Интегральный тест для сходимости

Интегральный тест, применяемый к гармоническому ряду. Поскольку площадь под кривой y = 1 / x для x ∈ [1, ∞) бесконечна, общая площадь прямоугольников также должна быть бесконечной.

В математике, Интегральный тест на сходимость - это метод , используемый для проверки бесконечной серии из неотрицательных членов на предмет сходимости. Он был разработан Колином Маклореном и Огюстен-Луи Коши и иногда известен как тест Маклорена – Коши .

• 1 Описание теста
  • 1.1 Замечание
• 2 Доказательство
• 3 Приложения
• 4 Граница между расхождением и конвергенцией
• 5 См. Также
• 6 Ссылки

Рассмотрим целое число N и неотрицательная функция f, определенная на неограниченном интервале [N, ∞), на котором она монотонно убывает. Тогда бесконечный ряд

$\sum \; N\; =\; N\; \infty \; f\; (n)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; N\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; f\; (n)\}$

сходится к действительному числу тогда и только тогда, когда несобственный интеграл

$\int \; N\; \infty \; f\; (x)\; dx\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{N\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; f\; (x)\; \backslash ,\; dx\}$

конечно. Другими словами, если интеграл расходится, то и ряд расходится.

Замечание

Если несобственный интеграл конечен, то доказательство также дает нижнюю и верхнюю границы

$\int \; N\; \infty \; f\; (x)\; dx\; \le \; \sum \; n\; =\; N\; \infty \; е\; (п)\; \le \; е\; (N)\; +\; \int \; N\; \infty \; е\; (х)\; dx\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{N\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; f\; (x)\; \backslash ,\; dx\; \backslash \; leq\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; N\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; f\; (n)\; \backslash \; leq\; f\; (N)\; +\; \backslash \; int\; \_\; \{N\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; f\; (x)\; \backslash ,\; dx\}$

(1)

для бесконечного ряда.

Доказательство в основном использует сравнительный тест, сравнивая член f (n) с интегралом от f по интервалам [n - 1, n) и [n, n + 1) соответственно.

Поскольку f - монотонно убывающая функция, мы знаем, что

$f\; (x)\; \le \; f\; (n)\; для\; всех\; x\; \in \; [n,\; \infty )\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; \backslash \; leq\; f\; (n)\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; text\; \{для\; всех\}\}\; x\; \backslash \; in\; [n,\; \backslash \; infty)\}$

и

$f\; (n)\; \le \; f\; (x)\; для\; всех\; x\; \in \; [N,\; n].\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (n)\; \backslash \; leq\; f\; (x)\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; text\; \{for\; all\}\}\; x\; \backslash \; in\; [N,\; n].\}$

Следовательно, для любого целого числа n ≥ N

$\int \; nn\; +\; 1\; е\; (Икс)\; dx\; \le \; \int \; Nn\; +\; 1\; е\; (N)\; dx\; знак\; равно\; F\; (N)\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{n\}\; ^\; \{n\; +\; 1\}\; f\; (x)\; \backslash ,\; dx\; \backslash \; Leq\; \backslash \; int\; \_\; \{\; n\}\; ^\; \{n\; +\; 1\}\; f\; (n)\; \backslash ,\; dx\; =\; f\; (n)\}$

(2)

и для любого целого числа n ≥ N + 1

$f\; (n)\; =\; \int \; n\; -\; 1\; nf\; (n)\; dx\; \le \; \int \; n\; -\; 1\; nf\; (x)\; dx.\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (n)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{n-1\}\; ^\; \{n\}\; f\; (n)\; \backslash ,\; dx\; \backslash \; leq\; \backslash \; int\; \_\; \{n-1\}\; ^\; \{n\}\; f\; (x)\; \backslash ,\; dx.\}$

(3)

Суммируя по всем n от N до некоторого большего целого числа M, мы получаем (2)

$\int \; NM\; +\; 1\; f\; (x)\; dx\; =\; \sum \; n\; =\; NM\; \int \; nn\; +\; 1\; f\; (x)\; dx\; ⏟\; \le \; е\; (N)\; \le \; \sum \; n\; =\; NM\; е\; (n)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{N\}\; ^\; \{M\; +\; 1\}\; f\; (x)\; \backslash ,\; dx\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; N\}\; ^\; \{\; M\}\; \backslash \; underbrace\; \{\backslash \; int\; \_\; \{n\}\; ^\; \{n\; +\; 1\}\; f\; (x)\; \backslash ,\; dx\}\; \_\; \{\backslash \; leq\; \backslash ,\; f\; (n)\}\; \backslash \; leq\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; N\}\; ^\; \{M\}\; f\; (n)\}$

и из (3)

$\sum \; n\; =\; NM\; f\; (n)\; \le \; f\; (N)\; +\; \sum \; n\; =\; N\; +\; 1\; M\; \int \; n\; -\; 1\; nf\; (x)\; dx\; ⏟\; \ge \; f\; (n)\; знак\; равно\; е\; (N)\; +\; \int \; нм\; е\; (х)\; dx,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; N\}\; ^\; \{M\}\; f\; (n)\; \backslash \; leq\; f\; (N)\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; N\; +\; 1\}\; ^\; \{M\}\; \backslash \; underbrace\; \{\backslash \; int\; \_\; \{n-1\}\; ^\; \{n\}\; f\; (x)\; \backslash ,\; dx\}\; \_\; \{\backslash \; geq\; \backslash ,\; f\; (n)\}\; =\; f\; (N)\; +\; \backslash \; int\; \_\; \{N\}\; ^\; \{M\}\; f\; (x)\; \backslash ,\; dx.\}$

Объединение этих двух оценок дает

$\int \; NM\; +\; 1\; f\; (x)\; dx\; \le \; \sum \; n\; =\; NM\; f\; (n)\; \le \; f\; (N)\; +\; \int \; NM\; е\; (Икс)\; dx.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{N\}\; ^\; \{M\; +\; 1\}\; f\; (x)\; \backslash ,\; dx\; \backslash \; leq\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; N\}\; ^\; \{M\}\; f\; (n)\; \backslash \; Leq\; f\; (\; N)\; +\; \backslash \; int\; \_\; \{N\}\; ^\; \{M\}\; f\; (x)\; \backslash ,\; dx.\}$

Если позволить M стремиться к бесконечности, границы в (1) и результат следуют.

Гармоническая серия es

$\sum \; n\; =\; 1\; \infty \; 1\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{n\}\}\}$

расходится, потому что при использовании естественного логарифм, его первообразное и фундаментальная теорема исчисления, мы получаем

$\int \; 1\; M\; 1\; ndn\; =\; ln\; \; n\; |\; 1\; M\; =\; ln\; \; M\; \to \; \infty \; при\; M\; \to \; \infty .\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{1\}\; ^\; \{M\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{n\}\}\; \backslash ,\; dn\; =\; \backslash \; ln\; n\; \{\backslash \; Bigr\; |\}\; \_\; \{1\}\; ^\; \{M\}\; =\; \backslash \; ln\; M\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; text\; \{for\}\}\; M\; \backslash \; to\; \backslash \; infty.\}$

Напротив, ряд

$\zeta \; (1\; +\; \epsilon )\; =\; \sum \; x\; =\; 1\; \infty \; 1\; x\; 1\; +\; \epsilon \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; zeta\; (\; 1+\; \backslash \; varepsilon)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{x\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{x\; ^\; \{1+\; \backslash \; varepsilon\}\}\}\}$

(см. дзета-функция Римана ) сходится для любого ε>0, потому что по правилу степени

Из (1) получаем оценку сверху

$\zeta \; (1\; +\; \epsilon )\; =\; \sum \; x\; =\; 1\; \infty \; 1\; x\; 1\; +\; \epsilon \; \le \; 1\; +\; \epsilon \; \epsilon ,\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; zeta\; (1+\; \backslash \; varepsilon)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{x\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{x\; ^\; \{1+\; \backslash \; varepsilon\}\}\}\; \backslash \; leq\; \{\; \backslash \; frac\; \{1+\; \backslash \; varepsilon\}\; \{\backslash \; varepsilon\}\},\}$

которые можно сравнить с некоторыми из конкретных значений дзета-функции Римана.

В приведенных выше примерах с участием гармонических рядов возникает вопрос, существуют ли такие монотонные последовательности, что f (n) убывает до 0 быстрее, чем 1 / n, но медленнее, чем 1 / n в том смысле, что

$lim\; n\; \to \; \infty \; f\; (n)\; 1\; /\; n\; =\; 0\; и\; lim\; n\; \to \; \infty \; е\; (n)\; 1\; /\; n\; 1\; +\; \epsilon \; =\; \infty \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{n\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{f\; (n)\}\; \{1\; /\; n\}\}\; =\; 0\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; text\; \{and\}\}\; \backslash \; quad\; \backslash \; lim\; \_\; \{n\; \backslash \; to\; \backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{f\; (n)\}\; \{1\; /\; n\; ^\; \{1+\; \backslash \; varepsilon\}\}\}\; =\; \backslash \; infty\}$

для любого ε>0, и будет ли по-прежнему расходиться соответствующий ряд f (n). Как только такая последовательность найдена, можно задать аналогичный вопрос с f (n), играющим роль 1 / n, и так далее. Таким образом можно исследовать границу между расхождением и сходимостью бесконечных рядов.

Используя интегральный критерий сходимости, можно показать (см. Ниже), что для любого натурального числа k ряд

$\sum \; n\; =\; N\; k\; \infty \; 1\; n\; ln\; \; (\; п)\; пер\; 2\; \; (N)\; \cdots \; пер\; К\; -\; 1\; \; (п)\; пер\; К\; \; (п)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; N\_\; \{k\}\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{п\; \backslash \; ln\; (n)\; \backslash \; ln\; \_\; \{2\}\; (n)\; \backslash \; cdots\; \backslash \; ln\; \_\; \{k-1\}\; (n)\; \backslash \; ln\; \_\; \{k\}\; (n)\}\}\}$

(4)

все еще расходится (см. доказательство того, что сумма обратных простых чисел расходится при k = 1), но

$\sum \; n\; =\; N\; k\; \infty \; 1\; n\; ln\; \; (n)\; ln\; 2\; \; (n)\; \cdots \; ln\; К\; -\; 1\; \; (N)\; (пер\; К\; \; (п))\; 1\; +\; \epsilon \; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; сумма\; \_\; \{п\; =\; N\_\; \{k\}\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{1\}\; \{п\; \backslash \; пер\; (п)\; \backslash \; ln\; \_\; \{2\}\; (n)\; \backslash \; cdots\; \backslash \; ln\; \_\; \{k-1\}\; (n)\; (\backslash \; ln\; \_\; \{k\}\; (n))\; ^\; \{1+\; \backslash \; varepsilon\}\}\}\}$

(5)

сходится для любого ε>0. Здесь ln k обозначает k-кратную композицию натурального логарифма, определенного рекурсивно как

$ln\; k\; \; (x)\; =\; \{ln\; \; (x)\; К\; знак\; равно\; 1,\; пер\; \; (пер\; к\; -\; 1\; \; (х))\; для\; к\; \ge \; 2.\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; пер\; \_\; \{к\}\; (х)\; =\; \{\backslash \; begin\; \{case\}\; \backslash \; ln\; (x)\; \{\backslash \; text\; \{for\}\}\; k\; =\; 1,\; \backslash \backslash \backslash \; ln\; (\backslash \; ln\; \_\; \{k-1\}\; (x))\; \{\backslash \; text\; \{for\}\}\; k\; \backslash \; geq\; 2.\; \backslash \; end\; \{ases\}\}\}$

Кроме того, N k обозначает наименьшее натуральное число такое, что k-кратная композиция хорошо определена и ln k(Nk) ≥ 1, то есть

$N\; k\; \ge \; ee\; \cdot \; \cdot \; e\; ⏟\; ke\; \prime \; s\; =\; e\; \uparrow \uparrow \; к\; \{\backslash \; displaystyle\; N\_\; \{k\}\; \backslash \; geq\; \backslash \; underbrace\; \{e\; ^\; \{e\; ^\; \{\backslash \; cdot\; ^\; \{\backslash \; cdot\; ^\; \{e\}\}\}\}\}\; \_\; \{k\; \backslash \; e\; \text{'}\{\backslash \; text\; \{s\}\}\}\; =\; e\; \backslash \; uparrow\; \backslash \; uparrow\; k\}$

с использованием тетрации или обозначения стрелки вверх Кнута.

Чтобы увидеть дивергенцию ряда (4) с помощью интегрального теста, обратите внимание, что повторное применение цепного правила

$ddx\; ln\; k\; +\; 1\; \; (x)\; =\; ddx\; ln\; \; (ln\; k\; \; (x))\; =\; 1\; ln\; k\; \; (x)\; ddx\; ln\; k\; \; (x)\; =\; \cdots \; Знак\; равно\; 1\; Икс\; пер\; (Икс)\; \cdots \; пер\; К\; \; (Икс),\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\}\; \backslash \; ln\; \_\; \{k\; +\; 1\}\; (x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\; \}\; \backslash \; ln\; (\backslash \; ln\; \_\; \{k\}\; (x))\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{\backslash \; ln\; \_\; \{k\}\; (x)\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\}\; \backslash \; ln\; \_\; \{k\}\; (x)\; =\; \backslash \; cdots\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{x\; \backslash \; ln\; (x)\; \backslash \; cdots\; \backslash \; ln\; \_\; \{k\}\; (x)\}\},\}$

следовательно,

$\int \; N\; k\; \infty \; dxx\; ln\; \; (x)\; \cdots \; ln\; k\; \; (x)\; =\; ln\; k\; +\; 1\; \; (x)\; |\; N\; k\; \infty \; =\; \infty .\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{N\_\; \{k\}\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{dx\}\; \{x\; \backslash \; ln\; (x)\; \backslash \; cdots\; \backslash \; ln\; \_\; \{k\}\; (x)\}\}\; =\; \backslash \; ln\; \_\; \{k\; +\; 1\}\; (x)\; \{\backslash \; bigr\; |\}\; \_\; \{N\_\; \{k\}\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; =\; \backslash \; infty.\}$

Чтобы увидеть сходимость ряда (5), обратите внимание, что по правило мощности, правило цепочки и приведенный выше результат

$-\; ddx\; 1\; \epsilon \; (ln\; k\; \; (x))\; \epsilon \; =\; 1\; (ln\; k\; \; (x))\; 1\; +\; \epsilon \; ddx\; ln\; k\; \; (x)\; =\; \cdots \; знак\; равно\; 1\; Икс\; пер\; (Икс)\; \cdots \; пер\; К\; -\; 1\; \; (Икс)\; (пер\; К\; \; (Икс))\; 1\; +\; \epsilon ,\; \{\backslash \; Displaystyle\; -\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{d\}\; \{dx\}\}\; \{\backslash \; гидроразрыва\; \{1\}\; \{\backslash \; varepsilon\; (\backslash \; ln\; \_\; \{k\}\; (x))\; ^\; \{\backslash \; varepsilon\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{(\backslash \; ln\; \_\; \{k\}\; (x))\; ^\; \{1+\; \backslash \; varepsilon\}\}\}\; \{\; \backslash \; frac\; \{d\}\; \{dx\}\}\; \backslash \; ln\; \_\; \{k\}\; (x)\; =\; \backslash \; cdots\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{x\; \backslash \; ln\; (x)\; \backslash \; cdots\; \backslash \; ln\; \_\; \{k-1\}\; (x)\; (\backslash \; ln\; \_\; \{k\}\; (x))\; ^\; \{1+\; \backslash \; varepsilon\}\}\},\}$

следовательно,

и (1) дает оценки для бесконечного ряда в (5).

• Тесты сходимости
• Сходимость (математика)
• Тест прямого сравнения
• Теорема доминирующей сходимости
• Формула Эйлера-Маклорена
• Тест сравнения пределов
• Монотонная сходимость теорема

• Кнопп, Конрад, «Бесконечные последовательности и серии», Dover Publications, Inc., Нью-Йорк, 1956. (§ 3.3) ISBN 0-486-60153-6
• Уиттакер, ET, и Уотсон, GN, Курс современного анализа, четвертое издание, Cambridge University Press, 1963. (§ 4.43) ISBN 0-521-58807-3
• Феррейра, Хайме Кампос, Эд Калуст Гулбенкян, 1987, ISBN 972-31-0179-3

.