Гребень Дирака

редактировать

периодическое распределение ("функция") "точечной массы" дельта-дискретизации Дирака

Гребень Дирака представляет собой бесконечную серию дельта-функции Дирака с интервалом T

В математике, гребенка Дирака (также известная как последовательность импульсов и функция выборки в электротехнике ) - это периодическое умеренное распределение, построенное из дельта-функций Дирака

Ø T ⁡ (t) ≜ ∑ К знак равно - ∞ ∞ δ (T - К T) знак равно 1 T Ш ⁡ (t T) {\ displaystyle \ operatorname {\ text {Ш}} _ {T} (t) \ \ треугольникq \ \ сумма _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} \ delta (t-kT) = {\ frac {1} {T}} \ operatorname {\ text {Ш}} \ left ({\ frac {t} {T }} \ right)}

{\ displaystyle \ operatorname {\ text {Ш}} _ {T} (t) \ Torreq \ \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} \ delta (t-kT) = {\ frac {1} {T}} \ operatorname {\ text {Ш}} \ left ({\ frac { t} {T}} \ right)}

для некоторого заданного периода T. Символ $Ш ⁡ (t) {\ displaystyle \ operatorname {\ text {Ш}} (t)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {\ text {Ш}} (t)}$ , где период опущен, представляет гребенку Дирака с единичным периодом. Некоторые авторы, в частности Брейсвелл, а также некоторые авторы учебников по электротехнике и теории схем, называют ее функцией Шаха (возможно, потому, что ее график напоминает форму Кириллица буква ша Ш). Поскольку гребенчатая функция Дирака является периодической, ее можно представить в виде ряда Фурье :

Ø T ⁡ (t) = 1 T ∑ n = - ∞ ∞ e i 2 π n t T. {\ displaystyle \ operatorname {\ text {Ш}} _ {T} (t) = {\ frac {1} {T}} \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} e ^ {i2 \ pi n {\ frac {t} {T}}}.}

{\ displaystyle \ operatorname {\ text {Ш}} _ {T} (t) = {\ frac {1} {T}} \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} e ^ {i2 \ pi n {\ frac {t} {T}}}.}

Гребневая функция Дирака позволяет представлять как непрерывные, так и дискретные явления, такие как дискретизация и наложение спектров, в единой структуре непрерывного анализа Фурье распределений Шварца, без ссылки на ряды Фурье. Благодаря формуле суммирования Пуассона в обработке сигналов гребенка Дирака позволяет моделировать выборку путем умножения на нее, но также позволяет моделировать периодизацию путем свертки с ней..

Содержание

1 Идентификатор гребенки Дирака
2 Масштабирование
3 Ряд Фурье
4 Преобразование Фурье
5 Выборка и наложение
6 Использование в направленной статистике
7 См. также
8 Ссылки
- 8.1 Дополнительная литература

Тождество гребешка Дирака

Гребень Дирака может быть сконструирован двумя способами, либо с помощью оператора гребня (выполнение выборки ), применяемой к функции, которая постоянно $1 {\ displaystyle 1}$ $1$ , или, альтернативно, с помощью оператора rep (выполнение периодизации ), применяемого к дираковскому дельта $δ {\ displaystyle \ delta}$ $\ delta$ . Формально это дает (Woodward 1953 ; Brandwood 2003)

comb T ⁡ {1} = Ø T = rep T ⁡ {δ}, {\ displaystyle \ operatorname {comb} _ {T } \ {1 \} = \ operatorname {\ text {Ш}} _ {T} = \ operatorname {rep} _ {T} \ {\ delta \},}

{\ displaystyle \ operatorname {comb} _ {T} \ {1 \} = \ operatorname {\ text {Ш}} _ {T} = \ operatorname {rep} _ {T} \ {\ delta \},}

где

гребешок T ⁡ {f (T)} ≜ ∑ К знак равно - ∞ ∞ е (К T) δ (T - К T) {\ Displaystyle \ operatorname {comb} _ {T} \ {F (t) \} \ треугольник \ сумма _ {к = - \ infty} ^ {\ infty} \, f (kT) \, \ delta (t-kT)}

{ \ displaystyle \ operatorname {comb} _ {T} \ {f (t) \} \ треугольникq \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} \, f (kT) \, \ delta (t-kT)}

rep T ⁡ {g (t)} ≜ ∑ k = - ∞ ∞ г (T - К T), {\ Displaystyle \ OperatorName {rep} _ {T} \ {г (т) \} \ треугольник \ сумма _ {к = - \ infty} ^ {\ infty} \, г (t-kT).}

{\ displaystyle \ operatorname {rep} _ {T} \ {g (t) \} \ треугольникq \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} \, g (t-kT).}

В обработке сигналов это свойство, с одной стороны, позволяет выборку функции $f (t) {\ displaystyle f (t)}$ $f (t)$ умножением на $Ø T {\ displaystyle \ operatorname {\ text {Ш}} _ {T}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {\ text {Ш}} _ {T}}$ , а с другой стороны, это также позволяет периодизация из $f (t) {\ displaystyle f (t)}$ $f (t)$ путем свертки с $Ø T {\ displaystyle \ operatorname {\ text {Ш}} _ {T} }$ ${\ displaystyle \ operatorname {\ text {Ш}} _ {T}}$ (Бюстгальтер cewell 1986). Тождество гребенки Дирака является частным случаем теоремы о свертке для умеренных распределений.

Масштабирование

Свойство масштабирования гребенки Дирака следует из свойств дельта-функции Дирака. Поскольку $δ (t) = 1 a δ (ta) {\ displaystyle \ delta (t) = {\ frac {1} {a}} \ delta \ left ({\ frac {t} {a}} \ right)}$ ${\ displaystyle \ delta (t) = {\ frac {1} {a}} \ delta \ left ({\ frac {t} {a}} \ right)}$ для положительных действительных чисел $a {\ displaystyle a}$ $a$ следует, что:

Ø T ⁡ (t) = 1 T Ø ⁡ (t T), {\ displaystyle \ operatorname {\ text {Ш}} _ {T} \ left (t \ right) = {\ frac {1} {T}} \ operatorname {\ text {Ш}} \ left ({\ frac {t} {T}} \ right),}

{ \ displaystyle \ operatorname {\ text {Ш}} _ {T} \ left (t \ right) = {\ frac {1} {T}} \ operatorname {\ text {Ш}} \ left ({\ frac {t } {T}} \ right),}

Ø a T ⁡ (t) = 1 a T Ø ⁡ (ta T) = 1 a Ø T ⁡ (ta). {\ displaystyle \ operatorname {\ text {Ш}} _ {aT} \ left (t \ right) = {\ frac {1} {aT}} \ operatorname {\ text {Ш}} \ left ({\ frac { t} {aT}} \ right) = {\ frac {1} {a}} \ operatorname {\ text {Ш}} _ {T} \ left ({\ frac {t} {a}} \ right). }

{\ displaystyle \ operatorname {\ text {Ш}} _ {aT} \ left (t \ right) = {\ frac {1} {aT} } \ operatorname {\ text {Ш}} \ left ({\ frac {t} {aT}} \ right) = {\ frac {1} {a}} \ operatorname {\ text {Ш}} _ {T} \ left ({\ frac {t} {a}} \ right).}

Обратите внимание, что требование положительных чисел масштабирования $a {\ displaystyle a}$ $a$ вместо отрицательных не является ограничением, поскольку отрицательный знак изменит порядок суммирования только в пределах $Ø T {\ displaystyle \ operatorname {\ text {Ш}} _ {T}}$ ${\ displaystyle \ operatorname {\ text {Ш}} _ {T}}$ , что не влияет на результат.

Ряд Фурье

Очевидно, что $Ш T ⁡ (t) {\ displaystyle \ \ operatorname {\ text {Ш}} _ {T} (t)}$ ${\ displaystyle \ \ operatorname {\ text {Ш}} _ {T} (t)}$ периодичен с периодом $T {\ displaystyle T}$ $T$ . То есть

Ш T ⁡ (t + T) = Ш T ⁡ (t) {\ displaystyle \ operatorname {\ text {Ш}} _ {T} (t + T) = \ operatorname {\ text {Ш }} _ {T} (t)}

{\ displaystyle \ operatorname {\ text {Ш}} _ {T} (t + T) = \ operatorname {\ text {Ш}} _ { T} (t)}

для всех t. Комплексный ряд Фурье для такой периодической функции равен

Ø T ⁡ (t) = ∑ n = - ∞ + ∞ cnei 2 π nt T, {\ displaystyle \ operatorname {\ text {Ш}} _ {T} ( t) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {+ \ infty} c_ {n} e ^ {i2 \ pi n {\ frac {t} {T}}},}

{\ displaystyle \ operato rname {\ text {Ш}} _ {T} (t) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {+ \ infty} c_ {n} e ^ {i2 \ pi n {\ frac {t} { T}}},}

где коэффициенты Фурье равны (символически)

cn = 1 T ∫ t 0 t 0 + T Ø T ⁡ (t) e - i 2 π nt T dt (- ∞ < t 0 < + ∞) = 1 T ∫ − T 2 T 2 Ш T ⁡ ( t) e − i 2 π n t T d t = 1 T ∫ − T 2 T 2 δ ( t) e − i 2 π n t T d t = 1 T e − i 2 π n 0 T = 1 T. {\displaystyle {\begin{aligned}c_{n}={\frac {1}{T}}\int _{t_{0}}^{t_{0}+T}\operatorname {\text{Ш}} _{T}(t)e^{-i2\pi n{\frac {t}{T}}}\,dt\quad (-\infty

{\ displaystyle {\ begin {align} c_ {n} = {\ frac {1} {T}} \ int _ {t_ {0}} ^ {t_ {0} + T } \ operatorname {\ text {Ш}} _ {T} (t) e ^ {- i2 \ pi n {\ frac {t} {T}}} \, dt \ quad (- \ infty <t_ {0} <+ \ infty) \\ = {\ frac {1} {T}} \ int _ {- {\ frac {T} {2}}} ^ {\ frac {T} {2}} \ operatorname {\ текст {Ш}} _ {T} (t) e ^ {- i2 \ pi n {\ frac {t} {T}}} \, dt \\ = {\ frac {1} {T}} \ int _ {- {\ frac {T} {2}}} ^ {\ frac {T} {2}} \ delta (t) e ^ {- i2 \ pi n {\ frac {t} {T}}} \, dt \\ = {\ frac {1} {T}} e ^ {- i2 \ pi n {\ frac {0} {T}}} \\ = {\ frac {1} {T}}. \ end {align}}}

Все коэффициенты Фурье равны 1 / T, что приводит к

Ш T ⁡ (t) знак равно 1 T ∑ N = - ∞ ∞ ei 2 π nt T. {\ Displaystyle \ operatorname {\ text {Ш}} _ {T} (t) = {\ frac {1} {T} } \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} e ^ {i2 \ pi n {\ frac {t} {T}}}.}

{\ displaystyle \ operatorname {\ text {Ш}} _ {T} (t) = {\ frac {1} {T}} \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} e ^ {i2 \ pi n {\ frac {t} {T}}}.}

Когда период равен одной единице, это упрощается до

Ш ⁡ (Икс) знак равно ∑ N = - ∞ ∞ ei 2 π Nx. {\ Displaystyle \ Operatorname {\ text {Ш}} (х) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} e ^ {i2 \ pi nx}.}

{\ displaystyle \ operatorname {\ text {Ш} } (х) = \ сумма _ {п = - \ infty} ^ {\ infty} e ^ {i2 \ pi nx}.}

Замечание : Строго говоря, интегрирование Римана или Лебега по любым произведениям, включая дельта-функцию Дирака, дает ноль. По этой причине приведенное выше интегрирование (определение коэффициентов ряда Фурье) должно понимать "в обобщенном f смысл соборов ". Это означает, что вместо использования характеристической функции интервала, примененного к гребенке Дирака, в качестве функции вырезания используется так называемая унитарная функция Лайтхилла, подробности см. В Лайтхилле 1958, стр.62, теорема 22..

преобразование Фурье

преобразование Фурье гребенки Дирака также является гребенкой Дирака. Это очевидно, если учесть, что все компоненты Фурье конструктивно складываются всякий раз, когда $f {\ displaystyle f}$ $f$ является целым кратным $1 T {\ displaystyle {\ frac {1} {T }}}$ $\ frac {1} {T}$ .

Унитарное преобразование в обычную частотную область (Гц):

Ø T ⁡ (t) ⟷ F 1 T Ø 1 T ⁡ (f) = ∑ n = - ∞ ∞ e - i 2 π fn T. {\ displaystyle \ operatorname {\ text {Ш}} _ {T} (t) {\ stackrel {\ mathcal {F}} {\ longleftrightarrow}} {\ frac {1} {T}} \ operatorname {\ text { Ш}} _ {\ frac {1} {T}} (f) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- i2 \ pi fnT}.}

{ \ displaystyle \ operatorname {\ text {Ш}} _ {T} (t) {\ stackrel {\ mathcal {F}} {\ longleftrightarrow}} {\ frac {1} {T}} \ operatorname {\ text {Ш }} _ {\ frac {1} {T}} (f) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- i2 \ pi fnT}.}

В частности, Гребень Дирака с единичным периодом преобразуется в себя:

Ø ⁡ (t) ⟷ F Ø ⁡ (f). {\ displaystyle \ operatorname {\ text {Ш}} (t) {\ stackrel {\ mathcal {F}} {\ longleftrightarrow}} \ operatorname {\ text {Ш}} (f).}

{\ displaystyle \ operatorname {\ text {Ш}} (t) {\ stackrel {\ mathcal {F}} {\ longleftrightarrow}} \ operatorname {\ text {Ш}} (е).}

Конкретное правило зависит от формы используемого преобразования Фурье. При использовании унитарного преобразования угловой частоты (рад / с) правило:

Ø T ⁡ (t) ⟷ F 2 π T Ø 2 π T ⁡ (ω) = 1 2 π ∑ n = - ∞ ∞ e - i ω n T. {\ displaystyle \ operatorname {\ text {Ш}} _ {T} (t) {\ stackrel {\ mathcal {F}} {\ longleftrightarrow}} {\ frac {\ sqrt {2 \ pi}} {T}} \ operatorname {\ text {Ш}} _ {\ frac {2 \ pi} {T}} (\ omega) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}} \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- i \ omega nT}.}

{\ displaystyle \ operatorname {\ text {Ш}} _ {T} (t) {\ stackrel {\ mathcal {F}} {\ longleftrightarrow}} {\ frac {\ sqrt {2 \ pi}} {T}} \ operatorname {\ text {Ш}} _ {\ frac {2 \ pi} {T}} (\ omega) = {\ frac {1} {\ sqrt { 2 \ pi}}} \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- i \ omega nT}.}

Выборка и наложение

Умножение любой функции на гребенку Дирака превращает ее в последовательность импульсов с интегралами, равными значение функции в узлах гребенки. Эта операция часто используется для представления выборки.

(Ø T ⁡ x) (t) = ∑ k = - ∞ ∞ x (t) δ (t - k T) = ∑ k = - ∞ ∞ x (k T) δ (t - k T). {\ displaystyle (\ Operatorname {\ text {Ш}} _ {T} x) (t) = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} x (t) \ delta (t-kT) = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} x (kT) \ delta (t-kT).}

{\ displaystyle (\ operatorname {\ text {Ш}} _ {T} x) (t) = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} x (T) \ дельта (t-kT) = \ сумма _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} x (kT) \ delta (t-kT).}

Благодаря свойству самопреобразования гребенки Дирака и теореме о свертке, это соответствует свертке с гребенкой Дирака в частотной области.

Ш T ⁡ Икс ⟷ F 1 T Ш 1 T ∗ X {\ Displaystyle \ OperatorName {\ text {Ш}} _ {T} x \ quad {\ stackrel {\ mathcal {F}} {\ longleftrightarrow}} \ quad {\ frac {1} {T}} \ operatorname {\ text {Ш}} _ {\ frac {1} {T}} * X}

{\ displaystyle \ operatorname {\ text {Ш}} _ {T} x \ quad {\ stackrel {\ mathcal {F}} {\ longleftrightarrow}} \ quad {\ frac {1} {T}} \ operatorname {\ text {Ш}} _ {\ frac {1} {T}} * X}

Поскольку свертка с дельта-функцией $δ (t - k T) {\ displaystyle \ delta (t-kT)}$ $\ delta (t-kT)$ эквивалентно сдвигу функции на $k T {\ displaystyle kT}$ $kT$ , свертка с гребенкой Дирака соответствует репликации или периодическому суммированию :

(Ø 1 T ∗ X) (f) = ∑ k = - ∞ ∞ X (f - k T) {\ displaystyle (\ operatorname {\ text {Ш}} _ {\ frac {1} {T}} * X) (f) = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} X \ left (f - {\ frac {k} {T}} \ right)}

{\ displaystyle (\ имя оператора {\ text {Ш}} _ {\ frac {1} {T}} * X) (f) = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} X \ left (f - {\ frac {k} {T}} \ right)}

Это приводит к естественной формулировке теоремы выборки Найквиста – Шеннона. Если спектр функции $x {\ displaystyle x}$ $x$ не содержит частот выше B (т. Е. Его спектр отличен от нуля только в интервале $(- B, B) {\ displaystyle (-B, B)}$ $(-B, B)$ ) тогда выборок исходной функции с интервалами $1/2 B {\ displaystyle 1 / 2B}$ $1 / 2B$ достаточно для восстановления исходного сигнала. Достаточно умножить спектр выбранной функции на подходящую функцию прямоугольника , что эквивалентно применению кирпичного фильтра нижних частот.

Ø 1 2 B ⁡ x ⟷ F 2 B Ø 2 В * Икс {\ Displaystyle \ Operatorname {\ text {Ш}} _ {\ frac {1} {2B}} х \ quad {\ stackrel {\ mathcal {F}} {\ longleftrightarrow}} \ quad 2B \, \ operatorname {\ text {Ш}} _ {2B} * X}

{\ displaystyle \ operatorname {\ text {Ш}} _ {\ frac {1} {2B}} х \ quad {\ stackrel {\ math cal {F}} {\ longleftrightarrow}} \ quad 2B \, \ operatorname {\ text {Ш}} _ {2B} * X}

1 2 B Π (t 2 B) (2 B Ø 2 B ∗ X) = X {\ displaystyle {\ frac {1} {2B }} \ Pi \ left ({\ frac {t} {2B}} \ right) (2B \, \ operatorname {\ text {Ш}} _ {2B} * X) = X}

{\ displaystyle {\ frac {1} {2B}} \ Pi \ left ({\ frac {t} {2B}} \ right) (2B \, \ operatorname {\ text {Ш}} _ {2B} * X) = X}

Во временной области это «умножение с функцией rect» эквивалентно «свертке с функцией sinc» (Woodward 1953, стр.33-34). Следовательно, он восстанавливает исходную функцию из своих образцов. Это известно как интерполяционная формула Уиттекера – Шеннона.

Замечание : Строго говоря, умножение прямой функции на обобщенную функцию, такую как гребешок Дирака, не удается. Это связано с неопределенными результатами произведения умножения на границах интервала. В качестве обходного пути вместо функции rect используется унитарная функция Lighthill. Он гладкий на границах интервалов, поэтому везде он дает определенные произведения умножения, подробности см. В Lighthill 1958, стр.62, теорема 22.

Использование в направленной статистике

В направленной статистике гребенка Дирака с периодом 2π эквивалентна свернутой дельта-функции Дирака и является аналогом дельта-функции Дирака в линейной статистике.

В линейной статистике случайная величина (x) обычно распределяется по строке действительных чисел или некоторому ее подмножеству, а плотность вероятности x - это функция, домен которой является набором действительных чисел, и интеграл которого от $- ∞ {\ displaystyle - \ infty}$ $- \ infty$ до $+ ∞ {\ displaystyle + \ infty}$ $+ \ infty$ равен единице. В направленной статистике случайная величина (θ) распределена по единичной окружности, а плотность вероятности θ - это функция, область определения которой представляет собой некоторый интервал действительных чисел длиной 2π, а интеграл по этому интервалу равен единице. Подобно тому, как интеграл от произведения дельта-функции Дирака на произвольную функцию по прямой с действительными числами дает значение этой функции в нуле, так и интеграл от произведения гребенки Дирака периода 2π с произвольной функцией периода 2π над единичной окружностью дает значение этой функции в нуле.

См. Также

Ссылки

Дополнительная литература

Brandwood, D. (2003), Преобразования Фурье в радиолокационной обработке и обработке сигналов, Artech House, Бостон, Лондон.
Córdoba, A (1989), "Dirac combs", Letters in Mathematical Physics, 17 (3): 191–196, Bibcode : 1989LMaPh..17..191C, doi : 10.1007 / BF00401584
Вудворд, PM (1953), Теория вероятностей и информации, с приложениями к радару, Pergamon Press, Оксфорд, Лондон, Эдинбург, Нью-Йорк, Париж, Франкфурт.
Лайтхилл, MJ (1958), Введение в анализ Фурье и обобщенные функции, Cambridge University Press, Кембридж, Великобритания.