Войти
Временной сигнал бас-гитары открытой струны Нота (55 Гц). 
Преобразование Фурье бас-гитары сигнал времени открытой струны A note (55 Гц). Анализ Фурье выявляет колебательные компоненты сигналов и функций. В математике, анализ Фурье () - это исследование Таким образом, общие функции могут быть представлены или аппроксимированы суммами более простых тригонометрических функций. Анализ Фурье вырос из исследования ряда Фурье и назван в честь Джозефа Фурье, который показал, что представление функции в виде суммы тригонометрических функций значительно упрощает изучение теплопередачи.
Сегодня предметом анализа Фурье является широкий спектр математики. В науке и технике процесс разложения функции на колебательные компоненты часто называют анализом Фурье, в то время как операция восстановления функции из этих частей известна как синтез Фурье . Например, определение того, какие составляющие частоты присутствуют в музыкальной ноте, потребует вычисления преобразования Фурье дискретизированной музыкальной ноты. Затем можно было бы повторно синтезировать тот же самый звук, включив частотные компоненты, выявленные в анализе Фурье. В математике термин «анализ Фурье» часто относится к изучению обеих операций.
Сам процесс разложения называется преобразованием Фурье. Его выход, преобразование Фурье, часто получает более конкретное имя, которое зависит от домена и других свойств преобразуемой функции. Более того, первоначальная концепция анализа Фурье со временем была расширена, чтобы применяться ко все более и более абстрактным и общим ситуациям, и общая область часто известна как гармонический анализ. Каждое преобразование , используемое для анализа (см. список преобразований Фурье ), имеет соответствующее обратное преобразование, которое может использоваться для синтеза.
Анализ Фурье имеет множество научных приложений - в физике, уравнениях в частных производных, теории чисел, комбинаторике, обработке сигналов, обработка цифровых изображений, теория вероятностей, статистика, криминалистика, оценка опций, криптография, численный анализ, акустика, океанография, сонар, оптика, дифракция, геометрия, анализ структуры белка, и другие области.
Эта широкая применимость проистекает из многих полезных свойств преобразований:
В судебной медицине лабораторные инфракрасные спектрофотометры используют анализ с преобразованием Фурье для измерения длин волн света, при которых материал будет поглощать в инфракрасном спектре. Метод FT используется для декодирования измеренных сигналов и записи данных о длинах волн. А с помощью компьютера эти расчеты Фурье выполняются быстро, так что за считанные секунды управляемый компьютером FT-IR прибор может создать картину поглощения инфракрасного излучения, сравнимую с таковой у призматического прибора.
Преобразование Фурье также полезно как компактное представление сигнала. Например, сжатие JPEG использует вариант преобразования Фурье (дискретное косинусное преобразование ) небольших квадратных фрагментов цифрового изображения. Компоненты Фурье каждого квадрата округляются до более низкой арифметической точности, а слабые компоненты полностью исключаются, так что оставшиеся компоненты могут храниться очень компактно. При реконструкции изображения каждый квадрат изображения повторно собирается из сохраненных приближенных преобразованных Фурье компонентов, которые затем подвергаются обратному преобразованию для получения приближения к исходному изображению.
При обработке сигналов, таких как аудио, радиоволны, световые волны, сейсмические волны и даже изображения, анализ Фурье может выделить узкополосные компоненты составной формы волны, концентрируя их для более легкого обнаружения или удаления. Большое семейство методов обработки сигналов состоит из преобразования Фурье сигнала, простого манипулирования данными, преобразованными Фурье, и обращения преобразования.
Некоторые примеры включают:
Преобразование Фурье и 3 варианта, вызванные периодической выборкой (с интервалом T) и / или периодической суммирование (на интервале P) базовой функции во временной области. Относительная простота вычислений последовательности ДПФ и понимание, которое она дает в отношении S (f), делают ее популярным инструментом анализа. Чаще всего используется некорректный термин преобразование Фурье относится к преобразованию функций непрерывного вещественного аргумента и производит непрерывную функцию частоты, известную как частотное распределение. Одна функция преобразуется в другую, и операция обратима. Когда область действия входной (начальной) функции - время (t), а область области выходной (конечной) функции - обычная частота, преобразование функции s (t) на частоте f определяется выражением комплексное число:
Оценка этого количества для всех значений of f дает функцию частотной области. Тогда s (t) можно представить как рекомбинацию комплексных экспонент всех возможных частот:
, которая является формулой обратного преобразования. Комплексное число S (f) передает как амплитуду, так и фазу частоты f.
См. преобразование Фурье для получения более подробной информации, включая:
Преобразование Фурье периодической функции, s P (t) с периодом P становится функцией гребенка Дирака, модулированной последовательностью комплексных коэффициентов :
![{\ displaystyle S [k] = {\ frac {1} {P}} \ int _ {P} s_ {P} (t) \ cdot e ^ {- i2 \ pi { \ frac {k} {P}} t} \, dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6c59f544b20965b0d0384f6f6d85ee9b22da7b4)
для всех целых значений k, и где ∫ P - интеграл по любому интервалу длины P.
Обратное преобразование, известное как ряд Фурье, представляет собой представление s P (t) в терминах суммы потенциально бесконечного числа гармонически связанных синусоид или комплексной экспоненты фу секций, каждая из которых имеет амплитуду и фазу, определяемые одним из коэффициентов:
![{\ displaystyle s_ {P} (t) = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} S [k] \ cdot e ^ {i2 \ pi { \ frac {k} {P}} t} \ quad {\ stackrel {\ displaystyle {\ mathcal {F}}} {\ Longleftrightarrow}} \ quad \ sum _ {k = - \ infty} ^ {+ \ infty} S [k] \, \ delta \ left (f - {\ frac {k} {P}} \ right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2379f269921c3967a73a6e07301d844bf192ff16)
Когда s P (t), выражается как периодическое суммирование другой функции, s (т):
коэффициенты пропорциональны выборкам S (f) с дискретными интервалами 1 / P:
![{\ displaystyle S [k] = {\ frac {1} {P}} \ cdot S \ left ({\ frac {k} {P }} \ right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/639522ac155d3a2aa8c2fcf1a47a69a699f0a0c2)
Достаточное условие для восстановления s (t) (и, следовательно, S (f)) только из этих выборок (то есть из ряда Фурье) заключается в том, что ненулевая часть s (t) ограничивается известным интервалом длительности P, который является частотной областью, двойственной для Теорема выборки Найквиста – Шеннона.
См. ряд Фурье для получения дополнительной информации, включая историческое развитие.
DTFT является математическим двойником ряда Фурье во временной области. Таким образом, сходящееся периодическое суммирование в частотной области может быть представлено рядом Фурье, коэффициенты которого являются выборками соответствующей функции непрерывного времени:
![{\ displaystyle S _ {\ frac {1} {T}} (f) \ \ треугольник \ \ underbrace {\ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} S \ left (f - {\ frac {k} {T}} \ right) \ Equiv \ overbrace {\ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} s [n] \ cdot e ^ {- i2 \ pi fnT}} ^ {\ text {Ряд Фурье (DTFT)}}} _ {\ text {Формула суммирования Пуассона} } = {\ mathcal {F}} \ left \ {\ sum _ {n = - \ infty } ^ {\ infty} s [n] \ \ delta (t-nT) \ right \}, \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f86c6a552be1eff44e868c611cf83788342397b7)
, который известен как DTFT. Таким образом, DTFT последовательности s [n] также является преобразованием Фурье модулированной функции гребенка Дирака.
Коэффициенты ряда Фурье (и обратное преобразование), определяются как:
![{\displaystyle s[n]\ \triangleq \ T\int _{\frac {1}{ T}}S_{\frac {1}{T}}(f)\cdot e^{i2\pi fnT}\,df=T\underbrace {\int _{-\infty }^{\infty }S( f)\cdot e^{i2\pi fnT}\,df} _{\triangleq \,s(nT)}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4c2d37f7c8c2bdd52a8c6abe82bf25132e9555c)
Параметр T соответствует интервалу выборки, и этот ряд Фурье теперь можно распознать как форму формулы суммирования Пуассона. Таким образом, мы получаем важный результат: когда дискретная последовательность данных s [n] пропорциональна выборкам лежащей в основе непрерывной функции s (t), можно наблюдать периодическое суммирование непрерывного преобразования Фурье, S (f). Это краеугольный камень в основе цифровой обработки сигналов. Кроме того, при определенных идеализированных условиях теоретически можно точно восстановить S (f) и s (t). Достаточным условием для полного восстановления является то, что ненулевая часть S (f) должна быть ограничена известным частотным интервалом шириной 1 / T. Когда этот интервал составляет [−1 / 2T, 1 / 2T], применимой формулой реконструкции является формула интерполяции Уиттекера – Шеннона.
Еще одна причина для интереса к S 1 / T (f) заключается в том, что он часто дает представление о величине наложения, вызванной процессом выборки.
Применение DTFT не ограничивается дискретными функциями. См. Преобразование Фурье с дискретным временем для получения дополнительной информации по этой и другим темам, включая:
Подобно ряду Фурье, ДВПФ периодической последовательности s N[n] с периодом N, становится гребенчатой функцией Дирака, модулированной последовательностью комплексных коэффициентов (см. DTFT § Периодические данные ):
![{\ displaystyle S [k] = \ sum _ {n} s_ {N} [n] \ cdot e ^ {- i2 \ pi {\ frac {k} {N}} n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/406ee6bc5188c4ff5c0fdae7b7714b9b5d214031)
, где ∑ n - это сумма по любой последовательности длины N.Последовательность S [k] - это то, что обычно известно как DFT для s N. Он также является N-периодическим, поэтому никогда не требуется вычислять более N коэффициентов. Обратное преобразование задается следующим образом:
![{\ displaystyle s_ {N} [n] = {\ frac {1} {N}} \ сумма _ {k} S [k] \ cdot e ^ {i2 \ pi {\ frac {n} {N}} k},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dae0587546b45cd55f8a4ff36b0719431bdd4b84)
где ∑ k является суммой по любой последовательности длины N.Когда s N[n] выражается как периодическое суммирование другой функции:
![{\ displaystyle s_ {N} [п] \, \ треугольник \, \ сумма _ {м = - \ infty} ^ {\ infty} s [n-mN],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f208f4b9fa9ddb80c2b18ea10d5591bc906a005e)
и ![{\ displaystyle s [n] \, \ треугольникq \, s (nT),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba13f1170ce74f79ba81423a048ec9e277d645be)
коэффициенты пропорциональны выборкам S 1/T(f) с дискретными интервалами 1 / P = 1 / NT:
![{\displaystyle S[k]={\frac {1}{T}}\cdot S_{\frac {1}{T}}\left({\frac {k} {P}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b066a286d6fbdb43d343c332be7008015fb3ca5)
И наоборот, когда кто-то хочет вычислить произвольное количество (N) дискретных выборок одного цикла непрерывного ДВПФ, S 1 / T (f), это может быть выполнено путем вычисления относительно простого ДПФ s N[n], как определено выше. В большинстве случаев N выбирается равным длине ненулевой части s [n]. Увеличение N, известное как дополнение нулями или интерполяция, приводит к более близкорасположенным выборкам одного цикла S 1 / T (f). Уменьшение N вызывает перекрытие (добавление) во временной области (аналогично сглаживанию ), что соответствует децимации в частотной области. (см. DTFT § Выборка DTFT ) В большинстве случаев, представляющих практический интерес, последовательность s [n] представляет собой более длинную последовательность, которая была усечена применением оконной функции конечной длины или КИХ-фильтр массив.
ДПФ можно вычислить с помощью алгоритма быстрого преобразования Фурье (БПФ), что делает его практичным и важным преобразованием на компьютерах.
См. Дискретное преобразование Фурье для получения более подробной информации, включая:
Для периодических функций как преобразование Фурье, так и ДВПФ содержат только дискретный набор частотных компонентов (ряд Фурье), и преобразования расходятся на этих частотах. Одна из распространенных практик (не обсуждаемая выше) состоит в том, чтобы обрабатывать это расхождение с помощью функций дельта Дирака и гребенка Дирака. Но одна и та же спектральная информация может быть получена только из одного цикла периодической функции, поскольку все остальные циклы идентичны. Точно так же функции конечной длительности могут быть представлены в виде ряда Фурье без фактической потери информации, за исключением того, что периодичность обратного преобразования является простым артефактом.
На практике обычно продолжительность s (•) ограничивается периодом P или N. Но эти формулы не требуют этого условия.
| Непрерывная частота | Дискретные частоты | |
|---|---|---|
| Преобразование |  | ![{\ displaystyle \ overbrace {{\ frac {1} {P}} \ cdot S \ left ({\ frac {k} {P}} \ right)} ^ { S [k]} \, \ треугольник \, {\ frac {1} {P}} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} s (t) \ cdot e ^ {- i2 \ pi {\ frac {k} {P}} t} \, dt \ Equiv {\ frac {1} {P}} \ int _ {P} s_ {P} (t) \ cdot e ^ {- i2 \ pi {\ frac {k} {P}} t} \, dt}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a88fe2f74f78af1dbf97555d07401b3417f8ba2) |
| Обратное |  | ![{\ displaystyle \ underbrace {s_ {P} (t) = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} S [k] \ cdot e ^ {i2 \ pi {\ frac {k} {P}} t}} _ {\ text {Формула суммирования Пуассона (ряд Фурье)}} \,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b34e92026554e0a81498ff0726f6729c490d3cd8) |
| Непрерывная частота | Дискретные частоты | |
|---|---|---|
| Transform |  | |
| Обратное |  |
Когда действительная и мнимая части сложной функции разлагаются на их Четная и нечетная части состоят из четырех компонентов, обозначенных ниже индексами RE, RO, IE и IO. И существует взаимно-однозначное отображение между четырьмя компонентами комплексной функции времени и четырьмя компонентами ее комплексного частотного преобразования :
Отсюда очевидны различные взаимосвязи, например :
Варианты Фурье также могут быть обобщены на преобразования Фурье на произвольных локально компактных Абеля топологические группы, которые изучаются в гармоническом анализе ; там преобразование Фурье переводит функции на группе в функции на дуальной группе. Такой подход также позволяет сформулировать общую формулировку теоремы о свертке, которая связывает преобразования Фурье и свертки. См. Также двойственность Понтрягина для получения обобщенных основ преобразования Фурье.
Более конкретно, анализ Фурье может выполняться на смежных классах, даже на дискретных смежных классах.
В терминах обработки сигналов функция (времени) представляет собой представление сигнала с идеальным временным разрешением, но без частотной информации, в то время как преобразование Фурье имеет идеальное разрешение по частоте, но не имеет информации о времени.
В качестве альтернативы преобразованию Фурье в частотно-временном анализе используются частотно-временные преобразования для представления сигналов в форме, которая содержит некоторую временную информацию и некоторую частотную информацию - с помощью принцип неопределенности, между ними существует компромисс. Это могут быть обобщения преобразования Фурье, такие как кратковременное преобразование Фурье, преобразование Габора или дробное преобразование Фурье (FRFT), или можно использовать различные функции для представления сигналов, как в вейвлет-преобразование и чирплет-преобразование, при этом вейвлет-аналогом (непрерывного) преобразования Фурье является непрерывное вейвлет-преобразование.
Примитивная форма гармонических рядов восходит к древней вавилонской математике, где они использовались для вычисления эфемерид (таблиц астрономических положений).
Классические греческие концепции дифференциала и эпицикла в птолемеевской системе астрономии были связаны с рядами Фурье (см. отклоняющий и эпицикл § Математический формализм ).
В наше время варианты дискретного преобразования Фурье использовались Алексисом Клеро в 1754 г. для вычисления орбиты, которая была описана как первая формула для ДПФ, а в 1759 г. Джозеф Луи Лагранж при вычислении коэффициентов тригонометрического ряда для колеблющейся струны. Технически работа Клеро представляла собой серию, состоящую только из косинусов (форма дискретного косинусного преобразования ), в то время как работа Лагранжа была серией, состоящей только из синусов (форма дискретного синусоидального преобразования ); ДПФ с истинным косинусом и синусом использовалось Гауссом в 1805 году для тригонометрической интерполяции орбит астероида. Эйлер и Лагранж дискретизировали проблему вибрирующей струны, используя то, что сегодня называлось бы образцами.
Ранним современным развитием анализа Фурье была статья Лагранжа 1770 года Réflexions sur la résolution algébrique des équations, который в методе резольвент Лагранжа использовал сложное разложение Фурье для изучения решения кубики: Лагранж преобразовал корни x 1, x 2, x 3 в резольвенты:
, где ζ - кубический корень из единицы, который является ДПФ порядка 3.
Ряд авторов, в частности Жан ле Ронд д'Аламбер, и Карл Фридрих Гаусс использовал тригонометрические ряды для изучения уравнения теплопроводности, но был достигнут прорыв Это была статья 1807 года Память о распространении шлера в твердом корпусе, написанная Джозефом Фурье, чья решающая идея заключалась в моделировании всех функций с помощью тригонометрических рядов, вводящих ряды Фурье.
Историки расходятся во мнениях относительно того, насколько Лагранжу и другим следует отдать должное за развитие теории Фурье: Даниэль Бернулли и Леонард Эйлер представили тригонометрические представления функций, и Лагранж дал решение волнового уравнения в виде ряда Фурье, поэтому вклад Фурье в основном заключался в смелом утверждении, что произвольная функция может быть представлена рядом Фурье.
Последующее развитие этой области известно как гармонический анализ, а также ранний пример теории представлений.
Первый алгоритм быстрого преобразования Фурье (БПФ) для ДПФ был обнаружен около 1805 года Карлом Фридрихом Гауссом при интерполяции измерений орбиты астероидов Юнона и Паллас, хотя этот конкретный алгоритм БПФ чаще приписывается его современным повторным открытиям Кули и Тьюки.
В обработка сигналов, преобразование Фурье часто принимает временной ряд или функцию непрерывного времени и отображает его в частотный спектр. То есть он принимает функцию из временной области в область частота ; это разложение функции на синусоиды разных частот; в случае серии Фурье или дискретного преобразования Фурье синусоиды являются гармониками основной частоты анализируемой функции.
Когда функция f является функцией времени и представляет физический сигнал, преобразование имеет стандартную интерпретацию как частотный спектр сигнала. величина результирующей комплексной функции F на частоте ω представляет амплитуду частотной составляющей, начальная фаза которой задается фазой F.
Преобразования Фурье не ограничиваются функциями времени и временными частотами. Они в равной степени могут применяться для анализа пространственных частот и практически для любой функциональной области. Это оправдывает их использование в таких различных областях, как обработка изображений, теплопроводность и автоматическое управление.
![{\ displaystyle {\ begin {align} \ overbrace {{\ frac {1} {T}} S _ {\ frac {1 } {T}} \ left ({\ frac {k} {NT}} \ right)} ^ {S [k]} \, \ треугольникq \, \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty } s (nT) \ cdot e ^ {- i2 \ pi {\ frac {kn} {N}}} \\ \ Equiv \ underbrace {\ sum _ {n} s_ {P} (nT) \ cdot e ^ {-i2 \ pi {\ frac {kn} {N}}}} _ {\ text {DFT}} \, \ end {align}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e3df9f42f79c763316edb0a0fb6cce8a8aae438)
![{\ displaystyle {\ begin {align} s_ {P} (nT) = \ overbrace {{\ frac {1} {N}} \ sum _ {k} S [k] \ cdot e ^ {i2 \ pi {\ frac {kn} {N}}}} ^ {\ text {обратное ДПФ}} \\ = {\ tfrac {1} {P}} \ sum _ { k} S _ {\ frac {1} {T}} \ left ({\ frac {k} {P}} \ right) \ cdot e ^ {i2 \ pi {\ frac {kn} {N}}} \ end {выровнено}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f9a8d8e15b5d0fc77417d8ba48c026141fc1d19)