Нормированное векторное пространство

редактировать
Векторное пространство, в котором определено расстояние Иерархия математических пространств. Нормированные векторные пространства - это надмножество внутренних пространств продукта и подмножество метрических пространств, которые, в свою очередь, являются подмножеством топологического векторного пространства.

В математике, нормированное векторное пространство или нормированное пространство - это векторное пространство над вещественным или комплексным числа, по которым определена норма. Норма - это формализация и обобщение на реальные векторные пространства интуитивного понятия «длина» в реальном мире. Норма - это функция с действительным знаком, определенная в векторном пространстве, которая обычно обозначается x ↦ ‖ x ‖, {\ displaystyle x \ mapsto \ | x \ |,}{\ displaystyle x \ mapsto \ | x \ |,} и обладает следующими свойствами:

  1. Он неотрицателен, то есть для каждого вектора x один имеет ‖ x ‖ ≥ 0. {\ displaystyle \ | x \ | \ geq 0.}{\ displaystyle \ | x \ | \ geq 0.}
  2. Это положительное значение на ненулевых векторах, то есть
    ‖ x ‖ = 0 ⟺ x = 0. {\ displaystyle \ | x \ | = 0 \ Longleftrightarrow x = 0.}{\ displaystyle \ | x \ | = 0 \ Longleftrightarrow x = 0.}
  3. Для каждого вектора x и каждого скаляра α, {\ displaystyle \ alpha,}\ alpha, один имеет
    ‖ α x ‖ = | α | ‖ Икс ‖. {\ displaystyle \ | \ alpha x \ | = | \ alpha | \ | x \ |.}{\ displaystyle \ | \ alpha x \ | = | \ alpha | \ | x \ |.}
  4. Неравенство треугольника выполняется; то есть для любых векторов x и y выполняется
    ‖ x + y ‖ ≤ ‖ x ‖ + ‖ y ‖. {\ displaystyle \ | x + y \ | \ leq \ | x \ | + \ | y \ |.}{\ displaystyle \ | x + y \ | \ leq \ | x \ | + \ | y \ |.}

Норма индуцирует расстояние по формуле

d (x, y) = ‖ Y - x ‖. {\ displaystyle d (x, y) = \ | y-x \ |.}{\ displaystyle d (x, y) = \ | yx \ |.}

, которые превращают нормированное векторное пространство в метрическое пространство и топологическое векторное пространство. Если этот показатель d {\ displaystyle d}d равен complete, то нормированное пространство называется банаховым пространством. Каждое нормированное векторное пространство может быть «однозначно расширено» до банахова пространства, что делает нормированные пространства тесно связанными с банаховыми пространствами. Изучение нормированных пространств и банаховых пространств является фундаментальной частью функционального анализа, который является одним из основных разделов математики.

пространство внутреннего произведения становится нормированным пространством, когда норма вектора является квадратным корнем из внутреннего произведения вектора самого по себе. Евклидово расстояние в евклидовом пространстве связано с нормой связанного векторного пространства (которое является внутренним пространством произведения) по формуле

d (A, B) = ‖ AB → ‖. {\ displaystyle d (A, B) = \ | {\ overrightarrow {AB}} \ |.}{\ displaystyle d (A, B) = \ | {\ overrightarrow {AB}} \ |.}

Содержание

  • 1 Определение
  • 2 Топологическая структура
  • 3 Нормируемые пространства
  • 4 Линейные карты и двойственные пространства
  • 5 Нормированные пространства как факторпространства полунормированных пространств
  • 6 Пространства конечных произведений
  • 7 См. также
  • 8 Ссылки
  • 9 Библиография
  • 10 Внешние ссылки

Определение

A нормированное векторное пространство - это пара (V, ‖ ⋅ ‖) {\ displaystyle (V, \ | \ cdot \ |)}{\ displaystyle (V, \ | \ cdot \ |)} , где V {\ displaystyle V}V - это векторное пространство и ‖ ⋅ ‖ {\ displaystyle \ | \ cdot \ |}\ | \ cdot \ | a norm на V {\ displaystyle V}V .

A полунормированное векторное пространство - это пара (V, p) {\ displaystyle (V, p)}{\ displaystyle (V, p)} , где V {\ displaystyle V }V - векторное пространство, а p {\ displaystyle p}p a полунорма на V {\ displaystyle V}V .

Мы часто опускаем p {\ displaystyle p}p или ‖ ⋅ ‖ {\ displaystyle \ | \ cdot \ |}\ | \ cdot \ | и просто напишите V {\ displaystyle V}V для пробела, если это cl ухо из контекста, какую (полу) норму мы используем.

В более общем смысле векторной нормой может быть любая функция с действительными значениями, которая удовлетворяет трем свойствам, указанным выше.

Полезный вариант неравенства треугольника :

‖ x - y ‖ ≥ | ‖ X ‖ - ‖ y ‖ | {\ displaystyle \ | xy \ | \ geq | \ | x \ | - \ | y \ ||}\ | x-y \ | \ ge | \ | x \ | - \ | y \ | | для любых векторов x и y.

Это также показывает, что векторной нормой является непрерывная функция.

Обратите внимание, что свойство 2 зависит от выбора нормы | α | {\ displaystyle | \ alpha |}| \ alpha | в области скаляров. Когда скалярное поле имеет вид R {\ displaystyle \ mathbb {R}}\ mathbb {R} (или, в более общем смысле, подмножество C {\ displaystyle \ mathbb {C}}\ mathbb {C} ), обычно принимается за обычное абсолютное значение, но возможны и другие варианты. Например, для векторного пространства над Q {\ displaystyle \ mathbb {Q}}\ mathbb {Q} можно взять | α | {\ displaystyle | \ alpha |}| \ alpha | , чтобы быть p-адической нормой, которая дает начало другому классу нормированных векторных пространств.

Топологическая структура

Если (V, ‖ · ‖) - нормированное векторное пространство, норма ‖ · ‖ индуцирует метрику (понятие расстояния) и, следовательно, топология на V. Эта метрика определяется естественным образом: расстояние между двумя векторами u и v задается как ‖ u− v‖. Эта топология как раз и является самой слабой топологией, которая делает · ‖ непрерывной и совместима с линейной структурой V в следующем смысле:

  1. Векторное сложение +: V × V → V совместно непрерывно относительно этой топологии. Это непосредственно следует из неравенства треугольника .
  2. . Скалярное умножение ·: K × V → V, где K - скалярное поле, лежащее в основе V, совместно непрерывно. Это следует из неравенства треугольника и однородности нормы.

Аналогично, для любого полунормированного векторного пространства мы можем определить расстояние между двумя векторами u и v как ‖ u− v‖. Это превращает полунормированное пространство в псевдометрическое пространство (обратите внимание, что оно слабее, чем метрика) и позволяет определять такие понятия, как непрерывность и сходимость. Говоря более абстрактно, каждое полунормированное векторное пространство является топологическим векторным пространством и, таким образом, несет в себе топологическую структуру , индуцированную полунормой.

Особый интерес представляют полные нормированные пространства, называемые банаховыми пространствами. Каждое нормированное векторное пространство V является плотным подпространством внутри банахова пространства; это банахово пространство по существу однозначно определяется V и называется пополнением V.

Две нормы в одном векторном пространстве называются эквивалентными, если они определяют одну и ту же топологию. В конечномерном векторном пространстве все нормы эквивалентны, но это неверно для бесконечномерных векторных пространств.

Все нормы в конечномерном векторном пространстве эквивалентны с топологической точки зрения, поскольку они индуцируют одну и ту же топологию (хотя результирующие метрические пространства не обязательно должны быть одинаковыми). А поскольку любое евклидово пространство полно, мы можем заключить, что все конечномерные нормированные векторные пространства являются банаховыми пространствами. Нормированное векторное пространство V локально компактно тогда и только тогда, когда единичный шар B = {x: ‖x‖ ≤ 1} компактный, что имеет место тогда и только тогда, когда V конечномерна; это следствие леммы Рисса. (На самом деле верен более общий результат: топологическое векторное пространство локально компактно тогда и только тогда, когда оно конечномерно. Дело в том, что мы не предполагаем, что топология исходит из нормы.)

Топология полунормированного векторного пространства имеет много хороших свойств. Учитывая систему соседства N (0) {\ displaystyle {\ mathcal {N}} (0)}\ mathcal {N} (0) около 0, мы можем построить все другие системы соседства как

N (Икс) знак равно Икс + N (0): знак равно {Икс + N ∣ N ∈ N (0)} {\ Displaystyle {\ mathcal {N}} (х) = х + {\ mathcal {N}} (0) : = \ {x + N \ mid N \ in {\ mathcal {N}} (0) \}}\ mathcal {N} (x) = x + \ mathcal {N} (0): = \ {x + N \ mid N \ in \ mathcal {N} (0) \}

с

x + N: = {x + n ∣ n ∈ N} {\ displaystyle x + N: = \ {x + n \ mid n \ in N \}}x + N: = \ {x + n \ mid n \ in N \} .

Более того, существует базис окрестности для 0, состоящий из поглощающего и выпуклого устанавливает. Поскольку это свойство очень полезно в функциональном анализе, обобщения нормированных векторных пространств с этим свойством изучаются под названием локально выпуклые пространства.

Нормируемые пространства

A топологическое векторное пространство (X, τ) {\ displaystyle (X, \ tau)}(X, \ tau) называется нормируемым, если существует норма ‖ ⋅ ‖ {\ displaystyle \ | \ cdot \ |}\ | \ cdot \ | на X такой, что каноническая метрика (x, y) ↦ ‖ y - x ‖ {\ displaystyle (x, y) \ mapsto \ | yx \ |}{\ displaystyle (Икс, Y) \ mapsto \ | Yx \ |} индуцирует топологию τ {\ displaystyle \ tau}\ tau на X. Следующая теорема принадлежит Колмагорову:

Теорема Топологическое векторное пространство Хаусдорфа нормируемо тогда и только тогда, когда существует выпуклая ограниченная окрестность фон Неймана 0 ∈ X {\ displaystyle 0 \ in X}{\ displaystyle 0 \ in X} .

Произведение семейства нормируемых пространств нормируемо тогда и только тогда, когда только конечное число пробелов нетривиальны (например, ≠ {0} {\ displaystyle \ neq \ {0 \}}{\ displaystyle \ neq \ {0 \}} ). Кроме того, фактор нормируемого пространства X по замкнутому векторному подпространству C нормируем, и если, кроме того, топология X задается нормой ‖ ⋅ ‖ {\ displaystyle \ | \ cdot \ |}\ | \ cdot \ | тогда карта X / C → R {\ displaystyle X / C \ to \ mathbb {R}}{\ displaystyle X / C \ to \ mathbb {R}} , заданная как x + C ↦ inf c ∈ C ‖ x + c ‖ { \ displaystyle x + C \ mapsto \ inf _ {c \ in C} \ | x + c \}{\ displaystyle x + C \ mapsto \ inf _ {c \ in C} \ | x + c \ |} - хорошо определенная норма на X / C, которая индуцирует фактор-топологию на X / C.

Если X является хаусдорфовым локально выпуклым топологическим векторным пространством, то следующие условия эквивалентны:

  1. X нормируем.
  2. X имеет ограниченную окрестность начала координат.
  3. сильный двойственный X b '{\ displaystyle X_ {b} ^ {\ prime}}{\ displaystyle X_ {b} ^ { \ prime}} X нормируется.
  4. сильный двойственный X b '{\ displaystyle X_ {b} ^ {\ prime}}{\ displaystyle X_ {b} ^ { \ prime}} of X метризуемый.

Кроме того, X конечномерно тогда и только тогда, когда X σ ′ {\ displaystyle X _ {\ sigma} ^ {\ prime}}{\ displaystyle X _ {\ sigma} ^ {\ prime}} нормируется (здесь X σ ′ {\ displaysty le X _ {\ sigma} ^ {\ prime}}{\ displaystyle X _ {\ sigma} ^ {\ prime}} обозначает X ′ {\ displaystyle X ^ {\ prime}}{\ displaystyle X ^ {\ prime}} с топологией weak- * ).

Линейные отображения и двойные пространства

Самыми важными отображениями между двумя нормированными векторными пространствами являются непрерывные линейные отображения. Вместе с этими отображениями нормированные векторные пространства образуют категорию.

Норма является непрерывной функцией на своем векторном пространстве. Все линейные отображения между конечномерными векторными пространствами также непрерывны.

Изометрия между двумя нормированными векторными пространствами - это линейное отображение f, которое сохраняет норму (то есть ‖f (v ) ‖ = ‖ v ‖ для всех векторов v ). Изометрии всегда непрерывны и инъективны. Сюръективная изометрия между нормированными векторными пространствами V и W называется изометрическим изоморфизмом, а V и W называются изометрически изоморфными. Изометрически изоморфные нормированные векторные пространства идентичны для всех практических целей.

Говоря о нормированных векторных пространствах, мы дополняем понятие двойного пространства, чтобы учесть норму. Двойственное V 'нормированного векторного пространства V - это пространство всех непрерывных линейных отображений из V в базовое поле (комплексы или вещественные числа) - такие линейные отображения называются «функционалами». Норма функционала φ определяется как супремум числа | φ (v ) | где v пробегает все единичные векторы (то есть векторы с нормой 1) в V. Это превращает V 'в нормированное векторное пространство. Важной теоремой о непрерывных линейных функционалах на нормированных векторных пространствах является теорема Хана – Банаха.

Нормированные пространства как факторпространства полунормированных пространств

Определение многих нормированных пространств (в частности, Банаховы пространства ) включают полунорму, определенную на векторном пространстве, а затем нормированное пространство определяется как фактор-пространство по подпространству элементов нулевой полунормы. Например, с пробелами L функция, определенная как

‖ f ‖ p = (∫ | f (x) | pdx) 1 / p {\ displaystyle \ | f \ | _ {p } = \ left (\ int | f (x) | ^ {p} \; dx \ right) ^ {1 / p}}\ | f \ | _p = \ left (\ int | f (x) | ^ p \; dx \ right) ^ {1 / p}

- полунорма в векторном пространстве всех функций, на которых Лебег интеграл в правой части определен и конечен. Однако полунорма равна нулю для любой функции , поддерживаемой на множестве меры Лебега ноль. Эти функции образуют подпространство, которое мы "выделяем", делая их эквивалентными нулевой функции.

Конечные пространства продукта

Для n полунормированных пространств X i с полунормами q i мы можем определить пространство продукта как

X: = ∏ i = 1 n X i {\ displaystyle X: = \ prod _ {i = 1} ^ {n} X_ {i}}X: = \ prod_ {i = 1} ^ {n} X_i

с векторным сложением, определенным как

(x 1,…, Xn) + (y 1,…, yn): = (x 1 + y 1,…, xn + yn) {\ displaystyle (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) + (y_ { 1}, \ ldots, y_ {n}): = (x_ {1} + y_ {1}, \ ldots, x_ {n} + y_ {n})}(x_1, \ ldots, x_n) + (y_1, \ ldots, y_n): = (x_1 + y_1, \ ldots, x_n + y_n)

и скалярное умножение, определенное как

α (Икс 1,…, xn): = (α x 1,…, α xn) {\ displaystyle \ alpha (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}): = (\ alpha x_ {1}, \ ldots, \ alpha x_ {n})}\ alpha (x_1, \ ldots, x_n): = (\ alpha x_1, \ ldots, \ alpha x_n) .

Мы определяем новую функцию q

q: X → R {\ displaystyle q: X \ to \ mathbb {R}}{\ displaystyle q: Икс \ к \ mathbb {R}}

, например, как

q: (Икс 1,…, xn) ↦ ∑ я знак равно 1 nqi (xi) {\ displaystyle q: (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) \ mapsto \ sum _ {i = 1} ^ { n} q_ {i} (x_ {i})}{\ displaystyle q: (x_ {1 }, \ ldots, x_ {n}) \ mapsto \ sum _ {i = 1} ^ {n} q_ {i} (x_ {i})} .

, которая является полунормой на X. Функция q является нормой тогда и только тогда, когда все q i являются нормами.

В более общем смысле, для каждого действительного p≥1 мы имеем полунорму:

q: (x 1,…, x n) ↦ (∑ i = 1 n q i (x i) p) 1 p. {\ displaystyle q: (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) \ mapsto \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} q_ {i} (x_ {i}) ^ {p} \ right) ^ {\ frac {1} {p}}.}{\ displaystyle q: (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) \ mapsto \ left (\ sum _ {i = 1} ^ {n} q_ {i} (x_ {i}) ^ {p } \ right) ^ {\ frac {1} {p}}.}

Для каждого p это определяет одно и то же топологическое пространство.

Прямое рассуждение с использованием элементарной линейной алгебры показывает, что единственными конечномерными полунормированными пространствами являются те, которые возникают как пространство произведения нормированного пространства и пространства с тривиальной полунормой. Следовательно, многие из наиболее интересных примеров и приложений полунормированных пространств встречаются для бесконечномерных векторных пространств.

См. Также

Ссылки

  1. ^Callier, Фрэнк М. (1991). Теория линейных систем. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 0-387-97573-X.
  2. ^Кедлая, Киран С. (2010), p-адические дифференциальные уравнения, Кембриджские исследования по высшей математике, 125, Cambridge University Press, CiteSeerX 10.1.1.165.270, ISBN 978-0-521-76879-5, теорема 1.3.6
  3. ^ Schaefer 1999, стр. 41.
  4. ^Schaefer 1999, p. 42.
  5. ^ Trèves 2006, pp. 136–149, 195–201, 240–252, 335–390, 420–433.

Библиография

  • Банах, Стефан (1932). Теория линейных операций [Теория линейных операций] (PDF). Monografie Matematyczne (на французском языке). 1 . Варшава: Subwencji Funduszu Kultury Narodowej. Zbl 0005.20901. Архивировано из оригинального (PDF) на 2014-01-11. Проверено 11 июля 2020 г.
  • Rolewicz, Stefan (1987), Функциональный анализ и теория управления: линейные системы, математика и его приложения (восточноевропейская серия), 29 (Перевод с польского Ewa Беднарчук ред.), Дордрехт; Варшава: D. Reidel Publishing Co.; PWN - Польские научные издательства, стр. Xvi + 524, doi : 10.1007 / 978-94-015-7758-8, ISBN 90- 277-2186-6, MR 0920371, OCLC 13064804
  • Schaefer, HH (1999). Топологические векторные пространства. Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
  • Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра. Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.

Внешние ссылки

  • СМИ, относящиеся к нормированным пространствам на Wikimedia Commons
Последняя правка сделана 2021-05-31 12:47:59
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте