В математике натуральные числа используются для подсчета (например, «есть шесть монеты на столе ») и упорядочивание (например,« это третий по величине город в стране »). В общей математической терминологии для подсчета в просторечии используются слова «кардинальные числа », а слова, используемые для упорядочивания, - «порядковые числа ». Натуральные числа иногда могут выступать в виде удобного набора кодов (ярлыков или «имен»); то есть, как то, что лингвисты называют номинальными числами, отказываясь от многих или всех свойств числа в математическом смысле. Набор натуральных чисел часто обозначается символом .
В некоторых определениях, включая стандарт ISO 80000-2, натуральные числа начинаются с 0, что соответствует неотрицательным целым числам 0, 1, 2, 3,... (вместе обозначаются символом ), тогда как другие начинаются с 1, что соответствует целым положительным числам 1, 2, 3,... (все вместе обозначаются символом ).
Тексты, исключающие ноль из натуральных чисел, иногда относятся к натуральным числам вместе с нулем как к целым числам, в то время как в других письменных источниках этот термин используется вместо целые числа (включая отрицательные целые числа).
Натуральные числа являются основой, на основе которой могут быть построены многие другие числовые наборы путем расширения: целые числа (группа Гротендика ), включив (если еще не добавлен) нейтральный элемент 0 и additi ve обратный (−n) для каждого ненулевого натурального числа n; рациональные числа, включая мультипликативную обратную величину (⁄ n) для каждого ненулевого целого числа n (а также произведение этих обратных чисел на целые числа); действительные числа путем включения с рациональными числами пределов (сходящихся) последовательностей Коши рациональных чисел; комплексные числа, путем включения в действительные числа неразрешенного квадратного корня из минус единицы (а также их суммы и произведения); и так далее. Эти цепочки расширений делают натуральные числа канонически встроенными (идентифицированными) в другие системы счисления.
Свойства натуральных чисел, такие как делимость и распределение простых чисел, изучаются в теории чисел. Проблемы, связанные с подсчетом и упорядочением, такие как разбиение и перечисления, изучаются в комбинаторике.
на обычном языке, особенно в начальной школе образование, натуральные числа могут называться подсчетом чисел, чтобы интуитивно исключить отрицательные целые числа и ноль, а также противопоставить дискретность числа подсчета с непрерывностью из измерения - отличительная черта вещественных чисел.
Самый примитивный метод представления натурального числа - это поставить отметку для каждого объекта. Позже набор объектов можно будет проверить на равенство, избыток или недостаток - вычеркнув отметку и удалив объект из набора.
Первым крупным достижением в абстракции стало использование цифр для представления чисел. Это позволило разработать системы для записи больших чисел. Древние египтяне разработали мощную систему цифр с четкими иероглифами для 1, 10 и всеми степенями от 10 до более чем 1 миллиона. На каменной резьбе из Карнака, датируемой примерно 1500 г. до н.э. и ныне находящейся в Лувре в Париже, 276 изображены как 2 сотни, 7 десятков и 6 единиц; и аналогично для числа 4622. У вавилонян была система разрядов, основанная в основном на цифрах для 1 и 10, с использованием шестидесяти, так что символ для шестидесяти был таким же, как и символ для одного - его значение определяется из контекста.
Гораздо более поздним достижением стало развитие идеи о том, что 0 можно рассматривать как число с собственной цифрой. Использование цифры 0 в обозначении места (в других числах) восходит к 700 г. до н.э. вавилонянами, которые опускали такую цифру, когда она была последним символом в числе. Цивилизации ольмеков и майя использовали 0 как отдельное число еще в I веке до н.э., но это использование не распространилось за пределы Мезоамерики. Использование цифры 0 в наше время возникло у индийского математика Брахмагупты в 628 году нашей эры. Однако 0 использовалось как число в средневековом computus (вычисление даты Пасхи ), начиная с Дионисия Экзигууса в 525 г. обозначается цифрой (стандартные римские цифры не имеют символа 0). Вместо этого nulla (или родительный падеж nullae) от nullus, латинского слова, означающего «нет», использовался для обозначения значения 0.
Первое систематическое изучение чисел как абстракций - это обычно приписывается греческим философам Пифагору и Архимеду. Некоторые греческие математики относились к числу 1 иначе, чем к большим числам, иногда даже не как к числу вообще. Евклид, например, сначала определил единицу, а затем число как множество единиц, таким образом, по его определению, единица не является числом, и здесь нет уникальных чисел (например, любые две единицы из неопределенного множества единиц равны 2).
Независимые исследования чисел также проводились примерно в то же время в Индии, Китай и Мезоамерика.
В 19 веке Европа существовали математические и философские обсуждение точной природы натуральных чисел. Школа натурализма утверждала, что натуральные числа являются прямым следствием человеческой психики. Анри Пуанкаре был одним из ее защитников, как и Леопольд Кронекер, который резюмировал свою веру так: «Бог создал целые числа, все остальное - дело рук человека».
В противовес натуралистам конструктивисты увидели необходимость улучшить логическую строгость в основаниях математики. В 1860-х годах Герман Грассман предложил рекурсивное определение натуральных чисел, таким образом заявив, что они не совсем естественные, а являются следствием определений. Позже были построены два класса таких формальных определений; позже было показано, что они эквивалентны в большинстве практических приложений.
Теоретико-множественные определения натуральных чисел были инициированы Фреге. Первоначально он определил натуральное число как класс всех множеств, которые находятся во взаимно однозначном соответствии с определенным множеством. Однако это определение привело к парадоксам, включая парадокс Рассела. Чтобы избежать таких парадоксов, формализм был изменен таким образом, что натуральное число определяется как конкретное множество, и любой набор, который может быть поставлен во взаимно однозначное соответствие с этим набором, называется имеющим это количество элементов.
Второй класс определений был введен Чарльзом Сандерсом Пирсом, уточнен Ричардом Дедекиндом и дополнительно исследован Джузеппе Пеано ; этот подход теперь называется арифметика Пеано. Он основан на аксиоматизации свойств порядковых чисел : каждое натуральное число имеет преемника, а каждое ненулевое натуральное число имеет уникального предшественника. Арифметика Пеано равно согласована с несколькими слабыми системами теории множеств. Одной из таких систем является ZFC, в которой аксиома бесконечности заменена ее отрицанием. Теоремы, которые могут быть доказаны в ZFC, но не могут быть доказаны с использованием аксиом Пеано, включают теорему Гудстейна.
Со всеми этими определениями удобно включать 0 (соответствующий пустому множеству ) в качестве натуральное число. Включение 0 сейчас является обычным условием среди теоретиков множеств и логиков. Другие математики также включают 0, и компьютерные языки часто начинаются с нуля при перечислении таких элементов, как счетчики циклов и строка- или элементы-массивы. С другой стороны, многие математики сохранили старую традицию считать 1 первым натуральным числом.
Поскольку с токенами 0 и 1 обычно связаны различные свойства (например, нейтральные элементы для сложения и умножения, соответственно), важно знать, какая версия натуральных чисел, обычно обозначаемая , используется в рассматриваемом случае. Это можно сделать с помощью пояснения в прозе, явного написания набора или определения универсального идентификатора надстрочным или нижним индексом (см. Также в #Notation), например, следующим образом:
Математики используют N или ℕ (N в blackboard bold ) для ссылки на набор всех натуральных чисел. В старых текстах также иногда использовался J в качестве символа для этого набора.
Чтобы однозначно указать, включен ли 0 или нет, иногда в первом случае добавляется нижний индекс (или верхний индекс) «0», а во втором случае - верхний индекс «*» (или нижний индекс «1»):
В качестве альтернативы, поскольку натуральные числа естественным образом включают в целые числа, они могут называться положительными или неотрицательными целыми числами соответственно.
Набор натуральных чисел - это бесконечное множество. По определению этот вид бесконечности называется счетной бесконечностью. Говорят, что все множества, которые могут быть помещены в биективное отношение к натуральным числам, имеют такую бесконечность. Это также выражается в том, что кардинальное число набора равно aleph-naught (ℵ0).
Можно рекурсивно определить сложение оператор для натуральных чисел, установив a + 0 = a и a + S (b) = S (a + b) для всех a, b. Здесь S следует читать как «преемник ». Это превращает натуральные числа (ℕ, +) в коммутативный моноид с элементом идентичности 0, так называемый свободный объект с один генератор. Этот моноид удовлетворяет свойству сокращения и может быть встроен в группу (в смысле слова теории групп ). Наименьшая группа, содержащая натуральные числа, - это целые числа.
. Если 1 определяется как S (0), то b + 1 = b + S (0) = S (b + 0) = S (b). То есть b + 1 - это просто преемник b.
Аналогично, учитывая, что сложение было определено, можно определить оператор умножения через a × 0 = 0 и a × S (b) = (a × b) + a. Это превращает (ℕ, ×) в свободный коммутативный моноид с единицей 1; генераторная установка для этого моноида - это набор простых чисел.
Сложение и умножение совместимы, что выражается в законе распределения : × (b + c) = (a × b) + (a × c). Эти свойства сложения и умножения делают натуральные числа экземпляром коммутативного полукольца. Полукольца - это алгебраическое обобщение натуральных чисел, в котором умножение не обязательно коммутативно. Отсутствие аддитивных обратных чисел, которое эквивалентно тому факту, что <не закрыто при вычитании (то есть вычитание одного натурального числа из другого не всегда приводит к другому натуральному числу), означает, что ℕ не является кольцо ; вместо этого это полукольцо (также известное как риг).
Если натуральные числа приняты как «исключая 0» и «начиная с 1», определения + и × такие же, как указано выше, за исключением того, что они начинаются с a + 1 = S (a) и a × 1 = а.
В этом разделе сопоставленные переменные, такие как ab, указывают произведение a × b, и предполагается стандартный порядок операций.
A общий порядок натуральных чисел определяется тем, что a ≤ b тогда и только тогда, когда существует другое натуральное число c, где a + c = b. Этот порядок совместим с арифметическими операциями в следующем смысле: если a, b и c - натуральные числа и a ≤ b, то a + c ≤ b + c и ac ≤ bc.
Важным свойством натуральных чисел является то, что они хорошо упорядочены : каждый непустой набор натуральных чисел имеет наименьший элемент. Ранг среди хорошо упорядоченных наборов выражается порядковым номером ; для натуральных чисел это обозначается как ω (омега).
В этом разделе сопоставленные переменные, такие как ab, указывают произведение a × b, и предполагается стандартный порядок операций.
Хотя, как правило, невозможно разделить одно натуральное число на другое и получить в результате натуральное число, процедура деления с остатком доступна в качестве замены: для любых двух натуральных чисел Для чисел a и b с b ≠ 0 существуют натуральные числа q и r такие, что
Число q называется частным, а r называется остаток от деления a на b. Числа q и r однозначно определяются a и b. Это евклидово деление является ключом к нескольким другим свойствам (делимость ), алгоритмам (например, алгоритм Евклида ) и идеям теории чисел.
Операции сложения (+) и умножения (×) натуральных чисел, как определено выше, имеют несколько алгебраических свойств:
Два важных обобщения натуральных чисел возникают из двух применений подсчет и порядок: кардинальные числа и порядковые числа.
Наименьший порядковый номер мощности ℵ 0 (то есть начальный порядковый номер числа ℵ 0) равно ω, но многие упорядоченные множества с кардинальным числом ℵ 0 имеют порядковый номер больше ω.
Для конечных хорошо упорядоченных множеств существует взаимно однозначное соответствие между порядковыми и количественными числами; следовательно, они оба могут быть выражены одним и тем же натуральным числом - количеством элементов множества. Это число также можно использовать для описания положения элемента в более крупной конечной или бесконечной последовательности.
Счетная нестандартная модель арифметики, удовлетворяющая арифметике Пеано (то есть, аксиомы Пеано первого порядка) была разработана Сколемом в 1933 году. сверхъестественные числа представляют собой несчетную модель, которую можно построить из обычных натуральных чисел с помощью сверхстепенной конструкции.
Жорж Риб имел обыкновение провокационно утверждать, что наивные целые числа не заполняют ℕ. Другие обобщения обсуждаются в статье о числах.
Многие свойства натуральных чисел могут быть выведены из пяти аксиом Пеано :
Это не оригинальные аксиомы, опубликованные Пеано, но названные в его честь. В некоторых формах аксиом Пеано 1 вместо 0. В обычной арифметике преемником является . Заменяя аксиому 5 схемой аксиом, мы получаем (более слабую) теорию первого порядка, которая называется арифметика Пеано.
В области математики, называемой теория множеств, особая конструкция из-за Джона фон Неймана определяет натуральные числа следующим образом:
Согласно этому определению, натуральное число n - это конкретный набор из n элементов, и n ≤ m тогда и только тогда, когда n является подмножеством из m. Стандартное определение, теперь называемое определением ординалов фон Неймана, гласит: «каждый ординал - это упорядоченный набор всех меньших ординалов».
Кроме того, с этим определением совпадают различные возможные интерпретации таких обозначений, как (n-кортежи в сравнении с отображениями n в).
Даже если не принимает аксиому бесконечности и, следовательно, не может принять, что набор всех натуральных чисел существует, все же можно определить любой из этих наборов.
Хотя стандартная конструкция полезна, это не единственная возможная конструкция. Конструкция Эрнста Цермело выглядит следующим образом:
Викискладе есть материалы, связанные с Натуральными числами. |
.