Формула суммирования Пуассона

Теорема анализа Фурье, связывающая периодические суммы рядов Фурье функций с их коэффициентами преобразования Фурье

In математика, формула суммирования Пуассона представляет собой уравнение, которое связывает коэффициенты ряда Фурье периодического суммирования функции значениям непрерывного преобразования Фурье функции. Следовательно, периодическое суммирование функции полностью определяется дискретными выборками преобразования Фурье исходной функции. И наоборот, периодическое суммирование преобразования Фурье функции полностью определяется дискретными выборками исходной функции. Формула суммирования Пуассона была открыта Симеоном Дени Пуассоном и иногда называется пересуммированием Пуассона .

• 1 Формы уравнения
• 2 Примеры
• 3 Формулировка распределения
• 4 Вывод
• 5 Применимость
• 6 Приложения
  • 6.1 Метод изображений
  • 6.2 Выборка
  • 6.3 Суммирование Эвальда
  • 6.4 Решетчатые точки в сфере
  • 6.5 Теория чисел
  • 6.6 Сферические уплотнения
• 7 Обобщения
  • 7.1 Формула следа Сельберга
• 8 См. Также
• 9 Примечания
• 10 Ссылки
• 11 Дополнительная литература

Для соответствующие функции $f,\; \{\backslash \; displaystyle\; f,\}$формулу суммирования Пуассона можно записать как :

$\sum \; n\; =\; -\; \infty \; \infty \; f\; (n)\; =\; \sum \; k\; =\; -\; \infty \; \infty \; f\; ^\; (\; к),\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; f\; (n)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; hat\; \{f\}\}\; \backslash \; left\; (k\; \backslash \; right),\}$где $f\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{f\}\}\}$- это преобразование Фурье из $е\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$; то есть $f\; ^\; (\nu )\; =\; F\; \{f\; (x)\}.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{f\}\}\; (\backslash \; nu)\; =\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; \backslash \; \{f\; (x)\; \backslash \}.\}$

(Eq.1)

С заменой, $g\; (x\; P)\; \triangleq \; f\; (x),\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; (xP)\; \backslash \; \backslash \; triggeredq\; \backslash \; f\; (x),\}$и свойство преобразования Фурье, $F\; \{g\; (x\; P)\; \}\; =\; 1\; п\; \cdot \; g\; ^\; (\nu \; P)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; \backslash \; \{g\; (xP)\; \backslash \}\; \backslash \; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{P\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; hat\; \{g\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{\backslash \; nu\}\; \{P\}\}\; \backslash \; right)\}$(для $P>0\; \{\backslash \; displaystyle\; P>0\}$), Eq.1 становится :

$\sum \; N\; =\; -\; \infty \; \infty \; g\; (n\; P)\; =\; 1\; P\; \sum \; K\; =\; -\; \infty \; \infty \; g\; ^\; (k\; P)\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; g\; (nP)\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{P\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; hat\; \{g\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{k\}\; \{P\; \}\}\; \backslash \; right)\}$(Stein Weiss 1971).

(Eq.2)

С другим определением, $s\; (t\; +\; x)\; \triangleq \; g\; (x),\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; (t\; +\; x)\; \backslash \; \backslash \; треугольник\; q\; \backslash \; g\; (x),\}$и свойство преобразования $F\; \{s\; (t\; +\; x)\}\; =\; s\; ^\; (\nu )\; \cdot \; ei\; 2\; \pi \; \nu \; t,\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; \backslash \; \{s\; (t\; +\; x)\; \backslash \}\; \backslash \; =\; \{\backslash \; hat\; \{s\}\}\; (\backslash \; nu)\; \backslash \; cdot\; e\; ^\; \{i2\; \backslash \; pi\; \backslash \; nu\; t\},\}$Уравнение 2 становится периодическим суммированием (с периодом $P\; \{\backslash \; displaystyle\; P\}$) и его эквивалентом рядом Фурье :

$\sum \; N\; знак\; равно\; -\; \infty \; \infty \; s\; (T\; +\; N\; P)\; ⏟\; SP\; (t)\; =\; \sum \; K\; =\; -\; \infty \; \infty \; 1\; п\; \cdot \; s\; ^\; (k\; P)\; ⏟\; S\; [k]\; ei\; 2\; \pi \; k\; P\; t\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; underbrace\; \{\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; s\; (t\; +\; nP)\}\; \_\; \{S\_\; \{P\}\; (t)\}\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; underbrace\; \{\{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{P\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; hat\; \{s\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{k\}\; \{P\}\}\; \backslash \; right)\}\; \_\; \{S\; [k]\}\; \backslash \; e\; ^\; \{i2\; \backslash \; pi\; \{\backslash \; frac\; \{k\}\; \{P\}\}\; t\}\}$(Пинский 2002 ; Zygmund 1968).

(Eq.3)

Аналогично, периодическое суммирование преобразования Фурье функции эквивалентно этому ряду Фурье :

$\sum \; k\; =\; -\; \infty \; \infty \; s\; ^\; (\nu \; +\; k\; /\; T)\; =\; \sum \; N\; знак\; равно\; -\; \infty \; \infty \; T\; \cdot \; s\; (N\; T)\; е\; -\; я\; 2\; \pi \; N\; T\; \nu \; \equiv \; F\; \{\sum \; N\; =\; -\; \infty \; \infty \; T\; \cdot \; s\; (N\; T)\; \delta \; (t\; -\; n\; T)\},\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; hat\; \{s\}\}\; (\backslash \; nu\; +\; k\; /\; T)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; T\; \backslash \; cdot\; s\; (\; nT)\; \backslash \; e\; ^\; \{-\; i2\; \backslash \; pi\; nT\; \backslash \; nu\}\; \backslash \; Equiv\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; \backslash \; left\; \backslash \; \{\backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; T\; \backslash \; cdot\; s\; (nT)\; \backslash \; \backslash \; delta\; (t-nT)\; \backslash \; right\; \backslash \},\}$

(Eq.4)

где T представляет интервал времени, в течение которого функция $s\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; (t)\}$- выборка, а $1\; /\; T\; \{\backslash \; displaystyle\; 1\; /\; T\}$- частота выборок в секунду.

• Пусть $f\; (x)\; =\; e\; -\; ax\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; e\; ^\; \{-\; ax\}\}$для $0\; \le \; x\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\; \backslash \; leq\; x\}$и $f\; (x)\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; (x)\; =\; 0\}$для , чтобы получить

$coth\; \; (Икс)\; знак\; равно\; Икс\; \sum \; N\; \in \; Z\; 1\; Икс\; 2\; +\; \pi \; 2\; N\; 2\; знак\; равно\; 1\; Икс\; +\; 2\; Икс\; \sum \; N\; \in \; Z\; +\; 1\; Икс\; 2\; +\; \pi \; 2\; N\; 2,\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; coth\; (x)\; =\; х\; \backslash \; сумма\; \_\; \{n\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{x\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; pi\; ^\; \{2\}\; n\; ^\; \{2\}\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{x\}\}\; +\; 2x\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; \backslash \; in\; \backslash \; mathbb\; \{Z\; \_\; \{+\}\}\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{x\; ^\; \{2\}\; +\; \backslash \; pi\; ^\; \{2\}\; n\; ^\; \{2\}\}\},\}$

• Это может быть используется для доказательства функционального уравнения для тета-функции
• Формула суммирования Пуассона появляется в записных книжках Рамануджана и может использоваться для доказательства некоторых его формул, в частности, ее можно использовать для доказательства одной из формул в первом письме Рамануджана кому: Харди
• Его можно использовать для вычисления квадратичной суммы Гаусса

Эти уравнения можно интерпретировать на языке распределений (Córdoba 1988 ошибка harvnb: нет цели: CITEREFCórdoba1988 (he lp ); Hörmander 1983, §7.2) для функции $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$, все производные которой быстро убывают (см. функция Шварца ). Формула суммирования Пуассона возникает как частный случай теоремы о свертке для умеренных распределений. Используя гребенчатое распределение Дирака и его ряд Фурье :

$\sum \; n\; =\; -\; \infty \; \infty \; \delta \; (x\; -\; n\; T)\; \equiv \; \sum \; k\; =\; -\; \infty \; \infty \; 1\; T\; \cdot \; ei\; 2\; \pi \; k\; T\; x\; ⟺\; F\; 1\; T\; \cdot \; \sum \; К\; знак\; равно\; -\; \infty \; \infty \; \delta \; (\nu \; -\; к\; /\; T),\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; сумма\; \_\; \{п\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; дельта\; (x-nT)\; \backslash \; эквив\; \backslash \; сумма\; \_\; \{k\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{T\}\}\; \backslash \; cdot\; e\; ^\; \{i2\; \backslash \; pi\; \{\backslash \; frac\; \{k\}\; \{T\}\}\; x\}\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; stackrel\; \{\backslash \; mathcal\; \{F\}\}\; \{\backslash \; Longleftrightarrow\}\}\; \backslash \; quad\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{T\}\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; delta\; (\backslash \; nu\; -k\; /\; T),\}$

(уравнение 7)

Другими словами, периодизация дельты Дирака $\delta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\}$, в результате чего получается Гребень Дирака соответствует дискретизации его спектра, который постоянно равен единице. Следовательно, это снова гребенка Дирака, но с обратными приращениями.

Ур.1легко следует :

$\sum \; k\; =\; -\; \infty \; \infty \; f\; ^\; (k)\; =\; \sum \; k\; =\; -\; \infty \; \infty \; (\int \; -\; \infty \; \infty \; f\; (x)\; e\; -\; i\; 2\; \pi \; kxdx)\; =\; \int \; -\; \infty \; \infty \; f\; (x)\; (\sum \; k\; =\; -\; \infty \; \infty \; e\; -\; i\; 2\; \pi \; kx)\; ⏟\; \sum \; n\; =\; -\; \infty \; \infty \; \delta \; (x\; -\; n)\; dx\; =\; \sum \; n\; =\; -\; \infty \; \infty \; (\int \; -\; \infty \; \infty \; f\; (x)\; \delta \; (x\; -\; n)\; dx)\; =\; \sum \; n\; =\; -\; \infty \; \infty \; f\; (n).\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \{\backslash \; hat\; \{f\}\}\; (k)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\; \}\; \backslash \; left\; (\backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; f\; (x)\; \backslash \; e\; ^\; \{-\; i2\; \backslash \; pi\; kx\}\; dx\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; f\; (x)\; \backslash \; underbrace\; \{\backslash \; left\; (\backslash \; sum\; \_\; \{k\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; e\; ^\; \{-\; i2\; \backslash \; pi\; kx\}\; \backslash \; right)\}\; \_\; \{\backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; delta\; (xn)\}\; dx\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; f\; (x)\; \backslash \; \backslash \; delta\; (xn)\; \backslash \; dx\; \backslash \; right)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; f\; (n).\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

Аналогично :

$∑ k = - ∞ ∞ s ^ (ν + k / T) = ∑ k = - ∞ ∞ F {s (t) ⋅ e - i 2 π k T t} = F {s (t) ∑ k = - ∞ ∞ e - i 2 π k T t ⏟ T ∑ n = - ∞ ∞ δ (t - n T)} = F {∑ n = - ∞ ∞ T ⋅ s (n T) ⋅ δ (t - n T)} = ∑ n = - ∞ ∞ T s (n T) ⋅ F {δ (t - n T)} = ∑ n = - ∞ ∞ T ⋅ s (n T) ⋅ e - i 2 π n T ν. {\ Displaystyle {\ begin {выровнено} \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} {\ hat {s}} (\ nu + k / T) = \ sum _ {k = - \ infty } ^ {\ infty} {\ mathcal {F}} \ left \ {s (t) \ cdot e ^ {- i2 \ pi {\ frac {k} {T}} t} \ right \} \\ = {\ mathcal {F}} {\ bigg \ {} s (t) \ underbrace {\ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- i2 \ pi {\ frac {k} {T }} t}} _ {T \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} \ delta (t-nT)} {\ bigg \}} = {\ mathcal {F}} \ left \ {\ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} T \ cdot s (nT) \ cdot \ delta (t-nT) \ right \} \\ = \ sum _ {n = - \ infty} ^ { \ infty} T \ cdot s (nT) \ cdot {\ mathcal {F}} \ left \ {\ delta (t-nT) \ right \} = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} T \ cdot s (nT) \ cdot e ^ {- i2 \ pi nT \ nu}. \ End {align}}}$

Мы также можем доказать, что Eq.3 выполняется в том смысле, что если $s\; (t)\; \in \; L\; 1\; (R)\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; (t)\; \backslash \; in\; L\_\; \{1\}\; (\backslash \; mathbb\; \{R\})\}$, то правая часть представляет собой (возможно расходящийся) ряд Фурье левой части. Это доказательство можно найти либо в (Пинский 2002), либо в (Зигмунд 1968). Из теоремы о доминируемой сходимости следует, что $s\; P\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; s\_\; \{P\}\; (t)\}$существует и конечен почти для каждого $t\; \{\backslash \; Displaystyle\; t\}$. Кроме того, отсюда следует, что $s\; P\; \{\backslash \; displaystyle\; s\_\; \{P\}\}$интегрируем на интервале $[0,\; P]\; \{\backslash \; displaystyle\; [0,\; P]\}$. Правая часть Eq.3имеет форму ряда Фурье. Итак, достаточно показать, что коэффициенты ряда Фурье $s\; P\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; s\_\; \{P\}\; (t)\}$равны $1\; P\; s\; ^\; (k\; P)\; \{\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; scriptstyle\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{P\}\}\; \{\backslash \; hat\; \{s\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{k\}\; \{P\}\}\; \backslash \; right)\}$. Исходя из определения коэффициентов Фурье, имеем :

$S\; [k]\; =\; def\; 1\; P\; \int \; 0\; P\; s\; P\; (t)\; \cdot \; e\; -\; i\; 2\; \pi \; k\; P\; tdt\; =\; 1\; P\; \int \; 0\; P\; (\sum \; n\; =\; -\; \infty \; \infty \; s\; (t\; +\; n\; п))\; \cdot \; е\; -\; я\; 2\; \pi \; К\; п\; tdt\; знак\; равно\; 1\; п\; \sum \; n\; =\; -\; \infty \; \infty \; \int \; 0\; п\; s\; (t\; +\; n\; п)\; \cdot \; е\; -\; я\; 2\; \pi \; к\; п\; tdt,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{align\}\; S\; [k]\; \backslash \; \{\backslash \; stackrel\; \{\backslash \; text\; \{def\}\}\; \{=\}\}\; \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{P\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{P\}\; s\_\; \{P\; \}\; (t)\; \backslash \; cdot\; e\; ^\; \{-\; i2\; \backslash \; pi\; \{\backslash \; frac\; \{k\}\; \{P\}\}\; t\}\; \backslash ,\; dt\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{P\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{P\}\; \backslash \; left\; (\backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; s\; (t\; +\; nP)\; \backslash \; right)\; \backslash \; cdot\; e\; ^\; \{-\; i2\; \backslash \; pi\; \{\backslash \; frac\; \{k\}\; \{P\}\}\; t\; \}\; \backslash ,\; dt\; \backslash \backslash \; =\; \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{P\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; \backslash \; int\; \_\; \{0\}\; ^\; \{P\}\; s\; (t\; +\; nP)\; \backslash \; cdot\; e\; ^\; \{-\; i2\; \backslash \; pi\; \{\backslash \; frac\; \{k\}\; \{P\}\}\; t\}\; \backslash ,\; dt,\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$

где замена суммирования интегрированием еще раз оправдана преобладающей сходимостью. При изменении переменных ($\tau \; =\; t\; +\; n\; P\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\; =\; t\; +\; nP\}$) это становится :

$S\; [k]\; =\; 1\; P\; \sum \; n\; =\; -\; \infty \; \infty \; \int \; n\; P\; n\; P\; +\; P\; s\; (\tau )\; e\; -\; i\; 2\; \pi \; k\; P\; \tau \; ei\; 2\; \pi \; kn\; ⏟\; 1\; d\; \tau \; =\; 1\; P\; \int \; -\; \infty \; \infty \; s\; (\tau )\; e\; -\; i\; 2\; \pi \; k\; П\; \tau \; d\; \tau \; знак\; равно\; 1\; п\; \cdot \; s\; ^\; (к\; п)\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; begin\; \{выровнено\}\; S\; [k]\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{P\}\}\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\; =\; -\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\; \backslash \; infty\}\; \backslash \; int\; \_\; \{nP\}\; ^\; \{nP\; +\; P\}\; s\; (\backslash \; tau)\; \backslash \; e\; ^\; \{-\; i2\; \backslash \; pi\; \{\backslash \; frac\; \{k\}\; \{P\}\}\; \backslash \; tau\}\; \backslash \; \backslash \; underbrace\; \{e\; ^\; \{i2\; \backslash \; pi\; kn\}\}\; \_\; \{1\}\; \backslash ,\; d\; \backslash \; tau\; \backslash \; =\; \backslash \; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{P\}\}\; \backslash \; int\; \_\; \{-\; \backslash \; infty\}\; ^\; \{\backslash \; infty\}\; s\; (\backslash \; tau)\; \backslash \; e\; ^\; \{-\; i2\; \backslash \; pi\; \{\backslash \; frac\; \{k\}\; \{P\}\}\; \backslash \; tau\}\; d\; \backslash \; tau\; =\; \{\backslash \; frac\; \{1\}\; \{P\}\}\; \backslash \; cdot\; \{\backslash \; hat\; \{s\}\}\; \backslash \; left\; (\{\backslash \; frac\; \{k\}\; \{P\}\; \}\; \backslash \; right)\; \backslash \; end\; \{align\}\}\}$QED.

Формула суммирования Пуассона также может быть доказана довольно концептуально, используя совместимость двойственности Понтрягина с короткими точными последовательностями например

$0\; \to \; Z\; \to \; R\; \to \; R\; /\; Z\; \to \; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; 0\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; \backslash \; to\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; /\; \backslash \; mathbb\; \{Z\}\; \backslash \; to\; 0.\}$

Eq.3сохраняется при условии, что $s\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; (t)\}$является непрерывным us интегрируемая функция, которая удовлетворяет

$|\; s\; (t)\; |\; +\; |\; s\; ^\; (t)\; |\; \le \; С\; (1\; +\; |\; t\; |)\; -\; 1\; -\; \delta \; \{\backslash \; displaystyle\; |\; s\; (t)\; |\; +\; |\; \{\backslash \; hat\; \{s\}\}\; (t)\; |\; \backslash \; leq\; C\; (1+\; |\; t\; |)\; ^\; \{-\; 1-\; \backslash \; delta\}\}$

для некоторого $C>0,\; \delta >0\; \{\backslash \; displaystyle\; C>0,\; \backslash \; delta>0\}$и каждые $т\; \{\backslash \; displaystyle\; t\}$(Grafakos 2004 ; Stein Weiss 1971). Обратите внимание, что такой $s\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; (t)\}$является равномерно непрерывным, это вместе с предположением о распаде для $s\; \{\backslash \; displaystyle\; s\}$показывает, что ряд, определяющий $s\; P\; \{\backslash \; displaystyle\; s\_\; \{P\}\}$, сходится равномерно к непрерывной функции. Eq.3выполняется в строгом смысле, что обе стороны сходятся равномерно и абсолютно к одному и тому же пределу (Stein Weiss 1971).

Уравнение 3 выполняется в точечном смысле при строго более слабом предположении, что $s\; \{\backslash \; displaystyle\; s\}$имеет ограниченную вариацию ции и

$2\; \cdot \; s\; (t)\; =\; lim\; \epsilon \; \to \; 0\; s\; (t\; +\; \epsilon )\; +\; lim\; \epsilon \; \to \; 0\; s\; (t\; -\; \epsilon )\; \{\backslash \; displaystyle\; 2\; \backslash \; cdot\; s\; (t)\; =\; \backslash \; lim\; \_\; \{\backslash \; varepsilon\; \backslash \; to\; 0\}\; s\; (t\; +\; \backslash \; varepsilon)\; +\; \backslash \; lim\; \_\; \{\backslash \; varepsilon\; \backslash \; to\; 0\}\; s\; (t-\; \backslash \; varepsilon)\}$(Зигмунд 1968).

Ряд Фурье в правой части Eq.3тогда понимается как (условно сходящийся) предел симметричных частичных сумм.

Как показано выше, Eq.3выполняется при гораздо менее ограничительном предположении, что $s\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; s\; (t)\}$находится в $L\; 1\; (R)\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; ^\; \{1\}\; (\backslash \; mathbb\; \{R\})\}$, но тогда необходимо интерпретировать его в том смысле, что правая часть - это (возможно, расходящийся) ряд Фурье $s\; P\; (t)\; \{\backslash \; displaystyle\; s\_\; \{P\}\; (t)\}$(Zygmund 1968). В этом случае можно расширить область, в которой выполняется равенство, путем рассмотрения методов суммирования, таких как суммируемость Чезаро. При такой интерпретации сходимости Eq.2выполняется при менее строгих условиях, когда $g\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; g\; (x)\}$является интегрируемо, а 0 - точка непрерывности $g\; P\; (x)\; \{\backslash \; displaystyle\; g\_\; \{P\}\; (x)\}$. Однако Eq.2может не выполняться, даже если и $g\; \{\backslash \; displaystyle\; g\}$, и $g\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{g\}\}\}$интегрируемы и непрерывны, а суммы сходятся абсолютно (Katznelson 1976).

Метод изображений

В уравнениях в частных производных формула суммирования Пуассона обеспечивает строгое обоснование фундаментального решения уравнения теплопроводности с поглощающей прямоугольной границей методом изображений. Здесь тепловое ядро ​​ на $R\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{2\}\}$известно, а ядро ​​прямоугольника определяется с помощью периодизации. Формула суммирования Пуассона также обеспечивает связь между анализом Фурье на евклидовых пространствах и на торах соответствующих размерностей (Grafakos 2004). В одном измерении полученное решение называется тета-функцией.

Выборка

В статистическом исследовании временных рядов, если $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$является функцией времени, то рассмотрение только его значений в равные промежутки времени называется «выборкой». В приложениях обычно функция $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$имеет полосу пропускания, что означает наличие некоторой частоты среза $fo\; \{\backslash \; displaystyle\; f\_\; \{o\}\; \}$такой, что преобразование Фурье равно нулю для частот, превышающих порог: $f\; ^\; (\xi )\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{f\}\}\; (\backslash \; xi)\; =\; 0\}$для $|\; \xi \; |>fo\; \{\backslash \; displaystyle\; |\; \backslash \; xi\; |>f\_\; \{o\}\}$. Для функций с ограничением полосы частот выбор частоты дискретизации $2\; fo\; \{\backslash \; displaystyle\; 2f\_\; \{o\}\}$гарантирует отсутствие информации теряется: поскольку $f\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{f\}\}\}$может быть восстановлен из этих выборочных значений, то с помощью инверсии Фурье может $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; \}$. Это приводит к теореме выборки Найквиста – Шеннона (Пинский 2002).

Суммирование Эвальда

Вычислительно, Формула суммирования Пуассона полезна, поскольку медленно сходящееся суммирование в реальном пространстве гарантированно будет преобразовано в быстро сходящееся эквивалентное суммирование в пространстве Фурье (широкая функция в реальном пространстве становится узкой функцией в пространстве Фурье и наоборот). основная идея, лежащая в основе суммирования Эвальда.

Точки решетки в сфера

Формула суммирования Пуассона может использоваться для вывода асимптотической формулы Ландау для числа точек решетки в большой евклидовой сфере. Его также можно использовать, чтобы показать, что если интегрируемая функция, $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$и $f\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{f\}\}\}$оба имеют компактную опору, затем $f\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; =\; 0\}$(Pinsky 2002).

Теория чисел

В теории чисел суммирование Пуассона также может использоваться для вывода множества функциональных уравнений, включая функциональное уравнение для дзета-функции Римана.

Одно из таких важных применений пуассоновского суммирования касается тета-функций : периодических суммирований гауссианов. Положите $q\; =\; ei\; \pi \; \tau \; \{\backslash \; displaystyle\; q\; =\; e\; ^\; \{i\; \backslash \; pi\; \backslash \; tau\}\}$, вместо $\tau \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\}$комплекс число в верхней полуплоскости и определим тета-функцию:

$\theta \; (\tau )\; =\; \sum \; nqn\; 2.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\; (\backslash \; tau)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{n\}\; q\; ^\; \{n\; ^\; \{2\}\}.\}$

Связь между $\theta \; (-\; 1\; /\; \tau )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\; (-\; 1\; /\; \backslash \; tau)\}$и $\theta \; (\tau )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\; (\backslash \; tau)\}$оказывается важным для теории чисел, поскольку такого рода отношения является одним из определяющих свойств модульной формы . Выбрав $f\; =\; e\; -\; \pi \; x\; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; f\; =\; e\; ^\; \{-\; \backslash \; pi\; x\; ^\; \{2\}\}\}$во второй версии формулы суммирования Пуассона (с $a\; =\; 0\; \{\backslash \; displaystyle\; a\; =\; 0\}$), и используя тот факт, что $f\; ^\; =\; e\; -\; \pi \; \xi \; 2\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{f\}\}\; =\; e\; ^\; \{-\; \backslash \; pi\; \backslash \; xi\; ^\; \{2\}\}\}$, сразу получаем

$\theta \; (-\; 1\; \tau )\; =\; \tau \; я\; \theta \; (\tau )\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\; \backslash \; left\; (\{-\; 1\; \backslash \; over\; \backslash \; tau\; \}\; \backslash \; right)\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; tau\; \backslash \; over\; i\}\}\; \backslash \; theta\; (\backslash \; tau)\}$

, положив $1\; /\; \lambda \; =\; \tau \; /\; i\; \{\backslash \; displaystyle\; \{1\; /\; \backslash \; lambda\}\; =\; \{\backslash \; sqrt\; \{\backslash \; tau\; /\; i\}\}\}$.

Из этого следует, что $\theta \; 8\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\; ^\; \{8\}\}$имеет свойство простого преобразования при $\tau \; \mapsto \; -\; 1\; /\; \tau \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; tau\; \backslash \; mapsto\; \{-1\; /\; \backslash \; tau\}\}$, и это может быть использовано для доказательства формулы Якоби для числа различных способов выражения целого числа как суммы восьми полных квадратов.

Сферы

Cohn Elkies (2003) доказали верхнюю границу плотности сферических упаковок, используя формулу суммирования Пуассона, что впоследствии привело к доказательству оптимального упаковки сфер в размерностях 8 и 24.

Формула суммирования Пуассона выполняется в евклидовом пространстве произвольной размерности. Пусть $\Lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Lambda\}$будет решеткой в $R\; d\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{d\}\}$состоящий из точек с целыми координатами; $\Lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Lambda\}$- группа символов , или двойственная группа Понтрягина, из $R\; d\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\; \}\; ^\; \{d\}\}$. Для функции $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$в $L\; 1\; (R\; d)\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; ^\; \{1\}\; (\backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{d\})\}$, рассмотрим ряд, полученный суммированием переводов $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$по элементам $\Lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Lambda\}$:

$\sum \; \nu \; \in \; \Lambda \; f\; (х\; +\; \nu ).\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{\backslash \; nu\; \backslash \; in\; \backslash \; Lambda\}\; f\; (x\; +\; \backslash \; nu).\}$

Теорема для $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$в $L\; 1\; (R\; d)\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; ^\; \{1\}\; (\backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{d\})\}$, приведенный выше ряд сходится поточечно почти всюду и, таким образом, определяет периодическую функцию Pƒ на $\Lambda \; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; Lambda\}$. Pƒ лежит в $L\; 1\; \{\backslash \; displaystyle\; L\; ^\; \{1\}\}$с || Pƒ || 1 ≤ || ƒ || 1. Кроме того, для всех $\nu \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; nu\}$в $\Lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Lambda\}$, Pƒ̂ (ν) (преобразование Фурье на $\Lambda \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Lambda\}$) равно $f\; ^\; (\nu )\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{f\}\}\; (\backslash \; nu)\}$(преобразование Фурье на $R\; d\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{d\}\}$).

Когда $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$дополнительно является непрерывным, и оба $f\; \{\backslash \; displaystyle\; f\}$и $f\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{f\}\}\}$достаточно быстро распадается на бесконечности, тогда можно "инвертировать" домен обратно в $R\; d\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{d\}\; \}$и сделайте более сильное заявление. Точнее, если

$|\; f\; (x)\; |\; +\; |\; f\; ^\; (x)\; |\; \le \; C\; (1\; +\; |\; x\; |)\; -\; d\; -\; \delta \; \{\backslash \; displaystyle\; |\; f\; (x)\; |\; +\; |\; \{\backslash \; hat\; \{f\}\}\; (x)\; |\; \backslash \; leq\; C\; (1+\; |\; x\; |)\; ^\; \{-\; d-\; \backslash \; delta\}\}$

для некоторого C, δ>0, тогда

$\sum \; \nu \; \in \; \Lambda \; f\; (x\; +\; \nu )\; =\; \sum \; \nu \; \in \; \Lambda \; f\; ^\; (\nu )\; e\; 2\; \pi \; ix\; \cdot \; \nu ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; sum\; \_\; \{\backslash \; nu\; \backslash \; in\; \backslash \; Lambda\}\; f\; (x\; +\; \backslash \; nu)\; =\; \backslash \; sum\; \_\; \{\backslash \; nu\; \backslash \; in\; \backslash \; Lambda\}\; \{\backslash \; hat\; \{f\}\}\; (\backslash \; nu)\; e\; ^\; \{2\; \backslash \; pi\; ix\; \backslash \; cdot\; \backslash \; nu\; \},\}$(Stein Weiss 1971, VII §2)

где оба ряда сходятся абсолютно и равномерно на Λ. Когда d = 1 и x = 0, это дает формулу, приведенную в первом разделе выше.

В более общем смысле, версия оператора выполняется, если Λ заменяется более общей решеткой в ​​$R\; d\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbb\; \{R\}\; ^\; \{d\}\}$. двойная решетка Λ ′ может быть определена как подмножество двойственного векторного пространства или, альтернативно, с помощью двойственности Понтрягина. Тогда утверждается, что сумма дельта-функций в каждой точке Λ и в каждой точке Λ ′ снова является преобразованием Фурье в виде распределений, подлежащих правильной нормировке.

Это применяется в теории тета-функций и является возможным методом в геометрии чисел. Фактически, в более поздних работах по подсчету точек решетки в областях он обычно используется - суммирование индикаторной функции области D по точкам решетки - это как раз вопрос, так что LHS из формула суммирования - это то, что нужно, и RHS то, что можно атаковать с помощью математического анализа.

формулы следа Сельберга

Дальнейшее обобщение на локально компактные абелевы группы требуется в теории чисел. В некоммутативном гармоническом анализе идея развита еще дальше в формуле следа Сельберга, но принимает гораздо более глубокий характер.

Ряд математиков, применяющих гармонический анализ к теории чисел, в первую очередь Мартин Эйхлер, Атле Сельберг, Роберт Ленглендс и Джеймс Артур, обобщили формулу суммирования Пуассона. преобразованию Фурье на некоммутативных локально компактных редуктивных алгебраических группах $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$с дискретной подгруппой $\Gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\}$такой, что $G\; /\; \Gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; G\; /\; \backslash \; Gamma\}$имеет конечный объем. Например, $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$может быть действительными точками $GL\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; GL\_\; \{n\}\}$и $\Gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\}$может быть целыми точками $GL\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; GL\_\; \{n\}\}$. В этой настройке $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$играет роль линии действительного числа в классической версии пуассоновского суммирования, а $\Gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\}$играет роль целых чисел $n\; \{\backslash \; displaystyle\; n\}$, которые появляются в сумме. Обобщенная версия пуассоновского суммирования называется формулой следа Сельберга и сыграла роль в доказательстве многих случаев гипотезы Артина и в доказательстве Великой теоремы Ферма Уайлсом. Левая часть (1) становится суммой по неприводимым унитарным представлениям $G\; \{\backslash \; displaystyle\; G\}$и называется «спектральной стороной», а правая часть становится сумма по классам сопряженности $\Gamma \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; Gamma\}$, и называется «геометрической стороной».

Формула суммирования Пуассона является прототипом обширных достижений в области гармонического анализа и теории чисел.

• Анализ Фурье # Резюме
• Формула обращения Поста
• Формула Вороного
• Дискретное преобразование Фурье

• Бенедетто, JJ; Циммерманн, Г. (1997), «Множители выборки и формула суммирования Пуассона», J. Fourier Ana. Приложение, 3 (5), заархивировано из оригинального 24 мая 2011 г., извлечено 19 июня 2008 г..
• Кон, Генри; Элкис, Ноам (2003), "Новые верхние оценки сферических упаковок. I", Ann. of Math., 2, 157 (2): 689–714, arXiv : math / 0110009, doi : 10.4007 / annals.2003.157.689, MR 1973059
• Кордова, A., "La formule sommatoire de Poisson", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I, 306 : 373–376.
• Гаске, Клод; Witomski, Patrick (1999), Анализ Фурье и приложения, Springer, стр. 344–352, ISBN 0-387-98485-2.
• Grafakos, Loukas (2004), Classical and Modern Анализ Фурье, Pearson Education, Inc., стр. 253–257, ISBN 0-13-035399-X.
• Хиггинс, младший (1985), «Пять рассказов о кардинальный ряд », Bull. Амер. Математика. Soc., 12 (1): 45–89, doi : 10.1090 / S0273-0979-1985-15293-0.
• Hörmander, L. (1983), Анализ линейных дифференциальных операторов в частных производных I, Grundl. Математика. Wissenschaft., 256, Springer, doi : 10.1007 / 978-3-642-96750-4, ISBN 3 -540-12104-8, MR 0717035.
• Кацнельсон, Ицхак (1976), Введение в гармонический анализ (второе исправленное изд.), Нью-Йорк: Dover Publications, Inc, ISBN 0-486-63331-4
• Пинский, М. (2002), Введение в анализ Фурье и вейвлеты., Брукс Коул, ISBN 978-0-534-37660-4.
• Штейн, Элиас; Вайс, Гвидо (1971), Введение в анализ Фурье на евклидовых пространствах, Princeton, NJ: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08078-9.
• Zygmund, Antoni (1968), Trigonometric Series (2-е изд.), Cambridge University Press (опубликовано в 1988 г.), ISBN 978-0-521-35885 -9.