Знак (математика)

редактировать

Знаки плюс и минус используются для отображения знака числа.

В математика, концепция знака происходит из того свойства, что каждое действительное число является либо положительным, отрицательным, либо нулевым. В зависимости от местных соглашений ноль не считается ни положительным числом, ни отрицательным числом (не имеющим знака или своего собственного знака), либо принадлежащим как отрицательным, так и положительным числам (имеющим оба знака). Всякий раз, когда это специально не упоминается, эта статья придерживается первой конвенции.

В некоторых контекстах имеет смысл рассмотреть ноль со знаком (например, представления с плавающей запятой вещественных чисел на компьютерах). В математике и физике фраза «смена знака» связана с генерацией аддитивного обратного (отрицание или умножение на −1 ) любого объекта, который допускает это построение., и не ограничивается действительными числами. Среди других объектов он применяется к векторам, матрицам и комплексным числам, которым не предписано быть только положительными, отрицательными или нулевыми. Слово «знак» также часто используется для обозначения других двоичных аспектов математических объектов, которые напоминают положительность и отрицательность, например нечетность и четность (знак перестановки ), чувство ориентации или вращение (cw / ccw ), односторонние ограничения и другие концепции, описанные в § Другие значения ниже.

Содержание

1 Знак числа
- 1.1 Знак нуля
- 1.2 Терминология знаков
- 1.3 Комплексные числа
- 1.4 Знаковые функции
  - 1.4.1 Функция вещественного знака
  - 1.4.2 Сложная знаковая функция
2 знака согласно соглашению
- 2.1 Знак угла
- 2.2 Знак изменения
- 2.3 Знак направления
- 2.4 Знаки в вычислениях
- 2.5 Другие значения
3 См. Также
4 Ссылки

Знак числа

Числа из различных систем счисления, например целые, рациональные, комплексные числа, кватернионы, октонионы,... могут иметь несколько атрибутов, которые фиксируют определенные свойства числа. Если система счисления несет структуру упорядоченного кольца, например, целые числа, она должна содержать число, которое не меняет никакое число при добавлении к нему (дополнительный элемент идентичности ). Это число обычно обозначается как 0. Из-за общего порядка в этом кольце есть числа больше нуля, называемые положительными числами. Для других свойств, требуемых внутри кольца, для каждого такого положительного числа существует число меньше 0, которое при добавлении к положительному числу дает результат 0. Эти числа меньше 0 называются отрицательными числами. Числа в каждой такой паре являются соответствующими им аддитивными обратными знаками. Этот атрибут числа, состоящий исключительно из нуля (0), положительного (+) или отрицательного (-), называется его знаком и часто кодируется действительными числами 0, 1 и - 1 соответственно (аналогично определению знаковой функции ). Поскольку рациональные и действительные числа также являются упорядоченными кольцами (даже поля ), эти системы счисления имеют один и тот же атрибут знака.

В то время как в арифметике знак минус обычно рассматривается как представление двоичной операции вычитания, в алгебре он обычно рассматривается как знак унарная операция, приводящая к аддитивной инверсии (иногда называемой отрицанием) операнда. В то время как 0 является собственной аддитивной инверсией (-0 = 0), аддитивная инверсия положительного числа отрицательна, а аддитивная инверсия отрицательного числа положительна. Двойное применение этой операции записывается как - (- 3) = 3. Знак плюс в основном используется в алгебре для обозначения бинарной операции сложения и лишь изредка, чтобы подчеркнуть положительность выражения.

В общепринятом числовом обозначении (используется в арифметике и в других местах) знак числа часто делается явным, помещая знак плюса или минуса перед числом. Например, +3 обозначает «положительную тройку», а −3 обозначает «отрицательную тройку» (алгебраически: аддитивная величина, обратная 3). Без определенного контекста (или когда не указан явный знак) число по умолчанию интерпретируется как положительное. Эта запись устанавливает прочную связь знака минус «-» с отрицательными числами и знака плюс «+» с положительными числами.

Знак нуля

В рамках соглашения, согласно которому ноль не является ни положительным, ни отрицательным, конкретное значение знака 0 может быть присвоено числовому значению 0. Это используется в $sgn {\ displaystyle \ operatorname {sgn}}$ $\ operatorname {sgn}$ -функции, как определено для действительных чисел. В арифметике +0 и -0 оба обозначают одно и то же число 0. Как правило, нет опасности спутать значение с его знаком, хотя соглашение о присвоении обоим знакам значения 0 не позволяет сразу это различать.

В некоторых контекстах, особенно в вычислении, полезно рассматривать подписанные версии нуля, где подписанные нули относятся к различным представлениям дискретных чисел (см. представления чисел со знаком для получения дополнительной информации).

Символы +0 и -0 редко используются как заменители 0 и 0, используются в исчислении и математическом анализе для односторонних пределов (правый предел и левый предел соответственно). Это обозначение относится к поведению функции, когда ее реальная входная переменная приближается к 0 вдоль положительных (соответственно отрицательных) значений; эти два ограничения могут не существовать или согласовываться.

Терминология знаков

Когда 0 не считается ни положительным, ни отрицательным, следующие фразы могут относиться к знаку числа:

Число положительное, если оно больше нуля.
Число отрицательное, если оно меньше нуля.
Число неотрицательное, если он больше или равен нулю.
Число неположительное, если оно меньше или равно нулю.

Когда 0 считается как положительным, так и отрицательным, измененные фразы используются для обозначения знака числа:

Число является строго положительным, если оно больше нуля.
Число строго отрицательным, если оно меньше нуля.
Число положительное, если оно больше или равно нулю.
Число отрицательное, если оно меньше или равно нулю.

Например, абсолютное значение действительного числа всегда «неотрицательно», но не обязательно «положительно» в первой интерпретации, тогда как во второй интерпретации он называется «положительным», хотя и не обязательно «строго положительным».

Та же терминология иногда используется для функций, которые выдают действительные или другие значения со знаком. Например, функция будет называться положительной функцией, если ее значения положительны для всех аргументов ее домена, или неотрицательной функцией, если все ее значения неотрицательны.

Комплексные числа

Комплексные числа невозможно упорядочить, поэтому они не могут нести структуру упорядоченного кольца и, соответственно, не могут быть разделены на положительные и отрицательные комплексные числа. Однако у них есть общий атрибут с вещественными числами, который называется абсолютное значение или величина. Величины всегда являются неотрицательными действительными числами, и любому ненулевому числу принадлежит положительное действительное число, его абсолютное значение.

. Например, абсолютное значение -3 и абсолютное значение 3 равны до 3. Это записывается символами как | −3 | = 3 и | 3 | = 3.

В общем, любое произвольное действительное значение может быть определено его величиной и знаком. Используя стандартное кодирование, любое действительное значение дается произведением величины и знака в стандартном кодировании. Это соотношение можно обобщить, чтобы определить знак для комплексных чисел.

Поскольку действительные и комплексные числа образуют поле и содержат положительные действительные числа, они также содержат обратные величины всех ненулевых чисел. Это означает, что любое ненулевое число можно умножить на величину, обратную его величине, то есть разделить на его величину. Непосредственно частное любого ненулевого действительного числа по его величине дает в точности его знак. По аналогии, знак комплексного числа z можно определить как частное от z и его величины | z |. Поскольку величина комплексного числа делится, полученный знак комплексного числа в некотором смысле представляет его сложный аргумент. Его следует сравнивать со знаком действительных чисел, за исключением $ei π = - 1. {\ displaystyle e ^ {i \ pi} = - 1.}$ ${\ displaystyle e ^ {i \ pi} = - 1.}$ Для определения комплекса знак-функция. см. § Комплексную знаковую функцию ниже.

Знаковые функции

Действительная знаковая функция y = sgn (x)

При работе с числами часто бывает удобно иметь их знак в виде числа. Это достигается функциями, которые извлекают знак любого числа и сопоставляют его с предопределенным значением, прежде чем сделать его доступным для дальнейших вычислений. Например, может быть полезно сформулировать сложный алгоритм только для положительных значений и позаботиться о знаке только после этого.

Функция вещественного знака

Функция знака или функция знака извлекает знак действительного числа, отображая набор действительных чисел в набор из трех реалов ${- 1, 0, 1}. {\ displaystyle \ {- 1, \; 0, \; 1 \}.}$ ${\ displaystyle \ {- 1, \; 0, \; 1 \}.}$ Его можно определить следующим образом:

sgn: R → {x ∈ R: | х | = 1} ∪ {0} {\ displaystyle \ operatorname {sgn}: \ mathbb {R} \ to \ {x \ in \ mathbb {R}: | x | = 1 \} \ cup \ {0 \}}

{\ displaystyle \ operatorname {sgn}: \ mathbb {R} \ to \ {x \ в \ mathbb {R}: | x | = 1 \} \ cup \ {0 \}}

x ↦ sign ⁡ (x) = {- 1, если x < 0, 0 if x = 0, 1 if x>0. {\ displaystyle x \ mapsto \ operatorname {sgn} (x) = {\ begin {cases} -1 {\ text {if}} x <0,\\~~\,0{\text{if }}x=0,\\~~\,1{\text{if }}x>0. \ end {ases}}}

x\mapsto \operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}-1{\text{if }}x<0,\\~~\,0{\text{if }}x=0,\\~~\,1{\text{if }}x>0. \ end {cases}}

Таким образом, sgn (x) равен 1, когда x положительный, и sgn (x) равен -1, когда x отрицателен. Для ненулевых значений x эту функцию также можно определить формулой

sgn ⁡ ( x) = x | x | = | x | x {\ displaystyle \ operatorname {sgn} (x) = {\ frac {x} {| x |}} = {\ frac {| x |} {x}}}

\ operatorname {sgn} (x) = { \ frac {x} {| x |}} = {\ frac {| x |} {x}}

где | x | - абсолютное значение x.

Комплексная знаковая функция

В то время как действительное число имеет одномерное направление, комплексное число имеет 2-мерное направление. Для комплексной знаковой функции требуется величина ее аргумента z = x + iy, которая может быть вычислена как

| z | = zz ¯ = x 2 + y 2. { \ displaystyle | z | = {\ sqrt {z {\ bar {z}}}} = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}.}

{\ displaystyle | z | = {\ sqrt {z {\ bar {z}}}} = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}.}

Аналогично предыдущему, комплексная знаковая функция извлекает t комплексный знак комплексного числа путем преобразования множества ненулевых комплексных чисел в множество унимодулярных комплексных чисел и 0 в 0: ${z ∈ C: | z | = 1} ∪ {0}. {\ displaystyle \ {z \ in \ mathbb {C}: | z | = 1 \} \ cup \ {0 \}.}$ ${\ displaystyle \ {z \ in \ mathbb {C}: | z | = 1 \} \ чашка \ {0 \}.}$ Его можно определить следующим образом:

Пусть z также выражается его величиной и одним из аргументов φ как z = | z | ⋅e, тогда

sgn ⁡ (z) = {0 для z = 0 z | z | = e i φ в противном случае. {\ displaystyle \ operatorname {sgn} (z) = {\ begin {cases} 0 {\ text {for}} z = 0 \\\ displaystyle {\ frac {z} {| z |}} = e ^ {i \ varphi} {\ text {else}}. \ end {ases}}}

{\ displaystyle \ operatorname {sgn} (z) = {\ begin {cases} 0 {\ text {for}} z = 0 \\\ displaystyle {\ frac {z} {| z |}} = e ^ {i \ varphi} {\ text {else}}. \ end {cases}}}

Это определение также может быть распознано как нормализованный вектор, то есть вектор, направление которого не меняется, а длина фиксирована на единство. Если исходное значение было R, θ в полярной форме, то sign (R, θ) равно 1 θ. Расширение sign () или signum () до любого количества измерений очевидно, но это уже было определено как нормализация вектора.

Знаки в соответствии с соглашением

В ситуациях, когда существует ровно две равноправные возможности для атрибута, они часто обозначаются условно как плюс и минус соответственно. В некоторых контекстах выбор этого присвоения (то есть, какой диапазон значений считается положительным, а какой отрицательным) является естественным, тогда как в других контекстах выбор является произвольным, что делает необходимым явное соглашение о знаках, единственное требование - последовательное использование конвенция.

Знак угла

При измерении от оси x углы на единичной окружности считаются положительными в направлении против часовой стрелки., и отрицательное значение в направлении по часовой стрелке.

Во многих контекстах принято связывать знак с мерой угла, в частности ориентированного угла или угла вращение. В такой ситуации знак указывает, находится ли угол в направлении по часовой стрелке или против часовой стрелки. Хотя могут использоваться разные соглашения, в математике обычно считается, что углы против часовой стрелки считаются положительными, а углы по часовой стрелке считаются отрицательными.

Также можно связать знак с углом вращения в трех измерениях, предполагая, что ось вращения была ориентирована. В частности, правое вращение вокруг ориентированной оси обычно считается положительным, в то время как левое вращение считается отрицательным.

Знак изменения

Когда величина x изменяется с течением времени, изменение значения x обычно определяется уравнением

Δ x = x final - x начальный. {\ displaystyle \ Delta x = x _ {\ text {final}} - x _ {\ text {initial}}.}

{ \ displaystyle \ Delta x = x _ {\ text {final}} - x _ {\ text {initial}}.}

Используя это соглашение, увеличение x считается положительным изменением, а уменьшение x считается отрицательным изменение. В исчислении это же соглашение используется в определении производной. В результате любая возрастающая функция имеет положительную производную, а любая убывающая функция имеет отрицательную производную.

Знак направления

В аналитической геометрии и физике принято обозначать определенные направления как положительные или отрицательные. В качестве базового примера числовая линия обычно рисуется с положительными числами справа и отрицательными числами слева:

В результате при обсуждении линейного движения, смещение или скорость, движение вправо обычно считается положительным, в то время как аналогичное движение влево считается отрицательным.

На декартовой плоскости правое и восходящее направления обычно считаются положительными, при этом вправо является положительным направлением оси x, а вверх - положительным направлением оси y. Если вектор смещения или скорости разделен на его компоненты вектора , то горизонтальная часть будет положительной для движения вправо и отрицательной для движения влево, а вертикальная часть будет быть положительным для движения вверх и отрицательным для движения вниз.

Знаки при вычислении

старшего разряда
0	1	1	1	1	1	1	1	=	127
0	1	1	1	1	1	1	0	=	126
0	0	0	0	0	0	1	0	=	2
0	0	0	0	0	0	0	1	=	1
0	0	0	0	0	0	0	0	=	0
1	1	1	1	1	1	1	1	=	−1
1	1	1	1	1	1	1	0	=	−2
1	0	0	0	0	0	0	1	=	−127
1	0	0	0	0	0	0	0	=	−128
Большинство компьютеров используют дополнение до двух для представления знак целого числа.

В вычислении целочисленное значение может быть либо со знаком, либо без знака, в зависимости от того, отслеживает ли компьютер знак для числа. Ограничивая целочисленную переменную только неотрицательными значениями, можно использовать еще один бит для хранения значения числа. Из-за того, как целочисленная арифметика выполняется на компьютерах, представления числа со знаком обычно не хранят знак как отдельный независимый бит, вместо этого используя, например, дополнение до двух.

Напротив, действительные числа хранятся и обрабатываются как значения с плавающей запятой. Значения с плавающей запятой представлены тремя отдельными значениями: мантиссой, показателем степени и знаком. Имея этот отдельный знаковый бит, можно представлять как положительный, так и отрицательный ноль. Большинство языков программирования обычно рассматривают положительный ноль и отрицательный ноль как эквивалентные значения, хотя они предоставляют средства, с помощью которых можно обнаружить различие.

Другие значения

Электрический заряд может быть положительным или отрицательным.

Помимо знака действительного числа, слово «знак» также используется различными связанными способами в математике и других науках. :

Слова от до знака означают, что для величины q известно, что либо q = Q, либо q = −Q для некоторого Q. Это часто выражается как q = ± В. Для действительных чисел это означает, что только абсолютное значение | q | количество известно. Для комплексных чисел и векторов величина, известная до знака, является более сильным условием, чем величина с известной величиной : помимо Q и -Q существует множество другие возможные значения q такие, что | q | = | Q |.
Знак перестановки определяется как положительный, если перестановка четная, и отрицательный, если перестановка нечетная.
In теория графов, знаковый граф - это граф, в котором каждое ребро отмечено положительным или отрицательным знаком.
В математическом анализе мера со знаком является обобщением концепции меры, в которой мера набора может иметь положительные или отрицательные значения.
В цифре со знаком представления, каждая цифра числа может иметь положительный или отрицательный знак.
Идеи подписанной области и подписанного тома иногда используются, когда это удобно, чтобы определенные области или объемы считались отрицательными. Это особенно верно в теории детерминантов. В (абстрактном) ориентированном векторном пространстве каждый упорядоченный базис векторного пространства может быть классифицирован как положительно или отрицательно ориентированный.
В физике любой электрический заряд имеет знак, положительный или отрицательный. По соглашению, положительный заряд - это заряд того же знака, что и протон, а отрицательный заряд - это заряд того же знака, что и электрон.

См. Также

Ссылки

^«Исчерпывающий список символов алгебры». Математическое хранилище. 2020-03-25. Проверено 26 августа 2020 г.
^ Вайсштейн, Эрик У. "Знак". mathworld.wolfram.com. Проверено 26 августа 2020 г.
^«Список символов исчисления и анализа». Математическое хранилище. 2020-05-11. Проверено 26 августа 2020 г.
^"SignumFunction". www.cs.cas.cz. Проверено 26 августа 2020 г.
^«Знак углов | Что такое угол? | Положительный угол | Отрицательный угол». Математика Только математика. Проверено 26 августа 2020 г.