Единичный интервал

редактировать

Единичный интервал как подмножество в вещественной строке

В математике, единичный интервал - это закрытый интервал [0,1], то есть набор всех действительных чисел которые больше или равны 0 и меньше или равны 1. Часто обозначается буквой I (заглавная буква I). Помимо своей роли в реальном анализе, единичный интервал используется для изучения теории гомотопии в области топологии.

. В литературе термин «единичный интервал» "иногда применяется к другим формам, которые может принимать интервал от 0 до 1: (0,1], [0,1) и (0,1). Однако обозначение I обычно зарезервировано для закрытого интервала [0,1].

Содержание

1 Свойства
- 1.1 Мощность
2 Обобщения
3 Нечеткая логика
4 См. Также
5 Ссылки

Свойства

Единичный интервал полное метрическое пространство, гомеоморфно строке расширенного действительного числа. Как топологическое пространство, это компактное, сжимаемое, соединение по пути и с локальным соединением по пути. Гильбертовый куб получается топологическим произведением счетного числа копий единичного интервала.

В математическом анализе единичный интервал - это одномерное аналитическое многообразие, граница которого состоит из двух точек 0 и 1. Его стандартная ориентация изменяется от 0 до 1.

Единичный интервал - это полностью упорядоченный набор и полная решетка (каждое подмножество единицы interval имеет верхнюю грань и нижнюю грань ).

Мощность

Размер или мощность набора - это количество содержащихся в нем элементов.

Единичный интервал - это подмножество вещественных чисел $R {\ displaystyle \ mathbb {R}}$ $\ mathbb {R}$ . Однако он имеет тот же размер, что и весь набор: мощность континуума. Поскольку действительные числа могут использоваться для представления точек вдоль бесконечно длинной линии , это означает, что отрезок линии длины 1, который является частью этой линии, имеет тот же номер. точек как всю строку. Более того, он имеет такое же количество точек, как квадрат области 1, как куб объема 1, и даже как неограниченный n-мерный Евклидово пространство $R n {\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ $\ mathbb { R} ^ {n}$ (см. Кривая заполнения пространства ).

Количество элементов (действительных чисел или точек) во всех вышеупомянутых наборах бесчисленное, так как оно строго превышает количество натуральных чисел.

Обобщения

Интервал [−1,1] длиной два, разделенный положительными и отрицательными единицами, встречается часто, например, в диапазоне из тригонометрических функций синус и косинус и гиперболическая функция tanh. Этот интервал можно использовать для домена из обратных функций. Например, когда θ ограничено до [−π / 2, π / 2], тогда sin (θ) находится в этом интервале и арксинус определен там.

Иногда термин «единичный интервал» используется для обозначения объектов, которые играют роль в различных областях математики, аналогичную роли, которую [0,1] играет в теории гомотопии. Например, в теории колчанов единичным интервалом (аналогом) является граф, набор вершин которого равен {0,1} и который содержит единственное ребро e, источник которого равен 0, а цель - 1. Затем можно определить понятие гомотопии между колчаном гомоморфизмами аналогично понятию гомотопии между непрерывными отображениями.

Нечеткая логика

В логике единичный интервал [0,1] можно интерпретировать как обобщение логической области {0, 1}, и в этом случае можно принимать не только значения 0 или 1, но и любое значение от 0 до 1 включительно. Алгебраически отрицание (НЕ) заменяется на $1 - x {\ displaystyle 1-x}$ $1-x$ ; соединение (И) заменяется умножением ( $x y {\ displaystyle xy}$ $xy$ ); а дизъюнкция (ИЛИ) определяется согласно законам Де Моргана как $1 - (1 - x) (1 - y) {\ displaystyle 1- (1-x) (1-y) }$ $1-(1-x)(1-y)$ .

Интерпретация этих значений как логических значений истинности дает многозначную логику, которая формирует основу для нечеткой логики и вероятностной логики. В этих интерпретациях ценность интерпретируется как «степень» истинности - насколько истинно предложение или вероятность того, что предложение истинно.

См. Также

Найдите единичный интервал в Wiktionary, бесплатном словаре.

Ссылки

Роберт Дж. Бартл, 1964, Элементы реального анализа, John Wiley Sons.