Направленная статистика

редактировать

Направленная статистика (также круговая статистика или сферическая статистика ) Поддисциплина статистики, которая имеет дело с направлениями (единичные векторы в R ), осями (строки через начало координат в R ) или поворотов в R . В более общем смысле направленная статистика имеет дело с наблюдениями на компактных римановых многообразиях.

Общая форма белка может быть параметризована как последовательность точек на единичной сфере. Показаны два вида сферической гистограммы таких точек для большого набора белковых структур. Статистическая обработка таких данных относится к сфере направленной статистики.

Тот факт, что 0 градусов и 360 градусов являются одинаковыми углами, так что, например, 180 градусов не является разумным средним 2 градусов и 358 градусов, является одной иллюстрацией того, что для анализа некоторых типов данных (в данном случае угловых данных) требуются специальные статистические методы. Другие примеры данных, которые можно рассматривать как направленные, включают статистику, включающую временные периоды (например, время дня, недели, месяц, год и т. Д.), Направления по компасу, двугранные углы в молекулах, ориентации, вращения и т. Д. на.

Содержание

1 Круговое распределение и распределения более высокой размерности
- 1.1 Круговое распределение по Мизесу
- 1.2 Круговое равномерное распределение
- 1.3 Обернутое нормальное распределение
- 1.4 Обернутое распределение Коши
- 1.5 Обернутое распределение Леви
2 Распределения на многомерных многообразиях
3 Моменты
4 Меры локализации и распространения
5 Распределение среднего
6 Проверка согласия и значимости
7 См. Также
8 Ссылки
9 Книги по направленной статистике

Круговые и многомерные распределения

Любая функция плотности вероятности (pdf) $p (x) {\ displaystyle p (x)}$ $p (x)$ на линии может быть «обернут» по окружности круга единичного радиуса. То есть PDF-файл обернутой переменной

θ = xw = x mod 2 π ∈ (- π, π] {\ displaystyle \ theta = x_ {w} = x {\ bmod {2}} \ pi \ \ \ in (- \ pi, \ pi]}

{\ displaystyle \ theta = x_ {w} = x {\ bmod {2}} \ pi \ \ \ in (- \ pi, \ pi]}

равно

pw (θ) = ∑ k = - ∞ ∞ p (θ + 2 π k). {\ displaystyle p_ {w} (\ theta) = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} {p (\ theta +2 \ pi k)}.}

p_ {w} (\ theta) = \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} {p (\ тета +2 \ пи к)}.

Эту концепцию можно расширить на многомерный контекст, расширив простую сумму до количество $F {\ displaystyle F}$ $F$ сумм, охватывающих все измерения в пространстве признаков:

pw (θ →) = ∑ k 1 = - ∞ ∞ ⋯ ∑ k F = - ∞ ∞ п (θ → + 2 π К 1 е 1 + ⋯ + 2 π К F е F) {\ displaystyle p_ {w} ({\ vec {\ theta}}) = \ sum _ {k_ {1} = - \ infty} ^ {\ infty} \ cdots \ sum _ {k_ {F} = - \ infty} ^ {\ infty} {p ({\ vec {\ theta}} + 2 \ pi k_ {1} \ mathbf { e} _ {1} + \ dots +2 \ pi k_ {F} \ mathbf {e} _ {F})}}

p_ {w} ({\ vec {\ theta}}) = \ sum _ {k_ {1} = - \ infty} ^ {\ infty} \ cdots \ sum _ {k_ {F} = - \ infty} ^ {\ infty} {p ({\ vec {\ theta}} + 2 \ pi k_ {1} \ mathbf {e} _ {1} + \ dots +2 \ pi k_ {F} \ mathbf {e } _ {F})}

где $ek = (0,…, 0, 1, 0,…, 0) T {\ displaystyle \ mathbf {e} _ {k} = (0, \ dots, 0,1,0, \ dots, 0) ^ {\ mathsf {T}}}$ $\ mathbf {e} _ {k} = (0, \ dots, 0,1,0, \ dots, 0) ^ {\ mathsf {T}}$ равно $k {\ displaystyle k}$ $k$ -й евклидов базисный вектор.

Следующая секция ионы показывают некоторые соответствующие круговые распределения.

Круговое распределение фон Мизеса

Распределение фон Мизеса - это круговое распределение, которое, как и любое другое круговое распределение, можно рассматривать как обертывание определенного линейного распределения вероятностей по кругу. Основное линейное распределение вероятностей для распределения фон Мизеса математически трудноразрешимо; однако для статистических целей нет необходимости иметь дело с лежащим в основе линейным распределением. Распределение фон Мизеса имеет двоякую ценность: оно является наиболее математически управляемым из всех круговых распределений, позволяющим более простой статистический анализ, и оно является близким приближением к нормальному распределению, которое аналогично линейному нормальное распределение, важно, потому что это предельный случай для суммы большого количества малых угловых отклонений. Фактически, распределение фон Мизеса часто называют "круговым нормальным" распределением из-за его простоты использования и его тесной связи с обернутым нормальным распределением (Fisher, 1993).

PDF-файл распределения фон Мизеса:

f (θ; μ, κ) = e κ cos ⁡ (θ - μ) 2 π I 0 (κ) {\ displaystyle f (\ theta ; \ mu, \ kappa) = {\ frac {e ^ {\ kappa \ cos (\ theta - \ mu)}} {2 \ pi I_ {0} (\ kappa)}}}

f (\ theta; \ mu, \ kappa) = {\ frac {e ^ { \ kappa \ cos (\ theta - \ mu)}} {2 \ pi I_ {0} (\ kappa)}}

где $I 0 {\ displaystyle I_ {0}}$ $I_ {0}$ - это модифицированная функция Бесселя порядка 0.

Круговое равномерное распределение

Функция плотности вероятности (pdf) кругового равномерного распределения определяется как

U (θ) = 1 / (2 π). {\ Displaystyle U (\ theta) = 1 / (2 \ pi). \,}

U (\ theta) = 1 / (2 \ pi). \,

Его также можно представить как $κ = 0 {\ displaystyle \ kappa = 0}$ $\ kappa = 0$ фон Мизеса выше.

Обернутое нормальное распределение

PDF обернутого нормального распределения (WN):

WN (θ; μ, σ) = 1 σ 2 π ∑ k = - ∞ ∞ exp ⁡ [- (θ - μ - 2 π К) 2 2 σ 2] знак равно 1 2 π ϑ (θ - μ 2 π, я σ 2 2 π) {\ displaystyle WN (\ theta; \ mu, \ sigma) = {\ frac {1} {\ sigma {\ sqrt {2 \ pi}}}} \ sum _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} \ exp \ left [{\ frac {- (\ theta - \ му -2 \ pi k) ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2}}} \ right] = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ vartheta \ left ({\ frac {\ theta - \ mu} {2 \ pi}}, {\ frac {i \ sigma ^ {2}} {2 \ pi}} \ right)}

WN (\ theta; \ mu, \ sigma) = {\ frac {1} {\ sigma {\ sqrt {2 \ pi}}}} \ сумма _ {k = - \ infty} ^ {\ infty} \ exp \ left [{\ frac {- (\ theta - \ mu -2 \ pi k) ^ {2}} {2 \ sigma ^ {2}} } \ right] = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ vartheta \ left ({\ frac {\ thet a - \ mu} {2 \ pi}}, {\ frac {i \ sigma ^ {2}} {2 \ pi}} \ right)

где μ и σ - среднее и стандартное отклонение развернутого распределения, соответственно, а

ϑ (θ, τ) {\ displaystyle \ vartheta (\ theta, \ tau)}

\ vartheta (\ theta, \ tau)

- тета-функция Якоби :

ϑ (θ, τ) = ∑ n Знак равно - ∞ ∞ (вес 2) nqn 2 {\ displaystyle \ vartheta (\ theta, \ tau) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} (w ^ {2}) ^ {n} q ^ {n ^ {2}}}

\ vartheta (\ theta, \ tau) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} (w ^ {2}) ^ {n} q ^ {n ^ {2}}

где

w ≡ ei π θ {\ displaystyle w \ Equiv e ^ {i \ pi \ theta}}

w \ Equiv e ^ {i \ pi \ theta}

q ≡ ei π τ. {\ displaystyle q \ Equiv e ^ {i \ pi \ tau}.}

q \ Equiv e ^ {i \ pi \ tau}.

Обернутое распределение Коши

PDF-файл обернутого распределения Коши (WC):

WC (θ; θ 0, γ) знак равно ∑ N = - ∞ ∞ γ π (γ 2 + (θ + 2 π n - θ 0) 2) = 1 2 π sinh ⁡ γ cosh ⁡ γ - cos ⁡ (θ - θ 0) {\ displaystyle WC (\ theta; \ theta _ {0}, \ gamma) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {\ gamma} {\ pi (\ gamma ^ {2} + ( \ theta +2 \ pi n- \ theta _ {0}) ^ {2})}} = {\ frac {1} {2 \ pi}} \, \, {\ frac {\ sinh \ gamma} {\ cosh \ gamma - \ cos (\ theta - \ theta _ {0})}}}

WC (\ theta; \ theta _ {0}, \ gamma) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} {\ frac {\ gamma} {\ pi (\ gamma ^ {2} + (\ theta +2 \ pi n - \ theta _ {0}) ^ {2})}} = {\ frac {1} {2 \ pi}} \, \, {\ frac {\ sinh \ gamma} {\ ch \ gamma - \ cos ( \ theta - \ theta _ {0})}}

где

γ {\ displaystyle \ gamma}

\ gamma

- масштабный коэффициент, а

θ 0 {\ displaystyle \ theta _ {0}}

\ theta _ {0}

- положение пика.

Обернутое распределение Леви

PDF обернутого распределения Леви (WL):

f WL (θ; μ, c) знак равно ∑ n = - ∞ ∞ c 2 π e - c / 2 (θ + 2 π n - μ) (θ + 2 π n - μ) 3/2 {\ displaystyle f_ {WL} (\ theta; \ mu, c) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} {\ sqrt {\ frac {c} {2 \ pi}}} \, {\ frac {e ^ { -c / 2 (\ theta +2 \ pi n- \ mu)}} {(\ theta +2 \ pi n- \ mu) ^ {3/2}}}}

f_ {WL} (\ theta; \ mu, c) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} {\ sqrt {\ frac {c} {2 \ pi}}} \, {\ frac {e ^ {- c / 2 (\ theta +2 \ pi n- \ mu)}} {(\ theta +2 \ pi n- \ mu) ^ {3/2}}}

где значение слагаемого принимается равным нулю, когда $θ + 2 π n - μ ≤ 0 {\ displaystyle \ theta +2 \ pi n- \ mu \ leq 0}$ $\ theta +2 \ pi n- \ mu \ leq 0$ , $c {\ displaystyle c}$ $c$ - коэффициент масштабирования, а $μ {\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ - параметр местоположения.

Распределения на многомерных многообразиях

Наборы из трех точек, взятые из различных распределений Кента на сфере.

Также существуют распределения на двумерной сфере (например, распределение Кента ), N-мерная сфера (распределение фон Мизеса – Фишера ) или тор (двумерная распределение фон Мизеса ).

Матричное распределение Мизеса – Фишера является распределением на многообразии Штифеля и может использоваться для построения вероятностных распределений по матрицам вращения.

Распределение Бингема - это распределение по осям в N измерениях или, что эквивалентно, по точкам на (N - 1) -мерной сфере с идентифицированными антиподами. Например, если N = 2, оси представляют собой ненаправленные линии, проходящие через начало координат на плоскости. В этом случае каждая ось разрезает единичный круг на плоскости (которая является одномерной сферой) в двух точках, которые являются антиподами друг друга. Для N = 4 распределение Бингема представляет собой распределение в пространстве единиц кватернионов. Поскольку единичный кватернион соответствует матрице вращения, распределение Бингема для N = 4 можно использовать для построения распределений вероятностей по пространству вращений, точно так же, как распределение Матрицы-фон Мизеса-Фишера.

Эти распределения, например, используются в геологии, кристаллографии и биоинформатике.

Моменты

Необработанный вектор (или тригонометрический) моменты кругового распределения определяются как

mn = E ⁡ (zn) = ∫ Γ P (θ) znd θ {\ displaystyle m_ {n} = \ operatorname {E} (z ^ {n}) = \ int _ {\ Gamma} P (\ theta) z ^ {n} \, d \ theta}

{\ displaystyle m_ {n} = \ operatorname {E} (z ^ {n}) = \ int _ {\ Gamma} P (\ theta) z ^ {n} \, d \ theta}

где $Γ {\ displaystyle \ Gamma}$ $\ Gamma$ - любой интервал длины $2 π {\ displaystyle 2 \ pi}$ $2 \ pi$ , $P (θ) {\ displaystyle P (\ theta)}$ $P (\ theta)$ - PDF кругового распределения, а $z = ei θ {\ displaystyle z = е ^ {я \ тета}}$ ${\ displaystyle z = e ^ {i \ theta}}$ . Поскольку интеграл $P (θ) {\ displaystyle P (\ theta)}$ $P (\ theta)$ равен единице, а интервал интегрирования конечен, отсюда следует, что моменты любого кругового распределения всегда конечны и хорошо определены.

Моменты выборки определяются аналогично:

m ¯ n = 1 N ∑ i = 1 N z i n. {\ displaystyle {\ overline {m}} _ {n} = {\ frac {1} {N}} \ sum _ {i = 1} ^ {N} z_ {i} ^ {n}.}

{\ overline {m}} _ {n} = {\ frac {1} {N}} \ sum _ {i = 1} ^ {N} z_ {i} ^ {n}.

Результирующий вектор генеральной совокупности, длина и средний угол определяются по аналогии с соответствующими параметрами выборки.

ρ = m 1 {\ displaystyle \ rho = m_ {1}}

{\ displaystyle \ rho = m_ {1}}

R = | м 1 | {\ Displaystyle R = | m_ {1} |}

{\ displaystyle R = | m_ {1} |}

θ n = Arg ⁡ (m n). {\ displaystyle \ theta _ {n} = \ operatorname {Arg} (m_ {n}).}

{\ displaystyle \ theta _ {n} = \ operatorname {Arg} (m_ {n}).}

Кроме того, длины более высоких моментов определяются как:

R n = | m n | {\ displaystyle R_ {n} = | m_ {n} |}

{\ displaystyle R_ {n} = | m_ {n} |}

в то время как угловые части высших моментов равны всего $(n θ n) по модулю 2 π {\ displaystyle (n \ theta _ {n})) {\ bmod {2}} \ pi}$ ${\ displaystyle (n \ theta _ {n}) {\ bmod {2}} \ pi}$ . Длина всех моментов будет находиться в диапазоне от 0 до 1.

Меры местоположения и распространения

Различные меры местоположения и распространения могут быть определены как для генеральной совокупности, так и для выборки, взятой из этой совокупности. Наиболее распространенной мерой местоположения является среднее круговое. Круговое среднее по генеральной совокупности - это просто первый момент распределения, в то время как выборочное среднее - это первый момент выборки. Среднее значение выборки будет служить объективной оценкой среднего значения генеральной совокупности.

Когда данные сконцентрированы, медиана и мода могут быть определены по аналогии с линейным случаем, но для более рассредоточенных или многомодальных данных эти концепции бесполезны.

Наиболее распространенные меры кругового распространения:

круговая дисперсия . Для образца круговая дисперсия определяется как:

Var ⁡ (z) ¯ = 1 - R ¯ {\ displaystyle {\ overline {\ operatorname {Var} (z)}} = 1 - {\ overline {R} } \,}

{\ displaystyle {\ overline {\ operatorname {Var} (z)}} = 1 - {\ overline {R}} \,}

и для совокупности

Var ⁡ (z) = 1 - R {\ displaystyle \ operatorname {Var} (z) = 1-R \,}

{\ displaystyle \ operatorname {Var} (z) = 1-R \,}

Оба будут иметь значения от 0 и 1.

круговое стандартное отклонение

S (z) = ln ⁡ (1 / R 2) = - 2 ln ⁡ (R) {\ displaystyle S (z) = {\ sqrt {\ ln (1 / R ^ {2})}} = {\ sqrt {-2 \ ln (R)}} \,}

S (Z) = {\ sqrt {\ ln (1 / R ^ {2})}} = {\ sqrt {-2 \ ln (R)}} \,

S ¯ (z) = ln ⁡ (1 / R ¯ 2) = - 2 пер ⁡ (R ¯) {\ displaystyle {\ overline {S}} (z) = {\ sqrt {\ ln (1 / {\ overline {R}} ^ {2})}} = {\ sqrt {-2 \ ln ({\ overline {R}})}} \,}

{\ overline {S}} (z) = {\ sqrt {\ ln (1 / {\ overline {R}} ^ {2})}} = {\ sqrt {-2 \ ln ({\ overline {R}})}} \,

со значениями от 0 до бесконечности. Это определение стандартного отклонения (а не квадратного корня из дисперсии) полезно, потому что для обернутого нормального распределения оно является оценкой стандартного отклонения основного нормального распределения. Следовательно, это позволит стандартизировать круговое распределение, как и в линейном случае, для малых значений стандартного отклонения. Это также относится к распределению фон Мизеса, которое близко аппроксимирует свернутое нормальное распределение. Обратите внимание, что для small

S (z) {\ displaystyle S (z)}

S (z)

, мы имеем

S (z) 2 = 2 Var ⁡ (z) {\ displaystyle S (z) ^ {2} = 2 \ operatorname {Var} (z)}

{\ displaystyle S (z) ^ {2} = 2 \ operatorname {Var} (z)}

круговая дисперсия

δ = 1 - R 2 2 R 2 {\ displaystyle \ delta = {\ frac {1-R_ { 2}} {2R ^ {2}}}}

\ delta = {\ frac {1-R_ {2}} {2R ^ {2}}}

δ ¯ = 1 - R ¯ 2 2 R ¯ 2 {\ displaystyle {\ overline {\ delta}} = {\ frac {1 - {{\ overline { R}} _ {2}}} {2 {\ overline {R}} ^ {2}}}}

{\ overline {\ delta}} = {\ frac {1 - {{\ overline {R}} _ {2} }} {2 {\ overline {R}} ^ {2}}}

со значениями от 0 до бесконечности. Эта мера разброса полезна при статистическом анализе дисперсии.

Распределение среднего

Учитывая набор из N измерений $zn = ei θ n {\ displaystyle z_ {n} = e ^ {i \ theta _ {n}}}$ $z_ {n} = e ^ {i \ theta _ {n}}$ среднее значение z определяется как:

z ¯ = 1 N ∑ n = 1 N zn {\ displaystyle {\ overline {z}} = {\ frac {1} {N}} \ sum _ {n = 1} ^ {N} z_ {n}}

{\ overline {z}} = {\ frac {1} {N}} \ sum _ { n = 1} ^ {N} z_ {n}

, которое может быть выражено как

z ¯ = C ¯ + i S ¯ {\ displaystyle {\ overline {z}} = {\ overline {C}} + i {\ overline {S}}}

{\ overline {z}} = {\ overline {C}} + i {\ overline {S} }

где

C ¯ = 1 N ∑ n = 1 N cos ⁡ (θ n) и S ¯ знак равно 1 N ∑ N = 1 N грех ⁡ (θ N) {\ Displaystyle {\ overline {C}} = {\ frac {1} {N}} \ sum _ {n = 1} ^ {N} \ cos (\ theta _ {n}) {\ text {и}} {\ overline {S}} = {\ frac {1} {N}} \ sum _ {n = 1} ^ {N} \ sin (\ theta _ {n})}

{\ overline {C}} = {\ frac { 1} {N}} \ sum _ {n = 1} ^ {N} \ cos (\ theta _ {n}) {\ text {и}} {\ overline {S}} = {\ frac {1} { N}} \ sum _ {n = 1} ^ {N} \ sin (\ theta _ {n})

или, как альтернатива:

z ¯ = R ¯ ei θ ¯ {\ displaystyle {\ overline {z}} = {\ overline {R}} e ^ {i {\ overline {\ theta}}}}

{\ overline {z}} = {\ overline {R}} e ^ {i {\ overline {\ theta}}}

где

R ¯ = C ¯ 2 + S ¯ 2 и θ ¯ = arctan ⁡ (S ¯, C ¯). {\ displaystyle {\ overline {R}} = {\ sqrt {{\ overline {C}} ^ {2} + {\ overline {S}} ^ {2}}} {\ text {and}} {\ overline {\ theta}} = \ arctan ({\ overline {S}}, {\ overline {C}}).}

{\ displaystyle {\ overline {R}} = {\ sqrt {{\ overline {C}} ^ {2} + {\ overline {S}} ^ {2}}} {\ text {and}} {\ overline {\ theta}} = \ arctan ({\ overline {S}}, {\ overline {C}}).}

Распределение среднего ( $θ ¯ {\ displaystyle {\ overline {\ theta }}}$ ${\ overline {\ theta}}$ ) для круглого PDF-файла P (θ) будет иметь следующий вид:

P (C ¯, S ¯) d C ¯ d S ¯ = P (R ¯, θ ¯) d R ¯ d θ ¯ знак равно ∫ Γ ⋯ ∫ Γ ∏ N = 1 N [P (θ n) d θ n] {\ displaystyle P ({\ overline {C}}, {\ overline {S}}) \, d {\ overline {C}} \, d {\ overline {S}} = P ({\ overline {R}}, {\ overline {\ theta}}) \, d {\ overline {R}} \, d {\ overline {\ theta}} = \ int _ {\ Gamma} \ cdots \ int _ {\ Gamma} \ prod _ {n = 1} ^ {N} \ left [P (\ theta _ {n}) \, d \ theta _ {n} \ right]}

{\ displaystyle P ({\ overline {C}}, {\ overline {S}) }) \, d {\ overline {C}} \, d {\ overline {S}} = P ({\ overline {R}}, {\ overline {\ theta}}) \, d {\ overline {R }} \, d {\ overline {\ theta}} = \ int _ {\ Gamma} \ cdots \ int _ {\ Gamma} \ prod _ {n = 1} ^ {N} \ left [P (\ theta _ {n}) \, d \ theta _ {n} \ right]}

где $Γ {\ displaystyle \ Gamma}$ $\ Gamma$ находится на любом интервале длины $2 π {\ displaystyle 2 \ pi}$ $2 \ pi$ и интеграл подчиняется ограничению, которое $S ¯ {\ displaystyle {\ overline {S}}}$ ${\ overline {S} }$ и $C ¯ {\ displaystyle {\ overline { C}}}$ ${\ overline {C}}$ являются постоянными или, альтернативно, $R ¯ {\ displ aystyle {\ overline {R}}}$ ${\ overline {R}}$ и $θ ¯ {\ displaystyle {\ overline {\ theta}}}$ ${\ overline {\ theta}}$ постоянны.

Расчет распределения среднего для большинства круговых распределений невозможен аналитически, и для проведения дисперсионного анализа необходимы численные или математические приближения.

центральная предельная теорема может быть применена к распределению выборочных средних. (основная статья: Центральная предельная теорема для направленной статистики ). Можно показать, что распределение $[C ¯, S ¯] {\ displaystyle [{\ overline {C}}, {\ overline {S}}]}$ $[{\ overline {C}}, {\ overline {S}}]$ приближается к двумерное нормальное распределение в пределе большого размера выборки.

Проверка согласия и значимости

Для циклических данных (например, равномерно ли они распределены):

критерий Рэлея для унимодального кластера
критерий Койпера для возможных мультимодальных данных.

См. также

Ссылки

^ Hamelryck, Thomas; Кент, Джон Т.; Крог, Андерс (2006). "Hamelryck, T., Kent, J., Krogh, A. (2006) Выборка реалистичных конформаций белка с использованием локального структурного отклонения. PLoS Comput. Biol., 2 (9): e131". PLOS вычислительная биология. 2 (9): e131. Bibcode : 2006PLSCB... 2..131H. doi : 10.1371 / journal.pcbi.0020131. PMC 1570370. PMID 17002495.
^Bahlmann, C., (2006), Направленные функции в онлайн-распознавании рукописного ввода, Pattern Recognition, 39
^Kent, J (1982) Распределение Фишера – Бингема на сфере. J Royal Stat Soc, 44, 71–80.
^Фишер Р.А. (1953) Дисперсия на сфере. Proc. Рой. Soc. Лондон сер. А., 217, 295–305
^Мардия, КМ. Тейлор; CC; Субраманиам, Г.К. (2007). "Белковая биоинформатика и смеси двумерных распределений фон Мизеса для угловых данных". Биометрия. 63 (2): 505–512. DOI : 10.1111 / j.1541-0420.2006.00682.x. PMID 17688502.
^Даунс (1972). «Ориентационная статистика». Биометрика. 59 (3): 665–676. doi : 10.1093 / biomet / 59.3.665.
^Bingham, C. (1974). «Антиподально-симметричное распределение на сфере». Энн. Стат. 2 (6): 1201–1225. doi : 10.1214 / aos / 1176342874.
^Peel, D.; Whiten, WJ.; McLachlan, GJ. (2001). «Подгонка смесей распределений Кента для помощи в идентификации набора стыков» (PDF). Варенье. Стат. Доц. 96 (453): 56–63. doi : 10.1198 / 016214501750332974. S2CID 11667311.
^Krieger Lassen, N.C.; Juul Jensen, D.; Конрадсен, К. (1994). «О статистическом анализе ориентировочных данных». Acta Crystallogr. A50 (6): 741–748. doi : 10.1107 / S010876739400437X.
^Кент, Дж. Т., Хамелрик, Т. (2005). Использование распределения Фишера – Бингема в стохастических моделях структуры белка. В S. Barber, P.D. Бакстер, К. В. Мардиа и Р. Э. Walls (Eds.), Количественная биология, анализ формы и всплески, стр. 57–60. Leeds, Leeds University Press
^Boomsma, Wouter; Mardia, Kanti V.; Тейлор, Чарльз С.; Феркингхофф-Борг, Джеспер; Крог, Андерс; Хамелрик, Томас (2008). «Генеративная вероятностная модель локальной структуры белка». Труды Национальной академии наук. 105 (26): 8932–8937. Bibcode : 2008PNAS..105.8932B. doi : 10.1073 / pnas.0801715105. PMC 2440424. PMID 18579771.
^Фишер, Н.И., Статистический анализ циклических данных, Cambridge University Press, 1993. ISBN 0-521-35018- 2
^ Джаммаламадака, С. Рао; Сенгупта, А. (2001). Темы в циклической статистике. Нью-Джерси: World Scientific. ISBN 978-981-02-3778-3. Проверено 15 мая 2011 г.

Книги по направленной статистике

Бачелет Э. Циркулярная статистика в биологии, Academic Press, Лондон, 1981. ISBN 0-12- 081050-6.
Фишер, Н.И., Статистический анализ циркулярных данных, Cambridge University Press, 1993. ISBN 0-521-35018-2
Фишер, Н., Льюис, Т., Эмблтон, BJJ. Статистический анализ сферических данных, Cambridge University Press, 1993. ISBN 0-521-45699-1
Джаммаламадака С. Рао и СенГупта А. Темы циркулярной статистики, World Scientific, 2001. ISBN 981-02-3778-2
Мардиа, К.В. и Джапп П., Направленная статистика (2-е издание), John Wiley and Sons Ltd., 2000. ISBN 0-471-95333-4
Ley, C. and Verdebout, Т., Современная направленная статистика, CRC Press Taylor Francis Group, 2017. ISBN 978-1-4987-0664-3