Дивергентные серии

Les séries divergentes sont en général. quelque selected de bien fatal et c'est une honte qu'on ose y fonder aucune демонстрация. («Расходящиеся серии - это вообще нечто фатальное, и постыдно основывать на них какие-либо доказательства». Часто переводится как «Расходящиеся серии - изобретение дьявола…»)

Н. Х. Абель, письмо Холмбоу, январь 1826 г., перепечатано во 2 томе его собрания статей.

В математике расходящийся ряд является бесконечным серия, которая не является сходящейся, что означает, что бесконечная последовательность из частичных сумм ряда не имеет конечного предела.

Если ряд сходится, отдельные члены ряда должны стремиться к нулю. Таким образом, любой ряд, в котором отдельные члены не приближаются к нулю, расходится. Однако сходимость - более сильное условие: не все ряды, члены которых стремятся к нулю, сходятся. Контрпримером является гармонический ряд

$1\; +\; 1\; 2\; +\; 1\; 3\; +\; 1\; 4\; +\; 1\; 5\; +\; \cdots \; =\; \sum \; n\; =\; 1\; \infty \; 1\; n.\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{3\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{5\}\}\; +\; \backslash \; cdots\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{n\}\}.\}$

Дивергенция гармонического ряда была доказана средневековым математиком Николь Орем.

В специализированных математических контекстах значения могут быть объективно присвоены определенным рядам, последовательности частичных сумм которых расходятся, чтобы придать смысл расхождению ряда. метод суммирования или метод суммирования - это частичная функция от набора рядов к значениям. Например, суммирование Чезаро присваивает расходящемуся ряду Гранди.

$1-1\; +\; 1-1\; +\; \cdots \; \{\backslash \; displaystyle\; 1-1\; +\; 1-1\; +\; \backslash \; cdots\}$

значение 1 / 2. Суммирование Чезаро - это метод усреднения, поскольку он основан на среднем арифметическом последовательности частичных сумм. Другие методы включают аналитическое продолжение связанных рядов. В физике существует множество методов суммирования; они обсуждаются более подробно в статье о регуляризации.

• 1 История
• 2 Теоремы о методах суммирования расходящихся рядов
• 3 Свойства методов суммирования
• 4 Классические методы суммирования
  • 4.1 Абсолютная сходимость
  • 4.2 Сумма ряда
• 5 Средние Норлунда
  • 5.1 Суммирование Чезаро
• 6 Абелевы средние
  • 6.1 Суммирование Абеля
  • 6.2 Суммирование Линделёфа
• 7 Аналитическое продолжение
  • 7.1 Аналитическое продолжение степенного ряда
  • 7.2 Суммирование Эйлера
  • 7.3 Аналитическое продолжение ряда Дирихле
  • 7.4 Регуляризация дзета-функции
• 8 Средние интегральные функции
  • 8.1 Суммирование Бореля
  • 8.2 Метод Валирона
• 9 Моментные методы
  • 9.1 Суммирование по Борелю
• 10 Разные методы
  • 10.1 Преобразования Хаусдорфа
  • 10.2 Суммирование Гельдера
  • 10.3 Метод Хаттона
  • 10.4 Суммируемость Ингама
  • 10,5 Суммируемость Ламберта
  • 10.6 Суммирование по Ле Руа
  • 10.7 Суммирование по Миттаг-Леффлеру
  • 10.8 Суммирование по Рамануджану
  • 10.9 Суммирование по Риману
  • 10,10 Рисс означает
  • 10,11 Суммируемость Валле-Пуссена
• 11 См. Также
• 12 Примечания
• 13 Ссылки

... но в целом верно сказать, что математики до того, как Коши спросили не «Как мы определим 1 - 1 + 1...?» но «Что такое 1 - 1 + 1...?», и что эта привычка ума приводила их к ненужным недоумениям и спорам, которые часто были на самом деле словесными.

G. Х. Харди, Дивергентные серии, стр. 6

До XIX века расходящиеся серии широко использовались Леонардом Эйлером и другими, но часто приводили к запутанным и противоречивым результатам. Основная проблема заключалась в идее Эйлера о том, что любой расходящийся ряд должен иметь естественную сумму, без предварительного определения того, что имеется в виду под суммой расходящегося ряда. Огюстен-Луи Коши в конце концов дал строгое определение суммы (сходящегося) ряда, и в течение некоторого времени после этого расходящиеся ряды по большей части исключались из математики. Они вновь появились в 1886 году в работе Анри Пуанкаре по асимптотическим рядам. В 1890 году Эрнесто Чезаро понял, что можно дать строгое определение суммы некоторых расходящихся рядов, и дал определение суммирования Чезаро. (Это было не первое использование суммирования Чезаро, которое неявно использовалось Фердинандом Георгом Фробениусом в 1880 году; ключевым вкладом Чезаро было не открытие этого метода, а его идея о том, что нужно дать явное определение сумма расходящегося ряда.) Через годы после статьи Чезаро несколько других математиков дали другие определения суммы расходящегося ряда, хотя они не всегда совместимы: разные определения могут давать разные ответы для суммы одного и того же расходящегося ряда. ; поэтому, говоря о сумме расходящегося ряда, необходимо указать, какой метод суммирования используется.

Метод суммирования M является регулярным, если он согласуется с фактическим пределом для всех сходящихся серия. Такой результат называется абелевой теоремой для M, из прототипической теоремы Абеля. Более интересными и в целом более тонкими являются частичные обратные результаты, называемые тауберовыми теоремами, из прототипа, доказанного Альфредом Таубером. Здесь частичное обратное означает, что если M суммирует ряд Σ и выполняется некоторое побочное условие, то Σ изначально сходилась; без каких-либо побочных условий такой результат означал бы, что M только суммировал сходящиеся ряды (что делает его бесполезным в качестве метода суммирования для расходящихся рядов).

Функция, дающая сумму сходящегося ряда, является линейной, и из теоремы Хана – Банаха следует, что она может быть расширена к методу суммирования любых рядов с ограниченными частичными суммами. Это называется пределом Банаха. Этот факт не очень полезен на практике, поскольку существует множество таких расширений, несовместимых друг с другом, а также поскольку для доказательства существования таких операторов требуется применение аксиомы выбора или ее эквивалентов, например, лемма Цорна. Следовательно, они неконструктивны.

Тема расходящихся рядов как область математического анализа в первую очередь связана с явными и естественными методами, такими как суммирование Абеля, суммирование Чезаро и Суммирование Бореля и их отношения. Появление тауберова теоремы Винера ознаменовало собой эпоху в этом предмете, представив неожиданные связи с методами банаховой алгебры в анализе Фурье.

Суммирование расходящихся рядов также связано с методы экстраполяции и преобразования последовательностей в качестве численных методов. Примерами таких методов являются аппроксимации Паде и отображения, зависящие от порядка, связанные с методами перенормировки для больших порядков теории возмущений в квантовой механике.

Методы суммирования обычно концентрируются на последовательности частичных сумм ряда. Хотя эта последовательность не сходится, мы часто можем обнаружить, что, когда мы берем среднее все большего и большего числа начальных членов последовательности, среднее сходится, и мы можем использовать это среднее вместо предела оцените сумму ряда. Метод суммирования можно рассматривать как функцию от набора последовательностей частичных сумм до значений. Если A - это любой метод суммирования, присваивающий значения набору последовательностей, мы можем механически преобразовать это в метод суммирования рядов A, который присваивает те же значения соответствующей серии. У этих методов есть определенные свойства, которыми желательно обладать, если они хотят достичь значений, соответствующих пределам и суммам, соответственно.

1. Закономерность . Метод суммирования является обычным, если всякий раз, когда последовательность s сходится к x, A (s) = x. Эквивалентно, соответствующий метод суммирования серий оценивает A (a) = x.
2. Линейность . Aявляется линейной, если она является линейным функционалом в последовательностях, в которых она определена, так что A (kr + s) = k A (r) + A (s) для последовательностей r, s и действительного или комплексного скаляра k. Поскольку члены a n + 1 = s n + 1 - s n ряда a являются линейными функционалами от последовательности s и наоборот, это эквивалентно A, являющемуся линейным функционалом по условиям ряда.
3. Стабильность (также называемая транслятивностью ). Если s - это последовательность, начинающаяся с s 0, а s ′ - это последовательность, полученная путем исключения первого значения и вычитания его из остальных, так что s ′ n = s n + 1 - s 0, тогда A (s) определен тогда и только тогда, когда определен A (s ′), и A (s) = s 0+ A(s ′). Эквивалентно, всякий раз, когда a ′ n = a n + 1 для всех n, тогда A (a) = a 0+ A(a ′). Другой способ заявить об этом заключается в том, что правило сдвига должно быть действительным для рядов, суммируемых этим методом.

Третье условие менее важно, и некоторые важные методы, такие как Борель суммирование, не владейте им.

Можно также дать более слабую альтернативу последнему условию.

1. Конечная повторная индексация . Если a и a ′ - две серии, такие что существует биекция $f:\; N\; \to \; N\; \{\backslash \; displaystyle\; f:\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; mathbb\; \{N\}\}$такое, что a i = a ′ f (i) для всех i, и если существует некий $N\; \in \; N\; \{\backslash \; displaystyle\; N\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{N\; \}\}$такой, что a i = a ′ i для всех i>N, тогда A (a) = A (а '). (Другими словами, a ′ - это тот же ряд, что и a, только с конечным числом переиндексированных членов.) Обратите внимание, что это более слабое условие, чем стабильность, потому что любой метод суммирования, который демонстрирует стабильность также демонстрирует конечную переиндексируемость, но обратное неверно.

Желаемое свойство для двух различных методов суммирования A и B для доля - это согласованность: A и B являются согласованными, если для каждой последовательности s, которой оба присваивают значение, A (s) = В (а). Если два метода согласованы, и один суммирует больше рядов, чем другой, то один, суммирующий больше рядов, сильнее.

Существуют мощные численные методы суммирования, которые не являются ни регулярными, ни линейными, например, нелинейные преобразования последовательности подобные и аппроксимации Паде, а также зависимые от порядка отображения пертурбативный ряд на основе методов перенормировки.

Принимая регулярность, линейность и стабильность как аксиомы, можно просуммировать многие расходящиеся ряды элементарными алгебраическими манипуляциями. Это частично объясняет, почему многие разные методы суммирования дают одинаковый ответ для определенных рядов.

Например, если r ≠ 1, геометрический ряд

$G\; (r,\; c)\; =\; \sum \; k\; =\; 0\; \infty \; crk\; =\; c\; +\; \sum \; k\; =\; 0\; \infty \; crk\; +\; 1\; (стабильность)\; =\; c\; +\; r\; \sum \; K\; =\; 0\; \infty \; crk\; (линейность)\; =\; c\; +\; r\; G\; (r,\; c),\; следовательно,\; G\; (r,\; c)\; =\; c\; 1\; -\; r,\; если\; оно\; не\; бесконечно\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; G\; (r,\; c)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; cr\; ^\; \{k\}\; \backslash \backslash \; =\; c\; +\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; cr\; ^\; \{k\; +\; 1\}\; \{\backslash \; text\; \{(стабильность)\}\}\; \backslash \backslash \; =\; c\; +\; r\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; cr\; ^\; \{k\}\; \{\backslash \; text\; \{(линейность)\}\}\; \backslash \backslash \; =\; c\; +\; r\; \backslash ,\; G\; (r,\; c),\; \{\backslash \; text\; \{следовательно\}\}\; \backslash \backslash \; G\; (r,\; c)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{c\}\; \{1-r\}\},\; \{\backslash \; text\; \{если\; только\; он\; бесконечно\}\}\; \backslash \backslash \backslash \; конец\; \{выровнено\}\}\}$

можно вычислить независимо от сходимости. Более строго, любой метод суммирования, который обладает этими свойствами и который присваивает конечное значение геометрическому ряду, должен присвоить это значение. Однако, когда r - действительное число больше 1, частичные суммы неограниченно увеличиваются, а методы усреднения задают предел бесконечности.

Два классических метода суммирования для рядов, обычная сходимость и абсолютная сходимость, определяют сумму как предел определенных частичных сумм. Они включены только для полноты; строго говоря, они не являются истинными методами суммирования расходящихся рядов, поскольку по определению ряд расходится, только если эти методы не работают. Большинство, но не все методы суммирования расходящихся рядов распространяют эти методы на более широкий класс последовательностей.

Абсолютная сходимость

Абсолютная сходимость определяет сумму последовательности (или набора) чисел как предел сети всех частичных сумм a k1+... + a kn, если он существует. Это не зависит от порядка элементов последовательности, и классическая теорема утверждает, что последовательность абсолютно сходится тогда и только тогда, когда последовательность абсолютных значений сходится в стандартном смысле.

Сумма ряда

Классическое определение Коши суммы ряда a 0 + a 1 +... определяет сумму для быть пределом последовательности частичных сумм a 0 +... + a n. Это определение сходимости последовательности по умолчанию.

Предположим, что p n - это последовательность положительных членов, начиная с p 0. Предположим также, что

$pnp\; 0\; +\; p\; 1\; +\; \cdots \; +\; pn\; \to \; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{p\_\; \{n\}\}\; \{p\_\; \{0\}\; +\; p\_\; \{1\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; p\_\; \{n\}\}\}\; \backslash \; rightarrow\; 0.\}$

Если теперь мы преобразуем последовательность s, используя p для получения взвешенных средних, установив

$tm\; =\; pms\; 0\; +\; pm\; -\; 1\; s\; 1\; +\; \cdots \; +\; p\; 0\; smp\; 0\; +\; p\; 1\; +\; \cdots \; +\; pm\; \{\backslash \; displaystyle\; t\_\; \{m\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{p\_\; \{m\}\; s\_\; \{0\}\; +\; p\_\; \{m-1\}\; s\_\; \{1\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; p\_\; \{0\}\; s\_\; \{m\}\}\; \{p\_\; \{0\})\; +\; p\_\; \{1\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; p\_\; \{m\}\}\}\}$

тогда предел t n, когда n стремится к бесконечности, является средним, называемым Nørlund означает Np(s).

Среднее значение Норлунда является регулярным, линейным и стабильным. Более того, любые два средних Норлунда согласованы.

Суммирование Чезаро

Самым значительным из средних значений Норлунда являются суммы Чезаро. Здесь, если мы определим последовательность p как

$pnk\; =\; (n\; +\; k\; -\; 1\; k\; -\; 1)\; \{\backslash \; displaystyle\; p\_\; \{n\}\; ^\; \{k\}\; =\; \{n\; +\; k-1\; \backslash \; choose\; k-1\}\}$

, то сумма Чезаро C k определяется как C k (s) = N(p)(s). Суммы Чезаро являются средними по Норлунду, если k ≥ 0, и, следовательно, регулярны, линейны, стабильны и согласованы. C 0 - обычное суммирование, а C 1 - обычное суммирование Чезаро. Суммы Чезаро обладают тем свойством, что если h>k, то C h сильнее, чем C k.

Предположим, λ = {λ 0, λ 1, λ 2,...} - это строго возрастающая последовательность, стремящаяся к бесконечности, и что λ 0 ≥ 0. Предположим,

$f\; (x)\; Знак\; равно\; \sum \; N\; знак\; равно\; 0\; \infty \; ехр\; \; (-\; \lambda \; nx)\; \{\backslash \; Displaystyle\; f\; (x)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; a\_\; \{n\}\; \backslash \; exp\; (-\; \backslash \; lambda\; \_\; \{n\}\; x)\}$

сходится для всех действительных чисел x>0. Тогда среднее абелево Aλопределяется как

$A\; \lambda \; (s)\; =\; lim\; x\; \to \; 0\; +\; f\; (x).\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; \_\; \{\backslash \; lambda\}\; (s)\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{x\; \backslash \; rightarrow\; 0\; ^\; \{+\}\}\; f\; (x).\}$

В более общем смысле, если ряд для f сходится только при больших x, но может быть аналитически продолженный до всех положительных вещественных x, то все еще можно определить сумму расходящихся рядов с помощью указанного выше предела.

Серия этого типа известна как обобщенная серия Дирихле ; В приложениях к физике это известно как метод регуляризации теплового ядра..

Абелевы средние регулярны и линейны, но не стабильны и не всегда согласованы между различными вариантами λ. Однако в некоторых частных случаях очень важны методы суммирования.

Суммирование Абеля

Если λ n = n, то мы получаем метод суммирования Абеля . Здесь

$f\; (x)\; =\; \sum \; n\; =\; 0\; \infty \; ane\; -\; nx\; =\; \sum \; n\; =\; 0\; \infty \; anzn,\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; a\_\; \{n\}\; e\; ^\; \{-\; nx\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; a\_\; \{n\}\; z\; ^\; \{n\},\}$

где z = exp (−x). Тогда предел f (x), когда x приближается к 0 до положительных вещественных чисел, является пределом степенного ряда для f (z), когда z приближается к 1 снизу через положительные вещественные числа, а сумма Абеля A (s) определяется как

$A\; (s)\; =\; lim\; z\; \to \; 1\; -\; \sum \; n\; =\; 0\; \infty \; anzn.\; \{\backslash \; displaystyle\; A\; (s)\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{z\; \backslash \; rightarrow\; 1\; ^\; \{-\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; a\_\; \{n\}\; z\; ^\; \{n\}.\}$

Суммирование Абеля интересен отчасти потому, что он согласуется с суммированием Чезаро, но более мощным, чем суммирование Чезаро : A (s) = C k (s), когда последнее определено. Таким образом, сумма Абеля является регулярной, линейной, стабильной и согласованной с суммированием Чезаро.

Суммирование Линделёфа

Если λ n = n log (n), то (индексация с единицы) имеем

$f\; (x)\; =\; a\; 1\; +\; a\; 2\; 2\; -\; 2\; x\; +\; a\; 3\; 3\; -\; 3\; x\; +\; \cdots .\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; a\_\; \{1\}\; +\; a\_\; \{2\}\; 2\; ^\; \{-\; 2x\}\; +\; a\_\; \{3\}\; 3\; ^\; \{-\; 3x\}\; +\; \backslash \; cdots.\}$

Тогда L (s), Сумма Линделёфа (Волков 2001) harv error: no target: CITEREFVolkov2001 (help ), является пределом f (x), когда x стремится к положительному нулю. Сумма Линделёфа является мощным методом, применяемым к степенным рядам среди других приложений, суммируя степенные ряды в звезде Миттаг-Леффлера.

Если g (z) аналитична в круге около нуля и, следовательно, имеет Ряд Маклорена G (z) с положительным радиусом сходимости, то L (G (z)) = g (z) в звезде Миттаг-Леффлера. Более того, сходимость к g (z) равномерна на компактных подмножествах звезды.

Некоторые методы суммирования предполагают получение значения аналитического продолжения функции.

Аналитическое продолжение степенного ряда

Если Σa n x сходится для малого комплексного x и может быть аналитически продолжено по некоторому пути от x = 0 до точки x = 1, то сумма ряда может быть определена как значение при x = 1. Это значение может зависеть от выбора пути.

Эйлеровское суммирование

Эйлеровское суммирование по сути является явной формой аналитического продолжения. Если степенной ряд сходится для малых комплексных z и может быть аналитически продолжен до открытого диска с диаметром от −1 / q + 1 до 1 и непрерывен в 1, то его значение в называется суммой Эйлера или (E, q) ряда a 0 +.... Эйлер использовал его до того, как аналитическое продолжение было определено в целом, и дал явные формулы для степенного ряда аналитического продолжения.

Операция суммирования Эйлера может повторяться несколько раз, и это по сути эквивалентно аналитическому продолжению степенного ряда до точки z = 1.

Аналитическое продолжение ряда Дирихле

Этот метод определяет сумму ряда как значение аналитического продолжения ряда Дирихле

$f\; (s)\; =\; a\; 1\; 1\; s\; +\; a\; 2\; 2\; s\; +\; a\; 3\; 3\; s\; +\; \cdots \; \{\; \backslash \; displaystyle\; f\; (s)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{a\_\; \{1\}\}\; \{1\; ^\; \{s\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{a\_\; \{2\}\}\; \{2\; ^\; \{s\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{a\_\; \{3)\; \}\}\; \{3\; ^\; \{s\}\}\}\; +\; \backslash \; cdots\}$

при s = 0, если он существует и уникален. Этот метод иногда путают с регуляризацией дзета-функции.

Если s = 0 - изолированная особенность, сумма определяется постоянным членом разложения в ряд Лорана.

Регуляризация дзета-функции

Если ряд

$f\; (s)\; =\; 1\; a\; 1\; s\; +\; 1\; a\; 2\; s\; +\; 1\; a\; 3\; s\; +\; \cdots \; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (s)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{a\_\; \{1\}\; ^\; \{s\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{a\_\; \{2\}\; ^\; \{s\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{a\_\; \{3\}\; ^\; \{s\; \}\}\}\; +\; \backslash \; cdots\}$

(для положительных значений a n) сходится для больших вещественных s и может быть аналитически продолжен вдоль вещественной линии до s = −1, то его значение при s = −1 называется дзета-регуляризованной суммой ряда a 1 + a 2 +... Регуляризация дзета-функцией является нелинейной. В приложениях числа a i иногда являются собственными значениями самосопряженного оператора A с компактной резольвентой, а f (s) тогда является следом A. Например, если A имеет собственные значения 1, 2, 3,... тогда f (s) - это дзета-функция Римана, ζ (s), значение которой при s = −1 равно −1/12, присваивая значение расходящемуся ряду 1 + 2 + 3 + 4 +.... Другие значения s также могут использоваться для присвоения значений расходящимся суммам ζ (0) = 1 + 1 + 1 +... = −1/2, ζ (−2) = 1 + 4 + 9 +... = 0 и в целом

$\zeta \; (-\; s)\; =\; \sum \; N\; =\; 1\; \infty \; ns\; =\; 1\; s\; +\; 2\; s\; +\; 3\; s\; +\; \cdots \; =\; -\; B\; s\; +\; 1\; s\; +\; 1,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; zeta\; (-s)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; 1\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; n\; ^\; \{s\}\; =\; 1\; ^\; \{s\}\; +\; 2\; ^\; \{s\}\; +\; 3\; ^\; \{s\}\; +\; \backslash \; cdots\; =\; -\; \{\backslash \; frac\; \{B\_\; \{s\; +\; 1\}\}\; \{s\; +\; 1\}\}\; \backslash ,,\}$

где B k - это число Бернулли.

Если J (x) = Σp n x является интегральной функцией, тогда сумма J ряда a 0 +... определяется как

$lim\; x\; \to \; \infty \; \sum \; npn\; (a\; 0\; +\; \cdots \; +\; an)\; xn\; \sum \; npnxn,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{x\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sum\; \_\; \{n\}\; p\_\; \{n\}\; (a\_\; \{0\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; a\_\; \{n\})\; x\; ^\; \{n\}\}\; \{\backslash \; sum\; \_\; \{n\}\; p\_\; \{n\}\; x\; ^\; \{n\}\}\},\}$

, если этот предел существует.

Существует разновидность этого метода, в которой ряд для J имеет конечный радиус сходимости r и расходится при x = r. В этом случае сумму определяют, как указано выше, за исключением того, что берется предел, поскольку x стремится к r, а не к бесконечности.

Суммирование Бореля

В частном случае, когда J (x) = e, это дает одну (слабую) форму суммирования Бореля.

Метод Валирона

Метод Валирона метод является обобщением борелевского суммирования на некоторые более общие интегральные функции J. Валирон показал, что при определенных условиях он эквивалентен определению суммы ряда как

$lim\; n\; \to \; +\; \infty \; H\; (n)\; 2\; \pi \; \sum \; h\; \in \; Z\; е\; -\; 1\; 2\; час\; 2\; ЧАС\; (N)\; (a\; 0\; +\; \cdots \; +\; ах)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{n\; \backslash \; rightarrow\; +\; \backslash \; infty\}\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; frac\; \{H\; (n)\}\; \{2\; \backslash \; pi\}\}\; \}\; \backslash \; sum\; \_\; \{h\; \backslash \; in\; Z\}\; e\; ^\; \{-\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; h\; ^\; \{2\}\; H\; (n)\}\; (a\_\; \{0\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; a\_\; \{h\})\}$

, где H - вторая производная от G и c (n) = e, а a 0 +... + a h следует интерпретировать как 0, когда h < 0.

Предположим, что dμ - это мера на действительной прямой, такая что все моменты

$\mu \; n\; =\; \int \; xnd\; \mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mu\; \_\; \{n\}\; =\; \backslash \; int\; x\; ^\; \{n\}\; \backslash ,\; d\; \backslash \; mu\}$

конечны. Если a 0 + a 1 +... - это ряд такой, что

$a\; (x)\; =\; a\; 0\; x\; 0\; \mu \; 0\; +\; a\; 1\; x\; 1\; \mu \; 1\; +\; \cdots \; \{\backslash \; displaystyle\; a\; (x)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{a\_\; \{0\}\; x\; ^\; \{0\}\}\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{0\}\}\}\; +\; \{\backslash \; frac\; \{a\_\; \{1\}\; x\; ^\; \{1\}\}\; \{\backslash \; mu\; \_\; \{1\}\}\}\; +\; \backslash \; cdots\}$

сходится для всех x в носителе μ, тогда (dμ) сумма ряда определяется как значение интеграла

$\int \; a\; (x)\; d\; \mu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; a\; (x)\; \backslash ,\; d\; \backslash \; mu\}$

, если он определен. (Обратите внимание, что если числа μ n увеличиваются слишком быстро, то они не определяют однозначно меру μ.)

Суммирование Бореля

Например, если dμ = e dx для положительного x и 0 для отрицательного x, тогда μ n = n !, и это дает одну версию суммирования Бореля, где значение суммы дается как

$\int \; 0\; \infty \; e\; -\; t\; \sum \; antnn!\; д\; т.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; e\; ^\; \{-\; t\}\; \backslash \; sum\; \{\backslash \; frac\; \{a\_\; \{n\}\; t\; ^\; \{n\}\}\; \{n!\}\}\; \backslash ,\; dt.\}$

Там является обобщением этого в зависимости от переменной α, называемой суммой (B ′, α), где сумма ряда a 0 +... определяется как

$\int \; 0\; \infty \; e\; -\; T\; \sum \; antn\; \alpha \; \Gamma \; (N\; \alpha \; +\; 1)\; dt\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; e\; ^\; \{-\; t\}\; \backslash \; sum\; \{\backslash \; frac\; \{a\_\; \{n\}\; t\; ^\; \{n\; \backslash \; alpha\}\; \}\; \{\backslash \; Gamma\; (n\; \backslash \; alpha\; +1)\}\}\; \backslash ,\; dt\}$

, если этот интеграл существует. Дальнейшее обобщение состоит в замене суммы под интегралом ее аналитическим продолжением с малых t.

Преобразования Хаусдорфа

Харди (1949, глава 11).

Суммирование Гельдера

Метод Хаттона

В 1812 году Хаттон представил метод суммирования расходящихся рядов, начиная с последовательности частичных сумм и многократно применяя операцию замены последовательности s 0, s 1,... последовательностью средних s 0 + s 1 / 2, s 1 + s 2 / 2,..., а затем взятие предела (Hardy 1949, стр. 21).

Суммируемость по Ингхему

Ряд a 1 +... называется суммируемым по Ингему к s, если

$lim\; x\; \to \; \infty \; \sum \; 1\; \le \; n\; \le \; xannx\; [xn\; ]\; =\; s.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{x\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; infty\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{1\; \backslash \; leq\; n\; \backslash \; leq\; x\}\; a\_\; \{n\}\; \{\backslash \; frac\; \{n\}\; \{x\}\}\; \backslash \; left\; [\{\backslash \; frac\; \{x\}\; \{n\; \}\}\; \backslash \; right]\; =\; s.\}$

Альберт Ингхэм показал, что если δ - любое положительное число, то суммируемость (C, −δ) (Чезаро) влечет суммируемость по Ингему, а суммируемость по Ингхему влечет суммируемость (C, δ) Харди (1949, Приложение II).

Суммируемость Ламберта

Ряд a 1 +... называется суммируемым по Ламберту до s, если

$lim\; y\; \to \; 0\; +\; \sum \; n\; \ge \; 1\; annye\; -\; ny\; 1\; -\; e\; -\; ny\; =\; s.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{y\; \backslash \; rightarrow\; 0\; ^\; \{+\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; \backslash \; geq\; 1\}\; a\_\; \{n\}\; \{\backslash \; frac\; \{nye\; ^\; \{-\; ny\}\}\; \{1-e\; ^\; \{-\; ny\}\}\; \}\; =\; s.\}$

Если ряд суммируем (C, k) (по Чезаро) для любого k, то он суммируем по Ламберту с тем же значением, а если ряд суммируем по Ламберту, то он суммируем по Абелю до того же значения Харди (1949, Приложение II).

Суммирование по Ле Рою

Ряд a 0 +... называется суммируемым по Ле Руа к s, если

$lim\; \zeta \; \to \; 1\; -\; \sum \; n\; \Gamma \; (1\; +\; \zeta \; n)\; \Gamma \; (1\; +\; n)\; an\; =\; s.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{\backslash \; zeta\; \backslash \; rightarrow\; 1\; ^\; \{-\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; Gamma\; (1+\; \backslash \; zeta\; n)\}\; \{\backslash \; Gamma\; (1\; +\; n)\}\}\; a\_\; \{n\; \}\; =\; s.\}$

Харди (1949, 4.11)

Суммирование Миттаг-Леффлера

Ряд a 0 +... называется Mittag -Леффлера (M) суммируется с s, если

$lim\; \delta \; \to \; 0\; \sum \; nan\; \Gamma \; (1\; +\; \delta \; n)\; =\; s.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{\backslash \; delta\; \backslash \; rightarrow\; 0\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\}\; \{\backslash \; frac\; \{a\_\; \{n\}\}\; \{\backslash \; Gamma\; (1+\; \backslash \; delta\; n)\}\}\; =\; s.\}$

Харди (1949 г., 4.11)

Суммирование Рамануджана

Суммирование Рамануджана - это метод присвоения значения расходящимся рядам, используемый Рамануджаном и основанный на формуле суммирования Эйлера – Маклорена. Сумма Рамануджана ряда f (0) + f (1) +... зависит не только от значений f в целых числах, но и от значений функции f в нецелых точках, поэтому на самом деле это не метод суммирования в смысле данной статьи.

Суммируемость по Риману

Ряд a 1 +... называется (R, k) (или по Риману) суммируемым к s, если

$lim\; h\; \to \; 0\; \sum \; nan\; (sin\; \; nhnh)\; k\; =\; s.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{h\; \backslash \; rightarrow\; 0\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\}\; a\_\; \{n\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sin\; nh\}\; \{nh\}\}\; \backslash \; right)\; ^\; \{k\}\; =\; s.\}$

Харди (1949, 4.17) Ряд a 1 +... называется R 2 суммируемым с s, если

$lim\; h\; \to \; 0\; 2\; \pi \; \sum \; n\; sin\; 2\; \; nhn\; 2\; h\; (a\; 1\; +\; \cdots \; +\; an)\; знак\; равно\; s.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{h\; \backslash \; rightarrow\; 0\}\; \{\backslash \; frac\; \{2\}\; \{\backslash \; pi\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; sin\; ^\; \{2\}\; nh\}\; \{n\; ^\; \{2\}\; h\}\}\; (a\_\; \{1\}\; +\; \backslash \; cdots\; +\; a\_\; \{n\})\; =\; s.\}$

Рисс означает

Если λ n образуют возрастающую последовательность действительных чисел и

, тогда сумма Рисса (R, λ, κ) ряда a 0 +... определяется как

$lim\; \omega \; \to \; \infty \; \kappa \; \omega \; \kappa \; \int \; 0\; \omega \; A\; \lambda \; (x)\; (\omega \; -\; x)\; \kappa \; -\; 1\; dx.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{\backslash \; omega\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; kappa\}\; \{\backslash \; omega\; ^\; \{\backslash \; kappa\}\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{\backslash \; omega\}\; A\; \_\; \{\backslash \; lambda\}\; (x)\; (\backslash \; omega\; -x)\; ^\; \{\backslash \; kappa\; -1\}\; \backslash ,\; dx.\}$

Суммируемость Валле-Пуссена

Ряд a 1 +... называется VP (или Валле-Пуссен) суммируется с s, если

$lim\; m\; \to \; \infty \; \sum \; k\; =\; 0\; mak\; [\Gamma \; (m\; +\; 1)]\; 2\; \Gamma \; (m\; +\; 1\; -\; k)\; \Gamma \; (m\; +\; 1\; +\; k)\; =\; lim\; m\; \to \; \infty \; [a\; 0\; +\; a\; 1\; мм\; +\; 1\; +\; a\; 2\; м\; (м\; -\; 1)\; (m\; +\; 1)\; (m\; +\; 2)\; +\; \cdots ]\; =\; s,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; lim\; \_\; \{m\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; infty\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; 0\}\; ^\; \{m\}\; a\_\; \{k\}\; \{\backslash \; frac\; \{[\backslash \; Gamma\; (m\; +\; 1)]\; ^\; \{2\}\}\; \{\backslash \; Gamma\; (m\; +\; 1-k)\; \backslash ,\; \backslash \; Gamma\; (m\; +\; 1\; +\; k)\}\}\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{m\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; infty\}\; \backslash \; left\; [a\_\; \{0\}\; +\; a\_\; \{1\}\; \{\backslash \; frac\; \{m\}\; \{m\; +\; 1\}\}\; +\; a\_\; \{2\}\; \{\backslash \; frac\; \{m\; (\; m-1)\}\; \{(m\; +\; 1)\; (m\; +\; 2)\}\}\; +\; \backslash \; cdots\; \backslash \; right]\; =\; s,\}$

где $\Gamma \; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\; (x)\}$- гамма-функция. Харди (1949, 4.17).

• Теорема Сильвермана – Теплица

• Arteca, G.A.; Fernández, F.M.; Кастро, Э.А. (1990), Теория возмущений большого порядка и методы суммирования в квантовой механике, Берлин: Springer-Verlag.
• Baker, Jr., G.A.; Graves-Morris, P. (1996), Padé Approximants, Cambridge University Press.
• Brezinski, C.; Загля, М. Редиво (1991), Методы экстраполяции. Теория и практика, Северная Голландия.
• Харди, Г. Х. (1949), Divergent Series, Oxford: Clarendon Press.
• LeGuillou, J.C.; Зинн-Джастин Дж. (1990), Поведение большого порядка теории возмущений, Амстердам: Северная Голландия.
• Волков И.И. (2001) [1994], Энциклопедия математики, EMS Press.
• Захаров, А.А. (2001) [1994], Энциклопедия математики, EMS Press.
• , Энциклопедия математики, EMS Press, 2001 [1994]