Формула интерполяции Уиттекера – Шеннона

редактировать

Алгоритм (пере) построения сигнала

Формула интерполяции Уиттекера – Шеннона или интерполяция sinc - это метод построения функции continuous-time bandlimited из последовательности действительных чисел. Формула восходит к работам Э. Борель в 1898 г. и Э. T. Whittaker в 1915 г., цитируется из работ J. М. Уиттакер в 1935 году и в формулировке теоремы выборки Найквиста – Шеннона, сформулированной Клодом Шенноном в 1949 году. Ее также обычно называют формулой интерполяции Шеннона и интерполяционная формула Уиттекера . ET Whittaker, опубликовавший его в 1915 году, назвал его Кардинальным рядом .

Содержание

  • 1 Определение
  • 2 Эквивалентная формулировка: свертка / фильтр нижних частот
  • 3 Сходимость
  • 4 Стационарные случайные процессы
  • 5 См. Также

Определение

На рисунке слева показана функция (серым / черным), которая дискретизируется и реконструируется (золотом) при постоянно увеличивающейся плотности выборки, а на рисунке справа показана частота. спектр функции серый / черный, который не меняется. Самая высокая частота в спектре составляет ½ ширины всего спектра. Ширина постоянно увеличивающейся розовой штриховки равна частоте дискретизации. Когда он охватывает весь частотный спектр, он вдвое больше максимальной частоты, и именно тогда восстановленная форма сигнала совпадает с выбранной.

Учитывая последовательность действительных чисел, x [n], непрерывная функция

Икс (T) знак равно ∑ N = - ∞ ∞ Икс [N] sinc (T - N TT) {\ Displaystyle x (t) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x [n] \, {\ rm {sinc}} \ left ({\ frac {t-nT} {T}} \ right) \,}x (t) = \ sum _ {{n = - \ infty}} ^ {{\ infty}} x [n] \, {{\ rm {sinc}}} \ left ({\ frac {t-nT} {T}} \ right) \,

(где «sinc» обозначает нормализованную функцию sinc ) имеет a преобразование Фурье, X (f), ненулевые значения которого ограничены областью | f | ≤ 1 / (2Т). Если параметр T имеет единицы измерения в секундах, то предел диапазона, 1 / (2T), имеет единицы цикла в секунду (герц ). Когда последовательность x [n] представляет временные отсчеты непрерывной функции в интервале T, величина f s = 1 / T известна как частота дискретизации, а f с / 2 - соответствующая частота Найквиста. Когда дискретизированная функция имеет предел полосы B, меньший, чем частота Найквиста, x (t) является идеальной реконструкцией исходной функции. (См. Теорема выборки.) В противном случае частотные компоненты выше частоты Найквиста «складываются» в суб-Найквистскую область X (f), что приводит к искажению. (См. наложение.)

Эквивалентная формулировка: свертка / фильтр нижних частот

Формула интерполяции выводится в статье теорема выборки Найквиста – Шеннона, что указывает на то, что это также может быть выражено как свертка бесконечной импульсной последовательности с функцией sinc :

x (t) = (∑ n = - ∞ ∞ T x (n T) ⏟ x [n] ⋅ δ (t - n T)) ⊛ (1 T sinc (t T)). {\ Displaystyle х (т) = \ влево (\ сумма _ {п = - \ infty} ^ {\ infty} \ underbrace {T \ cdot x (nT)} _ {x [n]} \ cdot \ delta \ left (t-nT \ right) \ right) \ circledast \ left ({\ frac {1} {T}} {\ rm {sinc}} \ left ({\ frac {t} {T}} \ right) \ right).}{\ displaystyle x (t) = \ left (\ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ underbrace {T \ cdot x (nT)} _ {x [n]} \ cdot \ delta \ left (t-nT \ right) \ right) \ circleledast \ left ({\ frac {1} {T}} {\ rm {sinc}} \ left ({\ frac {t } {T}} \ right) \ right).}

Это эквивалентно фильтрации импульсной последовательности идеальным (кирпичная стена) фильтром нижних частот с усилением 1 (или 0 дБ) в полосе пропускания. Если частота дискретизации достаточно высока, это означает, что изображение основной полосы частот (исходный сигнал до дискретизации) передается без изменений, а другие изображения удаляются каменным фильтром.

Сходимость

Формула интерполяции всегда сходится абсолютно и локально равномерно, пока

∑ n ∈ Z, n ≠ 0 | x [n] n | < ∞. {\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {Z},\,n\neq 0}\left|{\frac {x[n]}{n}}\right|<\infty.}\ sum _ { {n \ in \ mathbb {Z}, \, n \ neq 0}} \ left | {\ frac {x [n]} n} \ right | <\ infty.

Согласно неравенству Гёльдера это выполняется, если последовательность (x [n]) n ∈ Z {\ displaystyle \ scriptstyle (x [n]) _ {n \ in \ mathbb { Z}}}\ scriptstyle (x [n]) _ {{n \ in \ mathbb {Z}}} принадлежит любому из ℓ p (Z, C) {\ displaystyle \ scriptstyle \ ell ^ {p} (\ mathbb {Z}, \ mathbb {C})}\ scriptstyle \ ell ^ {p} (\ mathbb {Z}, {\ mathbb C}) пробелы с 1 ≤ p < ∞, that is

∑ n ∈ Z | x [n] | p < ∞. {\displaystyle \sum _{n\in \mathbb {Z} }\left|x[n]\right|^{p}<\infty.}\ sum _ {{n \ in \ mathbb {Z}}} \ left | x [n] \ right | ^ {p} <\ infty.

Это условие достаточно, но не обязательно. Например, сумма обычно сходится, если последовательность выборки происходит из выборки почти любого стационарного процесса, и в этом случае последовательность выборок не суммируется в квадрате и не находится в каком-либо ℓ p (Z, C) {\ displaystyle \ scriptstyle \ ell ^ {p} (\ mathbb {Z}, \ mathbb {C})}\ scriptstyle \ ell ^ {p} (\ mathbb {Z}, {\ mathbb C}) пробел.

Стационарные случайные процессы

Если x [n] является бесконечной последовательностью выборок функции выборки широкого стационарного процесса, то он не является членом любого ℓ p {\ displaystyle \ scriptstyle \ ell ^ {p}}\ scriptstyle \ ell ^ {p} или L пробела с вероятностью 1; то есть бесконечная сумма выборок, возведенных в степень p, не имеет конечного ожидаемого значения. Тем не менее, формула интерполяции сходится с вероятностью 1. Сходимость легко показать, вычислив дисперсии усеченных членов суммирования и показывая, что дисперсия может быть сделана сколь угодно малой путем выбора достаточного количества членов. Если среднее значение процесса не равно нулю, то необходимо рассмотреть пары терминов, чтобы также показать, что ожидаемое значение усеченных членов сходится к нулю.

Поскольку случайный процесс не имеет преобразования Фурье, условие, при котором сумма сходится к исходной функции, также должно быть другим. Стационарный случайный процесс действительно имеет функцию автокорреляции и, следовательно, спектральную плотность согласно теореме Винера – Хинчина. Подходящим условием для сходимости к функции выборки из процесса является то, что спектральная плотность процесса равна нулю на всех частотах, равных половине частоты дискретизации и выше.

См. Также

Последняя правка сделана 2021-06-20 14:47:35
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте