 4) + (1 8 + 1 8 + 1 8 + 1 8) + (1 16 + ⋯ + 1 16) + ⋯ знак равно 1 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + 1 2 + ⋯ = ∞. {\ displaystyle {\ begin {align} 1 + \ left ({\ frac {1} {2}} \ right) + \ left ({\ frac {1} {4}} + {\ frac {1} {4} } \ right) + \ left ({\ frac {1} {8}} + {\ frac {1} {8}} + {\ frac {1} {8}} + {\ frac {1} {8} } \ right) + \ left ({\ frac {1} {16}} + \ cdots + {\ frac {1} {16}} \ right) + \ cdots \\ [5pt] {} = {} 1+ { \ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {2}} + \ cdots = \ infty. \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} 1 + \ left ( {\ frac {1} {2}} \ right) + \ left ({\ frac {1} {4}} + {\ frac {1} {4}} \ right) + \ left ({\ frac {1 } {8}} + {\ frac {1} {8}} + {\ frac {1} {8}} + {\ frac {1} {8}} \ right) + \ left ({\ frac {1 } {16}} + \ cdots + {\ frac {1} {16}} \ right) + \ cdots \\ [5pt] {} = {} 1 + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {2}} + \ cdots = \ infty. \ End {align}}}

Отсюда следует (из сравнительного теста ), что сумма гармонического ряда также должна быть бесконечной. Точнее, приведенное выше сравнение доказывает, что

∑ n = 1 2 k 1 n ≥ 1 + k 2 {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {2 ^ {k}} {\ frac {1} { n}} \ geq 1 + {\ frac {k} {2}}}

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {2 ^ {k}} {\ frac {1} { n}} \ geq 1 + {\ frac {k} {2}}}

для каждого положительного целого числа k.

Это доказательство, предложенное Николь Орем примерно в 1350 году, многие в математическом сообществе считают высшим достижением средневековой математики. Сегодня это стандартное доказательство, которому преподают на уроках математики. Тест конденсации Коши является обобщением этого аргумента.

Интегральный тест

Иллюстрация интегрального теста.

Можно доказать, что гармонический ряд расходится, сравнив его сумму с несобственным интегралом. В частности, рассмотрите расположение прямоугольников, показанных на рисунке справа. Каждый прямоугольник имеет ширину 1 единицу и высоту 1 / n, поэтому общая площадь бесконечного числа прямоугольников является суммой гармонического ряда:

площадь прямоугольников = 1 + 1 2 + 1 3 + 1 4 + 1 5 + ⋯ {\ displaystyle {\ begin {array} {c} {\ text {area of}} \\ {\ text {rectangles}} \ end {array}} = 1 + {\ frac {1} {2} } + {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {4}} + {\ frac {1} {5}} + \ cdots}

{\ displaystyle {\ begin {array} {c} {\ text {area of}} \\ {\ text {rectangles}} \ end {array}} = 1 + {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {4}} + {\ frac {1} {5} } + \ cdots}

Кроме того, общая площадь под кривой y = 1 / x от 1 до бесконечности задается расходящимся несобственным интегралом :

площадью под кривой = ∫ 1 ∞ 1 xdx = ∞. {\ displaystyle {\ begin {array} {c} {\ text {area under}} \\ {\ text {curve}} \ end {array}} = \ int _ {1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {x}} \, dx = \ infty.}

{\ displaystyle {\ begin {array} {c} {\ text {area under}} \\ {\ text { кривая}} \ end {array}} = \ int _ {1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {x}} \, dx = \ infty.}

Поскольку эта область полностью содержится внутри прямоугольников, общая площадь прямоугольников также должна быть бесконечной. Точнее, это доказывает, что

∑ n = 1 k 1 n>∫ 1 k + 1 1 x d x = ln ⁡ (k + 1). {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {k} {\ frac {1} {n}}>\ int _ {1} ^ {k + 1} {\ frac {1} {x}} \, dx = \ ln (k + 1).}

\sum _{n=1}^{k}{\frac {1}{n}}>\ int _ {1} ^ {k + 1} {\ frac {1} {x}} \, dx = \ ln (k + 1).

Обобщение этого аргумент известен как интегральный критерий.

Скорость расхождения

Гармонический ряд расходится очень медленно. Например, сумма первых 10 членов меньше 100. Это потому, что частичные суммы ряда имеют логарифмический рост. В частности,

∑ n = 1 k 1 n = ln ⁡ k + γ + ε k ≤ (ln ⁡ k) + 1 {\ displaystyle \ sum _ { n = 1} ^ {k} {\ frac {1} {n}} = \ ln k + \ gamma + \ varepsilon _ {k} \ leq (\ ln k) +1}

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {k} {\ frac {1} {n}} = \ ln k + \ gamma + \ varepsilon _ {k} \ leq (\ ln k) +1}

, где γ - Постоянная Эйлера – Маскерони и ε k ~ 1 / 2k, которое стремится к 0, когда k стремится к бесконечности. Леонард Эйлер доказал и это, и более поразительный факт, что сумма который включает только , обратные простым числам, а также d iverges, то есть

∑ p простое 1 p = 1 2 + 1 3 + 1 5 + 1 7 + 1 11 + 1 13 + 1 17 + ⋯ = ∞. {\ displaystyle \ sum _ {p {\ text {prime}}} {\ frac {1} {p}} = {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {3}} + { \ frac {1} {5}} + {\ frac {1} {7}} + {\ frac {1} {11}} + {\ frac {1} {13}} + {\ frac {1} { 17}} + \ cdots = \ infty.}

\ sum _ {p {\ text {prime}}} {\ frac {1} {p}} = {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {5} } + {\ frac {1} {7}} + {\ frac {1} {11}} + {\ frac {1} {13}} + {\ frac {1} {17}} + \ cdots = \ infty.

Частичные суммы

Первые тридцать чисел гармоники
n	Частичная сумма гармонического ряда, H n
n	, выраженная в виде дроби		десятичной дроби	относительный размер
1	1		~ 1	1
2	3	/2	~ 1,5	1,5
3	11	/6	~ 1,83333	1,83333
4	25	/12	~ 2,08333	2,08333
5	137	/ 60	~ 2,28333	2,28333
6	49	/20	~ 2,45	2,45
7	363	/ 140	~ 2.59286	2,59286
8	761	/280	~ 2,71786	2.71786
9	7129	/2520	~ 2,82897	2,82897
10	7381	/ 2520	~ 2.92897	2.92897
11	83711	/27720	~ 3.01988	3.01988
12	86021	/ 27720	~ 3.10321	3.10321
13	1145993	/360360	~ 3,18013	3,18013
14	1171733	/ 360360	~ 3,25156	3,25156
15	1 195757	/ 360360	~ 3.31823	3.31823
16	2436559	/720720	~ 3.38073	3,38073
17	42142223	/ 12252240	~ 3.43955	3.43955
18	14274301	/4084080	~ 3,49511	3,49511
19	275295799	/ 77597520	~ 3,54774	3,54774
20	55835135	/15519504	~ 3.59774	3.59774
21	18858053	/5173168	~ 3.64536	3.64536
22	19093197	/ 5173168	~ 3.69081	3.69081
23	444316699	/118982864	~ 3.73429	3.73429
24	1347822955	/356948592	~3.77596	3.77596
25	34052522467	/8923714800	~ 3.81596	3.81596
26	34395742267	/ 8923714800	~ 3.85442	3.85442
27	312536252003	/80313433200	~ 3.89146	3.89146
28	315404588903	/ 80313433200	~ 3.92717	3.92717
29	9227046511387	/2329089562800	~ 3.96165	3,96165
30	9304682830 147	/ 2329089562800	~ 3.99499	3.99499

Конечные частные суммы расходящегося гармонического ряда,

H n = ∑ k = 1 n 1 k, {\ displaystyle H_ {n} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {1} {k}},}

{\ displaystyle H_ {n} = \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {1} {k }},}

называются числами гармоник.

Разница между H n и ln n сходится к константе Эйлера – Маскерони. Разница между любыми двумя номерами гармоник никогда не бывает целой. Номера гармоник не являются целыми числами, за исключением H 1 = 1.

Родственные серии

Чередующиеся гармонические ряды

Первые четырнадцать частичных сумм чередующихся гармонических рядов ( черные отрезки), сходящиеся к натуральному логарифму 2 (красная линия).

Ряд

∑ n = 1 ∞ (- 1) n + 1 n = 1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + 1 5 - ⋯ {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n + 1}} {n}} = 1 - {\ frac {1} {2 }} + {\ frac {1} {3}} - {\ frac {1} {4}} + {\ frac {1} {5}} - \ cdots}

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n + 1}} {n}} = 1 - {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {3}} - {\ frac {1} {4}} + {\ frac {1} {5}} - \ cdots}

известен как чередующийся гармонический ряд . Эта серия сходится с помощью теста чередующейся серии. В частности, сумма равна натуральному логарифму 2 :

1 - 1 2 + 1 3 - 1 4 + 1 5 - ⋯ = ln ⁡ 2. {\ displaystyle 1 - {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {3}} - {\ frac {1} {4}} + {\ frac {1} {5}} - \ cdots = \ ln 2.}

{\ displaystyle 1 - {\ frac {1} {2}} + {\ frac {1} {3}} - {\ frac {1} {4}} + {\ frac {1} {5}} - \ cdots = \ ln 2.}

чередующийся гармонический ряд, в то время как условно сходящийся, не является абсолютно сходящимся : если члены в ряду систематически переупорядочиваются, обычно сумма становится другой и, в зависимости от перестановки, возможно, даже бесконечно.

Формула переменного гармонического ряда является частным случаем ряда Меркатора, ряда Тейлора для натурального логарифма.

Родственный ряд может быть получен из ряда Тейлора для арктангенса :

∑ n = 0 ∞ (- 1) n 2 n + 1 = 1 - 1 3 + 1 5 - 1 7 + ⋯ = π 4. {\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {2n + 1}} = 1 - {\ frac {1} {3}} + { \ frac {1} {5}} - {\ frac {1} {7}} + \ cdots = {\ frac {\ pi} {4}}.}

{ \ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(-1) ^ {n}} {2n + 1}} = 1 - {\ frac {1} {3}} + {\ frac {1} {5}} - {\ frac {1} {7}} + \ cdots = {\ frac {\ pi} {4}}.}

Это известно как серия Лейбница.

Общий гармонический ряд

Общий гармонический ряд имеет форму

∑ n = 0 ∞ 1 an + b, {\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {an + b}},}

{\ displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {1} {an + b}},}

где a ≠ 0 и b - действительные числа, а b / a не равно нулю или отрицательному целому числу.

При сравнении предельных значений с гармоническим рядом все общие гармонические ряды также расходятся.

p-ряд

Обобщением гармонического ряда является p-ряд (или гипергармонический ряд ), определяемый как

∑ n = 1 ∞ 1 np {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {p}}}}

\ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {p}}}

для любого действительного числа p. Когда p = 1, p-ряд - это расходящийся гармонический ряд. Либо интегральный тест, либо тест конденсации Коши показывает, что p-ряд сходится для всех p>1 (в этом случае он называется сверхгармоническим рядом ) и расходится для всех p ≤ 1. Если p>1, то сумма p-ряда равна ζ (p), то есть дзета-функция Римана, вычисленная в p.

Задача нахождения суммы для p = 2 называется проблемой Базеля ; Леонард Эйлер показал, что это π / 6. Значение суммы для p = 3 называется константой Апери, поскольку Роджер Апери доказал, что это иррациональное число.

ln-ряд

С p-серией связан ln-series, определенный как

∑ n = 2 ∞ 1 n (ln ⁡ n) p {\ displaystyle \ sum _ { n = 2} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n (\ ln n) ^ {p}}}}

{\ displaystyle \ sum _ {n = 2} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n (\ ln n) ^ {p}}}}

для любого положительного действительного числа p. Это можно показать с помощью интегрального теста, что он расходится при p ≤ 1, но сходится при всех p>1.

φ-ряд

Для любой выпуклой, действительной функции φ такой, что

lim sup u → 0 + φ (u 2) φ (u) < 1 2, {\displaystyle \limsup _{u\to 0^{+}}{\frac {\varphi \left({\frac {u}{2}}\right)}{\varphi (u)}}<{\frac {1}{2}},}

{\ displaystyle \ limsup _ {u \ to 0 ^ {+}} {\ frac {\ varphi \ left ({\ frac {u} {2}} \ right)} {\ varphi (u)}} <{\ frac {1} {2}},}

ряд

∑ N = 1 ∞ φ (1 n) {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ varphi \ left ({\ frac {1} {n}} \ справа)}

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} \ varphi \ left ({\ frac { 1} {n}} \ right)}

сходится.

Случайный гармонический ряд

∑ n = 1 ∞ snn, {\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {s_ {n}} {n}},}

{\ displaystyle \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ гидроразрыв {s_ {n}} {n}},}

где s n - независимые, одинаково распределенные случайные величины, принимающие значения +1 и -1 с равной вероятностью 1/2, является хорошо известным примером в теории вероятностей для ряда случайных величин, который сходится с вероятностью 1. Факт такой сходимости является простым следствием либо теоремы Колмогорова о трех рядах, либо тесно связанного с ним максимального неравенства Колмогорова. Байрон Шмуланд из Университета Альберты дополнительно исследовал свойства случайного гармонического ряда и показал, что сходящийся ряд - это случайная величина с некоторыми интересными свойствами. В частности, функция плотности вероятности этой случайной величины, оцененная как +2 или -2, принимает значение 0,12499999999999999999999999999999999999764..., отличающееся от 1/8 менее чем на 10. В статье Шмуланда объясняется, почему эта вероятность так близко, но не совсем к 1/8. Точное значение этой вероятности дается интегралом произведения бесконечного косинуса C 2, деленного на π.

Истощенный гармонический ряд

Истощенный гармонический ряд, в котором удалены все члены, в которых цифра 9 появляется в любом месте знаменателя, может быть показано, что они сходятся к значению 22.92067661926415034816.... Фактически, когда все члены, содержащие любую конкретную строку цифр (в любом основании ), удаляются, ряд сходится.

Приложения

Гармонический ряд может быть противоречит здравому смыслу для студентов, впервые столкнувшихся с ним, потому что это расходящийся ряд, хотя предел n-го члена при стремлении n к бесконечности равен нулю. Дивергенция гармонического ряда также является источником некоторых очевидных парадоксов. Одним из примеров этого является «червяк на резинке ». Предположим, что червяк ползет по бесконечно эластичной резиновой ленте длиной один метр, в то время как резинка равномерно растягивается. Если червь движется со скоростью 1 сантиметр в минуту, а полоса растягивается на 1 метр в минуту, дойдет ли червь до конца резинки? Ответом, как это ни парадоксально, будет «да», поскольку через n минут отношение расстояния, пройденного червем, к общей длине резиновой ленты составляет

1 100 ∑ k = 1 n 1 k. {\ displaystyle {\ frac {1} {100}} \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {1} {k}}.}

\ frac {1} {100} \ sum_ {k = 1} ^ n \ frac {1} {k}.

(На самом деле фактическое соотношение немного меньше чем эта сумма при непрерывном расширении ленты.)

Поскольку ряд становится произвольно большим, когда n становится больше, в конечном итоге это отношение должно превышать 1, что означает, что червяк достигает конца резиновой ленты. Однако значение n, при котором это происходит, должно быть чрезвычайно большим: приблизительно e, т.е. число, превышающее 10 минут (10 лет). Хотя гармонический ряд действительно расходится, это происходит очень медленно.

Другой проблемой, связанной с гармоническим рядом, является проблема Jeep, которая (в одной форме) спрашивает, сколько всего топлива требуется для джипа с ограниченным расходом топлива. пропускная способность для пересечения пустыни, возможно, оставляя капли топлива по пути. Расстояние, которое можно преодолеть с заданным количеством топлива, связано с частичными суммами гармонического ряда, которые растут логарифмически. Таким образом, необходимое количество топлива увеличивается экспоненциально с желаемой дистанцией.

Проблема наложения блоков : блоки, выровненные в соответствии с гармонической последовательностью, перекрывают расщепления любой ширины.

Другим примером является проблема наложения блоков : учитывая набор одинаковые домино, очевидно, что их можно сложить на краю стола так, чтобы они свисали с края стола, не падая. Противоречивый результат состоит в том, что их можно сложить таким образом, чтобы свес был произвольно большим, при условии наличия достаточного количества костяшек домино.

Более простой пример, с другой стороны, - пловец, который продолжает прибавлять в скорости. при касании стенок бассейна. Пловец начинает пересекать 10-метровый бассейн со скоростью 2 м / с, и с каждым переходом к скорости прибавляется еще 2 м / с. Теоретически скорость пловца неограничена, но количество переходов через бассейн, необходимое для достижения этой скорости, становится очень большим; например, чтобы достичь скорости света (игнорируя специальную теорию относительности ), пловцу нужно пересечь бассейн 150 миллионов раз. В отличие от этого большого числа, время, необходимое для достижения заданной скорости, зависит от суммы ряда при любом заданном количестве переходов (итераций) пула:

10 2 ∑ k = 1 n 1 k. {\ displaystyle {\ frac {10} {2}} \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {1} {k}}.}

{\ frac {10} {2}} \ sum _ {k = 1} ^ {n} {\ frac {1} {k}}.

Вычисление суммы (итеративно) показывает, что для получения до скорости света требуется всего 97 секунд. Продолжая движение дальше этой точки (превышая скорость света, снова игнорируя специальную теорию относительности ), время, необходимое для пересечения бассейна, фактически приближается к нулю, поскольку количество итераций становится очень большим, и хотя время, необходимое Чтобы пересечь пул, кажется, стремится к нулю (при бесконечном количестве итераций), сумма итераций (время, затрачиваемое на полное пересечение пула) все равно будет расходиться с очень низкой скоростью.

См. Также

На Викискладе есть материалы, связанные с Гармонический ряд.

Ссылки

Внешние ссылки

, Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]
«Гармонические ряды расходятся снова и снова» (PDF). Обзор AMATYC. 27 : 31–43. 2006.
Вайсштейн, Эрик У. «Гармонический ряд». MathWorld.
Вайсштейн, Эрик У. «Задача наложения книг». MathWorld.
Худельсон, Мэтт (1 октября 2010 г.). «Доказательство без слов: сумма переменного гармонического ряда равна ln 2» (PDF). Математический журнал. 83 (4): 294. doi :10.4169/002557010X521831.