В направленной статистике распределение фон Мизеса – Фишера (названо в честь Рональда Фишера и Ричард фон Мизес ), является распределением вероятностей на -сфере в . Если , распределение сводится к распределению фон Мизеса на круге .
плотность вероятности функция распределения фон Мизеса – Фишера для случайного p-мерного единичного вектора определяется как:
где и константа нормализации равно
где обозначает модифицированную функцию Бесселя первого рода d в порядке . Если , константа нормализации уменьшается до
Параметры и называются средним направлением и параметром концентрации соответственно. Чем больше значение , тем выше концентрация распределения вокруг среднего направления . Распределение унимодальное для и единообразно на сфере для .
Распределение фон Мизеса – Фишера для , также называемое распределением Фишера, впервые было использовано для моделирования взаимодействия электрических диполей. в электрическом поле (Mardia Jupp, 1999). Другие приложения можно найти в геологии, биоинформатике и интеллектуальном анализе текста.
Содержание
- 1 Отношение к нормальному распределению
- 2 Оценка параметров
- 3 Обобщения
- 4 См. Также
- 5 Ссылки
Отношение к нормальному распределению
Начиная с нормальное распределение
распределение фон Мизеса-Фишера получается разложением
, используя тот факт, что и - единичные векторы, и пересчет константы нормализации путем интегрирования над единичной сферой.
Оценка параметров
Серия из N независимых измерений , взятых из фон Распределение Мизеса – Фишера. Определим
Тогда (Mardia Jupp, 1999) оценки максимального правдоподобия для и задаются достаточной статистикой
как
и
Таким образом, является решение
Простое приближение к : (Sra, 2011)
но более точную меру можно получить, повторив метод Ньютона несколько раз
Для N ≥ 25 расчетная сферическая стандартная ошибка выборочного среднего направления может вычисляется как
где
Тогда можно приблизительно определить доверительный конус около с полувертикальным углом
- где
Например, для конуса доверительной вероятности 95% и, следовательно,
Обобщения
Матричное распределение фон Мизеса-Фишера имеет плотность
поддерживается на многообразии Штифеля из orthonormal p-frames , где - произвольное вещественная матрица.
См. Также
- Распределение Кента, связанное распределение на двумерной единичной сфере
- распределение фон Мизеса, распределение фон Мизеса – Фишера, где p = 2, одномерный единичный круг
- двумерное распределение фон Мизеса
- Направленная статистика
Литература
- Dhillon, I., Sra, С. (2003) "Моделирование данных с использованием направленных распределений". Tech. представитель Техасского университета, Остин.
- Банерджи, А., Диллон, И.С., Гош, Дж., Сра, С. (2005). «Кластеризация на единичной гиперсфере с использованием распределений фон Мизеса-Фишера». Journal of Machine Learning Research, 6 (сентябрь), 1345-1382.
- Фишер, Р.А., "Дисперсия на сфере". (1953) Proc. Рой. Soc. Лондон сер. А., 217: 295–305
- Мардиа, Канти ; Юпп, П. Э. (1999). Направленная статистика. John Wiley Sons Ltd. ISBN 978-0-471-95333-3.
- Sra, S. (2011). «Небольшая заметка о приближении параметров для распределений фон Мизеса-Фишера: и быстрая реализация I s (x)». Вычислительная статистика. 27 : 177–190. CiteSeerX 10.1.1.186.1887. doi :10.1007/s00180-011-0232-x.