Комплексное нормальное распределение

редактировать

Комплексное нормальное
Параметры	$μ ∈ C n {\ displaystyle \ mathbf {\ mu} \ in \ mathbb {C} ^ {n}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {\ mu} \ in \ mathbb {C} ^ {n}}$ — местоположение. $Γ ∈ C n × n {\ displaystyle \ Gamma \ in \ mathbb {C} ^ {n \ times n}}$ ${\ displaystyle \ Gamma \ in \ mathbb {C } ^ {n \ times n}}$ — ковариационная матрица ( положительная полуопределенная матрица ). $C ∈ C n × n {\ displaystyle C \ in \ mathbb {C} ^ {n \ times n}}$ ${\ displaystyle C \ in \ mathbb {C} ^ {n \ times n}}$ — матрица отношений ()
Поддержка	$C n {\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$ $\ mathbb {C} ^ {n}$
PDF	сложный, см. текст
Среднее	$μ {\ displaystyle \ mathbf {\ mu}}$ $\ mathbf {\ mu}$
Mode	$μ {\ displaystyle \ mathbf {\ mu}}$ $\ mathbf {\ mu}$
Дисперсия	$Γ {\ displaystyle \ Gamma}$ $\ Gamma$
CF	$exp {i Re ⁡ (w ¯ ′ μ) - 1 4 (w ¯ ′ Γ w + Re ⁡ (вес ¯ ′ С ш ¯))} {\ Displaystyle \ ехр \! {\ big \ {} я \ OperatorName {Re} ({\ overline {w}} '\ mu) - {\ tfrac {1} {4 }} {\ big (} {\ overline {w}} '\ Gamma w + \ operatorname {Re} ({\ overline {w}}' C {\ overline {w}}) {\ big)} {\ big \ }}}$ $\exp \!{\big \{}i\operatorname {Re} ({\overline {w}}'\mu)-{\tfrac {1}{4}}{\big (}{\overline {w}}'\Gamma w+\operatorname {Re} ({\overline {w}}'C{\overline {w}}){\big)}{\big \}}$

В теории вероятностей семейство сложных нормальных распределений символов ризует комплексные случайные величины, действительная и мнимая части которых вместе нормальны. Семейство сложных нормалей имеет три параметра: параметр местоположения μ, ковариационную матрицу $Γ {\ displaystyle \ Gamma}$ $\ Gamma$ и матрицу отношений $C {\ displaystyle C}$ $C$ . стандартный комплексный нормальный - это одномерное распределение с $μ = 0 {\ displaystyle \ mu = 0}$ $\ mu = 0$ , $Γ = 1 {\ displaystyle \ Gamma = 1}$ ${\ displaystyle \ Gamma = 1}$ , и $C = 0 {\ displaystyle C = 0}$ $C = 0$ .

Важный подкласс семейства сложных нормалей называется циркулярно-симметричной (центральной) комплексной нормалью и соответствует случаю нулевой матрицы отношений. и нулевое среднее: $μ = 0 {\ displaystyle \ mu = 0}$ $\ mu = 0$ и $C = 0 {\ displaystyle C = 0}$ ${\ displaystyle C = 0}$ . Этот случай широко используется в обработке сигналов, где в литературе иногда называют просто комплексным нормальным .

Содержание

1 Определения
- 1.1 Комплексная стандартная нормальная случайная величина
- 1.2 Комплексная нормальная случайная величина
- 1.3 Комплексный стандартный нормальный случайный вектор
- 1.4 Комплексный нормальный случайный вектор
2 Обозначения
3 Среднее значение и ковариация
4 Взаимосвязи между ковариационными матрицами
5 Функция плотности
6 Характеристическая функция
7 Свойства
8 Циркулярно-симметричный центральный случай
- 8.1 Определение
- 8.2 Распределение действительная и мнимая части
- 8.3 Функция плотности вероятности
- 8.4 Свойства
9 См. также
10 Ссылки
11 Дополнительная литература

Определения

Комплексная стандартная нормальная случайная величина

Стандартная комплексная нормальная случайная величина или стандартная комплексная гауссовская случайная величина - это комплексная случайная величина $Z {\ displaystyle Z}$ $Z$ , действительная а мнимые части являются независимыми нормально распределенными случайными величинами с нулевым средним и дисперсией $1/2 {\ displaystyle 1/2}$ $1/2$ . Формально

Z ∼ CN (0, 1) ⟺ ℜ (Z) ⊥ ⊥ ℑ (Z) и ℜ (Z) ∼ N (0, 1/2) и ℑ (Z) ∼ N (0, 1 / 2) {\ Displaystyle Z \ sim {\ mathcal {CN}} (0,1) \ quad \ iff \ quad \ Re (Z) \ perp \! \! \! \ Perp \ Im (Z) {\ text { и}} \ Re (Z) \ sim {\ mathcal {N}} (0,1 / 2) {\ text {and}} \ Im (Z) \ sim {\ mathcal {N}} (0,1 / 2)}

{\ displaystyle Z \ sim {\ mathcal {CN}} (0,1) \ quad \ iff \ quad \ Re (Z) \ perp \! \! \! \ perp \ Im (Z) {\ text {и}} \ Re (Z) \ sim {\ mathcal {N}} (0,1 / 2) {\ text {and}} \ Im (Z) \ sim {\ mathcal {N}} (0,1 / 2)}

(уравнение 1)

где $Z ∼ CN (0, 1) {\ displaystyle Z \ sim {\ mathcal {CN}} (0,1)}$ ${\ displaystyle Z \ sim { \ mathcal {CN}} (0,1)}$ означает, что $Z {\ displaystyle Z}$ $Z$ - стандартная комплексная нормальная случайная величина.

Сложная нормальная случайная величина

Предположим, что $X {\ displaystyle X}$ $X$ и $Y {\ displaystyle Y}$ $Y$ действительны случайные величины, такие что $(X, Y) T {\ displaystyle (X, Y) ^ {\ mathrm {T}}}$ ${\ displaystyle (X, Y) ^ {\ mathrm {T}}}$ - это двумерный нормальный случайный вектор. Тогда комплексная случайная величина $Z = X + i Y {\ displaystyle Z = X + iY}$ ${\ displaystyle Z = X + iY}$ называется комплексной нормальной случайной величиной или комплексной гауссовской случайной величиной .

Z комплексная нормальная случайная величина ⟺ (ℜ (Z), ℑ (Z)) T действительный нормальный случайный вектор {\ displaystyle Z {\ text {сложная нормальная случайная величина}} \ quad \ iff \ quad (\ Re (Z), \ Im (Z)) ^ {\ mathrm {T}} {\ text {действительный нормальный случайный вектор}}}

{\ displaystyle Z {\ text {сложная нормальная случайная величина}} \ quad \ iff \ quad (\ Re (Z), \ Im (Z)) ^ {\ mathrm {T}} {\ text {реальный нормальный случайный вектор}}}

(Eq.2)

Комплексный стандартный нормальный случайный вектор

A n -мерный комплексный случайный вектор $Z = (Z 1,…, Z n) T {\ displaystyle \ mathbf {Z} = (Z_ {1}, \ ldots, Z_ {n}) ^ {\ mathrm {T} }}$ ${\ displaystyle \ mathbf {Z} = (Z_ {1}, \ ldots, Z_ {n}) ^ {\ mathrm {T }}}$ - это комплексный стандартный нормальный случайный вектор или комплексный стандартный гауссовский случайный вектор, если его компоненты независимы и все они являются стандартными комплексными нормальными случайными величинами, как определено над. $Z {\ displaystyle \ mathbf {Z}}$ $\ mathbf {Z}$ является стандартным комплексным нормальным случайным вектором и обозначается $Z ∼ CN (0, I n) {\ displaystyle \ mathbf {Z} \ sim {\ mathcal {CN}} (0, {\ boldsymbol {I}} _ {n})}$ ${\ displaystyle \ mathbf {Z} \ sim {\ mathcal {CN}} (0, {\ boldsymbol {I}} _ {n})}$ .

Z ∼ CN (0, I n) ⟺ (Z 1,…, Z n) независимо и для 1 ≤ я ≤ N: Z я ∼ CN (0, 1) {\ displaystyle \ mathbf {Z} \ sim {\ mathcal {CN}} (0, {\ boldsymbol {I}} _ {n}) \ quad \ iff (Z_ {1}, \ ldots, Z_ {n}) {\ text {independent}} {\ text {и для}} 1 \ leq i \ leq n: Z_ {i} \ sim {\ mathcal {CN}} (0,1)}

{\ displaystyle \ mathbf {Z} \ sim {\ mathcal {CN}} (0, {\ boldsymbol {I}} _ {n}) \ quad \ iff (Z_ {1}, \ ldots, Z_ {n}) {\ text {independent}} {\ text {и для}} 1 \ leq i \ leq n: Z_ {i} \ sim {\ mathcal {CN}} (0,1) }

(уравнение 3)

Комплексный нормальный случайный вектор

Если $X = (X 1,…, X n) T {\ displaystyle \ mathbf {X } = (X_ {1}, \ ldots, X_ {n}) ^ {\ mathrm {T}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {X} = (X_ {1}, \ ldots, X_ {n}) ^ {\ mathrm {T}}}$ и $Y = (Y 1,…, Y n) T {\ displaystyle \ mathbf {Y} = (Y_ {1}, \ ldots, Y_ {n}) ^ {\ mathrm {T}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {Y} = (Y_ {1}, \ ldots, Y_ {n}) ^ {\ mathrm {T}}}$ - случайные векторы в $R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb {R} ^ {n}$ так, что $[X, Y] {\ displaystyle [\ mathbf {X}, \ mathbf {Y}]}$ ${\ displaystyle [\ mathbf {X}, \ mathbf {Y}]}$ - это нормальный случайный вектор с $2 n {\ displaystyle 2n}$ $2n$ компоненты. Затем мы говорим, что комплексный случайный вектор

Z = X + i Y {\ displaystyle \ mathbf {Z} = \ mathbf {X} + i \ mathbf {Y} \,}

{\ displaystyle \ mathbf {Z} = \ mathbf {X} + i \ mathbf {Y} \,}

имеет равенство комплексный нормальный случайный вектор или комплексный гауссовский случайный вектор .

Z комплексный нормальный случайный вектор ⟺ (ℜ (Z 1),…, ℜ (Z n), ℑ (Z 1), …, ℑ (Z n)) T реальный нормальный случайный вектор {\ displaystyle \ mathbf {Z} {\ text {сложный нормальный случайный вектор}} \ quad \ iff \ quad (\ Re (Z_ {1}), \ ldots, \ Re (Z_ {n}), \ Im (Z_ {1}), \ ldots, \ Im (Z_ {n})) ^ {\ mathrm {T}} {\ text {реальный нормальный случайный вектор}}}

{\ displaystyle \ mathbf {Z} {\ text {сложный нормальный случайный вектор}} \ quad \ iff \ quad (\ Re (Z_ {1}), \ ldots, \ Re (Z_ {n}), \ Im (Z_ {1}), \ ldots, \ Im (Z_ {n})) ^ {\ mathrm {T}} {\ text {реальный нормальный случайный вектор}}}

(Уравнение 4)

Обозначение

Символ $NC {\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {\ mathcal {C}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {N}} _ {\ mathcal {C}}}$ также используется для сложного нормального распределения.

Среднее значение и ковариация

Сложное распределение Гаусса можно описать с помощью 3 параметров:

μ = E ⁡ [Z], Γ = E ⁡ [(Z - μ) (Z - μ) ЧАС], С знак равно Е ⁡ [(Z - μ) (Z - μ) T], {\ displaystyle \ mu = \ operatorname {E} [\ mathbf {Z}], \ quad \ Gamma = \ operatorname { E} [(\ mathbf {Z} - \ mu) ({\ mathbf {Z}} - \ mu) ^ {\ mathrm {H}}], \ quad C = \ operatorname {E} [(\ mathbf {Z } - \ mu) (\ mathbf {Z} - \ mu) ^ {\ mathrm {T}}],}

{\ displaystyle \ mu = \ operatorname {E} [\ mathbf {Z}], \ q uad \ Gamma = \ operatorname {E} [(\ mathbf {Z} - \ mu) ({\ mathbf {Z}} - \ mu) ^ {\ mathrm {H}}], \ quad C = \ operatorname {E } [(\ mathbf {Z} - \ mu) (\ mathbf {Z} - \ mu) ^ {\ mathrm {T}}],}

где $ZT {\ displaystyle \ mathbf {Z} ^ {\ mathrm {T}} }$ ${\ displaystyle \ mathbf {Z} ^ {\ mathrm {T}}}$ обозначает транспонирование матрицы из $Z {\ displaystyle \ mathbf {Z}}$ $\ mathbf {Z}$ и $ZH {\ displaystyle \ mathbf {Z} ^ {\ mathrm {H}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {Z} ^ {\ mathrm {H}}}$ обозначает сопряженное транспонирование.

Здесь параметр местоположения $μ {\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ - n-мерный комплексный вектор; ковариационная матрица $Γ {\ displaystyle \ Gamma}$ $\ Gamma$ является эрмитовой и неотрицательно определенной ; и матрица отношения или матрица псевдоковариации $C {\ displaystyle C}$ $C$ является симметричной. Комплексный нормальный случайный вектор $Z {\ displaystyle \ mathbf {Z}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {Z}}$ теперь может быть обозначен как

Z ∼ C N (μ, Γ, C). {\ Displaystyle \ mathbf {Z} \ \ sim \ {\ mathcal {CN}} (\ mu, \ \ Gamma, \ C).}

{\ displaystyle \ mathbf {Z} \ \ sim \ {\ mathcal {CN}} (\ mu, \ \ Gamma, \ C).}

Кроме того, матрицы

Γ {\ displaystyle \ Gamma}

\ Gamma

C {\ displaystyle C}

C

таковы, что матрица

P = Γ ¯ - CH Γ - 1 C {\ displaystyle P = {\ overline {\ Gamma} } - {C} ^ {\ mathrm {H}} \ Gamma ^ {- 1} C}

{\ displaystyle P = {\ overline {\ Gamma}} - {C} ^ {\ mathrm {H}} \ Gamma ^ {- 1} C}

также неотрицательно определено, где $Γ ¯ {\ displaystyle {\ overline {\ Gamma}}}$ ${\ displaystyle {\ overline {\ Gamma}}}$ обозначает комплексное сопряжение $Γ {\ displaystyle \ Gamma}$ $\ Gamma$ .

Отношения между ковариационными матрицами

Как и для любого комплексного случайного вектора, матрицы $Γ {\ displaystyle \ Гамма}$ $\ Gamma$ и $C {\ displaystyle C}$ $C$ могут быть связаны с ковариационными матрицами $X = ℜ (Z) {\ displaystyle \ mathbf {X} = \ Re (\ mathbf {Z})}$ ${\ displaystyle \ mathbf {X} = \ Re (\ mathbf {Z})}$ и $Y = ℑ (Z) {\ displaystyle \ mathbf {Y} = \ Im (\ mathbf {Z})}$ ${\ displaystyle \ mathbf {Y} = \ Im (\ mathbf {Z})}$ с помощью выражений

VXX ≡ E ⁡ [(X - μ X) (X - μ X) T] = 1 2 Re ⁡ [Γ + C], VXY ≡ E ⁡ [(X - μ X) (Y - μ Y) T] = 1 2 Im ⁡ [- Γ + C], VY X ≡ E ⁡ [(Y - μ Y) (X - μ X) T] = 1 2 Im ⁡ [Γ + C], VYY ≡ E ⁡ [(Y - μ Y) (Y - μ Y) T] = 1 2 Re ⁡ [Γ - C], {\ displaystyle {\ begin {align} V_ {XX} \ Equiv \ operatorname {E} [(\ mathbf {X} - \ mu _ {X}) (\ mathbf {X } - \ mu _ {X}) ^ {\ mathrm {T}}] = {\ tfrac {1} {2}} \ operatorname {Re} [\ Gamma + C], \ quad V_ {XY} \ Equiv \ имя оператора {E} [(\ mathbf {X} - \ mu _ {X}) (\ mathbf {Y} - \ mu _ {Y}) ^ {\ mathrm {T}}] = {\ tfrac {1} { 2}} \ operatorname {Im} [- \ Gamma + C], \\ V_ {YX} \ Equiv \ operatorname {E} [(\ mathbf {Y} - \ mu _ {Y}) (\ mathbf {X} - \ mu _ {X}) ^ {\ mathrm {T}}] = {\ tfrac {1} {2}} \ operatorname {Im} [\ Gamma + C], \ quad \, V_ {YY} \ Equiv \ operatorname {E} [(\ mathbf {Y} - \ mu _ {Y}) (\ mathbf {Y} - \ mu _ {Y}) ^ {\ mathrm {T}}] = {\ tfrac {1} {2}} \ operatorname {Re} [\ Gamma -C], \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} V_ {XX} \ Equiv \ operatorname {E} [(\ mathbf {X} - \ mu _ {X}) (\ mathbf {X} - \ mu _ {X}) ^ {\ mathrm {T}}] = {\ tfrac {1} {2}} \ operatorname {Re} [\ Gamma + C], \ quad V_ {XY} \ Equiv \ operatorname {E} [(\ mathbf {X } - \ mu _ {X}) (\ mathbf {Y} - \ mu _ {Y}) ^ {\ mathrm {T}}] = {\ tfrac {1} {2}} \ operatorname {Im} [- \ Gamma + C], \\ V_ {YX} \ Equiv \ operatorname {E} [(\ mathbf {Y} - \ mu _ {Y}) (\ mathbf {X} - \ mu _ {X}) ^ { \ mathrm {T}}] = {\ tfrac {1} {2}} \ operatorname {Im} [\ Gamma + C], \ quad \, V_ {YY} \ Equiv \ operatorname {E} [(\ mathbf { Y} - \ mu _ {Y}) (\ mathbf {Y} - \ mu _ {Y}) ^ {\ mathrm {T}}] = {\ tfrac {1} {2}} \ operatorname {Re} [ \ Gamma -C], \ end {align}}}

и наоборот

Γ = VXX + VYY + i (VYX - VXY), C = VXX - VYY + я (VYX + VXY). {\ displaystyle {\ begin {align} \ Gamma = V_ {XX} + V_ {YY} + i (V_ {YX} -V_ {XY}), \\ C = V_ {XX} -V_ {YY} + i (V_ {YX} + V_ {XY}). \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} \ Gamma = V_ {XX} + V_ {YY} + i (V_ {YX} -V_ {XY}), \\ C = V_ {XX} -V_ {YY} + i (V_ {YX} + V_ {XY}). \ End {align}}}

Функция плотности

Функция плотности вероятности для сложного нормального распределения может быть вычислена как

f (z) = 1 π n det (Γ) det (P) exp {- 1 2 ((z ¯ - μ ¯) ⊺ (z - μ) ⊺) (Γ CC ¯ Γ ¯) - 1 (z - μ z ¯ - μ ¯)} = det (P - 1 ¯ - R ∗ P - 1 R) det (P - 1) π ne - (z - μ) ∗ P - 1 ¯ (z - μ) + Re ⁡ ((z - μ) ⊺ р ⊺ п - 1 ¯ (z - μ)), {\ displaystyle {\ begin {align} f (z) = {\ frac {1} {\ pi ^ {n} {\ sqrt {\ det ( \ Gamma) \ det (P)}}}} \, \ exp \! \ Left \ {- {\ frac {1} {2}} {\ begin {pmatrix} ({\ overline {z}} - {\ overline {\ mu}}) ^ {\ intercal} (z- \ mu) ^ {\ intercal} \ end {pmatrix}} {\ begin {pmatrix} \ Gamma C \\ {\ overline {C}} { \ overline {\ Gamma}} \ end {pmatrix}} ^ {\! \! - 1} \! {\ begin {pmatrix} z- \ mu \\ {\ overline {z}} - {\ overline {\ mu }} \ end {pmatrix}} \ right \} \\ [8pt] = {\ tfrac {\ sqrt {\ det \ left ({\ overline {P ^ {- 1}}} - R ^ {\ ast} P ^ {- 1} R \ right) \ det (P ^ {- 1})}} {\ pi ^ {n}}} \, e ^ {- (z- \ mu) ^ {\ ast} {\ overline {P ^ {- 1}}} (z- \ mu) + \ operatorname {Re} \ left ((z- \ mu) ^ {\ intercal} R ^ {\ интеркальный} {\ overline {P ^ {- 1}}} (z- \ mu) \ right)}, \ end {align}}}

{\ displaystyle {\ begin {align} f (z) = {\ frac {1} {\ pi ^ {n} {\ sqrt {\ det (\ Gamma) \ det (P)}}}} \, \ exp \! \ left \ {- {\ frac {1 } {2}} {\ begin {pmatrix} ({\ overline {z}} - {\ overline {\ mu}}) ^ {\ intercal} (z- \ mu) ^ {\ intercal} \ end {pmatrix }} {\ begin {pmatrix} \ Gamma C \\ {\ overline {C}} {\ overline {\ Gamma}} \ end {pmatrix}} ^ {\! \! - 1} \! {\ begin { pmatrix} z- \ mu \\ {\ overline {z}} - {\ overline {\ mu}} \ end {pmatrix}} \ right \} \\ [8pt] = {\ tfrac {\ sqrt {\ det \ left ({\ overline {P ^ {- 1}}} - R ^ {\ ast} P ^ {- 1} R \ right) \ det (P ^ {- 1})}} {\ pi ^ {n }}} \, e ^ {- (z- \ mu) ^ {\ ast} {\ overline {P ^ {- 1}}} (z- \ mu) + \ operatorname {Re} \ left ((z- \ mu) ^ {\ intercal} R ^ {\ intercal} {\ overline {P ^ {- 1}}} (z- \ mu) \ right)}, \ end {align}}}

где $R = CH Γ - 1 {\ displaystyle R = C ^ {\ mathrm {H}} \ Gamma ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle R = C ^ {\ mathrm {H}} \ Gamma ^ {- 1}}$ и $P = Γ ¯ - RC {\ displaystyle P = {\ overline {\ Gamma}} - RC}$ ${\ displaystyle P = {\ overline {\ Gamma}} - RC}$ .

Характеристическая функция

Характеристическая функция комплексного нормального распределения определяется как

φ (w) = exp {i Re ⁡ (w ¯ ′ μ) - 1 4 (w ¯ ′ Γ вес + Re ⁡ (w ¯ ′ C w ¯))}, {\ displaystyle \ varphi (w) = \ exp \! {\ Big \ {} i \ operatorname {Re} ({\ overline {w} } '\ mu) - {\ tfrac {1} {4}} {\ big (} {\ overline {w}}' \ Gamma w + \ operatorname {Re} ({\ overline {w}} 'C {\ overline {w}}) {\ big)} {\ big \}},}

\varphi (w)=\exp \!{\big \{}i\operatorname {Re}(\overline {w}'\mu)-{\tfrac {1}{4}}{\big (}\overline {w}'\Gamma w+\operatorname {Re}(\overline {w}'C\overline {w}){\big)}{\big \}},

где аргумент $w {\ displaystyle w}$ $w$ представляет собой n-мерный комплексный вектор.

Свойства

Если $Z {\ displaystyle \ mathbf {Z}}$ $\ mathbf {Z}$ является комплексным нормальным n-вектором, $A {\ displaystyle {\ boldsymbol {A }}}$ ${\ boldsymbol {A}}$ матрица m × n и $b {\ displaystyle b}$ $b$ постоянный m-вектор, затем линейное преобразование $AZ + b {\ displaystyle {\ boldsymbol {A}} \ mathbf {Z} + b}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {A}} \ mathbf {Z} + b}$ будет распределено также комплексно-нормально:

Z ∼ CN (μ, Γ, C) ⇒ AZ + b ∼ CN (A μ + б, A Γ AH, ACAT) {\ Displaystyle Z \ \ sim \ {\ mathcal {CN}} (\ mu, \, \ Gamma, \, C) \ quad \ Rightarrow \ quad AZ + b \ \ sim \ {\ mathcal {CN}} (A \ mu + b, \, A \ Gamma A ^ {\ mathrm {H}}, \, ACA ^ {\ mathrm {T}})}

{\ displaystyle Z \ \ sim \ {\ mathcal {CN}} (\ mu, \, \ Gamma, \, C) \ quad \ Rightarrow \ quad AZ + b \ \ sim \ {\ mathcal {CN}} (A \ mu + b, \, A \ Gamma A ^ {\ mathrm {H}}, \, ACA ^ {\ mathrm {T}})}

Если $Z {\ displaystyle \ mathbf {Z}}$ $\ mathbf {Z}$ - комплексный нормальный n-вектор, тогда

2 [(Z - μ) HP - 1 ¯ (Z - μ) - Re ⁡ ((Z - μ) TRTP - 1 ¯ (Z - μ))] ∼ χ 2 (2 n) {\ displaystyle 2 {\ Big [} (\ mathbf {Z} - \ mu) ^ {\ mathrm {H}} {\ overline {P ^ {- 1}}} (\ mathbf {Z} - \ mu) - \ operatorname {Re} {\ big (} (\ mathbf {Z} - \ mu) ^ {\ mathrm {T}} R ^ {\ mathrm {T}} {\ overline {P ^ {- 1}}} ( \ mathbf {Z} - \ mu) {\ big)} {\ Big]} \ \ sim \ \ chi ^ {2} (2n)}

{\ displaystyle 2 {\ Big [} (\ mathbf {Z} - \ mu) ^ {\ mathrm {H}} {\ overline {P ^ {- 1}}} (\ mathbf {Z} - \ mu) - \ operatorname {Re} {\ big (} (\ mathbf {Z} - \ mu) ^ {\ mathrm {T}} R ^ {\ mathrm {T}} {\ overline { P ^ {- 1}}} (\ mathbf {Z} - \ mu) {\ big)} {\ Big]} \ \ sim \ \ chi ^ {2} (2n)}

Центральная предельная теорема . Если $Z 1,…, ZT {\ displaystyle Z_ {1}, \ ldots, Z_ {T}}$ ${\ displaystyle Z_ {1}, \ ldots, Z_ {T}}$ являются независимыми и одинаково распределенными комплексными случайными величинами, то

T (1 T ∑ t знак равно 1 TZ t - E ⁡ [Z t]) → d CN (0, Γ, C), {\ displaystyle {\ sqrt {T}} {\ Big (} {\ tfrac {1} {T}} \ стиль текста \ сумма _ {т = 1} ^ {T} Z_ {t} - \ operatorname {E} [Z_ {t}] {\ Big)} \ {\ xrightarrow {d}} \ {\ mathcal {CN}} (0, \, \ Gamma, \, C),}

{\ displaystyle {\ sqrt {T}} {\ Big (} {\ tfrac {1} {T}} \ textstyle \ sum _ {t = 1} ^ {T} Z_ {t} - \ operatorname {E} [Z_ {t}] {\ Big)} \ {\ xrightarrow {d}} \ {\ mathcal {CN}} (0, \, \ Gamma, \, C),}

где

Γ = E ⁡ [ZZH] {\ displaystyle \ Gamma = \ operatorname {E} [ZZ ^ {\ mathrm {H}}] }

{\ displaystyle \ Gamma = \ operatorname {E} [ZZ ^ {\ mathrm {H}}]}

C = E ⁡ [ZZT] {\ displaystyle C = \ operatorname {E} [ZZ ^ {\ mathrm {T}}]}

{\ displaystyle C = \ operatorname {E} [ZZ ^ {\ mathrm {T}}]}

Модуль комплексного нормального случайного переменная следует распределению Хойта.

Кругло-симметричный центральный случай

Определение

Сложный случайный вектор $Z {\ displaystyle \ mathbf {Z}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {Z}}$ называется кругосимметричным, если для каждого детерминированного $φ ∈ [- π, π) {\ displaystyle \ varphi \ in [- \ pi, \ pi)}$ ${\ displaystyle \ varphi \ in [ - \ pi, \ pi)}$ распределение $ei φ Z {\ Displaystyle е ^ {\ mathrm {я} \ varphi} \ mathb f {Z}}$ ${\ displaystyle e ^ {\ mathrm {i} \ varphi} \ mathbf {Z}}$ равно распределению $Z {\ displaystyle \ mathbf {Z}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {Z}}$ .

Центральные нормальные комплексные случайные векторы, которые являются циркулярно-симметричными, представляют особый интерес, поскольку они полностью определены ковариационная матрица $Γ {\ displaystyle \ Gamma}$ $\ Gamma$ .

Кругово-симметричное (центральное) комплексное нормальное распределение соответствует случаю нулевого среднего и нулевой матрицы отношений, то есть $μ = 0 {\ displaystyle \ mu = 0}$ $\ mu = 0$ и $C = 0 {\ displaystyle C = 0}$ $C = 0$ . Обычно это обозначается

Z ∼ CN (0, Γ) {\ displaystyle \ mathbf {Z} \ sim {\ mathcal {CN}} (0, \, \ Gamma)}

{\ отображает tyle \ mathbf {Z} \ sim {\ mathcal {CN}} (0, \, \ Gamma)}

Распределение действительной и мнимой частей

Если $Z = X + i Y {\ displaystyle \ mathbf {Z} = \ mathbf {X} + i \ mathbf {Y}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {Z} = \ mathbf {X } + я \ mathbf {Y}}$ симметрично по кругу (центральный) комплексная нормаль, то вектор $[X, Y] {\ displaystyle [\ mathbf {X}, \ mathbf {Y}]}$ ${\ displaystyle [\ mathbf {X}, \ mathbf {Y}]}$ является многомерным нормальным с ковариационной структурой

(XY) ∼ N ([Re μ Im μ], 1 2 [Re Γ - Im Γ Im Γ Re Γ]) {\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ mathbf {X} \\\ mathbf {Y} \ end {pmatrix} } \ \ sim \ {\ mathcal {N}} {\ Big (} {\ begin {bmatrix} \ operatorname {Re} \, \ mu \\\ operatorname {Im} \, \ mu \ end {bmatrix}}, \ {\ tfrac {1} {2}} {\ begin {bmatrix} \ operatorname {Re} \, \ Gamma - \ operatorname {Im} \, \ Gamma \\\ operatorname {Im} \, \ Gamma \ OperatorName {Re} \, \ Gamma \ end {bmatrix}} {\ Big)}}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} \ mathbf {X} \\\ mathbf {Y} \ end {pmatrix}} \ \ sim \ {\ mathcal {N}} {\ Big (} {\ begin {bmatrix} \ operatorname {Re} \, \ mu \\\ operatorname {Im} \, \ mu \ end {bmatrix}}, \ {\ tfrac {1} {2}} {\ begin { bmatrix} \ operatorname {Re} \, \ Gamma - \ operatorname {Im} \, \ Gamma \\\ operatorname {Im} \, \ Gamma \ operatorname {Re} \, \ Gamma \ end {bmatrix}} { \ Big)}}

где $μ = E ⁡ [Z] = 0 {\ displaystyle \ mu = \ operatorname {E} [\ mathbf {Z}] = 0}$ ${\ displaystyle \ mu = \ operatorname {E} [\ mathbf {Z}] = 0}$ и $Γ = E ⁡ [ZZH] {\ displaysty le \ Gamma = \ operatorname {E} [\ mathbf {Z} \ mathbf {Z} ^ {\ mathrm {H}}]}$ ${\ displaystyle \ Gamma = \ operatorname {E} [\ mathbf {Z} \ mathbf {Z} ^ {\ mathrm {H}}]}$ .

Функция плотности вероятности

Для невырожденной ковариационной матрицы $Γ {\ displaystyle \ Gamma}$ $\ Gamma$ , его распределение также можно упростить как

f Z (z) = 1 π n det (Γ) e - z H Γ - 1 z {\ displaystyle f _ {\ mathbf {Z}} (\ mathbf {z}) = {\ tfrac {1} {\ pi ^ {n} \ det (\ Gamma)}} \, e ^ {- \ mathbf {z} ^ {\ mathrm { H}} \ Gamma ^ {- 1} \ mathbf {z}}}

{\ displaystyle f _ {\ mathbf {Z}} (\ mathbf {z}) = {\ tfrac {1} {\ pi ^ {n} \ det (\ Gamma)}} \, e ^ {- \ mathbf {z} ^ { \ mathrm {H}} \ Gamma ^ {- 1} \ mathbf {z}}}

Следовательно, если ненулевое среднее $μ {\ displaystyle \ mu}$ $\ mu$ и ковариационная матрица $Γ {\ displaystyle \ Gamma}$ $\ Gamma$ неизвестны, подходящая логарифмическая функция правдоподобия для одного вектора наблюдения $z {\ displaystyle z}$ $z$ будет

ln ⁡ (L (μ, Γ)) = - ln ⁡ (det (Γ)) - (z - μ) ¯ ′ Γ - 1 (z - μ) - n ln ⁡ (π). {\ displaystyle \ ln (L (\ mu, \ Gamma)) = - \ ln (\ det (\ Gamma)) - {\ overline {(z- \ mu)}} '\ Gamma ^ {- 1} (z - \ mu) -n \ ln (\ pi).}

\ln(L(\mu,\Gamma))=-\ln(\det(\Gamma))-{\overline {(z-\mu)}}'\Gamma ^{-1}(z-\mu)-n\ln(\pi).

Стандартная комплексная нормальная норма (определенная в Eq.1) соответствует распределению скалярной случайной величины с $μ = 0 {\ displaystyle \ mu = 0}$ $\ mu = 0$ , $C = 0 {\ displaystyle C = 0}$ $C = 0$ и $Γ = 1 {\ displaystyle \ Гамма = 1}$ ${\ displaystyle \ Gamma = 1}$ . Таким образом, стандартное комплексное нормальное распределение имеет плотность

f Z (z) = 1 π e - z ¯ z = 1 π e - | z | 2. {\ displaystyle f_ {Z} (z) = {\ tfrac {1} {\ pi}} e ^ {- {\ overline {z}} z} = {\ tfrac {1} {\ pi}} e ^ { - | z | ^ {2}}.}

{\ displaystyle f_ {Z} (z) = {\ tfrac {1} {\ pi}} e ^ {- {\ overline {z} } z} = {\ tfrac {1} {\ pi}} e ^ {- | z | ^ {2}}.}

Свойства

Вышеприведенное выражение показывает, почему случай $C = 0 {\ displaystyle C = 0}$ $C = 0$ , $μ = 0 {\ displaystyle \ mu = 0}$ $\ mu = 0$ называется «кругово-симметричным». Функция плотности зависит только от величины $z {\ displaystyle z}$ $z$ , но не от его аргумента . Таким образом, величина $| z | {\ displaystyle | z |}$ $| z |$ стандартной комплексной нормальной случайной величины будет иметь распределение Рэлея и квадрат величины $| z | 2 {\ displaystyle | z | ^ {2}}$ ${\ displaystyle | z | ^ {2}}$ будет иметь экспоненциальное распределение, тогда как аргумент будет распределен равномерно на $[- π, π] {\ displaystyle [- \ pi, \ pi]}$ $[- \ pi, \ pi]$ .

Если ${Z 1,…, Z k} {\ displaystyle \ left \ {\ mathbf {Z} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {Z} _ {k} \ right \}}$ ${\ displaystyle \ left \ {\ mathbf {Z} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {Z} _ {k} \ right \}}$ - независимые и одинаково распределенные n-мерные круговые комплексные нормальные случайные векторы с $μ = 0 {\ displaystyle \ mu = 0}$ $\ mu = 0$ , тогда случайный квадрат нормы

Q = ∑ j = 1 k Z j HZ j = ∑ j = 1 k ‖ Z j ‖ 2 {\ displaystyle Q = \ sum _ {j = 1} ^ {k} \ mathbf {Z} _ {j} ^ {\ mathrm {H}} \ mathbf {Z} _ {j} = \ sum _ {j = 1} ^ {k} \ | \ mathbf {Z} _ {j} \ | ^ {2}}

{\ displaystyle Q = \ sum _ {j = 1} ^ {k} \ mathbf {Z} _ {j} ^ {\ mathrm {H}} \ mathbf {Z} _ {j} = \ s гм _ {j = 1} ^ {k} \ | \ mathbf {Z} _ {j} \ | ^ {2}}

имеет обобщенное распределение хи-квадрат и случайную матрицу

W = ∑ j = 1 k Z j Z j H {\ displaystyle W = \ sum _ {j = 1} ^ {k} \ mathbf {Z} _ {j} \ mathbf {Z} _ {j} ^ {\ mathrm {H}}}

{\ displaystyle W = \ sum _ {j = 1} ^ {k} \ mathbf {Z} _ {j} \ mathbf {Z} _ {j} ^ {\ mathrm {H}}}

имеет комплексное распределение Уишарта с $k {\ displaystyle k}$ $k$ степенями свободы. Это распределение можно описать функцией плотности

f (w) = det (Γ - 1) k det (w) k - n π n (n - 1) / 2 ∏ j = 1 k (k - j)! е - тр ⁡ (Γ - 1 вес) {\ Displaystyle F (ш) = {\ гидроразрыва {\ det (\ Gamma ^ {- 1}) ^ {k} \ det (ш) ^ {kn}} {\ pi ^ {n (n-1) / 2} \ prod _ {j = 1} ^ {k} (kj)!}} \ e ^ {- \ operatorname {tr} (\ Gamma ^ {- 1} w)} }

{\ displaystyle f (w) = {\ frac {\ det (\ Gamma ^ {- 1}) ^ {k} \ det (w) ^ {kn}} { \ pi ^ {n (n-1) / 2} \ prod _ {j = 1} ^ {k} (kj)!}} \ e ^ {- \ operatorname {tr} (\ Gamma ^ {- 1} w)}}

где $k ≥ n {\ displaystyle k \ geq n}$ ${\ displaystyle k \ geq n}$ , а $w {\ displaystyle w}$ $w$ - $n × n {\ displaystyle n \ times n}$ $n \ times n$ неотрицательно-определенная матрица.

См. Также

Комплексное нормальное распределение
Направленная статистика # Распределение среднего
Нормальное распределение
Многомерное нормальное распределение (сложное нормальное распределение - это двумерное нормальное распределение)
Обобщенное распределение хи-квадрат
распределение Уишарта
Сложная случайная величина

Ссылки

Дополнительная литература

Wollschlaeger, Daniel. "ShotGroups". Хойт. RDocumentation, н.д. Интернет. https://www.rdocumentation.org/packages/shotGroups/versions/0.7.1/topics/Hoyt.
Галлагер, Роберт Дж. (2008). «Циркулярно-симметричные гауссовские случайные векторы». (н.о.): н. стр. Предварительная печать. Интернет. 9http://www.rle.mit.edu/rgallager/documents/CircSymGauss.pdf.