Периодическое суммирование

редактировать

Сумма значений функции через каждые _P_ смещения

В обработке сигналов, любое периодическая функция, $s P (t) {\ displaystyle s_ {P} (t)}$ ${\ displaystyle s_ {P} (t)}$ с периодом P, может быть представлена суммированием бесконечное количество экземпляров апериодической функции, $s (t) {\ displaystyle s (t)}$ $s (t)$ , которые смещены на целые числа, кратные P . Это представление называется периодическим суммированием:

s P (t) = ∑ n = - ∞ ∞ s (t + n P) = ∑ n = - ∞ ∞ s (t - n P). {\ displaystyle s_ {P} (t) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} s (t + nP) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} s ( t-nP).}

s_P (t) = \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty s (t + nP) = \ sum_ {n = - \ infty} ^ \ infty s (t - nP).

Преобразование Фурье и 3 варианта, вызванные периодической выборкой (с интервалом T) и / или периодическим суммированием (с интервалом P) базовой функции во временной области.

Когда $s P (t) {\ displaystyle s_ {P} (t)}$ $s_P (t)$ альтернативно представлен как комплексный ряд Фурье, коэффициенты Фурье пропорциональны значениям (или «выборкам») непрерывного преобразования Фурье, $S (f) ≜ F {s (t)}, {\ displaystyle S (f) \ \ triggeredq \ {\ mathcal {F}} \ {s ( t) \},}$ ${\ displaystyle S (f) \ \ треугольник q \ {\ mathcal {F}} \ {s (t) \},}$ с интервалами 1 / P . Это тождество является формой формулы суммирования Пуассона. Точно так же ряд Фурье, коэффициенты которого являются выборками $s (t) {\ displaystyle s (t)}$ $s (t)$ с постоянными интервалами (T ), эквивалентен периодическое суммирование из $S (f), {\ displaystyle S (f),}$ $S(f),$ , которое известно как преобразование Фурье в дискретном времени.

Периодическое суммирование Дельта-функция Дирака - это гребенка Дирака. Аналогично, периодическое суммирование интегрируемой функции - это ее свертка с гребенкой Дирака.

Факторное пространство как область

Если периодическая функция представлена с использованием частного пространства домен $R / (PZ) {\ displaystyle \ mathbb {R} / (P \ mathbb {Z})}$ ${\ mathbb {R}} / (P {\ mathbb {Z}})$ тогда можно написать

φ P: R / (PZ) → R {\ displaystyle \ varphi _ {P}: \ mathbb {R} / (п \ mathbb {Z}) \ к \ mathbb {R}}

\ varphi _ {P}: {\ mathbb {R}} / (P {\ mathbb {Z}}) \ к {\ mathbb {R}}

φ P (x) = ∑ τ ∈ xs (τ) {\ displaystyle \ varphi _ {P} (x) = \ sum _ {\ tau \ in x} s (\ tau)}

\ varphi_P (x) = \ sum _ {\ tau \ in x} s (\ tau)

вместо этого. Аргументы $φ P {\ displaystyle \ varphi _ {P}}$ $\ varphi _ {P}$ - это классы эквивалентности действительных чисел, которые имеют одно и то же дробное часть при делении на $P {\ displaystyle P}$ $P$ .

Цитаты

См. также