Неправильный интеграл

редактировать

Предел определенного интеграла, когда один или оба предела приближаются к бесконечности, или значения, при которых подынтегральное выражение не определено

Неправильный интеграл первого вида. Может потребоваться определение интеграла в неограниченной области.

Несобственный интеграл Римана второго рода. Интеграл может не существовать из-за вертикальной асимптоты в функции.

В математическом анализе неправильный интеграл является пределом определенного интеграла в качестве конечной точки интервала (ов) интегрирования приближается либо к заданному действительному числу, $∞ {\ displaystyle \ infty}$ $\ infty$ , $- ∞ {\ displaystyle - \ infty}$ $- \ infty$ , или в некоторых случаях, когда обе конечные точки приближаются к пределам. Такой интеграл часто записывается символически, как стандартный определенный интеграл, в некоторых случаях с бесконечностью как предел интегрирования.

В частности, несобственный интеграл - это предел формы:

lim b → ∞ ∫ abf (x) dx, lim a → - ∞ ∫ abf (x) dx, {\ displaystyle \ lim _ {b \ to \ infty} \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx, \ qquad \ lim _ {a \ to - \ infty} \ int _ {a} ^ {b} f ( x) \, dx,}

{\ displaystyle \ lim _ {b \ to \ infty} \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx, \ qquad \ lim _ {a \ to - \ infty} \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx,}

или

lim c → b - ∫ acf (x) dx, lim c → a + ∫ cbf (x) dx, {\ displaystyle \ lim _ {c \ to b ^ {-}} \ int _ {a} ^ {c} f (x) \, dx, \ quad \ lim _ {c \ to a ^ {+}} \ int _ {c} ^ {b} f (x) \, dx,}

{\ displaystyle \ lim _ {c \ to b ^ {-}} \ int _ {a} ^ {c} f (x) \, dx, \ quad \ lim _ {c \ to a ^ {+}} \ int _ {c} ^ {b} f (x) \, dx,}

, в котором берется ограничение в одной или другой (или иногда в обеих) конечных точках (Апостол 1967, §10.23).

Из-за злоупотребления обозначениями несобственные интегралы часто записываются символически, как стандартные определенные интегралы, возможно, с бесконечностью в пределах интегрирования. Когда существует определенный интеграл (в смысле либо интеграла Римана, либо более продвинутого интеграла Лебега ), эта неоднозначность разрешается, поскольку как собственный, так и неправильный интеграл будут совпадать по значению.

Часто можно вычислить значения для несобственных интегралов, даже если функция не интегрируема в общепринятом смысле (например, как интеграл Римана ) из-за особенности в функции или потому, что одна из границ интегрирования бесконечна.

Содержание

1 Примеры
2 Сходимость интеграла
3 Типы интегралов
4 Несобственные интегралы Римана и интегралы Лебега
5 Особенности
6 Главное значение Коши
7 Суммируемость
8 Несобственные интегралы с несколькими переменными
- 8.1 Несобственные интегралы по произвольным областям
- 8.2 Несобственные интегралы с особенностями
- 8.3 Функции с положительными и отрицательными значениями
9 Примечания
10 Библиография
11 Внешние ссылки

Примеры

Исходное определение интеграла Римана не применяется к такой функции, как $1 / x 2 {\ displaystyle 1 / {x ^ {2 }}}$ $1 / {x ^ {2}}$ на интервале [1, ∞), потому что в этом случае область интегрирования неограничена. Однако интеграл Римана часто можно расширить до непрерывности, определив вместо этого несобственный интеграл как limit

∫ 1 ∞ 1 x 2 dx = lim b → ∞ ∫ 1 b 1 x 2 dx = lim b → ∞ (- 1 b + 1 1) = 1. {\ displaystyle \ int _ {1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {x ^ {2}}} \, dx = \ lim _ {b \ to \ infty} \ int _ {1} ^ {b} {\ frac {1} {x ^ {2}}} \, dx = \ lim _ {b \ to \ infty} \ left (- {\ frac {1} {b}} + {\ frac {1} {1}} \ right) = 1.}

{\ displaystyle \ int _ {1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {x ^ {2}}} \, dx = \ lim _ {b \ to \ infty} \ int _ {1} ^ {b} {\ frac {1} {x ^ {2}}} \, dx = \ lim _ {b \ to \ infty} \ left (- {\ frac {1} {b}} + {\ frac {1} {1} } \ right) = 1.}

Узкое определение интеграла Римана также не охватывает функцию $1 / x {\ displaystyle 1 / {\ sqrt {x}}}$ $1 / {\ sqrt {x} }$ на интервале [0, 1]. Проблема здесь в том, что подынтегральное выражение неограничено в области интегрирования (определение требует, чтобы и область интегрирования, и подынтегральное выражение были ограничены). Однако несобственный интеграл существует, если понимать его как предел

∫ 0 1 1 xdx = lim a → 0 + ∫ a 1 1 xdx = lim a → 0 + (2-2 a) = 2. {\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {1} {\ sqrt {x}}} \, dx = \ lim _ {a \ to 0 ^ {+}} \ int _ {a} ^ {1} {\ frac {1} {\ sqrt {x}}} \, dx = \ lim _ {a \ to 0 ^ {+}} (2-2 {\ sqrt {a}}) = 2.}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} {\ frac {1} {\ sqrt {x}}} \, dx = \ lim _ {a \ to 0 ^ {+}} \ int _ {a} ^ {1} {\ frac {1} {\ sqrt {x}}} \, dx = \ lim _ {a \ to 0 ^ {+}} (2-2 {\ sqrt {a}}) = 2.}

Несобственный интеграл.

∫ 0 ∞ dx (x + 1) x = π {\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {dx} {(x + 1) {\ sqrt {x}}}} = \ pi}

\ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {dx} {(x +1) {\ sqrt {x}}}} = \ pi

. имеет неограниченные интервалы как для области, так и для диапазона.

Иногда интегралы могут иметь две особенности, где они несобственные. Рассмотрим, например, функцию 1 / ((x + 1) √x), проинтегрированную от 0 до ∞ (показано справа). На нижней границе, когда x стремится к 0, функция стремится к ∞, а верхняя граница сама равна ∞, хотя функция стремится к 0. Таким образом, это дважды несобственный интеграл. Проинтегрировав, скажем, от 1 до 3, обычную сумму Римана достаточно, чтобы получить результат π / 6. Сумма Римана проинтегрировать от 1 до ∞ невозможна. Однако любая конечная верхняя граница, например t (при t>1), дает четко определенный результат 2 arctan (√t) - π / 2. Это имеет конечный предел, когда t стремится к бесконечности, а именно π / 2. Точно так же интеграл от 1/3 до 1 также допускает сумму Римана, которая по совпадению снова дает π / 6. Замена 1/3 произвольным положительным значением s (при s < 1) is equally safe, giving π/2 − 2 arctan(√s). This, too, has a finite limit as s goes to zero, namely π/2. Combining the limits of the two fragments, the result of this improper integral is

∫ 0 ∞ dx (x + 1) x = lim s → 0 + ∫ s 1 dx (x + 1) x + lim t → ∞ ∫ 1 tdx (x + 1) x = lim s → 0 + (π 2 - 2 arctan ⁡ s) + lim t → ∞ (2 arctan ⁡ t - π 2) = π 2 + (π - π 2) = π. {\ displaystyle {\ begin {align} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {dx} {(x + 1) {\ sqrt {x}}}} {} = \ lim _ {s \ to 0 ^ {+}} \ int _ {s} ^ {1} {\ frac {dx} {(x + 1) {\ sqrt {x}}}} + \ lim _ {t \ to \ infty} \ int _ {1} ^ {t} {\ frac {dx} {(x + 1) {\ sqrt {x}}}} \\ {} = \ lim _ {s \ to 0 ^ {+}} \ left ({\ frac {\ pi} {2}} - 2 \ arctan {\ sqrt {s}} \ right) + \ lim _ {t \ to \ infty} \ left (2 \ arctan {\ sqrt {t}} - {\ frac {\ pi} {2}} \ right) \\ {} = {\ frac {\ pi} {2}} + \ left (\ pi - {\ frac {\ pi} {2}} \ right) \\ {} = \ pi. \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {dx} {(x + 1) {\ sqrt {x}}}} {} = \ lim _ {s \ to 0 ^ {+}} \ int _ {s} ^ { 1} {\ frac {dx} {(x + 1) {\ sqrt {x}}}} + \ lim _ {t \ to \ infty} \ int _ {1} ^ {t} {\ frac {dx} {(x + 1) {\ sqrt {x}}}} \\ {} = \ lim _ {s \ to 0 ^ {+}} \ left ({\ frac {\ pi} {2}} - 2 \ arctan {\ sqrt {s}} \ right) + \ lim _ {t \ to \ infty} \ left (2 \ arctan {\ sqrt {t}} - {\ frac {\ pi} {2}} \ right) \\ {} = {\ frac {\ pi} {2}} + \ left (\ пи - {\ гидроразрыва {\ пи} {2}} \ справа) \\ {} = \ пи. \ конец {выровнено}}}

Этот процесс не гарантирует успеха; ограничение может не существовать или может быть бесконечным. Например, в ограниченном интервале от 0 к 1 интеграл от 1 / x не сходится; и на неограниченном интервале от 1 до ∞ интеграл от 1 / √x не сходится.

Несобственный интеграл.

∫ - 1 1 dxx 2 3 = 6 {\ displaystyle \ int _ {- 1} ^ {1} {\ frac {dx} {\ sqrt [{3}] {x ^ {2}}}} = 6}

\ int _ {- 1} ^ {1} {\ frac { dx} {\ sqrt [{3}] {x ^ {2}}}} = 6

. сходится, поскольку существуют и левый, и правый пределы, хотя подынтегральное выражение неограничено вблизи внутренней точки.

Также может случиться так, что подынтегральное выражение неограничено вблизи внутренней точки, и в этом случае интеграл должен быть разделен в этой точке. Чтобы интеграл в целом сходился, предельные интегралы с обеих сторон должны существовать и быть ограниченными. Например:

∫ - 1 1 dxx 2 3 = lim s → 0 ∫ - 1 - sdxx 2 3 + lim t → 0 ∫ t 1 dxx 2 3 = lim s → 0 3 (1 - s 3) + lim t → 0 3 (1 - t 3) = 3 + 3 = 6. {\ displaystyle {\ begin {align} \ int _ {- 1} ^ {1} {\ frac {dx} {\ sqrt [{3} ] {x ^ {2}}}} {} = \ lim _ {s \ to 0} \ int _ {- 1} ^ {- s} {\ frac {dx} {\ sqrt [{3}] { x ^ {2}}}} + \ lim _ {t \ to 0} \ int _ {t} ^ {1} {\ frac {dx} {\ sqrt [{3}] {x ^ {2}}} } \\ {} = \ lim _ {s \ to 0} 3 (1 - {\ sqrt [{3}] {s}}) + \ lim _ {t \ to 0} 3 (1 - {\ sqrt [{3}] {t}}) \\ {} = 3 + 3 \\ {} = 6. \ end {align}}}

{ \ begin {align} \ int _ {- 1} ^ {1} {\ frac {dx} {\ sqrt [{3}] {x ^ {2}}}} {} = \ lim _ {s \ to 0} \ int _ {- 1} ^ {- s} {\ frac {dx} {\ sqrt [{3}] {x ^ {2}}}} + \ lim _ {t \ to 0} \ int _ {t} ^ {1} {\ frac {dx} {\ sqrt [{3}] {x ^ {2}}}} \\ {} = \ lim _ {s \ to 0} 3 (1- { \ sqrt [{3}] {s}}) + \ lim _ {t \ to 0} 3 (1 - {\ sqrt [{3}] {t}}) \\ {} = 3 + 3 \\ {} = 6. \ end {align}}

Но аналогичный интеграл

∫ - 1 1 dxx { \ displaystyle \ int _ {- 1} ^ {1} {\ frac {dx} {x}}}

{\ displaystyle \ int _ {- 1} ^ {1} {\ frac {dx} {x}}}

нельзя присвоить значение таким образом, так как интегралы выше и ниже нуля не сходятся независимо. (Однако см. главное значение Коши.)

Сходимость интеграла

Несобственный интеграл сходится, если существует предел, определяющий его. Так, например, говорят, что несобственный интеграл

lim t → ∞ ∫ atf (x) dx {\ displaystyle \ lim _ {t \ to \ infty} \ int _ {a} ^ {t} f (x) \, dx}

{\ displaystyle \ lim _ {т \ к \ infty} \ int _ {a} ^ {t} f (x) \, dx}

существует и равно L, если интегралы под пределом существуют для всех достаточно больших t, а значение предела равно L.

Это также возможно для несобственного интеграла расходиться до бесконечности. В этом случае интегралу можно присвоить значение ∞ (или -∞). Например,

lim b → ∞ ∫ 1 b 1 x d x = ∞. {\ displaystyle \ lim _ {b \ to \ infty} \ int _ {1} ^ {b} {\ frac {1} {x}} \, dx = \ infty.}

{\ displaystyle \ lim _ {b \ to \ infty} \ int _ {1 } ^ {b} {\ frac {1} {x}} \, dx = \ infty.}

Однако другие несобственные интегралы могут просто не расходятся ни в каком конкретном направлении, например,

lim b → ∞ ∫ 1 bx sin ⁡ (x) dx, {\ displaystyle \ lim _ {b \ to \ infty} \ int _ {1} ^ {b} x \ sin (x) \, dx,}

{\ displaystyle \ lim _ {b \ to \ infty} \ int _ {1} ^ {b} x \ sin (x) \, dx,}

, которого не существует, даже как расширенное действительное число. Это называется расхождением по колебаниям.

Ограничение техники неправильной интеграции состоит в том, что ограничение должно приниматься по отношению к одной конечной точке за раз. Так, например, несобственный интеграл вида

∫ - ∞ ∞ f (x) dx {\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x) \, dx}

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x) \, dx}

можно определить, взяв два отдельных предела; к остроумию

∫ - ∞ ∞ е (х) dx = lim a → - ∞ lim b → ∞ ∫ abf (x) dx {\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x) \, dx = \ lim _ {a \ to - \ infty} \ lim _ {b \ to \ infty} \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx}

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (x) \, dx = \ lim _ {a \ to - \ infty} \ lim _ {b \ to \ infty} \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx}

при условии двойного ограничения конечно. Его также можно определить как пару различных несобственных интегралов первого рода:

lim a → - ∞ ∫ acf (x) dx + lim b → ∞ ∫ cbf (x) dx {\ displaystyle \ lim _ {a \ to - \ infty} \ int _ {a} ^ {c} f (x) \, dx + \ lim _ {b \ to \ infty} \ int _ {c} ^ {b} f (x) \, dx }

{\ displaystyle \ lim _ {a \ to - \ infty} \ int _ {a} ^ {c} f (x) \, dx + \ lim _ {b \ to \ infty} \ int _ {c} ^ {b} f (x) \, dx}

где c - любая удобная точка, с которой можно начать интегрирование. Это определение также применимо, когда один из этих интегралов бесконечен или оба имеют одинаковый знак.

Примером неправильного интеграла, в котором обе конечные точки бесконечны, является интеграл Гаусса $∫ - ∞ ∞ e - x 2 dx = π {\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- x ^ {2}} \, dx = {\ sqrt {\ pi}}}$ ${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} е ^ {- х ^ {2}} \, dx = {\ sqrt {\ pi}}}$ . Пример, который вычисляется до бесконечности: $∫ - ∞ ∞ e x d x {\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {x} \, dx}$ ${ \ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {x} \, dx}$ . Но нельзя даже однозначно определить другие интегралы такого типа, например, $∫ - ∞ ∞ xdx {\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x \, dx}$ ${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x \, dx}$ , поскольку двойной предел бесконечен и метод двух интегралов

lim a → - ∞ ∫ acxdx + lim b → ∞ ∫ cbxdx {\ displaystyle \ lim _ {a \ to - \ infty} \ int _ {a} ^ {c} x \, dx + \ lim _ {b \ to \ infty} \ int _ {c} ^ {b} x \, dx}

{\ displaystyle \ lim _ {a \ to - \ infty} \ int _ {a} ^ {c} x \, dx + \ lim _ {b \ to \ infty} \ int _ {c} ^ {b} x \, dx}

дает $∞ - ∞ {\ displaystyle \ infty - \ infty }$ $\ infty - \ infty$ . Однако в этом случае можно определить несобственный интеграл в смысле главного значения Коши :

p. v. ⁡ ∫ - ∞ ∞ xdx знак равно lim b → ∞ ∫ - bbxdx = 0. {\ displaystyle \ operatorname {pv} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x \, dx = \ lim _ {b \ to \ infty} \ int _ {- b} ^ {b} x \, dx = 0.}

{\ displaystyle \ operatorname {pv} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} x \, dx = \ lim _ {b \ to \ infty} \ int _ {- b} ^ {b} x \, dx = 0.}

При определении неправильного интеграла необходимо ответить на следующие вопросы:

Существует ли предел?
Можно ли вычислить предел?

Первый вопрос - это вопрос математического анализа. Вторая проблема может быть решена с помощью методов исчисления, а также в некоторых случаях с помощью контурного интегрирования, преобразования Фурье и других более сложных методов.

Типы интегралов

Существует несколько теорий интегрирования. С точки зрения исчисления, теория интеграла Римана обычно считается теорией по умолчанию. При использовании несобственных интегралов может иметь значение, какая теория интегрирования используется.

Для интеграла Римана (или эквивалентного ему интеграла Дарбу ) неправильное интегрирование необходимо как для неограниченных интервалов (поскольку нельзя разделить интервал на конечное число подынтервалов конечной длины), так и для для неограниченных функций с конечным интегралом (поскольку, если предположить, что он неограничен сверху, тогда верхний интеграл будет бесконечным, но нижний интеграл будет конечным).
Интеграл Лебега иначе относится к неограниченные области и неограниченные функции, поэтому часто интеграл, существующий только как несобственный интеграл Римана, будет существовать как (собственный) интеграл Лебега, например $∫ 1 ∞ 1 x 2 dx {\ displaystyle \ int _ {1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {x ^ {2}}} \, dx}$ ${\ displaystyle \ int _ {1} ^ {\ infty} {\ frac {1} { x ^ {2}}} \, dx}$ . С другой стороны, есть также интегралы, которые имеют несобственный интеграл Римана, но не имеют (собственного) интеграла Лебега, например $∫ 0 ∞ sin ⁡ xxdx {\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty } {\ frac {\ sin x} {x}} \, dx}$ $\ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin x} {x}} \, dx$ . Теория Лебега не видит в этом недостатка: с точки зрения теории меры, $∫ 0 ∞ sin ⁡ xxdx = ∞ - ∞ {\ displaystyle \ int _ {0} ^ { \ infty} {\ frac {\ sin x} {x}} \, dx = \ infty - \ infty}$ ${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin x} { x}} \, dx = \ infty - \ infty}$ и не может быть определен удовлетворительно. Однако в некоторых ситуациях может быть удобно использовать несобственные интегралы Лебега, как, например, при определении главного значения Коши. Интеграл Лебега более или менее важен при теоретическом рассмотрении преобразования Фурье с повсеместным использованием интегралов по всей действительной прямой.
Для интеграла Хенстока – Курцвейла, неправильное интегрирование не обязательно, и это считается сильной стороной теории: оно охватывает все интегрируемые по Лебегу и несобственные функции, интегрируемые по Риману.

Несобственные интегралы Римана и интегралы Лебега

Рисунок 1

Рисунок 2

В некоторых случаях интеграл

∫ acf (x) dx {\ displaystyle \ int _ {a} ^ {c} f (x) \, dx}

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {c} f (x) \, dx}

может быть определен как интеграл (a интеграл Лебега, например) без ссылки на предел

lim b → c - ∫ abf (x) dx {\ displaystyle \ lim _ {b \ to c ^ {-}} \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx}

{\ displaystyle \ lim _ {b \ to c ^ {-}} \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx}

но иначе не может быть удобно вычислено. Это часто происходит, когда функция f, интегрируемая от a до c, имеет вертикальную асимптоту в точке c, или если c = ∞ (см. Рисунки 1 и 2). В таких случаях несобственный интеграл Римана позволяет вычислить интеграл Лебега функции. В частности, имеет место следующая теорема (Апостол 1974, теорема 10.33):

Если функция f интегрируема по Риману на [a, b] для любого b ≥ a и частные интегралы

∫ ab | f (x) | dx {\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} | f (x) | \, dx}

{\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} | f (x) | \, dx}

ограничены при b → ∞, тогда несобственные интегралы Римана

∫ a ∞ f (x) dx, и ∫ a ∞ | f (x) | dx {\ displaystyle \ int _ {a} ^ {\ infty} f (x) \, dx, \ quad {\ t_dv {and}} \ int _ {a} ^ {\ infty} | f (x) | \, dx}

{\ Displaystyle \ int _ {a} ^ {\ infty} е (х) \, dx, \ quad {\ t_dv {и}} \ int _ {a} ^ {\ infty} | f (x) | \, dx}

оба существуют. Кроме того, f является интегрируемым по Лебегу на [a, ∞), и его интеграл Лебега равен его несобственному интегралу Римана.

Например, интеграл

∫ 0 ∞ dx 1 + x 2 {\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {dx} {1 + x ^ {2}}}}

\ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {dx} {1 + x ^ {2}}}

можно также интерпретировать как несобственный интеграл

lim b → ∞ ∫ 0 bdx 1 + x 2 = lim b → ∞ arctan ⁡ b = π 2, {\ displaystyle \ lim _ {b \ to \ infty} \ int _ {0} ^ {b} {\ frac {dx} {1 + x ^ {2}} } = \ lim _ {b \ to \ infty} \ arctan {b} = {\ frac {\ pi} {2}},}

\ lim _ {{b \ to \ infty}} \ int _ {0} ^ {b} {\ frac {dx} {1 + x ^ {2}}} = \ lim _ {{b \ to \ infty}} \ arctan {b} = {\ frac {\ pi} {2}},

или вместо этого его можно интерпретировать как интеграл Лебега по множеству (0, ∞). Поскольку оба этих вида интеграла согласуются, можно выбрать первый метод для вычисления значения интеграла, даже если в конечном итоге он желает рассматривать его как интеграл Лебега. Таким образом, несобственные интегралы, несомненно, являются полезными инструментами для получения фактических значений интегралов.

В других случаях, однако, интеграл Лебега между конечными точками может даже не быть определен, потому что интегралы от положительной и отрицательной частей f бесконечны, но несобственный интеграл Римана все еще может существовать. Такие случаи являются «собственно несобственными» интегралами, т. Е. Их значения не могут быть определены иначе, как такие пределы. Например,

∫ 0 ∞ sin ⁡ (x) xdx {\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin (x)} {x}} \, dx}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin (x)} { х}} \, dx}

нельзя интерпретировать как интеграл Лебега, поскольку

∫ 0 ∞ | sin ⁡ (x) x | d x = ∞. {\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} \ left | {\ frac {\ sin (x)} {x}} \ right | \, dx = \ infty.}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} \ left | {\ frac {\ sin (x)} {x} } \ right | \, dx = \ infty.}

Но $f (x) = sin ⁡ (x) x {\ displaystyle f (x) = {\ frac {\ sin (x)} {x}}}$ ${\ displaystyle f (x) = {\ frac {\ sin (x)} {x}}}$ , тем не менее, интегрируем между любыми двумя конечными конечными точками, и его интеграл между 0 и ∞ обычно понимается как предел интеграла:

∫ 0 ∞ sin ⁡ (x) xdx = lim b → ∞ ∫ 0 b sin ⁡ (x) xdx = π 2. {\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin (x)} {x}} \, dx = \ lim _ {b \ to \ infty} \ int _ {0} ^ { b} {\ frac {\ sin (x)} {x}} \, dx = {\ frac {\ pi} {2}}.}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {\ sin (x)} {x}} \, dx = \ lim _ {b \ to \ infty} \ int _ {0} ^ {b} { \ frac {\ sin (x)} {x}} \, dx = {\ frac {\ pi} {2}}.}

Особенности

Можно говорить об особенностях неправильный интеграл, означающий те точки линии расширенных вещественных чисел, в которых используются пределы.

Главное значение Коши

Рассмотрим разницу в значениях двух пределов:

lim a → 0 + (1 - 1 - adxx + ∫ a 1 dxx) = 0, {\ displaystyle \ lim _ {a \ to 0 ^ {+}} \ left (\ int _ {- 1} ^ {- a} {\ frac {dx} {x}} + \ int _ {a} ^ {1} { \ frac {dx} {x}} \ right) = 0,}

{\ displaystyle \ lim _ {a \ to 0 ^ {+}} \ left (\ int _ {- 1} ^ {- a} {\ frac {dx} {x}} + \ int _ {a} ^ {1} {\ frac {dx} {x}} \ right) = 0,}

lim a → 0 + (∫ - 1 - adxx + ∫ 2 a 1 dxx) = - ln ⁡ 2. {\ displaystyle \ lim _ { a \ to 0 ^ {+}} \ left (\ int _ {- 1} ^ {- a} {\ frac {dx} {x}} + \ int _ {2a} ^ {1} {\ frac {dx } {x}} \ right) = - \ ln 2.}

{\ displaystyle \ lim _ {a \ to 0 ^ {+}} \ left (\ int _ {- 1} ^ {- a} {\ frac {dx} {x}} + \ int _ {2a} ^ {1} {\ frac {dx} {x}} \ right) = - \ ln 2.}

Первое является главным значением Коши для иначе некорректно определенного выражения

∫ - 1 1 dxx (которое дает - ∞ + ∞). {\ displaystyle \ int _ {- 1} ^ {1} {\ frac {dx} {x}} {\} \ left ({\ t_dv {which}} \ {\ t_dv {дает}} \ - \ infty + \ infty \ right).}

{\ displaystyle \ int _ {- 1} ^ {1} {\ frac {dx} {x}} {\} \ left ({\ t_dv {which}} \ {\ t_dv {дает}} \ - \ infty + \ infty \ right).}

Аналогично,

lim a → ∞ ∫ - aa 2 xdxx 2 + 1 = 0, {\ displaystyle \ lim _ {a \ to \ infty} \ int _ {- a} ^ {a} {\ frac {2x \, dx} {x ^ {2} +1}} = 0,}

{\ displaystyle \ lim _ {a \ to \ infty} \ int _ {- a } ^ {a} {\ frac {2x \, dx} {x ^ {2} +1}} = 0,}

но

lim a → ∞ ∫ - 2 aa 2 xdxx 2 + 1 = - пер ⁡ 4. {\ displaystyle \ lim _ {a \ to \ infty} \ int _ {- 2a} ^ {a} {\ frac {2x \, dx} {x ^ {2} +1}} = - \ ln 4.}

{\ displaystyle \ lim _ {a \ to \ infty} \ int _ {- 2a} ^ {a} {\ frac {2x \, dx} {x ^ {2} +1}} = - \ ln 4.}

Первое - это главное значение иначе некорректно определенного выражения

∫ - ∞ ∞ 2 xdxx 2 + 1 (что дает - ∞ + ∞). {\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {2x \, dx} {x ^ {2} +1}} {\} \ left ({\ t_dv {which}} \ { \ t_dv {дает}} \ - \ infty + \ infty \ right).}

{\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {2x \, dx} {x ^ {2} +1}} {\} \ left ({ \ t_dv {which}} \ {\ t_dv {дает}} \ - \ infty + \ infty \ right).}

Все приведенные выше ограничения являются случаями неопределенной формы ∞ - ∞.

Эти патологии не влияют на «интегрируемые по Лебегу» функции, то есть функции, интегралы которых абсолютные значения конечны.

Суммируемость

Несобственный интеграл может расходиться в том смысле, что определяющий его предел может не существовать. В этом случае существуют более сложные определения предела, которые могут дать сходящееся значение для неправильного интеграла. Это так называемые методы суммируемости.

Один из методов суммирования, популярный в анализе Фурье, - метод суммирования Чезаро. Интеграл

∫ 0 ∞ f (x) dx {\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} f (x) \, dx}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} f (x) \, dx}

суммируется по Чезаро (C, α), если

lim λ → ∞ ∫ 0 λ (1 - Икс λ) α е (Икс) dx {\ Displaystyle \ lim _ {\ lambda \ to \ infty} \ int _ {0} ^ {\ lambda} \ left (1- { \ frac {x} {\ lambda}} \ right) ^ {\ alpha} f (x) \, dx}

{\ displaystyle \ lim _ {\ lambda \ to \ infty} \ int _ {0} ^ {\ lambda} \ left (1 - {\ frac {x} {\ lambda}} \ right) ^ {\ alpha} f (x) \, dx}

существует и конечен (Titchmarsh 1948, §1.15). Значение этого предела, если оно существует, представляет собой (C, α) сумму интеграла.

Интеграл является (C, 0) суммируемым именно тогда, когда он существует как несобственный интеграл. Однако есть интегралы, суммируемые (C, α) при α>0, которые не сходятся как несобственные интегралы (в смысле Римана или Лебега). Одним из примеров является интеграл

∫ 0 ∞ sin ⁡ xdx {\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} \ sin x \, dx}

{\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} \ sin x \, dx}

, который не может существовать как неправильный интеграл, но является ( C, α) суммируемым для любого α>0. Это интегральная версия серии Гранди.

Несобственные интегралы с несколькими переменными

Несобственный интеграл также может быть определен для функций нескольких переменных. Определение немного отличается, в зависимости от того, требуется ли интеграция в неограниченной области, например $R 2 {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$ $\ R ^ 2$ , или интеграция функции с особенности, например $f (x, y) = log ⁡ (x 2 + y 2) {\ displaystyle f (x, y) = \ log (x ^ {2} + y ^ {2})}$ $f (x, y) = \ log (x ^ { 2} + y ^ {2})$ .

Неправильные интегралы по произвольным областям

Если $f: R n → R {\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n} \ to \ mathbb {R}}$ - неотрицательная функция, интегрируемая по Риману по каждому компактному кубу вида $[- a, a] n {\ displaystyle [-a, a] ^ {n}}$ $[-a, a] ^ {n }$ , для $a>0 {\ displaystyle a>0}$ $a>0$ , тогда неправильный интеграл f от $R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ определяется как предел

lim a → ∞ ∫ [- a, a] nf, {\ displaystyle \ lim _ {a \ to \ infty} \ int _ {[- a, a] ^ {n}} f,}

\ lim _ {a \ to \ infty} \ int _ {[- a, a] ^ {n}} f,

prov думал, что он существует.

Функция в произвольной области A в $R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ расширяется до функции $f ~ {\ displaystyle {\ tilde {f}}}$ ${\ тильда {f}}$ на $R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ на ноль вне A:

f ~ (Икс) знак равно {е (Икс) Икс ∈ A 0 Икс ∉ A {\ Displaystyle {\ тильда {F}} (х) = {\ begin {case} f (x) x \ in A \\ 0 x \ not \ in A \ end {cases}}}

{\ tilde {f}} (x) = {\ begin {cases} f (x) x \ in A \\ 0 x \ not \ in A \ end {case}}

Тогда интеграл Римана функции в ограниченной области A определяется как интеграл расширенной функции $f ~ {\ displaystyle {\ tilde {f}}}$ ${\ тильда {f}}$ над кубом $[- a, a] n {\ displaystyle [-a, a] ^ {n}}$ $[-a, a] ^ {n }$ , содержащим A:

∫ A f = ∫ [- а, а] пф ~. {\ displaystyle \ int _ {A} f = \ int _ {[- a, a] ^ {n}} {\ tilde {f}}.}

\ int _ {A} f = \ int _ {[- a, a] ^ {n}} {\ tilde {f}}.

В общем, если A неограничен, то несобственный Риман интеграл по произвольной области в $R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ определяется как предел:

∫ A f = lim a → ∞ ∫ A ∩ [- a, a] nf = lim a → ∞ ∫ [- a, a] nf ~. {\ displaystyle \ int _ {A} f = \ lim _ {a \ to \ infty} \ int _ {A \ cap [-a, a] ^ {n}} f = \ lim _ {a \ to \ infty } \ int _ {[- a, a] ^ {n}} {\ tilde {f}}.}

\ int _ {A} f = \ lim _ {a \ to \ infty} \ int _ {A \ cap [-a, a] ^ {n}} f = \ lim _ {a \ to \ infty} \ int _ {[- a, a] ^ {n}} {\ tilde {f}}.

Несобственные интегралы с особенностями

Если f - неотрицательная функция, не ограниченная в области A, то несобственный интеграл от f определяется путем усечения f на некотором обрезании M, интегрирования полученной функции и последующего перехода к пределу, когда M стремится к бесконечности. Это для $M>0 {\ displaystyle M>0}$ $M>0$ , установите $f M = min {f, M} {\ displaystyle f_ {M} = \ min \ {f, M \}}$ $f_ {M} = \ min \ {f, M \}$ . Затем определите

∫ A f = lim M → ∞ ∫ A f M {\ displaystyle \ int _ {A} f = \ lim _ {M \ to \ infty} \ int _ {A} f_ {M }}

\ int _ {A} f = \ lim _ {M \ to \ infty} \ int _ {A } f_ {M}

при условии, что этот предел существует.

Функции с положительными и отрицательными значениями

Эти определения применяются к неотрицательным функциям. Более общая функция f может быть разложена как разность его положительной части $f + = max {f, 0} {\ displaystyle f _ {+} = \ max \ {f, 0 \}}$ $f_{+}=\max\{f,0\}$ и отрицательной части $f - = max {- f, 0} {\ displaystyle f _ {-} = \ max \ {- f, 0 \}}$ $f_ {-} = \ max \ {- f, 0 \}$ , поэтому

f = f + - f - {\ displaystyle f = f_ {+} - f _ {-}}

f = f _ {+} - f _ {-}

с $f + {\ displaystyle f _ {+}}$ $f _ {+}$ и $f - {\ displaystyle f _ {-}}$ $f _ {-}$ обе неотрицательные функции. Функция f имеет несобственный риманов интеграл, если каждый из $f + {\ displaystyle f _ {+}}$ $f _ {+}$ и $f - {\ displaystyle f _ {-}}$ $f _ {-}$ имеет по одному, и в этом случае значение этого несобственного интеграла определяется как

∫ A f = ∫ A f + - ∫ A f -. {\ displaystyle \ int _ {A} f = \ int _ {A} f _ {+} - \ int _ {A} f _ {-}.}

\ int _ {A} f = \ int _ {A} f _ {+} - \ int _ {A} f _ {-}.

Чтобы существовать в этом смысле, несобственный интеграл обязательно сходится абсолютно, поскольку

∫ A | f | = ∫ A f + + ∫ A f -. {\ displaystyle \ int _ {A} | f | = \ int _ {A} f _ {+} + \ int _ {A} f _ {-}.}

\ int _ {A} | f | = \ int _ {A} f _ {+} + \ int _ {A} f _ {-}.

Примечания

^Cooper 2005, p. 538: «Нам нужно сделать это более сильное определение сходимости в терминах | f (x) |, потому что сокращение интегралов может происходить по-разному в более высоких измерениях».
^Ghorpade Limaye 2010, стр. 448: «Здесь уместно понятие безусловной конвергенции».... «На самом деле, для несобственных интегралов таких функций безусловная сходимость оказывается эквивалентной абсолютной сходимости».

Библиография

Апостол, Т (1974), Математический анализ, Аддисон-Уэсли, ISBN 978-0-201-00288-1.
Апостол, Т (1967), Calculus, Vol. 1 (2-е изд.), Jon Wiley Sons.
Autar Kaw, Egwu Kalu (2008), Численные методы с приложениями (1-е изд.), Autarkaw.com
Тичмарш, E (1948), Введение в теорию интегралов Фурье (2-е изд.), Нью-Йорк, Нью-Йорк: Chelsea Pub. Co. (опубликовано в 1986 г.), ISBN 978-0-8284-0324-5.
Купер, Джеффри (2005), Рабочий анализ, Gulf Professional
Горпейд, Судхир; Лимай, Балмохан (2010), Курс многомерного исчисления и анализа, Springer

Внешние ссылки

Численные методы решения неправильных интегралов в Институте целостных численных методов