Единичный вектор

Вектор длины один

В математике единичный вектор в нормированном векторном пространстве - это вектор (часто пространственный вектор ) с длиной 1. Единичный вектор часто обозначается строчной буквой с циркумфлексом или «шляпой», как в $v\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; mathbf\; \{v\}\}\}\}$(произносится как «v-hat»).

Термин «вектор направления» используется для описания единичного вектора, используемого для представления пространственного направления, и такие величины обычно обозначаются как d ; Представленные таким образом двумерные пространственные направления численно эквивалентны точкам на единичной окружности . Та же конструкция используется для указания пространственных направлений в 3D, которые эквивалентны точке на единичной сфере.

Примеры двух 2D векторов направления Примеры двух векторов направления 3D

нормализованный вектор û ненулевого вектора u является единичным вектором в направлении u, т. е.

$u\; ^\; =\; u\; |\; u\; |\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{u\}\}\; =\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; mathbf\; \{u\}\}\; \{|\; \backslash \; mathbf\; \{u\}\; |\}\}\}$

где | u | норма (или длина) u . Термин нормализованный вектор иногда используется как синоним единичного вектора.

Единичные векторы часто выбираются для формирования базиса векторного пространства, и каждый вектор в пространстве может быть записан как линейная комбинация единичных векторов.

По определению, скалярное произведение двух единичных векторов в евклидовом пространстве является скалярным значением, равным косинусу меньшего вложенного угол. В трехмерном евклидовом пространстве перекрестное произведение двух произвольных единичных векторов является третьим вектором, ортогональным им обоим, длина которого равна синусу меньшего подведенного угла. Нормализованное перекрестное произведение корректирует эту изменяющуюся длину и дает взаимно ортогональный единичный вектор для двух входов, применяя правило правой руки для разрешения одного из двух возможных направлений.

• 1 Ортогональные координаты
  • 1.1 Декартовы координаты
  • 1.2 Цилиндрические координаты
  • 1.3 Сферические координаты
  • 1.4 Общие единичные векторы
• 2 Криволинейные координаты
• 3 Правый ответчик
• 4 См. Также
• 5 Примечания
• 6 Ссылки

Декартовы координаты

Единичные векторы могут использоваться для представления осей декартовой системы координат. Например, стандартные единичные векторы в направлении осей x, y и z трехмерной декартовой системы координат равны

$i\; ^\; =\; [1\; 0\; 0],\; j\; ^\; =\; [0\; 1\; 0],\; k\; ^\; Знак\; равно\; [0\; 0\; 1]\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{i\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 1\; \backslash \backslash \; 0\; \backslash \backslash \; 0\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\},\; \backslash ,\; \backslash ,\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{j\; \}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 0\; \backslash \backslash \; 1\; \backslash \backslash \; 0\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\},\; \backslash ,\; \backslash ,\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{k\}\}\; =\; \{\backslash \; begin\; \{bmatrix\}\; 0\; \backslash \backslash \; 0\; \backslash \backslash \; 1\; \backslash \; end\; \{bmatrix\}\}\}$

Они образуют набор взаимно ортогональных единичных векторов, обычно называемых стандартным базисом в линейной алгебре.

. часто обозначается с использованием общепринятой векторной записи (например, i или $ı\; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{\backslash \; imath\}\}\}$), а не стандартной записи единичного вектора (например, $ı\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; imath\}\}\}$). В большинстве случаев можно предположить, что i, jи k, (или $ı\; \to ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{\backslash \; imath\}\},\}$$ȷ\; \to ,\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{\backslash \; jmath\}\},\}$и $k\; \to \; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; vec\; \{k\}\}\}$) являются вариантами трехмерной декартовой координаты система. Обозначения $(x\; ^,\; y\; ^,\; z\; ^)\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{x\}\},\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{y\}\},\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{z\}\})\}$, $(x\; ^\; 1,\; x\; ^\; 2,\; x\; ^\; 3)\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{x\}\}\; \_\; \{1\},\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{x\}\}\; \_\; \{2\},\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{x\}\}\; \_\; \{3\})\}$, $(e\; ^\; x,\; e\; ^\; y,\; e\; ^\; z)\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{e\}\}\; \_\; \{x\},\; \backslash \; mathbf\; \{\; \backslash \; hat\; \{e\}\}\; \_\; \{y\},\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{e\}\}\; \_\; \{z\})\}$или $(e\; ^\; 1,\; e\; ^\; 2,\; e\; ^\; 3)\; \{\backslash \; displaystyle\; (\backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{e\}\}\; \_\; \{1\},\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{e\}\}\; \_\; \{2\},\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{e\}\}\; \_\; \{3\})\}$, с или без hat, также используются, особенно в контекстах, где i, j, kможет привести к путанице с другой величиной (например, с символами index, такими как i, j, k, которые используются для идентификации элемента набора, массива или последовательности переменных).

Когда единичный вектор в пространстве выражается в декартовой записи как линейная комбинация i, j, k, его три скалярных компонента могут называться направляющими косинусами. Значение каждого компонента равно косинусу угла, образованного единичным вектором, с соответствующим базисным вектором. Это один из методов, используемых для описания ориентации (углового положения) прямой линии, сегмента прямой, ориентированной оси или сегмента ориентированной оси (вектор ).

Цилиндрические координаты

Три ортогональных единичных вектора, соответствующих цилиндрической симметрии:

• $\rho \; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; rho\}\}\}$(также обозначается $e\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{e\}\}\}$или $s\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; hat\; \{s\; \}\}\}\}$), представляющий направление, в котором измеряется расстояние от точки до оси симметрии;
• $\phi \; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; varphi\}\}\}\; \}$, представляющий направление движения, которое можно было бы наблюдать, если бы точка вращалась против часовой стрелки вокруг оси симметрии ;
• $z\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{z\}\}\}$, представляющий направление оси симметрии;

Они связаны с декартовым основанием $x\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{x\}\}\}$, $y\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\; \backslash \; hat\; \{y\}\}\}$, $z\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; hat\; \{z\}\}\}$от:

$\rho \; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; rho\}\}\}$= $соз\; \; \phi \; Икс\; ^\; +\; грех\; \; \phi \; Y\; ^\; \{\backslash \; Displaystyle\; \backslash \; соз\; \backslash \; varphi\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{x\}\}\; +\; \backslash \; sin\; \backslash \; varphi\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{y\}\}\}$

$\phi \; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; varphi\}\}\}\}$= $-\; грех\; \; \phi \; Икс\; ^\; +\; соз\; \; \phi \; Y\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; -\; \backslash \; sin\; \backslash \; varphi\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{x\}\}\; +\; \backslash \; cos\; \backslash \; varphi\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{y\}\}\}$

$z\; ^\; =\; г\; ^.\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{z\}\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{z\}\}.\}$

Важно отметить, что $\rho \; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; rho\}\; \}\}$и $\phi \; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; varphi\}\}\}\}$являются функциями от $\phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\}$и непостоянны по направлению. При дифференцировании или интегрировании в цилиндрических координатах необходимо работать с самими единичными векторами. Для более полного описания см. Матрица Якоби. Производные по $\phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\}$равны:

$\partial \; \rho \; ^\; \partial \; \phi \; =\; -\; sin\; \; \phi \; x\; ^\; +\; cos\; \; \phi \; y\; ^\; =\; \phi \; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; rho\}\}\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; varphi\}\}\; =\; -\; \backslash \; sin\; \backslash \; varphi\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{x\}\}\; +\; \backslash \; cos\; \backslash \; varphi\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{\; y\}\}\; =\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; varphi\}\}\}\}$

$\partial \; \phi \; ^\; \partial \; \phi \; =\; -\; cos\; \; \phi \; x\; ^\; -\; sin\; \; \phi \; y\; ^\; =\; -\; \rho \; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; частичный\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; varphi\}\}\}\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; varphi\}\}\; =\; -\; \backslash \; cos\; \backslash \; varphi\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{x\}\}\; -\; \backslash \; sin\; \backslash \; varphi\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{y\}\}\; =\; -\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; rho\}\}\}$

$\partial \; z\; ^\; \partial \; \phi \; =\; 0.\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{z\}\}\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; varphi\}\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{0\}.\}$

Сферические координаты

Единичные векторы, соответствующие сферическая симметрия: $r\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{r\}\}\}$, направление, в котором увеличивается радиальное расстояние от начала координат; $\phi \; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; varphi\}\}\}\}$, направление увеличения угла в плоскости x-y против часовой стрелки от положительной оси x; и $\theta \; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; theta\}\}\}\}$, направление, в котором увеличивается угол от положительной оси z. Чтобы минимизировать избыточность представлений, полярный угол $\theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\}$обычно принимается равным от нуля до 180 градусов. Особенно важно отметить контекст любого упорядоченного триплета, записанного в сферических координатах, поскольку роли $\phi \; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; varphi\}\}\}\}$и $\theta \; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; theta\}\}\}\}$часто меняются местами. Здесь используется американское «физическое» соглашение. При этом азимутальный угол $\phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\}$определяется таким же, как в цилиндрических координатах. Декартовы отношения :

$r\; ^\; =\; sin\; \; \theta \; cos\; \; \phi \; x\; ^\; +\; sin\; \; \theta \; sin\; \; \phi \; y\; ^\; +\; cos\; \; \theta \; z\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{r\; \}\}\; =\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\; \backslash \; cos\; \backslash \; varphi\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{x\}\}\; +\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\; \backslash \; sin\; \backslash \; varphi\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{y\}\}\; +\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{z\; \}\}\}$

$\theta \; ^\; =\; соз\; \; \theta \; соз\; \; \phi \; x\; ^\; +\; cos\; \; \theta \; sin\; \; \phi \; y\; ^\; -\; sin\; \; \theta \; z\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; theta\}\}\}\; =\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; \backslash \; cos\; \backslash \; varphi\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{x\}\}\; +\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; \backslash \; sin\; \backslash \; varphi\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{y\}\}\; -\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{z\}\}\}$

$\phi \; ^\; =\; -\; грех\; \; \phi \; Икс\; ^\; +\; соз\; \; \phi \; Y\; ^\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; varphi\}\}\}\; =\; -\; \backslash \; sin\; \backslash \; varphi\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{x\}\}\; +\; \backslash \; cos\; \backslash \; varphi\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{y\}\}\}$

Сферические единичные векторы зависят как от $\phi \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varphi\}$, так и от $\theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\}$, следовательно, существует 5 возможных ненулевых производных. Для более полного описания см. Матрица Якоби и определитель. Ненулевые производные:

$\partial \; r\; ^\; \partial \; \phi \; =\; -\; sin\; \; \theta \; sin\; \; \phi \; x\; ^\; +\; sin\; \; \theta \; cos\; \; \phi \; y\; ^\; =\; sin\; \; \theta \; \phi \; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{r\}\}\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; varphi\}\}\; =\; -\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\; \backslash \; sin\; \backslash \; varphi\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{x\}\}\; +\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\; \backslash \; cos\; \backslash \; varphi\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{\; y\}\}\; =\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; varphi\}\}\}\}$

$\partial \; r\; ^\; \partial \; \theta \; =\; cos\; \; \theta \; cos\; \; \phi \; x\; ^\; +\; cos\; \; \theta \; sin\; \; \phi \; y\; ^\; -\; sin\; \; \theta \; Z\; ^\; =\; \theta \; ^\; \{\backslash \; Displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{r\}\}\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; theta\}\}\; =\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; \backslash \; cos\; \backslash \; varphi\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{x\}\}\; +\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; \backslash \; sin\; \backslash \; varphi\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{y\}\}\; -\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{z\}\}\; =\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; theta\}\}\}\}$

$\partial \; \theta \; ^\; \partial \; \phi \; знак\; равно\; -\; соз\; \; \theta \; грех\; \; \phi \; x\; ^\; +\; соз\; \; \theta \; соз\; \; \phi \; y\; ^\; =\; соз\; \; \theta \; \phi \; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; theta\}\}\}\}\; \}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; varphi\}\}\; =\; -\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; \backslash \; sin\; \backslash \; varphi\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{x\}\}\; +\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; \backslash \; cos\; \backslash \; varphi\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{y\}\}\; =\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; varphi\}\}\}\}$

$\partial \; \theta \; ^\; \partial \; \theta \; =\; -\; sin\; \; \theta \; cos\; \; \phi \; x\; ^\; -\; sin\; \; \theta \; sin\; \; \phi \; y\; ^\; -\; cos\; \; \theta \; z\; ^\; =\; -\; r\; ^\; \{\backslash \; d\; isplaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; theta\}\}\}\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; theta\}\}\; =\; -\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\; \backslash \; cos\; \backslash \; varphi\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{x\}\}\; -\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\; \backslash \; sin\; \backslash \; varphi\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{y\}\}\; -\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{z\}\}\; =\; -\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{r\}\}\}$

$\partial \; \phi \; ^\; \partial \; \phi \; =\; -\; соз\; \; \phi \; Икс\; ^\; -\; грех\; \; \phi \; Y\; ^\; =\; -\; грех\; \; \theta \; r\; ^\; -\; соз\; \; \theta \; \theta \; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \{\backslash \; frac\; \{\backslash \; partial\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; varphi\}\}\}\}\}\; \{\backslash \; partial\; \backslash \; varphi\}\}\; =\; -\; \backslash \; cos\; \backslash \; varphi\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{x\}\}\; -\; \backslash \; sin\; \backslash \; varphi\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{y\}\}\; =\; -\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{r\}\}\; -\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; theta\}\}\}\}$

Общие единичные векторы

Общие темы единичных векторов встречаются в физике и геометрии :

Unit вектор	Номенклатура	Диаграмма
Касательный вектор к кривой / линии потока	$t\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{t\}\}\}$	Нормальный вектор $n\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{n\}\}\}$к плоскости, содержащей и определяемой вектором радиального положения $rr\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; r\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{\; r\}\}\}$и угловатый загар Основное направление вращения $\theta \; \theta \; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; theta\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; theta\}\}\}\}$необходимо, чтобы выполнялись векторные уравнения углового движения.
Нормаль к касательной плоскости / плоскости поверхности, содержащей компонент радиального положения и угловой тангенциальный компонент	$n\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{n\}\}\}$ В терминах полярных координат ; $n\; ^\; =\; r\; ^\; \times \; \theta \; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{n\}\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{r\}\}\; \backslash \; times\; \{\backslash \; boldsymbol\; \{\backslash \; hat\; \{\backslash \; theta\}\}\}\}$
Бинормальный вектор к касательной и нормали	$b\; ^\; =\; t\; ^\; \times \; n\; ^\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{b\}\}\; =\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{t\}\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{n\}\; \}\}$
Параллельно некоторой оси / линии	$e\; ^\; \parallel \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{e\}\}\; \_\; \{\backslash \; parallel\}\}$	Один единичный вектор $e\; ^\; \parallel \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{e\}\}\; \_\; \{\backslash \; parallel\}\}$, выровненный параллельно главному направлению (красная линия) и перпендикулярному единичному вектору $e\; ^\; \perp \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{e\}\}\; \_\; \{\backslash \; bot\}\}$находится в любом радиальном направлении относительно главной линии.
Перпендикулярно некоторой оси / линии в некотором радиальном направлении	$e\; ^\; \perp \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{e\}\}\; \_\; \{\backslash \; bot\}\}$
Возможное угловое отклонение относительно некоторой оси / линии	$e\; ^\; \angle \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{e\}\}\; \_\; \{\backslash \; angle\}\}$	Единичный вектор под острым углом отклонения φ (включая 0 или π / 2 рад) относительно главного направления.

В общем, система координат может быть однозначно указана с использованием ряда линейно независимых единичных векторов $e\; ^\; n\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{\; e\}\}\; \_\; \{n\}\}$(фактическое число равно степеням свободы пространства). Для обычного 3-мерного пространства эти векторы могут быть обозначены как $e\; ^\; 1,\; e\; ^\; 2,\; e\; ^\; 3\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{e\}\}\; \_\; \{1\},\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{e\}.\; \}\; \_\; \{2\},\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{e\}\}\; \_\; \{3\}\}$. Почти всегда удобно определять систему как ортонормированную и правостороннюю :

$e\; ^\; i\; \cdot \; e\; ^\; j\; =\; \delta \; ij\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{e\}\}\; \_\; \{i\}\; \backslash \; cdot\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{e\}\}\; \_\; \{j\}\; =\; \backslash \; delta\; \_\; \{ij\}\}$

$e\; ^\; i\; \cdot \; (e\; ^\; j\; \times \; e\; ^\; k)\; =\; \epsilon \; ijk\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{e\; \}\}\; \_\; \{i\}\; \backslash \; cdot\; (\backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{e\}\}\; \_\; \{j\}\; \backslash \; times\; \backslash \; mathbf\; \{\backslash \; hat\; \{e\}\}\; \_\; \{k\})\; =\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{ijk\}\}$

где $\delta \; ij\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; delta\; \_\; \{ij\}\}$- дельта Кронекера (которая равна 1 для i = j и 0 в противном случае) и $\epsilon \; ijk\; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; varepsilon\; \_\; \{ijk\}\}$- это символ Леви-Чивиты (который равен 1 для перестановок, упорядоченных как ijk, и −1 для перестановок, упорядоченных как kji).

Единичный вектор в ℝ был назван правым ответчиком W. Р. Гамильтон, поскольку он разработал свои кватернионы ℍ ⊂ ℝ. Фактически, он был создателем термина «вектор», поскольку каждый кватернион $q\; =\; s\; +\; v\; \{\backslash \; displaystyle\; q\; =\; s\; +\; v\}$имеет скалярную часть s и векторную часть v. v - единичный вектор в ℝ, тогда квадрат v в кватернионах равен –1. Таким образом, согласно формуле Эйлера, $exp\; \; (\theta \; v)\; =\; cos\; \; \theta \; +\; v\; sin\; \; \theta \; \{\backslash \; displaystyle\; \backslash \; exp\; (\backslash \; theta\; v)\; =\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta\; +\; v\; \backslash \; sin\; \backslash \; theta\; \}$- это версор в 3-сфере. Когда θ представляет собой прямой угол , версор является правым версором: его скалярная часть равна нулю, а его векторная часть v является единичным вектором в.

Найдите единичный вектор в Wiktionary, бесплатном словаре.

• Декартова система координат
• Система координат
• Криволинейные координаты
• Четыре скорости
• Матрица Якоби и определитель
• Нормальный вектор
• Полярная система координат
• Стандартный базис
• Единичный интервал
• Единица квадрат, куб, круг, сфера и гипербола
• Векторное представление
• Вектор единиц

• ГРАММ. Б. Арфкен и Х. Дж. Вебер (2000). Математические методы для физиков (5-е изд.). Академическая пресса. ISBN 0-12-059825-6.
• Spiegel, Murray R. (1998). Очерки Шаума: Математический справочник формул и таблиц (2-е изд.). Макгроу-Хилл. ISBN 0-07-038203-4.
• Гриффитс, Дэвид Дж. (1998). Введение в электродинамику (3-е изд.). Прентис Холл. ISBN 0-13-805326-X.