В физике, в частности в специальной теории относительности и общей теории относительности, четырехскоростная представляет собой четырехмерный вектор в четырехмерном пространство-время, которое представляет собой релятивистский аналог скорости, который представляет собой трехмерный вектор в пространстве.
Физические события соответствуют математическим точкам времени и пространства, совокупность их всех вместе формирует математическую модель физического четырехмерного пространства-времени. История объекта представляет собой кривую в пространстве-времени, называемую его мировой линией. Если объект имеет массу, так что его скорость обязательно меньше, чем скорость света, мировая линия может быть параметризована с помощью собственного времени. объекта. Четырехступенчатая скорость - это скорость изменения четырехпозиционной по отношению к собственному времени вдоль кривой. Скорость, напротив, представляет собой скорость изменения положения объекта в (трехмерном) пространстве, как его видит наблюдатель, относительно времени наблюдателя.
Значение величины четырехскоростного объекта, то есть величина, полученная путем применения метрического тензора g к четырехскоростному U, то есть || U || = U⋅ U= g μν UU, всегда равно ± c, где c - скорость света. Применяется ли знак плюс или минус, зависит от выбора подписи метрики. Для покоящегося объекта его четырехскорость параллельна направлению временной координаты с U = c. Таким образом, четырехскоростная скорость является нормализованным направленным в будущее касательным вектором, подобным времени, к мировой линии и является контравариантным вектором. Хотя это вектор, сложение двух четырех скоростей не дает четырехскоростей: пространство четырех скоростей само по себе не является векторным пространством.
Путь объекта в трехмерном пространстве (в инерциальной системе отсчета) может быть выражен в терминах трех пространственных координатных функций x (t) времени t, где i - индекс , который принимает значения 1, 2, 3.
Три координаты образуют вектор положения 3d , записанный как вектор-столбец
Компоненты скорости (касательная к кривой) в любой точке мира строки:
Каждый компонент просто записывается
В теории относительности Эйнштейна, путь объекта, движущегося относительно конкретной системы отсчета, определяется четырьмя координатными функциями x (τ), где μ - это пространственно-временной индекс, который принимает значение 0 для времениподобного компонента и 1, 2, 3 для пространственноподобных координат. Нулевой компонент определяется как временная координата, умноженная на c,
Каждая функция зависит от одного параметра τ, который называется ее собственное время. В качестве вектора-столбца
Из замедления времени, дифференцирует в координатное время t и собственное время τ связаны соотношением
где фактор Лоренца,
является функцией евклидовой нормы u трехмерного вектора скорости :
Четвертая скорость - это касательный четырехвектор времениподобного мировая линия. Четыре скорости в любой точке мировой линии определяется как:
где - это четырехпозиционный, а - собственное время.
Четырехскоростная скорость, определенная здесь с использованием собственного времени объекта, не существует для мировых линий для безмассовых объектов, таких как фотоны, движущиеся со скоростью света; он также не определен для тахионных мировых линий, где касательный вектор пространственноподобный.
Отношение между временем t и координатным временем x определяется как
Взяв производную от этой производной по собственному времени τ, мы находим компоненту скорости U для μ = 0:
, а для остальных трех составляющих собственного времени мы получаем U-компоненту скорости для μ = 1, 2, 3:
, где мы использовали правило цепочки и отношения
Таким образом, для четырехскоростной :
Это записано в стандартной четырехвекторной записи:
где - временной компонент, а - пространственный компонент.
В терминах синхронизированных часов и линейок, связанных с конкретным срезом плоского пространства-времени, три пространственноподобных компонента четырехскорости определяют правильную скорость движущегося объекта т.е. скорость, с которой расстояние покрывается в опорной раме карты за единицу надлежащего времени прошло на часы, путешествующих с объектом.
В отличие от большинства других четырехвекторов, четырехмерная скорость имеет только 3 независимых компонента вместо 4. Коэффициент является функцией трехмерной скорости .
Когда определенные скаляры Лоренца умножаются на четыре скорости, то получается новый физический четырехвектор, который имеет четыре независимых компонента. Например:
Фактически, коэффициент в сочетании со скалярным членом Лоренца дает 4-ю независимую составляющую
Использование дифференциал четырехпозиционного, величина четырехступенчатой скорости может быть получена:
короче говоря, величина четырех- скорость любого объекта всегда фиксированная константа:
Норма также:
так, чтобы:
который сводится к определению фактора Лоренца.