Полярные системы

редактировать
Двумерный система, в которой каждая точке определяется расстояние от опорной точки и под углом от опорного направления координат

Точка в полярной системе координат с полюсом O и полярной осью L. Зеленым цветом обозначена точка с радиальной координатой 3 и угловой координатой 60 градусов или (3, 60 °). Синим цветом обозначена точка (4, 210 °).

В математике полярная система координат - это двухмерная система координат., в котором каждая точка на плоскость определяется расстояние от опорной точки и угол от опорного направления. Опорная точка (аналогично происхождение декартовой система координаты) называется полюс, а луч от полюса в опорном направлении является полярной ось. Расстояние от полюса называется радиальной координатой, радиальным радиусом или просто радиусом, а угол называется угловой координатой, полярным углом или азимутом. Радиальная координата часто обозначается r или ρ, а угловая координата - φ, θ или t. Углы в полярном представлении обычно выражаются либо в градусах, либо в радианах ( (2π рад, что равно 360 °).

Грегуар де Сен-Винсент и Бонавентура Кавальери независимо от друга представили концепции в середине семнадцатого века, хотя фактический термин полярные координаты был приписан Грегорио Фонтана в 18 век. Первоначальной мотивацией для внедрения полярной системы было изучение кругового и орбитального движения.

. Полярные координаты наиболее подходят в любом контексте, где рассматриваемое явление по своей сути является с направлением и длиной. от центральной точки плоскости, например, спирали. Плоские физические системы с телами, движущимися вокруг центральной точки, или явлениями, происходящими из центральной точки, часто и интуно моделировать с использованием полярных координат.

Полярная система координат расширяется до трех измерений двумя способами: цилиндрическая и сферическая системы координат.

Содержание
  • 1 История
  • 2 Условные обозначения
    • 2.1 Уникальность полярных координат
  • 3 Преобразование полярных координат в декартовы
  • 4 Полярное уравнение кривой
    • 4.1 Окружность
    • 4.2 Линия
    • 4.3 Полярная роза
    • 4.4 Архимедова спираль
    • 4.5 Конические сечения
  • 5 Пересечение двух полярных кривых
  • 6 Комплексные числа
  • 7 Исчисление
    • 7.1 Дифференциальное исчисление
    • 7.2 Интегральное исчисление (длина дуги)
    • 7.3 Интегральное исчисление (площадь)
      • 7.3.1 Обобщение
    • 7.4 Векторное исчисление
      • 7.4.1 Центробежные и кориолисовы члены
        • 7.4.1.1 Совместно вращающаяся рамка
  • 8 Дифференциальная геометрия
  • 9 Расширения в 3D
  • 10 Приложения
    • 10.1 Положение и навигация
    • 10.2 Моделирование
  • 11 См. Также
  • 12 Ссылки
    • 12.1 Общие ссылки
  • 13 Внешние ссылки
История
Гиппарх

Понятия угла и радиуса использовались древними народами еще в первом тысячелетии до нашей эры. Греческий астроном и астролог Гиппарх (190–120 гг. До н.э.) создали таблицу хорды функций, дающую длину хорды для каждого угла, и есть ссылки на то, что он использует полярные координаты для определения положения звезд. В На спиралях, Архимед в виде спираль Архимеда, функция, которой зависит от угла. Однако греческая работа не охватывала полную систему координат.

Начиная с 8 века нашей эры астрономы разработали методы аппроксимации и вычисления направления на Мекку (кибла ) - и расстояние до нее - от любого места на Земле.. Начиная с IX века, они использовали методы сферической тригонометрии и картографической проекции для точного определения этих величин. Расчет по существу представляет собой преобразование экваториальных полярных координат Мекки (т.е. ее долготы и широты ) в ее полярные координаты (т.е. ее киблу и расстояние) относительно к системе, опорным меридианом которой является большой круг, проходящий через данное местоположение и полюса Земли, а полярная ось - линия, проходящая через местоположение и его противоположную точку.

. введение полярных координат как части формальной системы координат. Полная история предмета описана в «Происхождении полярных координат» Гарвардского профессора Джулиана Лоуэлла Кулиджа. Грегуар де Сен-Винсент и Бонавентура Кавальери независимо ввел эти понятия в середине семнадцатого века. Сен-Винсент писал о них в частном порядке в 1625 году и опубликовал свою работу в 1647 году, а Кавальери опубликовал свою работу в 1635 году с исправленной версией, появившейся в 1653 году. Кавальери впервые применил полярные координаты для решения проблемы, относящейся к области внутри архимедовой спирали.. Блез Паскаль использовал полярные координаты для расчета длины параболических дуг.

В Методе колебаний (написано в 1671 году, опубликовано в 1736 году), сэр Исаак Ньютон исследовал преобразование между полярными координатами, которые он назвал «Седьмой манер; для спиралей », и девятью другими системами координат. В журнале Acta Eruditorum (1691) Якоб Берли использовал систему с точкой на линии, называемой полюсом и полярной осью соответственно. Координаты задавались расстоянием от полюса и углом от полярной оси. Работа Бернулли расширилась до кривых радиуса кривизны, указанных в этих координатах.

Фактический терминные полярные координаты был приписан Грегорио Фонтана и использовался итальянскими писателями 18-го века. Термин появился в английском в переводе Джорджа Пикока в 1816 году Дифференциального и интегрального исчисления Лакруа. Алексис Клеро был первым думать о полярных координатах в трех измерениях, и Леонард Эйлер был первым, кто их разработал.

Условные обозначения
Полярная сетка с углами, увеличивающаяся в направлении против часовой стрелки и обозначенная градусы

Радиальная координата часто обозначается r или ρ, а угловая координата - φ, θ или т. Угловая координата определяется как φ в стандарте ISO 31-11. Однако в математической литературе угол часто обозначается как θ вместо φ.

Углы в полярной системе счисления обычно выражаются либо в градусах, либо в радианах (2π рад, что равно 360 °). Градусы традиционно используются в навигации, геодезии и многих прикладных дисциплинах, в то время как радианы более распространены в математике и математической физике.

Угол φ определяется как начальный 0 ° от опорного направления, и увеличить для вращений в любом против часовой стрелки (CCW) или по часовой стрелке (CW) ориентации. В математике, например, исходное направление обычно изображается как луч от полюса по горизонтали вправо, а полярный угол увеличивается до положительных углов при вращении против часовой стрелки, тогда как в навигации (пеленг, заголовок ) заголовок 0 ° рисуется вертикально вверх, а угол увеличивается при поворотах по часовой стрелке. Полярные углы уменьшаются в сторону отрицательных значений для вращений в противоположных направлениях.

Уникальность полярных координат

Добавление любого количества полных оборотов (360 °) к угловой координате не изменяет соответствующие направления. Точно так же любая полярная координата с отрицательной радиальной составляющей и противоположным направлением (добавление 180 ° к полярному направлению). Следовательно, одна и та же точка (r, φ) может быть выражена бесконечным числом различных полярных координат (r, φ + n × 360 °) и (−r, φ + 180 ° + n × 360 °) = (−r, φ + (2n + 1) × 180 °), где n - произвольное целое число. Более того, сам полюс может быть выражен как (0, φ) для любого угла φ.

Если для любой точки, кроме полюса, требуется уникальное представление, обычно r ограничивают положительные числа (r>0) и φ в интервале [0, 360 °) или (-180 °, 180 °] (в радианах, [0, 2π) или (-π, π]). Другое соглашение, в Соблюдение обычным кодомена arctan-функции состоит в том, чтобы учесть произвольные ненулевые действительные значения радиальной составляющей и ограничить полярный угол (-90 °, 90 °). Во всех случаях уникальный азимут для полюса (r = 0) необходимо выбрать, например, φ = 0.

Преобразование между полярными и декартовыми координатами
Диаграмма, В этой анимации y = sin ⁡ (6 x) + 2 {\ displaystyle y = \ sin (6x) +2 иллюстрирующая взаимосвязь между полярными и декартовыми координатами. Кривая на декартова плоскость может отображаться в полярных координатах. }Нажмите y = \ sin (6x) +2 отображается на r = sin ⁡ (6 θ) + 2 {\ displaystyle r = \ sin (6 \ theta) +2}{\ displaystyle r = \ sin (6 \ theta) +2} . На изображение, чтобы получить подробная инфо рмацию.

Полярные координаты r и φ могут быть преобразованы в декартовы координаты x и y с помощью тригонометрических функций синус и косинус:

x = r cos ⁡ ϕ, y = г грех ⁡ ϕ. {\ Displaystyle {\ begin {align} x = r \ cos \ phi, \\ y = r \ sin \ phi. \ end {align}}}{\ displaystyle {\ begin {align} x = r \ cos \ phi, \\ y = r \ sin \ phi. \ end {align}}}

Декартовы координаты x и y могут быть преобразованы в полярные координаты r и φ с r ≥ 0 и φ в интервале (−π, π] по:

r = x 2 + y 2 {\ displaystyle r = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} \ quad}r = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}} \ quad (как в теореме Пифагора или евклидовой норме ) и
ϕ = atan2 ⁡ (y, x), {\ displaystyle \ phi = \ operatorname {atan2} (y, x),}{\ displaystyle \ phi = \ operatorname {atan2 } (y, x),}

где atan2 - это общий вариант функции арктангенса, особый как

atan2 ⁡ (y, x) = {arctan ⁡ (yx), если x>0, arctan ⁡ (yx) + π, если x < 0 and y ≥ 0 arctan ⁡ ( y x) − π if x < 0 and y < 0 π 2 if x = 0 and y>0 - π 2, если x = 0 и y < 0 undefined if x = 0 and y = 0. {\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)={\begin{cases}\arctan \left({\frac {y}{x}}\right){\t_dv{if }}x>0 \\\ arctan \ left ({\ frac {y} {x}} \ right) + \ pi {\ t_dv {if}} x <0{\t_dv{ and }}y\geq 0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)-\pi {\t_dv{if }}x<0{\t_dv{ and }}y<0\\{\frac {\pi }{2}}{\t_dv{if }}x=0{\t_dv{ and }}y>0 \\ - {\ frac {\ pi} {2}} {\ t_dv {if}} x = 0 {\ t_dv {and}} y <0\\{\text{undefined}}{\t_dv{if }}x=0{\t_dv{ and }}y=0.\end{cases}}}{\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)={\begin{cases}\arctan \left({\frac {y}{x}}\right){\t_dv{if }}x>0 \\\ arctan \ left ({\ frac {y} {x} } \ right) + \ pi {\ t_dv {if}} x <0{\t_dv{ and }}y\geq 0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)-\pi {\t_dv{if }}x<0{\t_dv{ and }}y<0\\{\frac {\pi }{2}}{\t_dv{if }}x=0{\t_dv{ and }}y>0 \ \ - {\ frac {\ pi} {2}} {\ t_dv {if}} x = 0 {\ t_dv {и }} y <0\\{\text{undefined}}{\t_dv{if }}x=0{\t_dv{ and }}y=0.\end{cases}}}

Если r вычисляется первым, как указано выше, то формула для φ может быть сказано немного проще, используя стандартную дугу функция косинуса :

ϕ = {arccos ⁡ (xr), если y ≥ 0 и r ≠ 0 - arccos ⁡ (xr), если y < 0 undefined if r = 0. {\displaystyle \phi ={\begin{cases}\arccos \left({\frac {x}{r}}\right){\t_dv{if }}y\geq 0{\t_dv{ and }}r\neq 0\\-\arccos \left({\frac {x}{r}}\right){\t_dv{if }}y<0\\{\text{undefined}}{\t_dv{if }}r=0.\end{cases}}}{\ displaystyle \ phi = {\ begin {cases} \ arccos \ left ({\ frac {x} {r }} \ right) {\ t_dv {if}} y \ geq 0 {\ t_dv {and}} r \ neq 0 \\ - \ arccos \ left ({\ frac { x} {r}} \ right) {\ t_dv {if}} y <0 \\ {\ text {undefined}} {\ t_dv {if}} r = 0. \ end {cases}}}

Значение φ выше является размером функции комплексного числа arg, примененной к x + iy. Угол в диапазоне [0, 2π) может быть получен путем добавления 2π к значению в случае, если оно отрицательно (другими словами, когда y отрицательно).

Полярное уравнение кривой

Уравнение, определяющее алгебраическую кривую, выраженную в полярных координатах, известно как полярное уравнение. Во многих случаях такое уравнение можно просто задать, задав функцию от φ. Полученная кривая структура из точек вида (r (φ), φ) и может рассматриваться как график полярной функции r. Обратите внимание, что это вторая записью в упорядоченной паре, независимая переменная.

Различные формы симметрии могут быть выведены из уравнения полярной функции r. Если r (−φ) = r (φ), кривая будет симметричной относительно горизонтального (0 ° / 180 °) луча, если r (π - φ) = r (φ), она будет симметричной относительно вертикали (90 ° / 270 °).) луч, и если r (φ - α) = r (φ), он будет осесимметричным на α по часовой стрелке и против часовой стрелки относительно полюса.

Простое уравнение, в то время как их декартова форма намного сложнее. Наиболее известным из этих кривых против полярная роза, архимедова спираль, лемниската, лимакон и кардиоида <683.>Для круга линии и полярной розы подразумевается, что нет никаких ограничений на область и диапазон кривой.

Круг с уравнением r (φ) = 1

Общее уравнение для круга с центром в центре (r 0, γ {\ displaystyle \ gamma}\ gamma ) и радиус а равенство

р 2 - 2 rr 0 соз ⁡ (φ - γ) + r 0 2 = a 2. {\ displaystyle r ^ {2} -2rr_ {0} \ cos (\ varphi - \ gamma) + r_ {0} ^ {2} = a ^ {2}.}{\ displaystyle r ^ {2} -2rr_ {0} \ cos (\ varphi - \ gamma) + r_ {0 } ^ {2} = a ^ {2}.}

Это можно упростить различными способами, чтобы соответствовать более конкретным случаям, таким как уравнение

r (φ) = a {\ displaystyle r (\ varphi) = a}{\ displaystyle r (\ varphi) = a}

для круга с центром на полюсе и радиусом a.

Когда r 0 = a, или когда начало координат лежит на окружности, уравнение принимает вид

r = 2 a cos ⁡ (φ - γ). {\ displaystyle r = 2a \ cos (\ varphi - \ gamma).}{\ displaystyle r Знак равно 2a \ соз (\ varphi - \ gamma).}

В общем случае уравнение может быть решено относительно r, что дает

r = r 0 cos ⁡ (φ - γ) + a 2 - р 0 2 грех 2 ⁡ (φ - γ), {\ displaystyle r = r_ {0} \ cos (\ varphi - \ gamma) + {\ sqrt {a ^ {2} -r_ {0} ^ {2} \ sin ^ {2} (\ varphi - \ gamma)}},}{\ displaystyle r = r_ {0} \ cos (\ varphi - \ gamma) + {\ sqrt {a ^ {2} -r_ {0} ^ {2} \ sin ^ {2} (\ varphi - \ gamma)}},}

решение со знаком минус перед квадратным корнем дает ту же кривую.

Линия

Радиальные линии (проходящие через полюс) уравнением

φ = γ, {\ displaystyle \ varphi = \ gamma,}{\ displaystyle \ varphi = \ gamma,}

где γ - угол подъема линии; то есть γ = arctan m, где m - угол наклона прямой в декартовой системе координат. Нерадиальная линия, которая пересекает радиальную линию φ = γ перпендикулярно в точке (r 0, γ), имеет уравнение

r (φ) = r 0 сек ⁡ (φ - γ). {\ displaystyle r (\ varphi) = r_ {0} \ sec (\ varphi - \ gamma).}{\ displaystyle r (\ varphi) = r_ {0} \ sec (\ varphi - \ gamma).}

В случае потери (r 0, γ) - это точка, в которой касательная пересекает воображаемый круг радиуса r 0.

Полярная роза

Полярная роза с уравнением r (φ) = 2 sin 4φ

A полярная роза представляет собой математическую кривую, которая выглядит как цветок с лепестками и может быть выражена как простое полярное уравнение,

р (φ) знак равно a соз ⁡ (к φ + γ 0) {\ displaystyle r (\ varphi) = a \ cos \ left (k \ varphi + \ gamma _ {0} \ right)}{\ displaystyle r (\ varphi) = a \ соз \ left (к \ varphi + \ gamma _ {0} \ right)}

для любой постоянной γ 0 (включая 0). Если k - целое число, эти уравнения будут давать розу с k лепестками, если k нечетное, или розу с 2k лепестками, если k четно. Если рациональное число, но не целое число, может образоваться роза, но с перекрывающимися лепестками. Обратите внимание, что эти уравнения никогда не определяют розу с 2, 6, 10, 14 и т. Д. Лепестками. Переменная a напрямую представляет длину или амплитуду лепестков розы, а k относится к их пространственной частоте. Постоянная γ 0 может рассматриваться как фазовый угол.

Архимедова спираль

Одно плечо архимедовой спирали с уравнением r (φ) = φ / 2π для 0 < φ < 6π

Архимедова спираль - это спираль, открытая Архимедом, которое также можно выразить в виде простого полярного уравнения. Он представлен уравнением

r (φ) = a + b φ. {\ displaystyle r (\ varphi) = a + b \ varphi.}{\ displaystyle r (\ varphi) = a + b \ varphi.}

Изменение параметра повернет спираль, а b контролирует расстояние между рукавами, которое для данной спирали всегда постоянно. Спираль Архимеда имеет две рукива: одно для φ>0 и одно для φ <0. Два рукава плавно соединены на полюсе. Если сделать зеркальное отображение одной руки по линии 90 ° / 270 °, получится другая рука. Эта кривая примечательна как одна из первых кривых после конических участков , которые будут обеспечивать в математическом трактате, и как яркий пример кривой, которая лучше всего определяется полярным уравнением.

Конические сечения

Эллипс, показывающий полу-широчайшую кишку

A коническое сечение с одним фокусом на полюсе, а другой где-то на луче 0 ° (так что большая ось конуса лежит вдоль прямой полярной оси) определяется по формуле:

r = ℓ 1 - e cos ⁡ φ {\ displaystyle r = {\ ell \ over {1-e \ cos \ varphi}}}r = {\ ell \ over {1-e \ cos \ varphi}}

где e эксцентриситет и ℓ {\ displaystyle \ ell}\ ell - это прямая полу-латусная мышца (перпендикулярное расстояние в фокусе от большой оси до кривая). Если e>1, это уравнение определяет гиперболу ; если e = 1, он определяет параболу ; и если e < 1, it defines an эллипс. В частном случае e = 0 последнее получается окружность радиуса ℓ {\ displaystyle \ ell}\ ell .

Пересечение двух полярных кривых

Графики двух полярных функций r знак равно е (θ) {\ displaystyle r = f (\ theta)}r = f (\ theta) и r = g (θ) {\ displaystyle r = g (\ theta)}р знак равно г (\ тета) иметь возможные пересечения трех типов:

  1. в начале координат, если уравнения f (θ) = 0 {\ displaystyle f (\ theta) = 0}f (\ theta) = 0 и g (θ) = 0 {\ displaystyle g (\ theta) = 0}g (\ theta) = 0 имеет хотя бы по одному решению.
  2. Все точки [g (θ i), θ i] {\ displaystyle [g (\ theta _ {i}), \ theta _ {i}]}[g (\ theta _ {i}), \ theta _ {i}] где θ я {\ displaystyle \ theta _ {i}}\ theta _ {i} - решения к уравнению f (θ + 2 k π) = g (θ) {\ displaystyle f (\ theta + 2k \ pi) = g (\ theta)}{\ displaystyle f (\ theta + 2k \ pi) = g (\ theta)} где k {\ displaystyle k}k - целое число.
  3. Все точки [g (θ i), θ i] {\ displaystyle [g (\ theta _ {i}), \ theta _ {i}]}[g (\ theta _ {i}), \ theta _ {i}] где θ я {\ displaystyle \ theta _ {i}}\ theta _ {i} - это решения уравнения f (θ + (2 k + 1) π) = - g (θ) {\ displaystyle f (\ theta + (2k + 1) \ pi) = - g (\ theta)}е (\ theta + (2k + 1) \ pi) = - g (\ theta) где k {\ displaystyle k}k - целое число.
Комплексные числа
Иллюстрация комплексное число z, нанесенное на комплексную плоскость Иллюстрация комплексного числа, нанесенное на комплексное число с использованием формулы Эйлера

Каждое комплексное число может быть представлено как точка в комплексная плоскость, и поэтому может быть выражена указанием либо декартовой системы точек (называемой прямоугольной или декартовой формы), либо полярных координат точки (называемой полярной формы). Комплексное число z может быть представлено в форме как

z = x + iy {\ displaystyle z = x + iy}z = x + iy

, где i - мнимая единица, или может быть записано в виде полярной форма (с помощью формул преобразования, приведенных в выше) как

z = r (cos ⁡ φ + i sin ⁡ φ) {\ displaystyle z = r (\ cos \ varphi + i \ sin \ varphi)}{\ displaystyle z = r (\ cos \ varphi + i \ sin \ varphi)}

и оттуда как

z = rei φ {\ displaystyle z = re ^ {i \ varphi}}{\ displaystyle z = re ^ {i \ varphi}}

, где e - число Эйлера, что эквивалентно, как показано Формула Эйлера. (Обратите внимание, что эта формула, как и все формулы, включающие экспоненты углов, предполагает, что угол φ выражается в радианах.) Для преобразования между прямоугольной и полярной формойми комплексного числа используются формулы преобразования выше можно использовать.

Для операций умножения, деления и возведения в степень комплексных чисел, как правило, намного проще работать с комплексными числами, выраженными в полярной форме, а не прямоугольная. Из законов возведения в степень:

Умножение
r 0 ei φ 0 r 1 ei φ 1 = r 0 r 1 ei (φ 0 + φ 1) {\ displaystyle r_ {0} e ^ {i \ varphi _ {0}} \, r_ {1} e ^ {i \ varphi _ {1}} = r_ {0} r_ {1} e ^ {i \ left (\ varphi _ {0} + \ varphi _ {1} \ right)}}{\ displaystyle r_ {0} e ^ {i \ varphi _ {0}} \, r_ {1} e ^ {i \ varphi _ {1}} = r_ {0} r_ {1} e ^ {i \ left (\ varphi _ {0} + \ varphi _ {1} \ right)} }
Разделение
r 0 ei φ 0 r 1 ei φ 1 = r 0 r 1 ei (φ 0 - φ 1) {\ displaystyle {\ frac {r_ {0} e ^ {i \ varphi _ {0}}} {r_ {1} e ^ {i \ varphi _ {1}}}} = {\ frac {r_ {0}} {r_ {1}}} e ^ {i (\ varphi _ {0} - \ varphi _ {1})}}{\ displaystyle {\ frac {r_ {0} e ^ {i \ varphi _ {0) }}} {r_ {1} e ^ {i \ varphi _ {1}}}} = {\ frac {r_ {0}} {r_ {1}}} e ^ {i (\ varphi _ {0} - \ varphi _ {1})}}
Возведение в степень (Формула Де Муавра )
(rei φ) n = rnein φ {\ displaystyle \ left (re ^ {i \ varphi} \ справа) ^ {n} = r ^ {n} e ^ {in \ varphi}}{\ displaystyle \ left (re ^ {i \ varphi} \ right) ^ {n } = r ^ {n} e ^ {in \ varphi}}
Исчисление

Исчисление можно применять к уравнениям, выраженным в полярных координатах.

Угловая координата В этом разделе φ выражается в радианах, что является обычным выбором при вычислении.

Дифференциальное исчисление

Используя x = r cos φ и y = r sin φ, можно вывести соотношение между производными в декартовы х и полярных координатах. Для данной функции u (x, y) это следующее ws, что (вычислив его полные производные )

r ∂ u ∂ r = r ∂ u ∂ x ∂ x ∂ r + r ∂ u ∂ y ∂ y ∂ r, ∂ u ∂ φ = ∂ u ∂ x ∂ Икс ∂ φ + ∂ U ∂ Y ∂ Y ∂ φ, {\ displaystyl e {\ begin {align} r {\ frac {\ partial u} {\ partial r}} = r {\ frac {\ partial u} {\ partial x}} {\ frac {\ partial x} {\ partial r}} + r {\ frac {\ partial u} {\ partial y}} {\ frac {\ partial y} {\ partial r}}, \ \ [2pt] {\ frac {\ partial u} {\ partial \ varphi}} = {\ frac {\ partial u} {\ partial x}} {\ frac {\ partial x} {\ partial \ varphi}} + {\ frac {\ partial u} {\ partial y}} {\ frac {\ partial y} {\ partial \ varphi}}, \ end {align}}}{\ displaystyle {\ begin {align} r {\ frac {\ частичный u} {\ partial r}} = r {\ frac {\ partial u} {\ partial x}} {\ frac {\ partial x} {\ partial r}} + r {\ frac {\ partial u} {\ partial y}} {\ frac {\ partial y} {\ partial r}}, \\ [2pt] {\ frac {\ partial u} {\ partial \ varphi}} = {\ frac {\ partial u } {\ partial x}} {\ frac {\ partial x} {\ partial \ varphi}} + {\ frac {\ partial u} {\ partial y}} {\ frac {\ partial y} {\ partial \ varphi }}, \ end {align}}}

или

r ∂ u ∂ r = r ∂ u ∂ x cos ⁡ φ + r ∂ u ∂ y sin ⁡ φ = x ∂ u ∂ x + y ∂ u ∂ y, ∂ u ∂ φ = - ∂ u ∂ xr sin ⁡ φ + ∂ u ∂ yr cos ⁡ φ = - y ∂ u ∂ x + x ∂ u ∂ y. {\ displaystyle {\ begin {align} r {\ frac {\ partial u} {\ partial r}} = r {\ frac {\ partial u} {\ partial x}} \ cos \ varphi + r {\ frac {\ partial u} {\ partial y}} \ si n \ varphi = x {\ frac {\ partial u} {\ partial x}} + y {\ frac {\ partial u} {\ partial y}}, \ \ [2pt] {\ frac {\ partial u} {\ partial \ varphi}} = - {\ frac {\ partial u} {\ partial x}} r \ sin \ varphi + {\ frac {\ partial u} {\ partial y}} r \ cos \ varphi = -y {\ frac {\ partial u} {\ partial x}} + x {\ frac {\ partial u} {\ partial y}}. \ end {align}}}{\ displaystyle {\ begin {align} r {\ frac {\ partial u} {\ partial r} } = r {\ frac {\ partial u} {\ partial x}} \ cos \ varphi + r {\ frac {\ partial u} {\ partial y}} \ sin \ varphi = x {\ frac {\ partial u} {\ partial x}} + y {\ frac {\ partial u} {\ partial y}}, \\ [2pt] {\ frac {\ partial u} {\ partial \ varphi}} = - {\ frac {\ partial u} {\ partial x}} r \ sin \ varphi + {\ frac {\ partial u} {\ partial y}} r \ cos \ varphi = -y {\ frac {\ partial u} {\ частичный x}} + x {\ frac {\ partial u} {\ partial y}}. \ end {align}}}

Следовательно, мы имеем следующие формулы:

r ∂ ∂ r = x ∂ ∂ x + y ∂ ∂ y ∂ ∂ φ = - y ∂ ∂ x + x ∂ ∂ y. {\ displaystyle {\ begin {align} r {\ frac {\ partial} {\ partial r}} = x {\ frac {\ partial} {\ partial x}} + y {\ frac {\ partial} {\ частичный y}} \\ [2pt] {\ frac {\ partial} {\ partial \ varphi}} = - y {\ frac {\ partial} {\ partial x}} + x {\ frac {\ partial} { \ partial y}}. \ end {align}}}{\ displaystyle {\ begin {align} r {\ frac {\ partial} {\ partial r}} = x {\ frac {\ partial} {\ partial x}} + y {\ frac {\ partial} {\ partial y}} \\ [2pt] {\ frac {\ partial} {\ partial \ varphi}} = - y {\ frac {\ partial} {\ partial x}} + x {\ frac {\ partial} {\ partial y}}. \ end {align}}}

Используя обратное преобразование координат, можно получить аналогичное взаимное отношение между производными. Для функций u (r, φ) следует, что

∂ u ∂ x = ∂ u ∂ r ∂ r ∂ x + ∂ u ∂ φ ∂ φ ∂ x, ∂ u ∂ y = ∂ u ∂ r ∂ r ∂ Y + ∂ U ∂ φ ∂ φ ∂ Y, {\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ partial u} {\ partial x}} = {\ frac {\ partial u} {\ partial r}} { \ frac {\ partial r} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial u} {\ partial \ varphi}} {\ frac {\ partial \ varphi} {\ partial x}}, \\ [2pt] {\ frac {\ partial u} {\ partial y}} = {\ frac {\ partial u} {\ partial r}} {\ frac {\ partial r} {\ partial y}} + {\ frac {\ partial u} {\ partial \ varphi}} {\ frac {\ partial \ varphi} {\ partial y}}, \ end {align}}}{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ partial u} {\ partial x}} = {\ frac { \ partial u} {\ partial r}} {\ frac {\ partial r} {\ partial x}} + {\ frac {\ partial u} {\ partial \ varphi}} {\ frac {\ partial \ varphi} { \ partial x}}, \\ [2pt] {\ frac {\ partial u} {\ partial y}} = {\ frac {\ partial u} {\ partial r}} {\ frac {\ partial r} { \ partial y}} + {\ frac {\ partial u} {\ partial \ varphi}} {\ frac {\ partial \ varphi} {\ partial y}}, \ end {align}}}

или

∂ u ∂ x = ∂ u ∂ rxx 2 + y 2 - ∂ u ∂ φ yx 2 + y 2 = cos ⁡ φ ∂ u ∂ r - 1 r sin ⁡ φ ∂ u ∂ φ, ∂ u ∂ y = ∂ u ∂ ryx 2 + y 2 + ∂ u ∂ φ xx 2 + y 2 знак равно sin ⁡ φ ∂ u ∂ r + 1 r cos ⁡ φ ∂ u ∂ φ. {\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ partial u} {\ partial x}} = {\ frac {\ partial u} {\ partial r}} {\ frac {x} {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}} - {\ frac {\ partial u} {\ partial \ varphi}} {\ frac {y} {x ^ {2} + y ^ {2}}} \ \ [2pt] = \ cos \ varphi {\ frac {\ partial u} {\ partial r}} - {\ frac {1} {r}} \ sin \ varphi {\ frac {\ partial u} {\ partial \ varphi}}, \\ [2pt] {\ frac {\ partial u} {\ partial y}} = {\ frac {\ partial u} {\ partial r}} {\ frac {y} {\ sqrt { x ^ {2} + y ^ {2}}}} + {\ frac {\ partial u} {\ partial \ varphi}} {\ frac {x} {x ^ {2} + y ^ {2}}} \\ [2pt] = \ sin \ varphi {\ frac {\ partial u} {\ partial r}} + {\ frac {1} {r}} \ cos \ varphi {\ frac {\ partial u} {\ частичное \ varphi}}. \ end {align}}}{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ partial u} {\ partial x}} = { \ frac {\ partial u} {\ partial r}} {\ frac {x} {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}} - {\ frac {\ partial u} {\ partial \ varphi}} {\ frac {y} {x ^ {2} + y ^ {2}}} \\ [2pt] = \ cos \ varphi {\ frac {\ partial u} {\ partial r}} - { \ frac {1} {r}} \ sin \ varphi {\ frac {\ partial u} {\ partial \ varphi}}, \\ [2pt] {\ frac {\ partial u} {\ partial y}} = {\ frac {\ partial u} {\ partial r}} {\ frac {y} {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}}}} + {\ frac {\ partial u} {\ partial \ varphi}} {\ frac {x} {x ^ {2} + y ^ {2}}} \\ [2pt] = \ sin \ varphi {\ frac {\ partial u} {\ partial r}} + {\ frac {1} {r}} \ cos \ varphi {\ frac {\ partial u} {\ partial \ varphi}}. \ e nd {выровнен}}}

Следовательно, мы имеем следующие формулы:

∂ ∂ x = cos ⁡ φ ∂ ∂ r - 1 r sin ⁡ φ ∂ ∂ φ ∂ ∂ y = sin ⁡ φ ∂ ∂ r + 1 r cos ⁡ φ ∂ ∂ φ. {\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ partial} {\ partial x}} = \ cos \ varphi {\ frac {\ partial} {\ partial r}} - {\ frac {1} {r }} \ sin \ varphi {\ frac {\ partial} {\ partial \ varphi}} \\ [2pt] {\ frac {\ partial} {\ partial y}} = \ sin \ varphi {\ frac {\ partial } {\ partial r}} + {\ frac {1} {r}} \ cos \ varphi {\ frac {\ partial} {\ partial \ varphi}}. \ end {align}}}{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ partial} {\ partial x}} = \ cos \ varphi {\ frac {\ partial} {\ partial r} } - {\ frac {1} {r}} \ sin \ varphi {\ frac {\ partial} {\ partial \ varphi}} \\ [ 2pt] {\ frac {\ partial} {\ partial y}} = \ sin \ varphi {\ frac {\ partial} {\ partial r}} + {\ frac {1} {r}} \ cos \ varphi { \ frac {\ partial} {\ partial \ varphi}}. \ end {align}}}

Чтобы найти При декартовом наклоне касательной к полярной кривой r (φ) в любой заданной точке эта кривая сначала выражается в виде системы параметрических уравнений.

x = r (φ) cos ⁡ φ Y знак равно r (φ) грех ⁡ φ {\ displaystyle {\ begin {align} x = r (\ varphi) \ cos \ varphi \\ y = r (\ varphi) \ sin \ varphi \ end {align} }}{\ displaystyle {\ begin {align} x = r (\ varphi) \ cos \ varphi \\ y = r (\ varphi) \ sin \ varphi \ end {align}}}

Дифференцирование оба уравнения относительно φ дают

dxd φ = r ′ (φ) cos ⁡ φ - r (φ) sin ⁡ φ dyd φ = r ′ (φ) sin ⁡ φ + r ( φ) cos ⁡ φ. {\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {dx} {d \ varphi}} = r '(\ varphi) \ cos \ varphi -r (\ varphi) \ sin \ varphi \\ [2pt] {\ гидроразрыва {dy} {d \ varphi}} = r '(\ varphi) \ sin \ varphi + r (\ varphi) \ cos \ varphi. \ end {align}}}{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx}{d\varphi }}=r'(\varphi)\cos \varphi -r(\varphi)\sin \varphi \\[2pt]{\frac {dy}{d\varphi }}=r'(\varphi)\sin \varphi +r(\varphi)\cos \varphi.\end{aligned}}}

Деление второго уравнения на первое дает декартов наклон касательной к кривой в точке (r (φ), φ):

dydx = r ′ (φ) sin ⁡ φ + r (φ) cos ⁡ φ r ′ (φ) cos Φ - r (φ) sin ⁡ φ. {\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = {\ frac {r '(\ varphi) \ sin \ varphi + r (\ varphi) \ cos \ varphi} {r' (\ varphi) \ cos \ varphi -r (\ varphi) \ sin \ varphi}}.}{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {r'(\varphi)\sin \varphi +r(\varphi)\cos \varphi }{r'(\varphi)\cos \varphi -r(\varphi)\sin \varphi }}.}

Для получения других полезных формул, включая расхождение, градиент и лапласиан в полярных координатах, см. криволинейные координаты.

Интегое исчисление (длина дуги)

Длина дуги (длина отрезка прямого), определяемая полярной функцией, находится путем интегрирования по кривой r (φ). Обозначим через эту длину вдоль кривой от точек A до точки B, где эти точки соответствуют φ = a и φ = b таким, что 0 < b − a < 2π. The length of L is given by the following integral

L = ∫ ab [r (φ)] 2 + [dr (φ) d φ] 2 d φ {\ Displaystyle L = \ int _ {a} ^ {b} {\ sqrt {\ left [r (\ varphi) \ right] ^ {2} + \ left [{\ tfrac {dr (\ varphi)} {d \ varphi}} \ right] ^ {2}}} d \ varphi}L = \ int _ {a} ^ {b} {\ sqrt {\ left [r ( \ varphi) \ right] ^ {2} + \ left [{\ tfrac {dr (\ varphi)} {d \ varphi}} \ right] ^ {2}}} d \ varphi

Интегральное исчисление (площадь)

Область интегрирования R ограничена кривой r (φ) и лучи φ = a и φ = б.

Обозначим через R область, ограниченную кривую r (φ) и лучами φ = a и φ = b, где 0 < b − a ≤ 2π. Then, the area of R is

1 2 ∫ ab [r (φ)] 2 d φ. {\ displaystyle {\ frac {1} {2}} \ int _ {a} ^ {b} \ left [r (\ varphi) \ right] ^ {2} \, d \ varphi.}{\ frac {1} {2}} \ int _ {a} ^ {b} \ left [r (\ varphi) \ right] ^ {2} \, d \ varphi.
Регион R аппроксимируется в секторах (здесь n = 5). A планиметр, который механически вычисляет полярные интегралы

Этот результат можно найти следующим образом. Сначала интервал [a, b] делится на n подинтервалов, где n - произвольное положительное целое число. Таким образом, Δφ, угловая мера каждого подынтервала, равна b - a (полная угловая мера интервала), деленная на n, количество подынтервалов. Для каждого подынтервала i = 1, 2,..., n, пусть φ i будет средней точкой подынтервала, и постройте сектор с центром в полюсе, радиус r (φ i), центральный угол Δφ и длина дуги r (φ i) Δφ. Следовательно, площадь каждого построенного сектора равна

[r (φ i)] 2 π ⋅ Δ φ 2 π = 1 2 [r (φ i)] 2 Δ φ. {\ displaystyle \ left [г (\ varphi _ {i}) \ right] ^ {2} \ pi \ cdot {\ frac {\ Delta \ varphi} {2 \ pi}} = {\ frac {1} {2 }} \ left [r (\ varphi _ {i}) \ right] ^ {2} \ Delta \ varphi.}\ left [r (\ varphi _ {i}) \ right] ^ {2} \ pi \ cdot {\ frac {\ Delta \ varphi} {2 \ pi }} = {\ frac {1} {2}} \ left [r (\ varphi _ {i}) \ right] ^ {2} \ Delta \ varphi.

Следовательно, общая площадь всех секторов составляет

∑ i = 1 n 1 2 r (φ i) 2 Δ φ. {\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ tfrac {1} {2}} r (\ varphi _ {i}) ^ {2} \, \ Delta \ varphi.}\ sum _ {i = 1} ^ {n} {\ tfrac {1} {2}} r (\ varphi _ {i}) ^ {2} \, \ Дельта \ varphi.

Как количество подынтервалов увеличивается, аппроксимация площади продолжает улучшаться. В пределе n → ∞ сумма становится суммой Римана для выше выше интеграла.

Механический вычисляющий интегралы площадей, который измеряет площадь плоских фигур, отслеживая их: он воспроизводит интегрирование в полярных координатах путем добавления соединения, так что 2- элемент связи воздействует на теорему Грина, преобразуя квадратичный интеграл в линейный интеграл.

Обобщение

Используя декартовы координаты, элемент бесконечно малой площади можно вычислить как dA = dx dy. Правило замены для множественных интегралов гласит, что при использовании других координат необходимо учитывать определитель якобиана формулы преобразования координат:

J = det ∂ (x, y) ∂ (r, φ) = | ∂ x ∂ r ∂ x ∂ φ ∂ y ∂ r ∂ y ∂ φ | = | cos ⁡ φ - r sin ⁡ φ sin ⁡ φ r cos ⁡ φ | знак равно г соз 2 ⁡ φ + г грех 2 ⁡ φ = г. {\ displaystyle J = \ det {\ frac {\ partial (x, y)} {\ partial (r, \ varphi)}} = {\ begin {vmatrix} {\ frac {\ partial x} {\ partial r} } {\ frac {\ partial x} {\ partial \ varphi}} \\ [2pt] {\ frac {\ partial y} {\ partial r}} и {\ frac {\ partial y} {\ partial \ varphi }} \ end {vmatrix}} = {\ begin {vmatrix} \ cos \ varphi -r \ sin \ varphi \\\ sin \ varphi r \ cos \ varphi \ end {vmatrix}} = r \ cos ^ { 2} \ varphi + r \ sin ^ {2} \ varphi = r.}{\ Displaystyle J = \ det {\ frac {\ partial (x, y)} {\ partial (r, \ varphi)}} = {\ begin {vmatrix} {\ frac {\ partial x} {\ partial r }} {\ frac {\ partial x} {\ partial \ varphi}} \\ [2pt] {\ frac {\ partial y} {\ partial r}} {\ frac {\ partial y} {\ partial \ varphi}} \ end {vmatrix}} = {\ begin {vmatrix} \ cos \ varphi -r \ sin \ varphi \\\ sin \ varphi r \ cos \ varphi \ end {vmatrix}} = r \ cos ^ { 2} \ varphi + r \ sin ^ {2} \ varphi = r.}

Следовательно, элемент площади в полярных координатах можно записать как

d A = dxdy = J drd φ = rdrd φ. {\ displaystyle dA = dx \, dy \ = J \, dr \, d \ varphi = r \, dr \, d \ varphi.}dA = dx \, dy \ = J \, dr \, d \ varphi = r \, dr \, d \ varphi.

Теперь функция, заданная в полярных координатах, может быть интегрирована следующим образом:

R f (x, y) d A = ∫ ab ∫ 0 r (φ) f (r, φ) rdrd φ. {\ displaystyle \ iint _ {R} е (х, y) \, dA = \ int _ {a} ^ {b} \ int _ {0} ^ {r (\ varphi)} f (r, \ varphi) \, r \, dr \, d \ varphi.}{\ displaystyle \ iint _ {R} f (x, y) \, dA = \ int _ {a} ^ {b} \ int _ {0} ^ {г (\ varphi)} е (г, \ varphi) \, r \, dr \, d \ varphi.}

Здесь R - та же область, что и выше, а именно область, ограниченная кривая r (ϕ) и лучами φ = a и φ = b. Формула для площади R, получнутая выше, получается при равенстве f тождественно 1.

Интеграл Гаусса

Более удивительное применение этого результата дает интеграл Гаусса, обозначенный здесь K:

К знак равно равно равно ∫ - ∞ ∞ е - Икс 2 dx = π. {\ displaystyle K = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- x ^ {2}} \, dx = {\ sqrt {\ pi}}.}{\ displaystyle K = \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- x ^ {2}} \, dx = {\ sqrt {\ pi}}.}

Векторное исчисление

Векторное исчисление также может быть к полярным координатам. Для плоского движения пусть r {\ displaystyle \ mathbf {r}}\ mathbf {r} будет вектором положения (r cos (φ), r sin (φ)), где r и φ зависят от времени. т.

Мы определяем единичные экологические

r ^ = (cos ⁡ (φ), sin ⁡ (φ)) {\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {r}}} = (\ cos (\ varphi), \ sin (\ varphi))}{ \ displaystyle {\ hat {\ mathbf {r}}} = (\ cos (\ varphi), \ sin (\ varphi))}

в направлении r {\ displaystyle \ mathbf {r}}\ mathbf {r} и

φ ^ = (- sin ⁡ (φ), соз ⁡ (φ)) знак равно К ^ × р ^, {\ Displaystyle {\ шляпа {\ boldsymbol {\ varphi}}} = (- \ sin (\ varphi), \ cos (\ varphi)) = {\ шляпа { \ mathbf {k}}} \ times {\ hat {\ mathbf {r}}} \,}{\ displaystyle {\ hat {\ boldsymbol {\ varphi}} } = (- \ sin (\ varphi), \ cos (\ varphi)) = {\ hat {\ mathbf {k}}} \ times {\ hat {\ mathbf {r}}} \,}

в плоскости движения, перпендикулярной радиальной плоскости, где k ^ {\ displaystyle {\ hat {\ mathbf { k}}}}{\ hat {\ mathbf {k}}} - единичный вектор, нормальный к плоскости движения.

Тогда

r = (x, y) = r (cos ⁡ φ, sin ⁡ φ) = rr ^, r ˙ = (x ˙, y ˙) = r ˙ (cos ⁡ φ, sin ⁡ φ) + r φ ˙ (- sin ⁡ φ, cos ⁡ φ) = r ˙ r ^ + r φ ˙ φ ^, r ¨ = (x ¨, y ¨) = r ¨ (cos ⁡ φ, sin ⁡ φ) + 2 r ˙ φ ˙ (- sin ⁡ φ, cos ⁡ φ) + r φ ¨ (- sin ⁡ φ, cos ⁡ φ) - r φ ˙ 2 (cos ⁡ φ, sin ⁡ φ) = (r ¨ - r φ 2) r ^ + (r φ ¨ + 2 r ˙ φ ˙) φ ^ = (r ¨ - r φ ˙ 2) r ^ + 1 rddt (r 2 φ ˙) φ ^. {\ Displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {r} = (x, \ y) = r (\ cos \ varphi, \ \ sin \ varphi) = r {\ hat {\ mathbf {r}}} \, \\ {\ dot {\ mathbf {r}}} = \ left ({\ dot {x}}, \ {\ dot {y}} \ right) = {\ dot {r}} (\ cos \ varphi, \ \ sin \ varphi) + r {\ dot {\ varphi}} (- \ sin \ varphi, \ \ cos \ varphi) = {\ dot {r}} {\ hat {\ mathbf {r}}} + r {\ dot {\ varphi}} {\ hat {\ boldsymbol {\ varphi}}} \, \\ {\ ddot {\ mathbf {r}}} = \ left ({\ ddot {x}}, \ {\ ddot {y}} \ right) \\ = {\ ddot {r}} (\ cos \ varphi, \ \ sin \ varphi) +2 {\ dot {r}} {\ dot {\ varphi} } (- \ sin \ varphi, \ \ cos \ varphi) + r {\ ddot {\ varphi}} (- \ sin \ varphi, \ \ cos \ varphi) -r {\ dot {\ varphi}} ^ {2 } (\ cos \ varphi, \ \ sin \ varphi) \\ = \ left ({\ ddot {r}} - r {\ dot {\ varphi}} ^ {2} \ right) {\ hat {\ mathbf {r}}} + \ left (r {\ ddot {\ varphi}} + 2 {\ dot {r}} {\ dot {\ varphi}} \ right) {\ hat {\ boldsymbol {\ varphi}}} \\ = \ left ({\ ddot {r}} - r {\ dot {\ varphi}} ^ {2} \ right) {\ hat {\ mathbf {r}}} + {\ frac {1} { r}} \; {\ frac {d} {dt}} \ left (r ^ {2} {\ dot {\ varphi}} \ rig ht) {\ hat {\ boldsymbol {\ varphi}}}. \ end {align}}}{\ displaystyle {\ begin {align} \ mathbf {r} = (x, \ y) = r ( \ cos \ varphi, \ \ sin \ varphi) = r {\ hat {\ mathbf {r}}} \, \\ {\ dot {\ mathbf {r}}} = \ left ({\ dot {x} }, \ {\ dot {y}} \ right) = {\ dot {r}} (\ cos \ varphi, \ \ sin \ varphi) + r {\ dot {\ varphi}} (- \ sin \ varphi, \ \ cos \ varphi) = {\ dot {r}} {\ hat {\ mathbf {r}}} + r {\ dot {\ varphi}} {\ hat {\ boldsymbol {\ varphi}}} \, \\ {\ ddot {\ mathbf {r}}} = \ left ({\ ddot {x}}, \ {\ ddot {y}} \ right) \\ = {\ ddot {r}} (\ cos \ varphi, \ \ sin \ varphi) +2 {\ dot {r}} {\ dot {\ varphi}} (- \ sin \ varphi, \ \ cos \ varphi) + r {\ ddot {\ varphi}} (- \ sin \ varphi, \ \ cos \ varphi) -r {\ dot {\ varphi}} ^ {2} (\ cos \ varphi, \ \ sin \ varphi) \\ = \ left ({\ ddot {r}} - r {\ dot {\ varphi}} ^ {2} \ right) {\ hat {\ mathbf {r}}} + \ left (r {\ ddot {\ varphi}} + 2 {\ dot {r}} {\ dot {\ varphi}} \ right) {\ hat {\ boldsymbol {\ varphi}}} \\ = \ left ({\ ddot {r} } -r {\ dot {\ varphi}} ^ {2} \ right) {\ hat {\ mathbf {r}}} + {\ frac {1} {r}} \; {\ frac {d} {dt }} \ left (r ^ {2} {\ dot {\ varphi}} \ right) {\ hat {\ boldsymbol {\ varphi}}}. \ end {align}}}

Центробежные и кориолисовы термины

Вектор положения r, всегда направлен радиально от начала координат. Вектор скорости v, всегда касательный к траектории движения. Вектор ускорения a, не параллельный радиальному движению, но смещенный угловым ускорением и ускорением Кориолиса, а не касательным к траектории, но смещенной центростремительным и радиальным ускорениями. Кинематические векторы в плоских полярных координатах. Обратите внимание, что установка ограничена не 2-м пространством, а плоскостью в любом более высоком измерении.

Термин r φ ˙ 2 {\ displaystyle r {\ dot {\ varphi}} ^ {2}}r {\ dot {\ varphi}} ^ {2} иногда называют центростремительным ускорением, а термин 2 r ˙ φ ˙ {\ displaystyle 2 {\ dot {r}} {\ dot {\ varphi}}}2 {\ точка {r}} {\ dot {\ varphi}} как Кориолисово ускорение. Например, см. Шанкар.

Примечание: эти термины, которые появляются, когда ускорение выражается в полярных координатах, являются математическим следствием дифференцирования; они появляются всякий раз, когда используются полярные координаты. В динамике плоских частиц эти ускорения появляются при установке второго закона движения Ньютона во вращающейся системе отсчета. Здесь эти дополнительные термины часто называют фиктивными силами ; фиктивными, потому что они просто результат изменения системы координат. Это не значит, что их не существует, скорее они существуют только во вращающейся рамке.

Инерциальная система отсчета S и мгновенная неинерциальная система отсчета S ', вращающаяся в одном направлении. Совместно вращающаяся рамка вращается с угловой скоростью Ω, равной скорости вращения частицы вокруг начала координат S ′ в конкретный момент t. Частица расположена в позиции вектора r (t), и единичные векторы показаны в радиальном направлении к частице от начала координат, а также в направлении увеличения угла ϕ, нормального к радиальному направлению. Эти единичные векторы не обязательно должны быть связаны с касательной и нормалью к пути. Кроме того, радиальное расстояние r не обязательно должно быть связано с радиусом кривизны траектории.
Совместно вращающаяся рамка

Для частицы, движущейся в плоскости, один из подходов к приданию физического значения этим терминам основан о концепции мгновенной системы координат, вращающейся в одном направлении. Чтобы определить совместно вращающуюся рамку, сначала выбирается исходная точка, от которой определяется расстояние r (t) до частицы. Устанавливается ось вращения, которая перпендикулярна плоскости движения частицы и проходит через это начало. Затем в выбранный момент t скорость вращения совместно вращающейся системы Ω выравнивается со скоростью вращения частицы вокруг этой оси dφ / dt. Далее, члены ускорения в инерциальной системе отсчета связаны с членами в системе одновременного вращения. Пусть положение частицы в инерциальной системе отсчета будет (r (t), φ (t)), а в совместно вращающейся системе отсчета (r (t), φ ′ (t)). Поскольку совместно вращающаяся рамка вращается с той же скоростью, что и частица, dφ ′ / dt = 0. Фиктивная центробежная сила в совместно вращающейся рамке равна mrΩ, радиально наружу. Скорость частицы в совместно вращающейся системе отсчета также направлена ​​радиально наружу, потому что dφ ′ / dt = 0. Таким образом, фиктивная сила Кориолиса имеет значение −2m (dr / dt) Ω, направленное только в сторону увеличения φ.. Таким образом, используя эти силы во втором законе Ньютона, мы находим:

F + F cf + F Cor = mr ¨, {\ displaystyle {\ boldsymbol {F}} + {\ boldsymbol {F}} _ {\ text {cf }} + {\ boldsymbol {F}} _ {\ text {Cor}} = m {\ ddot {\ boldsymbol {r}}} \,}{\ displaystyle {\ boldsymbol {F} } + {\ boldsymbol {F}} _ {\ text {cf}} + {\ boldsymbol {F}} _ {\ text {Cor}} = m {\ ddot {\ boldsymbol {r}}} \,}

где точки над точками обозначают разницу во времени, а F - чистая реальная сила (в отличие от фиктивных сил). В терминах компонентов это векторное уравнение выглядит следующим образом:

F r + mr Ω 2 = mr ¨ F φ - 2 mr ˙ Ω = mr φ ¨, {\ displaystyle {\ begin {align} F_ {r} + mr \ Омега ^ {2} = m {\ ddot {r}} \\ F _ {\ varphi} -2m {\ dot {r}} \ Omega = mr {\ ddot {\ varphi}} \, \ end {выровнено }}}{\ displaystyle {\ begin {align} F_ {r} + mr \ Omega ^ {2} = m {\ ddot {r}} \\ F _ {\ varphi} -2m {\ dot {r} } \ Omega = mr {\ ddot {\ varphi}} \, \ end {align}}}

которые можно сравнить с уравнениями для инерциальной системы отсчета:

F r = mr ¨ - mr φ ˙ 2 F φ = mr φ ¨ + 2 mr ˙ φ ˙. {\ displaystyle {\ begin {align} F_ {r} = m {\ ddot {r}} - мистер {\ dot {\ varphi}} ^ {2} \\ F _ {\ varphi} = mr {\ ddot {\ varphi}} + 2m {\ dot {r}} {\ dot {\ varphi}} \. \ end {align}}}{\ displaystyle {\ begin {align} F_ {r} = m {\ ddot {r}} - мистер {\ dot {\ varphi}} ^ {2 } \\ F _ {\ varphi} = mr {\ ddot {\ varphi}} + 2m {\ dot {r}} {\ dot {\ varphi}} \. \ End {align}}}

Это сравнение плюс признание того, что по определению совместно вращающейся рамки в момент времени t он имеет скорость вращения Ω = dφ / dt, это показывает, что мы можем интерпретировать члены ускорения (умноженные на массу частицы), как обнаруживается в инерциальной системе отсчета как отрицательная центробежная сила и сила Кориолиса, которая будет видна в мгновенной, неинерциальной системе одновременного вращения.

Для общего движения частиц (отличие от простого кругового движения) в системе отсчета частиц обычно к мгновенному соприкасающейся окружности ее движения, не в фиксированный центр полярных координат. Подробнее см. центростремительная сила.

Дифференциальная геометрия

В современной терминологии дифференциальной геометрии полярные координаты системы диаграммы координат для дифференцируемое многообразие ℝ \ { (0,0)}, плоскость минус начало координат. В этих координатах евклидов метрический тензор задается как

ds 2 = dr 2 + r 2 d θ 2. {\ displaystyle ds ^ {2} = dr ^ {2} + r ^ {2} d \ theta ^ {2}.}{\ displaystyle ds ^ {2} = dr ^ { 2} + r ^ {2} d \ theta ^ {2}.} Это можно увидеть с помощью формулы замены для метрического тензора или вычислением дифференциальные dx формы, dy через внешнюю производную 0-форм x = r cos (θ), y = r sin (θ) и их подстановка в евклидов метрический тензор ds = dx + dy. ортонормальный фрейм по отношению к этой метрике задается как er = ∂ ∂ r, e θ = 1 r ∂ ∂ θ, {\ displaystyle e_ {r} = {\ frac {\ partial} {\ partial r}}, \ quad e _ {\ theta} = {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ partial} {\ partial \ theta}},}{\ displaystyle e_ {r} = {\ frac {\ partial} {\ partial r}}, \ quad e _ {\ theta} = {\ frac {1} {r}} {\ frac {\ partial} {\ partial \ theta}},} с двойным кадром er = dr, e θ = rd θ. {\ displaystyle e ^ {r} = dr, \ quad e ^ {\ theta} = rd \ theta.}{\ displaystyle e ^ {r} = dr, \ quad e ^ {\ theta} = rd \ theta.} Форма связи относительно этого кадра и связь Леви-Чивита задается кососимметричной матрицей 1-форм ω ji = (0 - d θ d θ 0) {\ displaystyle \ omega _ {j} ^ {i} = {\ begin {pmatrix} 0 -d \ theta \\ d \ theta 0 \ end {pmatrix}}}{\ displaystyle \ omega _ {j} ^ {i} = {\ begin {pmatrix} 0 -d \ theta \\ d \ theta 0 \ end {pmatrix}}} и, следовательно, форма кривизны Ω = dω + ω∧ω тождественно равна нулю. Следовательно, как и ожидалось, проколотая плоскость представляет собой плоский коллектор.
Расширения в 3D

Полярная система координат расширена до трех измерений с двумя разными системами координат: цилиндрической и сферической системой координат.

Приложения

Полярные координаты двумерны, поэтому их можно использовать только там, где позиции точек лежат на одной двухмерной плоскости. Они подходят в любом контексте, где рассматриваемое явление по природе привязано к направлению и длине от центральной точки. Например, приведенные выше примеры показывают, насколько элементарных линейных уравнений достаточно для определения кривых, таких как спираль Архимеда, уравнение которой в декартовой системе координат было бы гораздо более сложным. Более того, физические системы - например, те, которые связаны с телами, движущимися центральными точками или с явлениями, происходящими из центральной точки - проще и интуитивно понятнее моделировать с использованием полярных вокруг координат. Первоначальной мотивацией для внедрения полярной системы было изучение кругового и орбитального движения.

Положение и навигация

Полярные координаты часто используются в навигации в качестве пункта назначения или направления движения можно указать угол и от рассматриваемого объекта. Например, самолет использует для навигации слегка измененную версию полярных координат. В этой системе, обычно используемой для любого вида навигации, луч 0 ° обычно называется курсом 360, а углы продолжаются в направлении по часовой стрелке, а не против часовой стрелки, как в математической системе. Заголовок 360 соответствует магнитному северу, а заголовки 90, 180 и 270 соответствуют магнитному востоку, югу и западу соответственно. Таким образом, самолет, летящий на 5 морских миль на восток, будет лететь на 5 единиц по курсу 90 (читается ноль-девятер-ноль с помощью управления воздушным движением ).

Моделирование

Системы, отображающие радиальная симметрия обеспечивает естественные настройки для полярной системы координат с центральной точкой, выступающей в качестве полюса. Ярким примером такого использования является уравнение потока грунтовых вод применительно к радиально симметричным скважинам. Системы с радиальной силой также являются хорошими кандидатами для использования полярной системы координат. Эти системы включают гравитационные поля, которые подчиняются закону обратных квадратов, а также системы с точечными источниками, такие как радиоантенны.

Радиально-асимметричные системы также могут быть смоделированы с помощью полярных координат. Например, микрофон шаблон звукоснимателя иллюстрирует его пропорциональную реакцию на входящий звук с заданного направления, и эти шаблоны могут быть представлены в виде полярных кривых. Кардиоидный микрофон andard, наиболее распространенный однонаправленный микрофон, может быть представлен как r = 0,5 + 0,5 sin (ϕ) на его целевой проектной частоте. На более низких частотах картина смещается в сторону всенаправленности.

См. Также
  • icon Портал математики
Литература

Общие ссылки

  • Адамс, Роберт; Кристофер Эссекс (2013). Исчисление: полный курс (Восьмое изд.). Pearson Canada Inc. ISBN 978-0-321-78107-9.
  • Антон, Ховард; Ирл Бивенс; Стивен Дэвис (2002). Исчисление (Седьмое изд.). Anton Textbooks, Inc. ISBN 0-471-38157-8.
  • Финни, Росс; Джордж Томас; Франклин Демана; Берт Уэйтс (июнь 1994 г.). Исчисление: графическое, числовое, алгебраическое (версия с одной переменной). Addison-Wesley Publishing Co. ISBN 0-201-55478-X.
Внешние ссылки
Викибук Исчисление имеет страницу по теме: Полярная интеграция
Последняя правка сделана 2021-06-02 09:36:27
Содержание доступно по лицензии CC BY-SA 3.0 (если не указано иное).
Обратная связь: support@alphapedia.ru
Соглашение
О проекте